“乘法公式——平方差公式”教案设计数学优秀教学设计案例实录能手公开课示范课

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2024年平方差公式优秀教案

平方差公式优秀教案一、教学目标1.知识与技能目标：使学生理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的推导过程，并能熟练运用平方差公式进行计算。

2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生运用平方差公式解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生主动探索、积极参与的精神，增强学生的团队合作意识。

二、教学内容1.平方差公式的定义：平方差公式是指两个数的平方差可以表示为两个数的和与差的乘积。

2.平方差公式的推导：通过具体的例子，引导学生观察、分析，发现平方差公式，并运用多项式乘法进行验证。

3.平方差公式的应用：解决实际问题，如计算平方差、因式分解等，培养学生运用平方差公式解决问题的能力。

三、教学重点与难点1.教学重点：平方差公式的推导和应用。

2.教学难点：平方差公式的理解和灵活运用。

四、教学过程1.导入新课：通过实际生活中的例子，如计算土地面积、求解速度问题等，引出平方差的概念。

2.自主探究：让学生观察具体的平方差例子，如\(a^2b^2\)，引导学生发现平方差公式。

3.合作交流：分组讨论，让学生互相分享自己的发现，共同推导平方差公式。

4.课堂讲解：对学生的发现进行总结，给出平方差公式的定义，并进行推导。

5.案例分析：通过具体的例题，讲解平方差公式的应用，如计算平方差、因式分解等。

6.练习巩固：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固平方差公式的运用。

7.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调平方差公式的推导和应用。

8.课后作业：布置课后作业，让学生运用平方差公式解决实际问题。

五、教学评价1.过程评价：观察学生在课堂上的参与程度、合作交流的表现，评价学生在自主探究、合作交流中的表现。

2.练习评价：检查学生在练习中的完成情况，评价学生对平方差公式的理解和运用能力。

3.课后作业评价：批改课后作业，评价学生对平方差公式的掌握程度，以及运用平方差公式解决问题的能力。

2023最新-《平方差公式》教学设计优秀10篇

《平方差公式》教学设计优秀10篇《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。

以下是人见人爱的小编分享的10篇《平方差公式》教学设计，在大家参考的同时，也可以分享一下牛牛范文给您的好友哦。

初中数学平方差公式教案篇一一、学习目标：1、使学生了解运用公式法分解因式的意义；2、使学生掌握用平方差公式分解因式二、重点难点重点：掌握运用平方差公式分解因式。

难点：将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；学习方法：归纳、概括、总结三、合作学习创设问题情境，引入新课在前两学时中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式。

如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本学时我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法。

1、请看乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 (1)左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2-b2=(a+b)(a-b) (2)左边是一个多项式，右边是整式的乘积。

大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？利用平方差公式进行的因式分解，第(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式。

a2-b2=(a+b)(a-b)2、公式讲解如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4)。

9 m 2-4n2=（3 m ）2-(2n)2=(3 m +2n)(3 m -2n)四、精讲精练例1、把下列各式分解因式：(1)25-16x2; (2)9a2- b2.例2、把下列各式分解因式:(1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)2x3-8x.补充例题：判断下列分解因式是否正确。

人教初中数学八上《乘法公式》平方差公式》教案 (公开课获奖)

平方差公式工程设计内容备注课时第 1 课时课型新课教具多媒体教学目标知识与能力运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 过程与方法会用提公因式法与平方差公式法分解因式．态度与情感培养学生的观察、联想能力。

重点运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点.难点培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法, 并能说出提公因式法在这类因式分解中的作用.教学手段方法类比法教学过程教师活动学生活动说明或设计意图一、复习引入1、对于等式x2+x = x (x+1)：1) 如果从左到右看，是一种什么变形？2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？3) 如果从右到左看，是一种什么变形？因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.这种因式分解的方法叫提取公因式法.整式乘法因式分解和整式乘法是两种互为相反的变形.稳固旧知二、导入新课(a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2 =(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。

a2-b2 =(a+b)(a-b) 这就是用平方差公式进行因式分解整式乘法因式分解探索新知三、尝试练习1、因式分解〔口答〕：①x2-4=________②9-t2=_________2、以下多项式能用平方差公式因式分解吗？〔1〕x2+y2 〔2〕x2-y2〔3〕-x2+y2〔4〕-x2-y2(x+2)(x-2)(3+t)(3-t)〔1〕不能〔2〕能〔3〕能〔4〕不能四、例题讲解例3. 分解因式:(1) 4x2– 9 ;(2) (x+p)2– (x+q)2.分析:〔1〕4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2–3 2,〔2〕a2-b2 =(a+b)(a-b)把(x+p)和(x+q)看成一个整体，分别相当于公式中的a和b。

解〔1〕4x2 – 9 = (2x)2– 3 2= (2x+3)(2x-3)解：〔2〕(x+p)2– (x+q)2= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]例4 . 分解因式:(1)x4-y4;(2) a3b–ab.分析：(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了。

平方差公式教学优质课实录

平方差公式教学优质课实录在数学的海洋中，平方差公式就像一颗璀璨的明珠，它不仅是代数运算中的重要工具，更是培养学生数学思维和解题能力的关键。

今天，让我们一同走进一堂精彩的平方差公式教学优质课，感受知识的魅力和教学的艺术。

上课铃声响起，教师微笑着走进教室，目光中充满了期待和鼓励。

“同学们，在我们之前的学习中，已经接触过了多项式的乘法运算。

今天，我们要一起探索一个非常有趣且实用的公式——平方差公式。

”教师简洁明了的开场白，瞬间吸引了学生们的注意力。

教师在黑板上写下两个式子：（a ＋ b)（a b) 和 a² b²，问道：“同学们，大家思考一下，这两个式子之间有什么关系呢？”教室里顿时安静下来，学生们都陷入了沉思。

不一会儿，就有学生举手发言：“老师，我觉得它们好像相等。

”教师点头表示赞许，接着说：“那让我们一起来验证一下这位同学的猜想。

”教师开始引导学生进行多项式的乘法运算：“（a ＋ b)（a b) ＝ a×a a×b ＋ b×a b×b ＝ a² b²。

”通过一步步的计算，学生们清晰地看到了两个式子的等价关系。

“同学们，现在我们得到了（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²，这就是我们今天要学习的平方差公式。

”教师一边说，一边在黑板上用醒目的字体写下了公式。

为了帮助学生更好地理解和记忆平方差公式，教师开始举例说明。

“假设 a ＝ 5，b ＝ 3，那么（5 ＋ 3)（5 3) 就等于 5² 3²，即 25 9 ＝16 。

大家再想一想，如果 a ＝ 10，b ＝ 7 呢？”学生们纷纷拿起笔进行计算，很快就得出了答案。

在学生们对公式有了初步的认识后，教师又提出了一个问题：“同学们，平方差公式在实际解题中有什么用呢？我们来看下面这道题。

”教师在黑板上写下：计算 98×102 。

学生们看到这个题目，一开始有些不知所措。

平方差公式教案平方差公式优秀教案

对于优秀学生，应注重拓展学生的视野和提高学生的数学素养，引导学生探究平方差公式的本质和内涵，鼓励学生提出自己的见解和思考，培养学生的创新精神和探究能力。
06
教学评价与反馈
设计评价策略
课堂表现观察
观察学生在课堂上的参与度、积极性和互动情况，以评估他们对
平方差公式的理解程度。
练习题完成情况
检查学生完成课堂练习和课后作业的情况，了解他们是否掌握了平方差公式的应用方法。
引导学生认识数学在现实生活中的应用价值，培养学生的数学应用意识。
02
教学内容与步骤
导入新课
回顾旧知
首先回顾之前学过的完全平方公式和多项式乘法，为学习平方差公式打下基础。
引入新课
通过具体的数学问题，如计算两个数的平方差，引出平方差公式的概念和重要性。
探究新知
公式理解
解释平方差公式的含义和应用条件，帮助学生理解并掌握公式。
学生对平方差公式的理解不够深入，容易混淆公式中的各项，导致计算错误。
学生在解决复杂问题时，缺乏综合分析能力和解决问题的能力，需要加强训练和指导。
针对不同层次学生教学策略
对于基础较差的学生，应注重基础知识的教学和训练，通过大量的练习和反复强调，帮助学生熟练掌握平方差公式的基本运用。
对于中等水平的学生，应注重提高学生的思维能力和解题技巧，引导学生通过观察、比较、分析等方法发现数学规律，培养学生的创新意识和实践能力。
公式应用
通过举例和练习，让学生熟悉平方差公式的应用，如因式分解、化简求值等。
巩固练习
01
02
03
基础练习
给出一些简单的计算题，让学生运用平方差公式进行计算，加深对公式的理解和记忆。

《平方差公式》的优秀教学设计

《平方差公式》的优秀教学设计一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级上册第五章《因数与积》中的平方差公式。

平方差公式是指两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积的二倍，即a^2 b^2 = (a + b)(a b)。

二、教学目标1. 学生能够理解平方差公式的意义，并能够运用平方差公式进行计算。

2. 学生能够通过平方差公式，解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 学生能够培养合作交流的能力，提高学习的兴趣。

三、教学难点与重点1. 教学难点：平方差公式的推导过程和运用。

2. 教学重点：平方差公式的记忆和运用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、课件。

2. 学具：笔记本、练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生拿出自己的身高和座位距离，计算自己的座位面积。

2. 例题讲解：教师通过讲解一个简单的平方差问题，引导学生发现平方差公式的规律。

3. 随堂练习：学生独立完成一些平方差公式的练习题，巩固所学知识。

4. 小组合作：学生分组讨论，探索平方差公式的推导过程，并互相交流心得。

六、板书设计平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)七、作业设计1. 题目：计算下列各题的平方差。

1) 9^2 4^22) 8^2 5^23) 7^2 3^22. 答案：1) 81 16 = 652) 64 25 = 393) 49 9 = 40八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：教师应反思本节课的教学效果，看学生是否掌握了平方差公式，是否能够运用到实际问题中。

2. 拓展延伸：教师可以引导学生进一步研究平方差公式的应用，如解决更复杂的实际问题，或者探索其他数学公式。

重点和难点解析：一、教学内容重点关注细节1. 平方差公式的推导过程：教师需要引导学生通过具体的例子，逐步推导出平方差公式，让学生理解并掌握公式的来源。

2. 平方差公式的运用：教师需要给出一些实际问题，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。

《平方差公式》经典公开课一等奖教案1

1.7 平方差公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式的过程中,开展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简捷美.●教学重点平方差公式的推导和应用.●教学难点用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.●教学方法探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律,并运用自己的语言进行表达,用符号证明这个规律,并探索出平方差公式的结构特点,在老师的讲解和学生的练习中学会应用.●教具准备投影片四张第一张：做一做,记作(§1.7.1 A)第二张：例1 ,记作(§ B)第三张：例2 ,记作(§ C)第四张：练一练,记作(§ D)●教学过程Ⅰ.创设情景,引入新课［师］你能用简便方法计算以下各题吗?(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999 =(2000 +1)(2000－1) =20002－2000 +2000－1×1 =20002－12=4000000－1 =3999999,在(2)中992－1 =(100－1)2－1 =(100－1)(100－1)－1 =1002－100－100 +1－1 =10000－200 =9800.［师］很好!我们利用多项式与多项式相乘的法那么,将(1)(2)中的2001 ,1999 ,99化成为整千整百的运算,从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题,2001和1999 ,一个比2000大1 ,于是可写成2000与1的和,一个比2000小1 ,于是可写成2000与1的差,所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积,即(2000 +1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法那么算出来的结果为：20002－12 ,恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000 +1)(2000－1) =20002－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢?我们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的过程中,通过观察、归纳发现规律,并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.7.1 A)做一做：计算以下各题：(1)(x +2)(x－2);(2)(1 +3a)(1－3a);(3)(x +5y)(x－5y);(4)(y +3z)(y－3z).观察以上算式,你发现什么规律?运算出结果,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现?［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外,更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是"x〞与"2〞这两个数的和与差的积；算式(2)是"1〞与"3a〞这两个数的和与差的积；算式(3)是"x〞与"5y〞的和与差的积；算式(4)是"y〞与"3z〞这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘,它们的结果如何呢?只要你肯动笔、动脑,相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x +2)(x－2)=x2－2x +2x－4 =x2－4；(2)(1 +3a)(1－3a)=1－3a +3a－9a2 =1－9a2；(3)(x +5y)(x－5y)=x2－5xy +5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y +3z)(y－3z)=y2－3yz +3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘,进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚刚这位同学的运算,我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗?［生］可以.例如：(1)101×99 =(100 +1)(100－1) =1002－100 +100－12=1002－12=10000－1 =9999；(2)(－x +y)(－x－y) =(－x)(－x) +xy－xy－y2 =(－x)2－y2 =x2－y2.即上面两个例子,同样可以验证：两个数的和与差的积,等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢?［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法那么展开后,中间两项是同类项且系数互为相反数,所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好!你能用一般形式表示上述规律,并对规律进行证明吗?［生］可以.上述规律用符号表示为：(a +b)(a －b) =a 2－b 2①其中a,b 可以表示任意的数 ,也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法那么可以对规律进行证明 ,即(a +b)(a －b) =a 2－ab +ab －b 2 =a 2－b 2 ［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快. 你能给我们发现的规律(a +b)(a －b) =a 2－b 2起一个名字吗 ?能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a +b)(a －b) =a 2－b 2叫做平方差公式.［师］大家同意吗 ?［生］同意.［师］好了 !这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗 ?［生］可以.这个公式表示两数和与差的积 ,等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单 ,但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用 ,感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便 ,进一步熟悉平方差公式.出示投影片(§ B)［例1］(1)以下多项式乘法中 ,能用平方差公式计算的是( )A.(x +1)(1 +x)B.(21a +b)(b －21a)C.(－a +b)(a －b)D.(x 2－y)(x +y 2)E.(－a －b)(a －b)F.(c 2－d 2)(d 2 +c 2)(2)利用平方差公式计算：(5 +6x)(5－6x);(x －2y)(x +2y);(－m +n)(－m －n).［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(21a +b)(b －21a)利用加法交换律可得(21a +b)(b －21a) =(b +21a)(b －21a),表示b 与21a 这两个数的和与差的积 ,符合平方差公式的特点；E.(－a －b)(a －b),同样可利用加法交换律得(－a －b)(a －b) =(－b －a)(－b +a),表示－b 与a 这两个数和与差的积 ,也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2 +c 2)利用加法和乘法交换律得(c 2－d 2)(d 2 +c 2) =(c 2 +d 2)(c 2－d 2) ,表示c 2与d 2这两个数和与差的积 ,同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A 、C 、D 不能用平方差公式呢 ?［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题 ,首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5 +6x)(5－6x)是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y)(x +2y)是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m +n)(－m －n)是－m 与n 这两个数的和与差的形式.［师］很好 !下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5 +6x)(5－6x) =52－(6x)2 =25－36x 2;(x －2y)(x +2y) =x 2－(2y)2 =x 2－4y 2;(－m +n)(－m －n) =(－m)2－n 2 =m 2－n 2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§ C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－41x －y)(－41x +y); (2)(ab +8)(ab －8);(3)(m +n)(m －n) +3n 2.［师］同学们可先交流、讨论 ,然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－41x －y)(－41x +y) - -(－41x)与y 的和与差的积 =(－41x)2－y 2 - -利用平方差公式得(－41x)与y 的平方差 =161x 2－y 2 - -运算至最后结果(2)(ab +8)(ab －8) - -ab 与8的和与差的积=(ab)2－82 - -利用平方差公式得ab 与8的平方差=a 2b 2－64 - -运算至最后结果(3)(m +n)(m－n) +3n2 - -据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2－n2) +3n2 - -利用平方差公式=m2－n2 +3n2 - -去括号=m2 +2n2 - -合并同类项至最简结果［生］刚刚这位同学的运算有条有理,有根有据,我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法外表上不能应用公式,但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好!下面我们再来练习一组题.投影片(§ D)1.计算：(1)(a +2)(a－2);(2)(3a +2b)(3a－2b);(3)(－x +1)(－x－1);(4)(－4k +3)(－4k－3).2.把以下图左框里的整式分别乘(a +b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a +2)(a－2) =a2－22 =a2－4;(2)(3a +2b)(3a－2b) =(3a)2－(2b)2 =9a2－4b2;(3)(－x +1)(－x－1) =(－x)2－12 =x2－1;(4)(－4k +3)(－4k－3) =(－4k)2－32 =16k2－9.2.(a +b)(a +b) =a(a +b) +b(a +b) =a2 +ab +ab +b2 =a2 +2ab +b2;(a－b)(a +b) =a2－b2;(－a +b)(a +b) =(b +a)(b－a) =b2－a2;(－a－b)(a +b) =－a(a +b)－b(a +b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习,可巡视练习的情况,对确实有困难的学生要给以指导)Ⅳ.课时小结［师］同学们有何体会和收获呢?［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式- -平方差公式即(a +b)(a－b) =a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数,也可以是代表数的整式.［生］有些式子外表上不能用公式,但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好!还记得刚上课的一个问题吗?计算992－1 ,现在想一想,能使它运算更简便吗?［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差,从右往左用平方差公式可得：992－1 =992－12 =(99 +1)(99－1) =100×98 =9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的,只要你准确地把握它的结构特征,一定能使你的运算简捷明了.Ⅴ.课后作业课本习题,第1题.Ⅵ.活动与探究有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场) ,用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数,用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数,……用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.那么10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等,即x12 +x22+… +x102 =y12 +y22+… +y102,为什么?经过：由于是单循环赛,每名运发动恰好参加9局比赛,即x i+y i=9(其中i =1、2、3、…10) ,在比赛中一人胜了,另一人自然败了,那么x1 +x2+… +x10 =y1 +y2 +… +y10,这两个隐含条件是解题的关键,从作差比拟入手.［结果］由题意知x i +y i =9(i =1、2、3、…10)且x1 +x2+… +x10 =y1 +y2+… +y10(x12 +x22+… +x102)－(y12 +y22+… +y102)=(x12－y12) +(x22－y22) +… +(x102－y102)=(x1 +y1)(x1－y1) +(x2 +y2)(x2－y2) +… +(x10 +y10)(x10－y10)=9［(x1－y1) +(x2－y2) +(x3－y3) +… +(x10－y10)］=9［(x1 +x2+… +x10)－(y1 +y2+… +y10)］=0所以,x12 +x22+… +x102 =y12 +y22+… +y102.●板书设计§平方差公式(一)解：(1)(x +2)(x－2) =x2－2x +2x－4 =x2－4;(2)(1 +3a)(1－3a) =1－3a +3a－9a2 =1－9a2;(3)(x +5y)(x－5y) =x2－5xy +5xy－25y2 =x2－25y2;(4)(y +3z)(y－3z) =y2－3yz +3zy－9z2 =y2－9z2.(a +b)(a－b) =a2－b2两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.(a +b)(a－b) =a2－ab +ab－b2 =a2－b2.例1.(抓住平方差公式的特征,准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义的理解,既可以是具体的数也可以是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).●备课资料参考例题［例1］用简便方法计算：(1)79×81 (2)99×101×10001解：(1)原式 =(80－1)(80 +1) =802－1 =6399;(2)原式 =(100－1)(100 +1)(10000 +1)=(1002－12)(10000 +1)=(10000－1)(10000 +1)=100002－12=100000000－1 =99999999.［例2］计算：(1)(b －2)(b 2 +4)(b +2)(2)［2a 2－(a +b)(a －b)］［(c －a)(a +c) +(－c +b)(c +b)］分析：(1)题可利用乘法交换律和结合律 ,先求(b －2)与(b +2)的积 ,所得结果再与(b 2 +4)相乘 ,可两次运用平方差公式；(2)题根据混合运算的运算顺序 ,先算括号里的其中(a +b)(a －b),(c －a)(a +c),(－c +b)(c +b)都可直接运用平方差公式计算.解：(1)(b －2)(b 2 +4)(b +2)=［(b －2)(b +2)］(b 2 +4)=(b 2－4)(b 2 +4)=(b 2)2－42=b 4－16(2)［2a 2－(a +b)(a －b)］［(c －a)(a +c) +(－c +b)(c +b)］=［2a 2－(a 2－b 2)］［(c +a)(c －a) +(b －c)(b +c)］=［2a 2－a 2 +b 2］［c 2－a 2 +b 2－c 2］=(a 2 +b 2)(b 2－a 2)=(b 2)2－(a 2)2=b 4－a 4［例3］计算： (1)(4x +32y)(－4x +32y) (2)(a +b －c)(a －b +c)(3)(x +3y)2(x －3y)2(x 2 +9y 2)2分析：(1)题中 ,可把相同的项放在对应的位置上 ,再把互为相反数的项放在对应的位置上 ,使之满足(a +b)(a －b),然后用平方差公式；(3)题先逆用积的乘方公式 ,然后用平方差公式.解：(1)(4x +32y)(－4x +32y) =(32y +4x )(32y －4x ) =(32y)2－(4x )2 =94y 2－161x 2(2)(a +b －c)(a －b +c)=［a +(b －c)］［a －(b －c)］=a 2－(b －c)2=a 2－(b 2－2bc +c 2)=a 2－b 2 +2bc －c 2(3)(x +3y)2(x －3y)2(x 2 +9y 2)2=［(x +3y)(x －3y)(x 2 +9y 2)］2=［(x 2－9y 2)(x 2 +9y 2)］2=［x 4－81y 4］2=x 8－162x 4y 4 +6561y 8.。

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三、
合作
发现
生猜想：a与b可能会有a=b,a=-b,a=0,b=0……时
师：问题要一个一个地解决，如果a=0或b=0时，(x+a)(x+b)将转化成什么形式？
生：当a=0或b=0时，(x+a)(x+b)就转化成单项式乘多项式，当a=0,b=0时，(x+a)(x+b)就转化成单项式乘单项式。
师：上述两种情况，我们已经研究过了，不必再去研究。
强调：①公式中的a、b可以是具体数、字母、代数式
②利用公式时若有系数加“（）”
5、生举例
①(m+n)(m-n)②(a+3b)(a-3b)
③(x-6)(x+6)④(3x-4)(3x+4)
四、反馈练习㈠
判断下列各式是否能用平方差公式，如果能，指出公式中的a、b
⑴(2ab-3d)(2ab+3d)⑵(x-y)(y-x)
⑷(x+y-2)( x+y-2)= ( )2-( )2
3、选择题
⑴下列各式中可以用平方差公式的是（）
A、(a+b)(-a-b)B、(a2-b)(-a2+b)
C、(-3x2+6)(3x2+6)D、(3x-2)(2x+3)
⑵下列各式计算正确的是（）
A、(x+3)(x-3)=x2-3
B、(2x+3)(2x-3)=2x2-9
２、分析公式的结构特点
师：公式的左边、右边各有什么特征？
左边：乘式中是两项式，其中一项是完
特同的项，另一项互为相反的项
征
右边：乘式中这两个数的平方差
强调：完全相同项的平方——异号项的平方
３、师：谁能用语言叙述吗？
生：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
４、师：(１+２x)(1-2x)是否符合平方差公式，哪项是完全相同项，谁相当于公式中的a和b?结果是多少？
设疑
激情
一、复习提问
1、多项式的乘法法则是什么？
2、请说出(m+a)(n+b)的结果。
3、如果m=n且都用x表示，那么(m+a)(n+b)将变成什么样式子？它的结果是什么？
二、由练习导入新课（板书课题）
师：观察如果(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab（特殊乘法公式）中的左边中的a、b再有某种特殊关系又将得到什么特殊结果呢？这就是从本节课起要学习的内容——乘法公式。
生：口答问题
教师板书结果
教师启发学生观察发现问题并了解此式是多项式乘法的特殊形式
复习旧知识为本节内容作铺垫
以旧引新，设疑激发学生求知欲
二、
尝试
探讨
三、新课讲解
㈠平方差公式
1、公式的导入
师问：讨论猜想(x+a)(x+b)中，a与b可以存在什么样的特殊关系呢？
学生分组讨论，猜想出结果
让学生尝试探讨猜出结果
培养学生亲身参与知识的发生、发展。
训练学生的语言表达能力，进一步培养学生逻辑思维能力。
巩固公式使学生进一步掌握和了解公式的特点。
让学生通过对公式的理解和掌握，分散本节课的难点，活跃课堂气氛。
巩固知识点，培养学生分析、判断、解决问题的能力，并让学生领悟一般——特殊的辨证唯物主义思想
课堂上充分体现以学生为主体，教师为主导，激发学生学习兴趣并培养学生多层次思维能力。
“乘法公式——平方差公式”数学教案设计
课题
第七章第六节平方差公式
教学
目标
1、知识目标：知道平方差公式的结构特征，熟练掌握平方差公式，并能进行灵活应用。
2、情感目标：体现学生为主体，使学生树立自信，密切师生情感，激发学生求知欲。
3、能力目标：培养学生善于观察，发现探索，归纳问题的能力，概括及应用所学知识，解决问题的能力，培养自学能力。
出示投影仪，
学生口述
教师和其他学生更正错的答案
出示小黑板，教师启发学生说出符合公式特点的例①②题结果，师板书过程，③④题学生板演后，教师启发学生补充④题第二种方法
培养学生丰富的想象力，有利于培养学生的创造智能。
通过学生猜想讨论，在教师的引导下发现问题、解决问题，培养归纳问题的能力，让学生领悟换元思想。
四、
变式
训练
六、练习
1、运用平方差公式计算
⑴(3+2a)(-3+2a)⑵(4x-5y)(4x+5y)
⑶( )( )⑷(y-2x)(-2x-y)
2、填空
⑴(2m+2n)(2n-2m)=( )2-( )2=( )
⑵(-5x-2y)( )=4y2-25x2
⑶如果(-3x+6y2)A=9x2-36y4那么A=
⑶(a+bx)(a-cx)⑷(x+4)(x-4)
⑸(52+2)(52-2)
⑹[x+(y+1)][x-(y+1)]
⑺(-4a-1)(4a-1)
五、讲授新课
㈡平方差公式的应用
师讲：①(3m+2n)(3m-2n)②(b+2a)(2a-b)
生练：
③(- )(- )④(-4a-1)( 4a-1)
生板演
生讨论后猜出结果，教师给予肯定。
教师提问
学生归纳，发现后，口答，教师板书结果。
教师通过学生归纳的结果，引导学生认识平方差公式
教师引导学生观察公式并分析公式的特点，学生口答，教师补充并板书特点，强调注意事项。
生口述，教师板书。
教师举例学生口答，师对照公式画出“”直观地表示出公式中的a、b,并强调注意事项。
生提出符合公式的例子，由生指名学生口答，教师和其他学生评判，错的给予纠正。
C、(2x+3)( x-3)=2x2-9
D、(5ab+1)(5ab-1)=25 a2b2-1
⑶(-3x+4)(-3x-4)等于（）
A、(3x)2-4B、42-(3x)2C、(-3x)2-42
D、(-4)2(3x)2
⑷为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，下列变形正确的是（）
A、[x-(2y+1)2]B、[x-(2y-1)][ x+(2y-1)]
师：我们只先研究a=-b的情况，如果a=-b时，说明a与b什么关系？（生：互为相反数）当a、b互为相反数时，(x+a)(x+b)变成怎样的形式，说出结果(x+a)(x+b)＝x2-a2
师：从乘式上看这是一种特殊形式的乘法，从结果上看也很特殊，我们把这样的式子作为一个公式通常用字母定成x2-a2= a2-b2的形式，把它称为“平方差公式”（板书课题）
4、德育目标：在通过推导和应用平方差公式的过程中，让学生领悟从一般——特殊的研究方法和换元思想。
教学
重点
平方差公式及应用
教学
难点
分清公式中的a、b，并理解公式中的广泛含义
教学
关键
能识别平方差公式中的“a、b”
教学
方法
哈市素质教育初中数学二十字模式
教学
手段
投影仪、小黑板
环节
教学内容
师生互动
设计意图
一、