特殊四边形性质判定
特殊四边形的性质和判定定理
特殊四边形的性质和判定定理名称 性质判定平行四边形1、对边平行且相等。
2、对角相等。
3、对角线互相平分。
4、是中心对称图形。
5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。
矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。
2、对角线相等。
3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。
4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。
2、两条对角线互相垂直。
并且每一条对角线平分一组对角。
3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。
4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。
）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、边相等到的四边形是菱形。
正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。
2、S= a ²（a 表示两边长。
） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。
2、有一个是直角的菱形是正方形。
3、对角线相垂直的矩形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
等腰梯形1、两腰相等。
2、同一底上的两个角相等。
3、对角线相等。
4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。
2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。
四边形的性质与判定
四边形的性质与判定四边形是平面几何中的一种基本图形，它具有一些独特的性质和特点。
本文将探讨四边形的性质，以及如何进行判定。
一、四边形的定义和基本性质四边形是由四条线段构成的封闭图形，其中相邻的两条线段相交于一点，共享一个端点。
四边形的基本性质如下：1. 四边形的内角和为360度：四边形的内角和是指四个内角的度数之和，总是等于360度。
2. 对角线的性质：四边形的对角线是连接四个非相邻顶点的线段。
对角线有以下性质：a. 两条对角线的交点在四边形的中点上；b. 对角线的长度可以用勾股定理求解；c. 对角线平分四边形的面积；d. 矩形和菱形的对角线互相垂直。
3. 两组对边平行性质：四边形的两组对边可能平行，也可能不平行。
有以下情况：a. 平行四边形：四边形的两组对边都平行；b. 矩形：四边形的两组对边都平行且相等；c. 菱形：四边形的两组对边都平行且相等。
二、四边形的判定方法在几何中，判断一个图形是否是四边形是很重要的。
下面是几种常见的四边形判定方法：1. 边长判定法：如果一个图形有四条边且边长满足某种条件，如满足任意三边之和大于第四边的边长，那么这个图形就是一个四边形。
2. 点的位置关系判定法：如果一个图形的四个顶点的位置关系满足某种几何特征，如相邻两边相等、对角线相等等，那么这个图形就是一个四边形。
3. 角度判定法：如果一个图形的四个内角的度数满足某种几何特征，如和为360度、相对角度相等等，那么这个图形就是一个四边形。
三、实例分析现在我们通过一些实例来具体应用四边形的性质和判定方法。
例1：判断ABCD是否为平行四边形。
已知AB = CD，AD = BC，∠A = 80度。
解：根据已知，我们可以得知ABCD是一个四边形，并且AB = CD，AD = BC。
如果我们能证明ABCD的两组对边都是平行的，那么ABCD就是一个平行四边形。
首先，通过角度性质可知∠A + ∠C = 180度，因为∠A = 80度，所以∠C = 180度 - 80度 = 100度。
特殊四边形的知识点、定义、性质、判定
特殊四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“□”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”． 2．熟练掌握性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：对角相等，邻角互补； （2）边：对边分别平行且相等； （3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．（5）平行四边形不是轴对称图形。
3．平行四边形的判别方法①定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③方法3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑤方法5：一组平行且相等的四边形是平行四边形。
二、几种特殊平行四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．三、几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． ⑤面积S =长×宽；A BD OC AD B CO【注意：矩形具有平行四边形的一切性质】（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． ⑤面积S =底×高=对角线乘积的一半；【注意：菱形具有平行四边形的一切性质】（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相是直角；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．⑤面积S =边长×边长=对角线乘积的一半；【注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质】四、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角的四边形。
四边形及特殊四边形的判定教案
一、教学目标：知识与技能：1. 理解四边形的定义和性质；2. 掌握特殊四边形的判定方法；3. 能够运用四边形及特殊四边形的性质解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生的空间想象能力；2. 运用分类讨论的方法，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学学科的兴趣；2. 培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学内容：1. 四边形的定义和性质；2. 特殊四边形的判定方法；3. 四边形及特殊四边形的应用。
三、教学重点与难点：重点：1. 四边形的定义和性质；2. 特殊四边形的判定方法。
难点：1. 特殊四边形的判定方法的灵活运用；四、教学过程：1. 导入：通过展示四边形的图片，引导学生思考四边形的定义和性质；2. 新课导入：介绍四边形的定义和性质，引导学生通过观察和操作，理解四边形的特征；3. 知识拓展：介绍特殊四边形的判定方法，引导学生通过分类讨论，掌握特殊四边形的判定；4. 课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识；5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考四边形及特殊四边形在实际生活中的应用。
五、课后作业：1. 复习四边形的定义和性质，特殊四边形的判定方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 思考四边形及特殊四边形在实际生活中的应用。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生对四边形及特殊四边形的定义和判定方法的掌握程度；2. 课后作业：检查学生完成的课后练习题，评估学生对所学知识的掌握情况；3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的表现，以及对四边形及特殊四边形的应用能力。
七、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索四边形及特殊四边形的性质和判定方法；2. 利用多媒体辅助教学，展示四边形的图片和动画，帮助学生直观理解四边形的特征；3. 创设有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
四边形的定义和性质和判定
四边形的定义和性质和判定
四边形（Quadrangle）是由四条恰好相互垂直的折线组成的闭合面。
它的性质有：一，四边形的边都是相互垂直的；二，任意一条边
上的两个相邻角的和为180°；三，任意一条边上的两个相邻内角的和等于外角；四，任意一个顶点处两个边形成的内角总和等于360°；五，任意三边形成两个外角的和等于180°。
四边形可以根据具体情况相应分类，比如正方形、矩形、平行四
边形、菱形等。
要判定一个四边形是不是某种特定四边形，通常是要
看它是否满足该形状特定的角度和边长关系。
四边形的分类与判定方法
四边形的分类与判定方法四边形是几何学中一种常见的图形，它由四条边和四个角组成。
在不同的边长和角度的组合下，四边形可以被划分为多个不同的类型。
本文将介绍四边形的分类以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用几何学知识。
一、四边形的分类四边形的分类主要根据其边长和角度来进行划分，常见的四边形类型包括正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形和不规则四边形。
1. 正方形正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且四个角均为直角。
可以通过边长或对角线长相等来判定一个四边形是否为正方形。
2. 矩形矩形也是一种边长相等的四边形，但它的四个角并不一定都为直角。
判定一个四边形是否是矩形的方法是检查它的对角线是否相等。
3. 菱形菱形是一种具有边长相等但角度不一定相等的四边形。
一个四边形若两对相邻边相等，则可以被判定为菱形。
4. 平行四边形平行四边形具有两对相对平行的边，它的对边长度相等。
要判断一个四边形是否为平行四边形，可以检查它的对边是否平行。
5. 梯形梯形是只有一对对边平行的四边形，其余两条边不平行。
通过检查四边形的边是否满足其中两条边平行的条件，即可判定它是否为梯形。
6. 不规则四边形不规则四边形是指不属于上述任何一种特殊类型的四边形。
它的边和角都没有特殊的限制条件，因此可以被视为一般性的四边形。
二、四边形的判定方法判定一个四边形的类型有多种方法，下面将介绍针对常见四边形类型的判定方法。
1. 正方形的判定方法（描述正方形判定方法）2. 矩形的判定方法（描述矩形判定方法）3. 菱形的判定方法（描述菱形判定方法）4. 平行四边形的判定方法（描述平行四边形判定方法）5. 梯形的判定方法（描述梯形判定方法）6. 不规则四边形的判定方法（描述不规则四边形判定方法）三、四边形的应用四边形在几何学中具有广泛的应用。
它们的性质和特点可以用于解决各种几何问题，例如计算面积、判断形状等。
1. 面积计算根据不同类型的四边形，可以通过不同的公式计算其面积。
特殊四边形的性质与判定(整理资料)
1、特殊四边形的性质：
名称图形边角对角线对称性
平行四边形
D对边平行且
相等
对角相等，
邻角互补
互相平分中心对称
矩形
对边平行且
相等
四个角是直
角
互相平分且
相等
中心对称、
轴对称
菱形
D
B
对边平行
四条边相等
对角相等，
邻角互补
互相平分且
垂直，每条
对角线平分
一组对角
中心对称、
轴对称
正方形
B 对边平行
四条边相
等，
邻边垂直
四个角是直
角
互相平分、
相等、垂直，
每条对角线
平分一组对
角
中心对称、
轴对称
等腰梯形
两底平行，
两腰相等
同一个底上
两个角相等
对角线相等轴对称2、特殊四边形的判定：
平行四边形1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相
4、两组对角分别相等
5、两条对角线互相平分
矩形1．有三个角是直角2、有一个角是直角的平行四边形3、两条对角线平分且相等菱形1、四条边相等2、一组邻边相等的平行四边形3、两条对角线平分且垂直正方形1、有组邻边相等的矩形2、有一个角是直角的菱形3、两条对角线平分、相等且垂直等腰梯形1、同一个底上两个角相等的梯形2、对角线相等的梯形
顺次连结对角线相等的四边形（等腰梯形、矩形、正方形）各边中点构成的四边形是菱形。
顺次连结对角线互相垂直的四边形（菱形、正方形）各边中点构成的四边形是矩形。
顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形（正方形）各边中点构成的四边形是正方形。
1。
四边形的性质与判定
四边形的性质与判定四边形是指有四个边和四个角的几何图形。
对于四边形的性质和判定，我们可以从不同角度来探讨，包括四边形的定义、特性、分类、判定方法等。
本文将从简单到复杂，逐步介绍四边形的各种性质与判定方法。
一、四边形的定义与基本概念四边形是平面几何中最基本的多边形之一。
它由四条线段组成，且四个顶点不在同一条直线上。
简单来说，四边形是由四个不重合的线段所组成的封闭图形。
二、四边形的基本特性1. 内角和：四边形的内角和等于360度。
这意味着四边形的四个内角之和总是等于360度。
2. 外角和：四边形的外角和等于360度。
外角是指从某个顶点出发，与该顶点相邻的两条边所形成的角。
3. 对角线：四边形有两条对角线，它们是连接四边形的相对顶点的线段。
对角线的交点被称为四边形的对角线交点。
三、四边形的分类与特殊性质1. 平行四边形：如果四边形的对边分别平行，则它被称为平行四边形。
平行四边形的对边长度相等，对边之间的夹角也相等。
2. 矩形：如果四边形的四个角都是直角，则它被称为矩形。
矩形的对边相互平行且相等。
3. 菱形：如果四边形的四个边长度都相等，则它被称为菱形。
菱形的对角线相互垂直且平分对方。
4. 正方形：正方形是一种特殊的矩形和菱形，它既有矩形的特性（四个直角），又有菱形的特性（四个边长相等）。
5. 梯形：如果四边形的两边平行，则它被称为梯形。
梯形的对角线不一定相等，内角和也不一定为360度。
6. 平行四边形、矩形、菱形和正方形都属于梯形。
四、四边形的判定方法1. 判断四边形是否为平行四边形：- 检查四边形的两组对边是否平行；- 检查四边形的对边长度是否相等；- 检查四边形的对边夹角是否相等。
2. 判断四边形是否为矩形：- 检查四边形的四个角是否都为直角；- 检查四边形的两组对边是否平行。
3. 判断四边形是否为菱形：- 检查四边形的四边是否都相等；- 检查四边形的对角线是否相互垂直。
4. 判断四边形是否为正方形：- 检查四边形的四个角是否都为直角；- 检查四边形的四边是否都相等。
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矩形、菱形、正方形性质及判定
【知识梳理】：
考点一、 1、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：
3、矩形的判定
（1）对边平行且相等。
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）四个角都是直角。
（2）有三个角是直角的四边形是矩形
（3）矩形的对角线相等且互相平分。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
考点二、菱形
1、菱形的概念:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质: 2、菱形的判定：
（1）四条边相等，对边平行（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角相等，邻角互补（2）四边都相等的四边形是菱形
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
每一条对角线平分一组对角。
4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
考点三、正方形： 1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质：（1）四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
3、正方形的判定：（1）先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
（2）先证它是菱形，再证有一个角是直角。
矩形、菱形、正方形既是轴对称又是中心对称图形。
【典例精析】考点一、矩形的性质与判定
1、在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥
BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
2、如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O 运动到何处时，四边形CEAF 是矩形？请证明你的结论．
考点二、菱形的性质与判定
1、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD .
(1)求证：四边形OCED 是菱形；
(2)若∠ACB ＝30°，菱形OCED 的面积为
83，求AC 的长．
2、 将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，
折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.
考点三、正方形的性质与判定
如图①，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，HA ＝EB ＝FC ＝GD ，连接EG ，FH ，交点为O .
(1)如图②，连接EF ，FG ，GH ，HE ，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形ABCD 沿线段EG ，HF 剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为 3 cm ，HA ＝EB ＝FC ＝GD ＝1 cm ，则图③中阴影部分的面积为
__________cm 2.
A B C D E F D
【合作探究】1、将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
2、在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
3、如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC=DF，AB=DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，当AF为何值时，四边形BCEF
是菱形．
E A M B C D N 【达标测评】1.已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm
2
2.如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF
∠=（ ）
A ．110°
B ．115°
C ．120°
D ．130°
3．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE ＝AC ，则∠BCE 的度
数是__________．
4．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上一个动点，点M ，N 分
别是AB ，BC 边上的中点，MP ＋NP 的最小值是__________．
5.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点
F ，连接AE .求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD .
6.如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD ，BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．
7、（河南.2012）如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点．点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN ．
（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；
（2）填空：①当AM 的值为_______时，四边形AMDN 是矩形；
②当AM 的值为________时，四边形AMDN 是菱形．。