第一章 张量分析(书籍附,详尽易懂)49页PPT
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张量分析——初学者必看PPT
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
四、矢量的并乘(并矢)
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3e1 a3b2 e3e2 a3b3e3e3
ab a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
约定
S ai xi a j x j
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
五、张量的双点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk ei e j ek )( Brster es et ) Aijk Brst jr ks ei et Aijk B jkt ei et S
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brst er es et ) Aijk Brst ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
第一章 张量分析初步
eijk eijk 6
证明见例题
eijk与ij间的关系
由排列符号的性质 : ei e j eijk ek
ei e j • ek eijk
由于ei e j • ek表示的是混合积,其物理意义是单位立方体的体积.
另外,由矢量分析知, 平行六面体的体积可以表示成其三个棱的行
i e1, j e2, k e3
X1
X3 P(x1, x2, x3)
O
X2
➢ 再对上述代换结果进行简写P点改写为： P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi)
➢ 基向量：ei, i=1,2,3 ei ➢ 则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值
列式形式.
eeij
(i1, ( j1
i2,i3 , j2,
)
j3
)
ek (k1,k 2 ,k3)
ei,ej,ek为3个单位基向量， i,j,k互不相等。
i1 i2 i3 ei e j • ek j1 j2 j3 eijk
k1 k2 k3
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? 可总结为：aij x j bi
aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
两种方式:
将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；
只有当i=j时ij才不等于“0”，
∴
a j ij ai ii ( ii不求和) ai
张量分解学习PPT课件
.
26
CP分解
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到
下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1ob 1oc2a1ob2oc1a2ob 1oc1
纤维：x i j :
.
6
基本概念及记号
切片（slice）
水平切片：X i : :
侧面切片：X : j :
正面切片：X ::k ( X k )
.
7
基本概念及记号
内积和范数
◦ 设 X,Y¡I1× I2× L× IN
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L x y i1i2LiN i1i2LiN
i11i21 iN1
R
X§A,B,C¨arobrocr r1
X
c1 b 1
c2 b2
L
cR b R
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
.
20
CP分解
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a 1 a2 LaR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X (1) A C e B T X (2) B C e A T X (3) C B e A T
◦ 对于高阶张量，有
X ┈ λ ;A (1 ),A (2 ),L ,A (N ) Rra ( r 1 )o a ( r 2 )o L o a ( r N ) r 1
其展开形式为
X ( n ) A ( n ) d i a g ( λ ) A ( N ) e L e A ( n 1 ) e A ( n 1 ) e L e A ( 1 )T
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1 、g
2
P
其中 g 1 、g 2 不一定是单位矢量。
矢量 P 可表示为：
P P1 g1 P 2 g2
2
P g P g 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量
P P g ：哑指标
x2
( x 1 , x 2 ) Einstein求和约定
r
g2
如何计算 u(vw)？
vw
观察右图，可知 vw正交于
u
v 、w 构成的平面，而 u(vw)
w
正交于 vw，因此，u(vw)
一定在 v 、w 构成的平面
v
u (v w) v w
u(vw)
(u w)v (u v)w (uv) w
数形结合
矢量及其代数运算
➢矢量的乘法 矢量的混合积
uv wuvw群u论的v轮w换次序不变性w
张
gij gi gj gij gi gj
量
可证明：
分 析
g ij g ji
gij g ji
的
称 g i j 为度量张量的协变分量
起
称 g i j 为度量张量的逆变分量
点
gi gij g j gi = g ij g j
协变基矢量在逆变基矢量下分解 逆变基矢量在协变基矢量下分解
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
※ 根据几何图形直接确定
由对偶条件可知， g 1 与 g 2 、g 3 均正交，因此正交于 g 2 与 g 3 所
确定的平面；其模的大小等于
g1 1
g1 cos
g1 g1
2 g2
2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
数学张量分析PPT课件
x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
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右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
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矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
最新张量分析第一章ppt课件
132,321,213
0,当 i , j , k 中有取值相同者.
1
1
3
2
3
2
偶排列
奇排列
21
矢量叉积 a b ( a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 ( a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3 ( a 3 b 1 a 1 b 3 ) e 2 用置换符号可写成
a b c ( ijka jb k ) ( c i)
23
1.2 恒等式 ijk istjs kt jt ks
第一种证明:
11 12 13 1 0 0
1r 1s 1t
I 21 22 23 0 1 0 1 rst I 2r 2s 2t rst
31 32 33 0 0 1
3r 3s 3t
ir is it ijkrst jr js jt
a b abco s
点积满足
abba
a ( b c ) a b a c
11
(5)矢量的叉积
e1 e2 e3 aba1 a2 a3
b1 b2 b3
(a2b3a3b2)e1(a1b2a2b1)e3(a3b1a1b3)e2
注意:
a b b a
axb
O
b
a -axb
12
质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程
描述各种连续介质模型对外部作用的响应;
3
第一章 连续介质力学的数学基础
重点掌握: 1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念
7
第一章 连续介质力学的数学基础
1.1 矢量
1.1.1矢量的概念
在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向 的有向 线段.
0,当 i , j , k 中有取值相同者.
1
1
3
2
3
2
偶排列
奇排列
21
矢量叉积 a b ( a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 ( a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3 ( a 3 b 1 a 1 b 3 ) e 2 用置换符号可写成
a b c ( ijka jb k ) ( c i)
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1.2 恒等式 ijk istjs kt jt ks
第一种证明:
11 12 13 1 0 0
1r 1s 1t
I 21 22 23 0 1 0 1 rst I 2r 2s 2t rst
31 32 33 0 0 1
3r 3s 3t
ir is it ijkrst jr js jt
a b abco s
点积满足
abba
a ( b c ) a b a c
11
(5)矢量的叉积
e1 e2 e3 aba1 a2 a3
b1 b2 b3
(a2b3a3b2)e1(a1b2a2b1)e3(a3b1a1b3)e2
注意:
a b b a
axb
O
b
a -axb
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质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程
描述各种连续介质模型对外部作用的响应;
3
第一章 连续介质力学的数学基础
重点掌握: 1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念
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第一章 连续介质力学的数学基础
1.1 矢量
1.1.1矢量的概念
在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向 的有向 线段.