线性代数考研复习思维导图——线性方程组
线性代数思维导图全6页及其总结
注意例5.4
若一个矩阵能与对角矩阵相似，则称此矩阵可对 角化
将给定的一组基转化成正交基
将给定的一个向量组变 为单位正交的向量组 先用施密特正交法将其 正交化，再将其单位化
n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件：A的每个 特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等
于该特征值的重数
求齐次方程组的解空间W的正交 基，并将其扩充
变为B的相似变换矩阵
施密特正交法
若矩阵A与其转置矩阵的乘 积为单位矩阵，则称A为正 交矩阵，即A的逆矩阵与其
转置矩阵相等
实对称矩阵一定能与对角矩阵相似 （可对角化），并且相似变换矩阵
可取为正交矩阵
相似矩阵秩相同
相似矩阵行列式相等
相似矩阵都可逆或不可逆，当它们都可逆时，它 们的逆矩阵也相似
相似矩阵有相同的特征多项式， 从而特征值也相同
设向量组A是子空间V中的线性无关组，且V中任 意向量是向量组A的线性组合，则称A为子空间
的一组基
注意例4.23
子空间
求已知向量在某组基下 的坐标
例4.29
行列式行与列的地位是对称的，即对 行成立的性质对列也成立，矩阵则不
然
线性代 数
对角矩阵相乘（必须同阶）， 等于各位置元素直接相乘'
(A*B)的转置等于B的转置乘以A的转置，注意B 在前，顺序换了，该性质可以推广到多元
有无穷多组解的充要条件是rank(A)=rank(B)<n 有惟一解的充要条件是rank(A)=rank(B)=n
求特征向量 和特征值
注意A必须为方阵
设A为n阶方阵，X为n维非零向量，k为常数 若 AX=kX
则称X为A的特征向量，k为特征向量X对应的特 征值，矩阵A-kE称为A的特征矩阵 det(A-kE)=0称为特征方程
线性代数知识点框架图
线性代数知识点框架图在学习线性代数时，我们常常会感到知识点众多、错综复杂。
为了更好地理解和掌握线性代数的核心概念和关联关系，我们可以构建一个线性代数知识点框架图。
这张框架图将有助于我们对线性代数知识的整体把握，使我们能够更加清晰地理解各个知识点之间的联系和难点所在。
1. 矩阵与向量矩阵和向量是线性代数的基础概念，它们是线性代数理论和计算的基石。
矩阵和向量的运算规则以及它们之间的关联关系是我们学习线性代数的起点。
2. 线性方程组线性方程组是线性代数的一个重要应用，解线性方程组的方法包括高斯消元法和矩阵的逆等。
了解线性方程组的求解方法以及解的几何意义对于理解线性代数的核心思想至关重要。
3. 线性变换线性变换是线性代数中的另一个重要概念，它描述了一个向量空间之间的映射关系。
线性变换的性质和基本定理为我们理解矩阵的特征和作用提供了重要参考。
4. 特征值与特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要属性。
它们描述了矩阵在线性变换中的行为，有助于我们理解矩阵的性质和作用。
特征值和特征向量的求解方法以及它们在实际应用中的意义是我们学习线性代数时需要深入理解的内容之一。
5. 矩阵分解与应用矩阵分解是线性代数中的一个重要分支，它将矩阵分解为更简洁易懂的形式，从而更好地理解和应用矩阵。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解和特征值分解等。
了解矩阵分解的原理与方法将为我们在实际应用中更好地处理和分析数据提供帮助。
6. 向量空间与基、维数向量空间是线性代数理论的核心，它描述了向量的性质和运算规则。
向量空间的基和维数是向量空间的重要属性，它们描述了向量空间的结构和性质，对于分析和解决线性代数问题非常关键。
7. 内积与正交性内积是线性代数中的一个重要概念，它揭示了向量之间的夹角和长度的关系。
正交性是内积的一个重要性质，它描述了向量空间中相互垂直的向量之间的重要关联。
了解内积和正交性将为我们理解和应用向量的几何意义提供重要帮助。
通过构建这样一个线性代数知识点框架图，我们可以更好地整理和理解线性代数的基本概念和内在关联。
大学线性代数思维导图
行列式排列
逆序数为偶数（奇数）的排列为偶（奇）排列
任意两个n阶排列总可以通过一系列对换互变
对换改变排列的奇偶性
当n大于等于2时，n个数字的奇排列与偶排列的个数相等，各为1/2n！个
n阶行列式的概念
定义：由n的2次方个数（实或复数）排成一个n行n列的表，并在两边各画一条竖
线记号所表示的数D称为n阶行列式
1、是n！的代数和；
2、每一项是取自不同行，不同列的n个元素的乘积
行列式的主要性质
行列互换，行列式的值不变
交换行列式的两行（列），行列式的符号改变
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一个数k等于用数k乘以此行列式
若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则D等于分开两个行列式之和
把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素
上，行列式不变
行列式按行（列）展开
n阶行列式的余子式和代数余子式
n阶（n大于等于2）行列式等于它的任一行的元素与其代数余子式乘积之和
n阶行列式等于它的任何一列各元素与其代数余子式乘积之和
n阶行列式.......（见P17）
n阶行列式的任一列中各元素与另一列对应元素的代数余子式乘积之和为0
克拉默法则一个含有n个未知数n个方程的线性方程组当它的系数行列式D不等于0时，有且仅
有一个解
拉普拉斯定理、行列式的乘法规则
互为余子式
拉普拉斯定理：在n阶行列式中任意选定k行（列）（1<=k<=n-1），则n阶行列
式等于位于这k行（列）中的一切k阶子式Mi（i=1，2，....，C_k^n）与其对应的
代数余子式Ai乘积之和。
线性代数思维导图
线性代数是数学的一个分支，其研究对象是向量，向量空间（或称为线性空间），线性变换和有限维线性方程组。
向量空间是现代数学中的重要课题。
因此，线性代数被广泛用于抽象代数和泛函分析。
通过解析几何，可以具体表达线性代数。
线性代数理论已经推广到算子理论。
由于科学研究中的非线性模型可以近似为线性模型，因此线性代数在自然科学和社会科学中被广泛使用。
概念线性代数是代数的一个分支，主要处理线性关系。
线性关系是指数学对象之间的关系以单一形式表示。
例如，在解析几何中，平面上的直线方程是二元线性方程；空间平面的方程是三次方程，而空间直线被视为两个平面的交点，并由由两个三次线性方程组成的方程组表示。
具有n个未知数的线性方程称为线性方程。
具有一度变量的函数称为线性函数。
线性关系问题称为线性问题。
求解线性方程式的问题是最简单的线性问题。
所谓“线性”是指以下数学关系。
其中f称为线性算子或线性映射。
所谓的“代数”是指用符号代替元素和运算。
换句话说，我们不在乎上面的x，y是实数还是函数，以及f是多项式还是微分。
我们将它们抽象为一个符号或一类矩阵。
线性代数共同研究了哪种线性算子f满足线性关系以及它们分别具有什么性质。
[1]历史作为线性代数的一个独立分支，它仅在20世纪形成九章算术九章算术很久以前了“鸡和兔子在同一个笼子里”的问题实际上是解决线性方程组的一个简单问题。
最古老的线性问题是线性方程的解。
在中国古代的“九章算术·方程式”一章中对此进行了完整的描述。
本文描述的方法本质上等效于在方程组的增广矩阵的行上执行基本变换并消除未知变量的现代方法。
由于费马和笛卡尔的工作，现代意义上的线性代数基本上出现在17世纪。
直到18世纪末，线性代数的领域仅限于平面和空间。
在19世纪上半叶，完成了向n维线性空间的过渡。
随着对线性方程的研究和变量的线性变换的深入，在18和19世纪相继产生了行列式和矩阵，这为处理线性问题提供了有力的工具，并促进了线性代数的发展。