专题二 全等三角形

专题二 全等三角形

【要点整合】 1、全等形的定义

2、全等三角形的定义： . 全等的符号写作“ ”.

3、全等三角形的性质

① ②

③全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线 . 结合图2-1全等三角形的性质可表示为： ∵△ABC ≌

∴ 4、三角形全等的判定方法：

①三边 的两个三角形全等. 简称“边边边”或“SSS ” ② . 简称“边角边”或“ ” ③ . 简称“角边角”或“ ” ④ . 简称“ ”或“ ” ⑤ . 简称“ ”或“HL ” 5、结合右图三角形全等的判定方法

①边边边 ②边角边 ∵

∴△ABC ≌△DEF ③角边角 ④角角边 图2-1

C E

B

F

D

A 2-2

∵

∴△ABC ≌△DEF

∵

∴△ABC ≌△DEF ∵

∴△ABC ≌△DEF

④斜边直角边

在Rt△ABC与Rt△DEF中

∵

∴Rt△ABC ≌Rt△DEF

5、角的平分线的性质与判定：

①性质: .

结合图2-4用符号表示角的平分线的性质：

∵

∴

②判定: .

结合图2-4用符号表示角的平分线的判定：

∵

∴

【自主探究】

1、如图2-5，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）

A．5 B．4 C．3 D．2

2-5 2-6 2-7

2、如图2-6，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，△ABC≌△A′B′C′，若A′B′恰好经过点B，A′C′交AB于D，则∠BCB′的度数为（）

A．30°B．40°C．52°D．64°

3、如图2-7，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD 相交于点O，则图中全等三角形共有.

4、如图2-8，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，

C

A D

F

B E

2-3

A

O

B

C

P

E

F

2-4

则BF的长是.

2-8 2-9 2-10

5、如图2-9，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3= 度．

6、如图2-10，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DB．其中正确的结论是

.（把你认为正确的结论的序号填上）

7、如图2-10，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．

求证：∠A=∠D．

2-10

家长签字：

年月日

G F C D B E

A H

2-11

【例题精析】

例1、已知：如图2-11，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ．

（1）求证：BF=AC ；

（2）求证：CE=2

1BF ； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论． 分析：（1）利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从

而得出BF=AC ．（2）利用ASA 判定Rt △BEA ≌

Rt △BEC ，得出CE=AE=2

1

AC ，又因为BF=AC,所以

CE=21AC=21

BF;（3）利用等腰三角形“三线合一”和勾股定理即可求解.

证明：

（1）∵CD ⊥AB ，∠ABC=45°， ∴△BCD 是等腰直角三角形． ∴BD= ． ∵∠DBF=90°-∠BFD ， ∠DCA=90°-∠EFC ， 且∠BFD=∠EFC ， ∴ ．

在Rt △DFB 和Rt △DAC 中， ∵ ∠DBF ＝∠DCA BD ＝CD ∠BDF ＝∠ADC ∴Rt △DFB ≌Rt △ （ ）． ∴ ； （2）∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠CBE ． 在Rt △BEA 和Rt △BEC 中 ∠ABE ＝∠CBE BE ＝BE

∠BEA ＝∠BEC

∴Rt △BEA ≌Rt △BEC （ ）．

∴CE=AE= AC ．

又由（1）可知BF=AC ，

∴CE= AC= BF ； （3）∵∠ABC=45°，CD ⊥AB ， ∴CD=BD ． ∵H 为BC 中点， ∴DH BC 连接CG ，则BG=CG ，

∠GCB=∠GBC=21∠ABC=22.5°

∴∠EGC=45°．

∵BE ⊥AC ， ∴∠EGC=∠ECG=45° ∴CE= ． ∵△GEC 是直角三角形， ∴CE 2+GE 2= ，

∵DH 垂直平分BC ， ∴BG= ， ∴CE 2+GE 2=CG 2=BG 2； 即2CE 2=BG 2，BG=2CE ，

∴BG ＞CE ． 考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

例2如图，△ABC 和△FPQ 均是等边三角形，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，点P 在AB 边上，连接EF 、QE ．若AB=6，PB=1，求QE 的长． 分析：连结FD ，根据等边三角形的性质，由△ABC 为等边三角形得到AC=AB=6，∠A=60°，再根据点D 、E 、F 分别是等边△ABC 三边的中点，可判断EF 为△ABC 的中位线，于是△ADF 为等边三角形，得到∠FDA=60°，利用三角形中位线的性质得EF ∥AB ，EF=

2

1

AB=3，根据平行线性质得∠1+∠3=60°；又由于△PQF 为等边三角形，则∠2+∠3=60°，

FP=FQ ，所以∠1=∠2，然后判断△FDP ≌△FEQ ，所以DP=QE. 解：

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

2-12

2-14

例3、如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，线段BE 与CD 相交于点O ，连接OA ． （1）求证：BE=DC ； （2）求∠BOD 的度数； （3）求证：OA 平分∠DOE ．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；角的平分线的判定． 解：

【拓展探究】

已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE

2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解题思路

2-13

【当堂测练】

1、如图2-15，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；

②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2-15 2-16 2-17

2、如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）

A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC

C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA

3、如图2-17，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB ≌△EDC，则∠C的度数为.

4、如图2-18，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D 作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为．

2-18 2-19 2-20

5、如图2-19，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作l的垂线，垂足分别为点E，F．若AE=2，CF=6，则AB的长度为．

6、如图2-20，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正确的是

7、问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨

中，得到如下命题： ①如图1，在正三角形ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON=60°，则BM=CN ．

②如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON=90°，则BM=CN ． 然后运用类比的思想提出了如下的命题：

③如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON=108°，则BM=CN ．

探究结论：

（1）请你对命题③进行证明；

（2）请你继续完成下面的探索：如图4，在五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，当∠BON=108°时，请问结论BM=CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理

家长寄语：

年 月 日