2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版
2015年江苏省高考数学试卷及解析
2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1、（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为、2、（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为、3、（5分）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为、4、（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为、5、（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为、6、（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为、7、（5分）不等式2＜4的解集为、8、（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为、9、（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为、10、（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为、11、（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为、12、（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为、13、（5分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为、14、（5分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为、二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°、（1）求BC的长；（2）求sin2C的值、16、（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E、求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1、17、（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型、（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t、①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度、18、（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3、（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程、19、（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）、（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值、20、（16分）设a1，a2，a3、a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列、（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由、三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21、（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D、求证：△ABD∽△AEB、【选修4-2：矩阵与变换】22、（10分）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值、【选修4-4：坐标系与参数方程】23、已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径、[选修4-5：不等式选讲】24、解不等式x+|2x+3|≥2、【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25、（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1、（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ 的长、26、（10分）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数、（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1、（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5、题目分析：求出A∪B，再明确元素个数试题解答解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2、（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6、题目分析：直接求解数据的平均数即可、试题解答解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6、故答案为：6、点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查、3、（5分）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为、题目分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可、试题解答解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=、故答案为：、点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力、4、（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7、题目分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7、试题解答解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7、故答案为：7、点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题、5、（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为、题目分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可、试题解答解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：、点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目、6、（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3、题目分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可、试题解答解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3、故答案为：﹣3、点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力、7、（5分）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）、题目分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可、试题解答解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大、8、（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3、题目分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可、试题解答解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3、故答案为：3、点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查、9、（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为、题目分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r、试题解答解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：、设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：、∴，解得：、故答案为：、点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题、10、（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2、题目分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程、试题解答解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2、故答案为：（x﹣1）2+y2=2、点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础、11、（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为、题目分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=、再利用“裂项求和”即可得出、试题解答解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=、当n=1时，上式也成立，∴a n=、∴=2、∴数列{}的前n项的和S n===、∴数列{}的前10项的和为、故答案为：、点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、12、（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为、题目分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离、试题解答解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即、故答案为：、点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础、13、（5分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4、题目分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论、试题解答解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1、g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4、故答案为：4、点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题、14、（5分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为、题目分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出、试题解答解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=、故答案为：9、点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°、（1）求BC的长；（2）求sin2C的值、题目分析：（1）直接利用余弦定理求解即可、（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可、试题解答解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=、（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角、sinC＞0，cosC＞0则cosC===、因此sin2C=2sinCcosC=2×=、点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键、16、（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E、求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1、题目分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）【方法一】先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1、【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直、试题解答证明：（1）如图所示，由据题意得，E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）【方法一】因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1、【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1，以C1为原点建立空间直角座标系，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，如图所示；设BC=CC1=a，AC=b，则A（b，0，a），B1（0，a，0），B（0，a，a），C1（0，0，0）；∴=（﹣b，a，﹣a），=（0，﹣a，﹣a），∴•=﹣b×0+a×（﹣a）﹣a×（﹣a）=0，∴⊥，即AB1⊥BC1、点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题、17、（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型、（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t、①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度、题目分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度、试题解答解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米、点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键、18、（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3、（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程、题目分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程、试题解答解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1、点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题、19、（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）、（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值、题目分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0、设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值、试题解答解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣、a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0、设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1、点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大、20、（16分）设a1，a2，a3、a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列、（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由、题目分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立、试题解答解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列、（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列、点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题、三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21、（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D、求证：△ABD∽△AEB、题目分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似、试题解答证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE 是公共角，可知：△ABD∽△AEB、点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力、【选修4-2：矩阵与变换】22、（10分）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值、题目分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论、试题解答解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1、点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题、【选修4-4：坐标系与参数方程】23、已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径、题目分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径、试题解答解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=、点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24、解不等式x+|2x+3|≥2、题目分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解、试题解答解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≤﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}、解法2：令|2x+3|=0，得x=、①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5、综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}、点评：本题考查了含绝对值不等式的解法、本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号、若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）、可简记为：大于号取两边，小于号取中间、使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集、【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25、（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1、（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ 的长、题目分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A ﹣xyz、（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论、试题解答解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）、（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值、又∵BP==，∴BQ=BP=、点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题、26、（10分）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数、（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明、题目分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论、试题解答解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=、下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；在S k的基础上新增加的②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立综上所述，结论f（n）=n+[]+[]+2，对满足n≥6的自然数n均成立点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键。
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015 年江苏省高考数学试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，共计 70 分）1．（ 5 分）（2015?江苏）已知会集A={1， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则会集A∪B中元素的个数为 5 ．考并集及其运算．点：专会集．题：分求出 A∪B，再明确元素个数析：解解：会集 A={1 ，2， 3} ， B={2， 4，5} ，则 A∪B={1， 2， 3， 4，5} ；答：因此 A∪B中元素的个数为 5；故答案为： 5点题观察了会集的并集的运算，依照定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题评：2．（ 5 分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6．考众数、中位数、平均数．点：专概率与统计．题：分直接求解数据的平均数即可．析：解解：数据4， 6，5， 8， 7，6，答：那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．点本题观察数据的均值的求法，基本知识的观察．评：3．（ 5 分）（2015?江苏）设复数 z 满足 z2=3+4i （ i 是虚数单位），则 z 的模为．考复数求模．点：专数系的扩大和复数．题：分直接利用复数的模的求解法规，化简求解即可．析：解解：复数z 满足 z2 =3+4i ，答：可得 |z||z|=|3+4i|==5，∴|z|= ．故答案为：．点本题观察复数的模的求法，注意复数的模的运算法规的应用，观察计算能力．评：4．（ 5 分）（2015?江苏）依照以下列图的伪代码，可知输出的结果S 为7．考伪代码．点：专图表型；算法和程序框图．题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环获取的析：退出循环，输出S 的值为 7．解解：模拟执行程序，可得答：S=1， I=1I ，S 的值，当 I=10时不满足条件I＜8，满足条件I ＜ 8，S=3， I=4满足条件I ＜ 8，S=5， I=7满足条件I ＜ 8，S=7， I=10不满足条件I ＜ 8，退出循环，输出S 的值为7．故答案为： 7．点本题主要观察了循环构造的程序，正确判断退出循环的条件是解题的要点，属于基础评：题．5．（ 5 分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不相同的概率为．考古典概型及其概率计算公式．点：专概率与统计．题：分依照题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．析：解解：依照题意，记白球为A，红球为 B，黄球为12 C、C ，则答：一次取出 2 只球，基本事件为AB、 AC1、 AC2、 BC1、 BC2、 C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不相同的是AB、 AC1、 AC2、 BC1、 BC2共 5 种；因此所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题观察了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（ 5 分）（2015?江苏）已知向量=（ 2，1）， =（ 1，﹣ 2），若m+n=（9，﹣ 8）（ m，n∈R），则 m﹣ n 的值为﹣3．考平面向量的基本定理及其意义．点：专平面向量及应用．题：分直接利用向量的坐标运算，求解即可．析：解解：向量 =（ 2，1）， =（1，﹣ 2），若 m+n=（ 9，﹣ 8）答：可得，解得m=2，n=5，∴m﹣ n=﹣ 3．故答案为：﹣3．点本题观察向量的坐标运算，向量相等条件的应用，观察计算能力．评：7．（ 5 分）（2015?江苏）不等式2＜ 4 的解集为（﹣ 1，2）．考指、对数不等式的解法．点：专函数的性质及应用；不等式的解法及应用．题：分利用指数函数的单调性转变成x2﹣ x＜ 2，求解即可．析：解解；∵ 2＜ 4，答：2∴x﹣ x＜ 2，即 x2﹣ x﹣ 2＜ 0，解得：﹣ 1＜ x＜2故答案为：（﹣1， 2）点本题观察了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．评：8．（ 5 分）（2015?江苏）已知tan α=﹣ 2， tan （α +β） =，则 tan β的值为3．考两角和与差的正切函数．点：专三角函数的求值．题：分直接利用两角和的正切函数，求解即可．析：解解： tan α=﹣ 2，tan （α +β） =，答：可知 tan （α +β） ==，即 =，解得 tan β =3．故答案为： 3．点本题观察两角和的正切函数，基本知识的观察．评：9．（ 5 分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成整体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考棱柱、棱锥、棱台的体积．点：专计算题；空间地址关系与距离．题：分由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，析：由前后体积相等列式求得 r ．解解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．答：设新圆锥和圆柱的底面半径为r ，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点本题观察了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．评：10．（ 5 分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（ 1， 0）为圆心且与直线mx﹣ y﹣2m﹣ 1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为22．（ x﹣ 1） +y =2考圆的标准方程；圆的切线方程．点：专计算题；直线与圆．题：分求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．析：解解：圆心到直线的距离d==≤，答：∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（22x﹣ 1） +y =2．故答案为：（ x﹣1）2 +y2=2．点本题观察所圆的标准方程，观察点到直线的距离公式，观察学生的计算能力，比较基评：础．11．（ 5 分）（2015?江苏）设数列{a n} 满足a1=1，且a n+1﹣ a n =n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考数列的求和；数列递推式．点：专等差数列与等比数列．题：分数列 {a n} 满足a1=1，且a n+1﹣ a n=n+1（ n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂析：解答：项求和”即可得出．解：∵数列 {a n} 满足 a1 =1，且 a n+1﹣ a n=n+1（n∈N*），∴当 n≥2时， a n=（ a n﹣ a n﹣1）+ +（ a2﹣ a1） +a1=+n++2+1=．当 n=1 时，上式也建立，∴a n=．∴=2．∴数列 {} 的前 n 项的和 S n===．∴数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．点本题观察了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，评：观察了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线 x2﹣ y2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒建立，则实数 c 的最大值为．考双曲线的简单性质．点：专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 x± y=0，c 的最大值为直线x﹣ y+1=0 与直线 x﹣ y=0析：的距离．解解：由题意，双曲线 x2﹣ y2=1 的渐近线方程为 x±y=0，答：因为点 P 到直线 x﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒建立，因此 c 的最大值为直线 x﹣y+1=0 与直线 x﹣ y=0 的距离，即．故答案为：．点本题观察双曲线的性质，观察学生的计算能力，比较基础．评：13．（ 5 分）（2015?江苏）已知函数 f （ x） =|lnx| ，g（ x）=，则方程 |f（ x） +g（ x）|=1实根的个数为4．考根的存在性及根的个数判断．点：专综合题；函数的性质及应用．题：分：由 |f（ x） +g（ x） |=1 可得 g（ x）=﹣ f （ x）± 1，分别作出函数的图象，即可得出析：结论．解解：由 |f（ x） +g（ x） |=1 可得 g（ x） =﹣ f （x）± 1．答：g（ x）与 h（ x）=﹣ f （ x）+1 的图象以下列图，图象有两个交点；g（ x）与φ（ x）=﹣ f （ x）﹣ 1 的图象以下列图，图象有两个交点；因此方程 |f （ x）+g（ x）|=1 实根的个数为4．故答案为： 4．点本题观察求方程 |f （ x） +g（ x） |=1 实根的个数，观察数形结合的数学思想，观察学评：生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（ 5 分）（2015?江苏）设向量=（ cos ，sin+cos ）（ k=0，1， 2，， 12），则（ a k?a k+1）的值为．考数列的求和．点：专等差数列与等比数列；平面向量及应用．题：分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性析：即可得出．解解： =+答：=++++=++=++，∴（ a k?a k+1）=+++++++ +++++++ +=+0+0=．故答案为： 9．点本题观察了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的评：周期性，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（ 14 分）（2015?江苏）在△ ABC 中，已知A B=2， AC=3，A=60°．（1）求 BC的长；（2）求 sin2C 的值．考余弦定理的应用；二倍角的正弦．点：专解三角形．题：分（ 1）直接利用余弦定理求解即可．析：（ 2）利用正弦定理求出 C的正弦函数值，尔后利用二倍角公式求解即可．解222﹣2AB?ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，解：（ 1）由余弦定理可得： BC=AB+AC答：因此 BC=．（2）由正弦定理可得：，则 sinC=== ，∵AB＜ BC，∴C 为锐角，则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2×=．点本题观察余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解评：题的要点．ABC﹣ A1B1C1中，已知AC⊥BC， BC=CC1，设AB1 16．（ 14 分）（2015?江苏）如图，在直三棱柱的中点为D， B1 C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2） BC1⊥AB1．考直线与平面平行的判断；直线与平面垂直的性质．点：专证明题；空间地址关系与距离．题：分（ 1）依照中位线定理得DE∥AC，即证 DE∥平面 AA1C1C；析：（ 2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面 ABC，即证 AC⊥CC1；再证明 AC⊥平面 BCC1B1，即证 BC1⊥AC；最后证明 BC1⊥平面 B1AC，即可证出 BC1⊥AB1．解证明：（1）依照题意，得；答： E 为 B1C 的中点， D 为 AB1的中点，因此DE∥AC；又因为 DE?平面 AA1C1C， AC? 平面 AA1C1C，因此 DE∥平面 AAC C；11（ 2）因为棱柱ABC﹣ A1B1C1是直三棱柱，因此 CC1⊥平面 ABC，因为 AC? 平面 ABC，因此 AC⊥CC1；又因为 AC⊥BC，CC1? 平面 BCC1B1，BC? 平面 BCC1B1，BC∩CC1=C，因此 AC⊥平面 BCC1B1；又因为 BC ? 平面平面BCCB ，111因此 BC1⊥AC；因为 BC=CC1，因此矩形BCC1B1是正方形，因此 BC1⊥平面 B1AC；又因为 AB1 ? 平面 B1AC，因此 BC1⊥AB1．点本题观察了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的地址关系，也观察了空间想象评：能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（ 14 分）（2015?江苏）某山区外面有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改进山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区界线的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1， l 2，山区界线曲线为 C，计划修建的公路为 l ，以下列图， M， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1， l 2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N到 l 1， l 2的距离分别为 20 千米和千米，以 l 2，l 1在的直线分别为 x， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 吻合函数 y=（其中 a， b 为常数）模型．（1）求a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t ．①请写出公路 l 长度的函数分析式 f （ t ），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短求出最短长度．考函数与方程的综合运用．点：专综合题；导数的综合应用．题：分（ 1）由题意知，点 M， N的坐标分别为（ 5， 40），（ 20，），将其分别代入y=，建立方析：程组，即可求 a，b 的值；（ 2）①求出切线 l 的方程，可得A， B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数分析式 f （ t ），并写出其定义域；②设 g（ t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l的长度最短，并求出最短长度．解解：（ 1）由题意知，点 M，N 的坐标分别为（ 5， 40），（20，），答：将其分别代入 y=，得，解得，（2）①由（ 1）y= （5≤x≤20）， P（ t ，），∴y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣ =﹣（ x﹣ t ）设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A， B 点，则 A（， 0）， B（ 0，），∴f （ t ） ==，t ∈[5 ， 20] ；②设 g（ t ） =，则 g′（ t ） =2t ﹣ =0，解得 t=10 ，t ∈（ 5， 10）时， g′（ t ）＜ 0，g（ t ）是减函数； t ∈（ 10， 20）时， g′（ t ）＞ 0，g（ t ）是增函数，进而 t=10 时，函数g（ t ）有极小值也是最小值，∴g（ t ）min=300，∴f （ t ）min=15，答： t=10 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 千米．点本题观察利用数学知识解决实责问题，观察导数知识的综合运用，确定函数关系，正评：确求导是要点．18．（ 16 分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 +=1（ a＞b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于A， B 两点，线段AB的垂直均分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线AB的方程．考直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．点：专直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：解答：（ 1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c 的方程，解得a，c，再由 a，b，c系，可得b，进而获取椭圆方程；（ 2）谈论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可获取所求直线的方程．解：（ 1）由题意可得，e==，且 c+=3，解得 c=1， a=，2则 b=1，即有椭圆方程为+y =1；的关当 AB与 x 轴不垂直，设直线 AB： y=k（ x﹣ 1）， A（ x1， y1）， B（x2，y2），将 AB方程代入椭圆方程可得（ 1+2k2） x2﹣ 4k2x+2（k2﹣ 1） =0，则 x1+x2=， x1x2 =，则 C（，），且 |AB|=?= ，若 k=0，则 AB 的垂直均分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k≠0，故 PC：y+=﹣（ x﹣）， P（﹣ 2，），进而 |PC|= ，由 |PC|=2|AB| ，可得 =，解得 k=±1，此时 AB的方程为 y=x ﹣ 1 或 y=﹣ x+1．点本题观察椭圆的方程和性质，主要观察椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，评：运用韦达定理和弦长公式，同时观察两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）（2015?江苏）已知函数 f （x） =x3+ax2+b（ a，b∈R）．（1）试谈论 f （ x）的单调性；（2）若 b=c﹣ a（实数 c 是与 a 没关的常数），当函数 f （x）有三个不相同的零点时， a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），求 c 的值．考利用导数研究函数的单调性；函数零点的判判定理．点：专综合题；导数的综合应用．题：分（ 1）求导数，分类谈论，利用导数的正负，即可得出 f （ x）的单调性；析：（ 2）由（ 1）知，函数 f （x）的两个极值为 f （ 0） =b， f （﹣） =+b，则函数 f （ x）有三个不相同的零点等价于 f （ 0）f （﹣） =b（ +b）＜ 0，进一步转变成 a＞ 0 时，﹣ a+c ＞ 0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（a） =﹣ a+c，利用条件即可求 c 的值．解解：（ 1）∵ f （ x） =x3+ax2+b，答：2∴f ′（ x） =3x +2ax ，令 f ′（ x） =0，可得 x=0 或﹣．a=0 时， f ′（ x）＞ 0，∴ f （ x）在（﹣∞， +∞）上单调递加；a＞ 0 时， x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时， f ′（ x）＞ 0，x∈（﹣， 0）时， f ′（ x）＜0，∴函数 f （ x）在（﹣∞，﹣），（ 0，+∞）上单调递加，在（﹣，0）上单调递减；a＜ 0 时， x∈（﹣∞， 0）∪（﹣， +∞）时， f ′（ x）＞ 0，x∈（ 0，﹣）时， f ′（ x）＜0，∴函数 f （ x）在（﹣∞， 0），（﹣， +∞）上单调递加，在（0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f （x）的两个极值为 f （ 0） =b， f （﹣） =+b，则函数f （ x）有三个不相同的零点等价于 f （ 0） f （﹣） =b（+b）＜ 0，∵b=c﹣ a，∴a＞ 0 时，﹣ a+c＞ 0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（ a） =﹣ a+c，∵函数 f （ x）有三个不相同的零点时， a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（ 1，）∪（， +∞），∴在（﹣∞，﹣3）上， g（ a）＜ 0 且在（ 1，）∪（， +∞）上g（ a）＞ 0 均恒建立，∴g（﹣ 3） =c﹣1≤0，且 g（） =c﹣1≥0，∴c=1，322此时 f （ x） =x +ax +1﹣ a=（ x+1） [x +（ a﹣ 1） x+1﹣ a] ，2∴x+（ a﹣ 1） x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴△ =（ a﹣ 1）2﹣ 4（1﹣ a）＞ 0，且（﹣ 1）2﹣（ a﹣ 1） +1﹣a≠0，解得 a∈（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），综上 c=1．点本题观察导数知识的综合运用，观察函数的单调性，观察函数的零点，观察分类谈论评：的数学思想，难度大．20．（ 16 分）（2015?江苏）设 a1， a2， a3． a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明： 2， 2， 2， 2 依次构成等比数列；234（2）可否存在 a1， d，使得 a1，a2， a3， a4依次构成等比数列并说明原由；（3）可否存在 a1， d 及正整数 n， k，使得 a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列并说明原由．考等比关系的确定；等比数列的性质．点：专等差数列与等比数列．题：分（ 1）依照等比数列和等差数列的定义即可证明；析：（ 2）利用反证法，假设存在a1， d 使得 a1， a22， a33， a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，获取结论；（ 3）利用反证法，假设存在n n+k n+2k n+3ka1， d 及正整数 n， k，使得 a1，a2， a3， a4依次n n+2k2（ n+k）n+k n+3k 构成等比数列，获取 a1（ a1+2d）=（ a1+2d），且（a1+d）（ a1+3d） =（ a1+2d）2 （n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理获取ln （ 1+3t ） ln （1+2t） +3ln （ 1+2t ）ln （1+t ） =4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不行立．解解：（ 1）证明：∵ ==2 d，（ n=1， 2， 3，）是同一个常数，答：∴2， 2， 2， 2 依次构成等比数列；（2）令 a1 +d=a，则 a1， a2， a3， a4分别为 a﹣d， a， a+d， a+2d（a＞ d， a＞﹣ 2d，d≠0）假设存在 a1， d 使得 a1， a22，a33， a44 依次构成等比数列，43624则 a =（ a﹣d）（ a+d），且（ a+d） =a （ a+2d），令 t= ，则 1=（ 1﹣ t ）（ 1+t ）3，且（ 1+t ）6 =（1+2t ）4，（﹣＜ t ＜ 1，t≠0），化简得 t 3+2t 2﹣ 2=0（ * ），且 t 2=t+1 ，将 t 2=t+1 代入（ * ）式，2t （ t+1 ） +2（ t+1 ）﹣ 2=t +3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然 t= ﹣不是上面方程的解，矛盾，因此假设不行立，因此不存在a1， d，使得 a1， a2 2， a33， a44依次构成等比数列．（3）假设存在 a1， d 及正整数 n， k，使得 a1n， a2n+k， a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则 a1n（a1+2d）n+2k=（ a1+2d）2（n+k），且（ a1+d）n+k（ a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以 =a12（n+k）， a12（n+2k），并令 t= ，（ t ＞， t ≠0），n+2k 2（ n+k） n+k n+3k 2（ n+2k）则（ 1+2t ） =（ 1+t ），且（ 1+t ）（ 1+3t ） =（ 1+2t ），将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （ 1+2t ） =2（ n+k） ln （ 1+t ），且（ n+k） ln （ 1+t ） +（ n+3k） ln （1+3t ） =2（ n+2k）ln （ 1+2t ），化简得， 2k[ln （1+2t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ） ] ，且 3k[ln （ 1+3t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[3ln （ 1+t ）﹣ ln（1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ） ln （1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （ 1+t ） =4ln （1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ）令 g（ t ）=4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+3t ）ln （ 1+2t ）+3ln （1+2t ）ln （ 1+t ），则g′（ t ）=[ （ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2ln （ 1+2t ）+3（1+t ）2 ln （ 1+t ）] ，令φ（ t ） =（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2ln （ 1+2t ） +3（ 1+t ）2ln （ 1+t ），则φ′（ t ） =6[ （ 1+3t ）ln （1+3t ）﹣ 2（ 1+2t ） ln （ 1+2t ） +3（1+t ）ln （1+t ）] ，令φ 1（t）=φ′（t），则φ 1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（ t ）=φ1′（ t ），则φ2′（ t ） =＞0，由 g（ 0）=φ（ 0）=φ1（ 0）=φ2（ 0） =0，φ2′（ t ）＞ 0，知 g（ t ），φ（ t ），φ1（ t ），φ2（ t ）在（﹣， 0）和（ 0，+∞）上均单调，故 g（ t ）只有唯一的零点t=0 ，即方程（ ** ）只有唯一解t=0 ，故假设不行立，n n+k n+2k n+3k因此不存在a1， d 及正整数n，k，使得 a1， a2，a3，a4依次构成等比数列．点本题主要观察等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，观察代数评：推理、转变与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 4-1 ：几何证明选讲】21．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在△ ABC 中， AB=AC，△ ABC的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC于点 D．求证：△ ABD∽△ AEB．考相似三角形的判断．点：专推理和证明．题：分直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．析：解答：点证明：∵ AB=AC，∴∠ ABD=∠C，又∵∠ C=∠E，∴∠ ABD=∠E，又∠ BAE可知：△ ABD∽△ AEB．本题观察圆的基本性质与相似三角形等基础知识，观察逻辑推理能力．是公共角，评：【选修 4-2 ：矩阵与变换】22．（ 10 分）（2015?江苏）已知 x ，y ∈R ，向量 =是矩阵的属于特色值﹣ 2 的一个特色向量，求矩阵 A 以及它的另一个特色值．考 特色值与特色向量的计算．点：专 矩阵和变换．题：分 利用 A=﹣ 2，可得 A=，经过令矩阵 A 的特色多项式为 0 即得结论．析：解解：由已知，可得A=﹣ 2，即 ==，答： 则，即，∴矩阵 A=，进而矩阵 A 的特色多项式 f （λ） =（λ +2）（λ﹣ 1），∴矩阵 A 的另一个特色值为1．点 本题观察求矩阵及其特色值，注意解题方法的积累，属于中档题．评：【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】23．（2015?江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 ρ 2+2ρsi n （θ﹣）﹣ 4=0，求圆 C 的半径． 考 简单曲线的极坐标方程．点：专 计算题；坐标系和参数方程．题：分 先依照 x=ρ cos θ， y=ρ sin θ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．析：解解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin （θ﹣）﹣ 4=0，可得 ρ2﹣ 2ρcos θ +2ρ sin θ﹣答： 4=0，化为直角坐标方程为x 2+y 2﹣ 2x+2y ﹣ 4=0，化为标准方程为（22x ﹣ 1） +（ y+1） =6，圆的半径 r= ．点本题主要观察把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关评： 键是利用公式 x=ρ cos θ， y=ρ sin θ，比较基础，[ 选修 4-5 ：不等式选讲】24．（2015?江苏）解不等式 x+|2x+3| ≥2．考 绝对值不等式的解法． 点： 专 不等式．题：分思路 1（公式法）：利用|f （ x ）| ≥g （ x ）? f （x ）≥ g （ x ），或 f （ x ）≤﹣ g （ x ）；析：思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“ x≥”“ x＜”进行谈论求解．解解法 1：x+|2x+3| ≥2变形为 |2x+3| ≥2﹣ x，答：得 2x+3≥2﹣ x，或 2x+3≥﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为 {x|x ≥，或 x≤﹣ 5} ．解法 2：令 |2x+3|=0 ，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+（ 2x+3）≥ 2，即 x≥，因此 x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3）≥ 2，即 x≤﹣ 5，因此 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为 {x|x ≥，或 x≤﹣ 5} ．点本题观察了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常有的方法，无论用哪评：种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： |f （x）| ≥g（ x） ? f （x）≥ g（ x），或 f （ x）≤﹣ g（ x）； |f （ x）| ≤g（ x）? ﹣ g（ x）≤ f （ x）≤ g（ x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ ABC=∠BAD=，PA=AD=2， AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；（2）点 Q是线段 BP上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．点：专空间地址关系与距离；空间角．题：分以 A 为坐标原点，以AB、AD、 AP所在直线分别为x、y、 z 轴建系 A﹣ xyz ．析：（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；2（2）利用换元法可得 cos ＜，＞≤，结合函数 y=cosx 在（ 0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以 A 为坐标原点，以AB、 AD、AP所在直线分别为x、 y、 z 轴建系 A﹣ xyz 如图，由题可知B（ 1，0， 0）， C（ 1， 1，0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）．（ 1）∵ AD⊥平面 PAB，∴ =（ 0， 2， 0），是平面PAB的一个法向量，∵=（ 1， 1，﹣ 2）， =（ 0， 2，﹣ 2），设平面 PCD的法向量为 =（x， y， z），由，得，取 y=1，得 =（ 1，1， 1），∴cos＜，＞ ==，∴平面 PAB与平面 PCD所成两面角的余弦值为；（ 2）∵ =（﹣ 1，0， 2），设 =λ =（﹣λ， 0， 2λ）（0≤λ≤1），又 =（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣λ，﹣ 1， 2λ），又 =（ 0，﹣ 2， 2），进而 cos ＜，＞ ==，设 1+2λ =t ，t ∈[1 ， 3] ，则 cos 2＜，＞ ==≤，当且仅当 t= ，即λ =时， |cos ＜，＞ | 的最大值为，DP所成角获取最小值．因为 y=cosx 在（ 0，）上是减函数，此时直线 CQ与又∵ BP==，∴ BQ=BP=．点本题观察求二面角的三角函数值，观察用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的评：积累，属于中档题．*26．（ 10 分）（2015?江苏）已知会集 X={1 ，2，3} ，Y n={1 ，2，3，，n）（n∈N），设S n={（ a，b） |a 整除 b 或整除 a，a∈X，B∈Y n} ，令 f （n）表示会集 S n所含元素的个数．（1）写出 f （ 6）的值；（2）当 n≥6时，写出 f （ n）的表达式，并用数学归纳法证明．考数学归纳法．点：专综合题；点列、递归数列与数学归纳法．题：分（ 1） f （ 6） =6+2++=13；析：（ 2）依照数学归纳法的证明步骤，分类谈论，即可证明结论．解解：（ 1） f （ 6）=6+2++=13；答：（ 2）当 n≥6时， f （ n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6 时， f （ 6）=6+2++=13，结论建立；②假设 n=k（k≥6）时，结论建立，那么 n=k+1 时， S k+1在 S k的基础上新增加的元素在（ 1，k+1），（2， k+1），（ 3， k+1）中产生，分以下状况谈论：1）若 k+1=6t ，则 k=6（ t ﹣ 1）+5，此时有 f （ k+1）=f （k）+3=（ k+1）+2++，结论建立；2）若 k+1=6t+1 ，则 k=6t+1 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +1=k+2+++1=（ k+1） +2++，结论建立；3）若 k+1=6t+2 ，则 k=6t+1 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；4）若 k+1=6t+3 ，则 k=6t+2 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；5）若 k+1=6t+4 ，则 k=6t+3 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；6）若 k+1=6t+5 ，则 k=6t+4 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均建立．点本题观察数学归纳法，观察学生分析解决问题的能力，正确归纳是要点．评：。
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则答：一次取出2只球，基本事件为AB、AC、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，1其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．评：6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．平面向量的基本定理及其意义．考点：专平面向量及应用．题：直接利用向量的坐标运算，求解即可．分析：解解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）答：可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．点评：7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考指、对数不等式的解法．点：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．专题：分利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．析：解解；∵2＜4，答：∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度评：不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4．故答案为：4． 点评： 本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为 ．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解解：答：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+ ++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C 的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f （x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．数学归纳法．考点：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．专题：分（1）f（6）=6+2++=13；析：（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解解：（1）f（6）=6+2++=13；答：（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）重庆万州区教育事业单位考试资料 页脚内容21 +2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立． 综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均成立． 点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
2015年江苏高考数学试题及答案
（第4题图）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高．圆锥的体积公式：V 圆柱＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为 ▲ ． 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ． 3．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5．袋中有形状､大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球， 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．6．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值 为 ▲ ．7．不等式2x 2－x＜4的解集为 ▲ ．8．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 ▲ ．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2､高为8的圆柱各一个．若将 它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新 的底面半径为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．11．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n}的前10项和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ▲ ．13．已知函数f (x )＝|l n x |，g (x )＝⎩⎨⎧ 0 ，0＜x ≤1，|x 2－4|－2， x ＞1．，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为 ▲ ．14．设向量a k ＝(cos k π6，sin k π6＋cos k π6)(k ＝0，1，2，… ，12)，则∑11k ＝0(a k ·a k ＋1)的值为 ▲ ．（第16题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°． （1）求BC 的长； ` （2）求sin2C 的值．16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1．设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E ． 求证：（1）DE //平面AA 1C 1C ； （2）BC 1⊥AB 1．17．(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连 接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ， 计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 千米和40千米，点N 到l 1，l 2，的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2，所在的直线分别为 x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型．（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度．MNl 2l 1xy O C Pl（第17题图）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平 分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ， 求直线AB 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．（1）试讨论f (x )的单调性；（2）若b ＝c －a (实数c 是与a 无关常数)，当函数f (x )有三个不同零点时，a 的取值 范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，求c 的值．20．(本小题满分16分)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列． （1）证明:2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次成等比数列；（2）是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n ＋k ，a 3n＋2k，a 4n＋3k依次成等比数列?并说明理由．（第18题图）A（第21—A 图）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A ､B ､C ､D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ．求证：△ABD ∽△AE B ．B ．[选修4－2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎡⎦⎤ 1 －1是矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤x 1y 0的属性特征值－2的一个特征向量，矩 阵A 以及它的另一个特征值．PA BCDQ (第22题）C ．[选修4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半径．D ．[选修4－5:不等式选讲] (本小题满分10分)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2．P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1．（1）求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．23．已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，···，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b ，或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素个数． （1）写出f (6)的值；（2）当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．。
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．23．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015?江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015?江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015?江苏）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N），则数列{*}的前10项的和为．2212．（5分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x﹣y=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015?江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=|f（x）+g（x）|=1实根的个数为14．（5分）（2015?江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），，则方程则（ak?ak+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．1。
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．(5分）(2015•江苏）已知集合A=｛1,2,3},B={2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A=｛1,2，3｝，B=｛2，4，5}，则A∪B={1,2，3，4,5｝；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算,根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分)（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题: 概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答:解:数据4,6，5，8,7，6,那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评:本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．(5分）（2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位)，则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解:复数z满足z2=3+4i，可得｜z||z｜=|3+4i｜==5，∴|z｜=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．(5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题: 图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答:解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8,S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8,S=7，I=10不满足条件I＜8,退出循环，输出S的值为7．故答案为:7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．(5分）（2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答:解:根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．(5分）（2015•江苏)已知向量=（2，1),=（1，﹣2），若m+n=(9，﹣8）（m，n∈R)，则m ﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算,求解即可．解答：解:向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8)可得,解得m=2,n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为(﹣1，2）．考点: 指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1,2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．(5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=,则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题: 三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=,解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分)(2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得:．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．(5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤,∴m=1时,圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1)2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力,比较基础．11．（5分）(2015•江苏)设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析:数列{a n｝满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N＊），利用“累加求和"可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解:∵数列｛a n｝满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为:．点评:本题考查了数列的“累加求和"方法、“裂项求和"方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）(2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题: 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为:．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．(5分）(2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|,g(x）=，则方程｜f(x）+g(x)｜=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题: 综合题;函数的性质及应用．分析:：由｜f(x）+g（x）｜=1可得g（x)=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解:由|f（x)+g（x）｜=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x)=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g(x ）与φ（x)=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程｜f （x ）+g(x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程｜f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）(2015•江苏）设向量=(cos，sin+cos）（k=0,1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．考点:数列的求和． 专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解答解:=+:=++++=++ =++，∴（a k •a k+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点: 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题: 解三角形． 分析：(1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答:解：（1)由余弦定理可得:BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===,∵AB ＜BC ，∴C 为锐角, 则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．(14分）（2015•江苏)如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：(1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点: 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题: 证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C;（2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意,得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）(2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l,如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1,l2的距离分别为20千米和2。
2015年高考江苏省数学卷(含答案)
2015年高考江苏省数学卷（含答案）数学一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。
2015江苏高考数学卷及答案
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
在 中，已知
(1)求BC的长；
(2)求 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱 中，已知 .设 的中点为D，
求证：(1)DE//平面 ；
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.
1．已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为▲．
2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为▲．
3．设复数z满足 （i是虚数单位），则z的模为▲．
10．在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有
圆中，半径最大的圆的标准方程为▲．
11．数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10项和为▲．
12．平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直线 的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为▲．
13．已知函数 ， ，则方程 实根的个数为▲．
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为▲．
6．Байду номын сангаас知向量 ， ，若 ，则 的值为▲．
7．不等式 的解集为▲．
8．已知 ， ，则 的值为▲．
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为▲．
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2015年江苏省高考数学试卷
一、填空题
1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______.
2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.
4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.
5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r 1，，
若()()98ma nb mn R +=-∈r r
，，则m-n 的值为______. 7.不等式22
4x x
-<的解集为________.
8.已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=
，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1
{n
a 的前10项和为 。
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12
2
=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线
01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩
⎨⎧>--≤<=1,2|4|1
0,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个
数为 。
14.设向量)12,,2,1,0)(6
cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k π
ππ，则
∑=+⋅12
1)(k k k
a a
的值
为 。
15.在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o
(1)求BC 的长； （2）求sin2C 的值。
16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，11.B C BC E ⋂= 求证：（1）11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥
17.（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连
接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，
，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，
的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，
的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2
a
y x b
=+（其中a ，b 为常数）模型.
（I ）求a ，b 的值；
（II ）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.
①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.
18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()
22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为
2
，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.
19.已知函数),()(2
3R b a b ax x x f ∈++=。
（1）试讨论)(x f 的单调性；
（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2
3()23
,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值。
20.设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a
依次成等比数列
（2）是否存在1,a d ，使得234
1234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由
（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得35123
4,,,n n k n k
n k a a a a +++依次成等比数列，说明理由
附加题
21、（选择题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A 、[选修4-1：几何证明选讲
]（本小题满分10分）
如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D
求证：ABD ∆≈AEB ∆
B 、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知R y x ∈,，向量⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦
⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值。
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知圆C 的极坐标方程为222sin()404
π
ρρθ+--=，求圆C 的半径.
D ．[选修4-5：不等式选讲] 解不等式|23|3x x ++≥
22.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，
2
ABC BAD π
∠=∠=
,2,1PA AD AB BC ====
(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长
23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈g
g g ，设{(,)|,,}n n S a b a a a X b Y =∈∈整除b 或除，令()f n 表示集合n S 所含元素个数.
（1）写出(6)f 的值；
（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明。