平方差公式教案(优质课一等奖)
平方差公式【一等奖教学设计】
4．3公式法第1课时平方差公式1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a2－b2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋9解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－x2－y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a4－116b4；(2)x3y2－xy4.解析：(1)a4－116b4可以写成(a2)2－(14b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a2－14b2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a2＋14b2)(a2－14b2)＝(a2＋14b2)(a－12b)(a＋12b)；(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知x2－y2＝－1，x＋y＝12，求x －y的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x －y的值．解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y ＝12，∴x－y＝－2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】 利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】 利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算： (1)1012－992；(2)5722×14－4282×14.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】 因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S 阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm 2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm 2. 方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； 2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)一、情境导入小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？二、合作探究探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形【类型一】利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD 中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO＝OB，∠AOC＝∠BOD，∠C＝∠D，∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF ＝12OD，OE＝12OC，∴EO＝FO，又∵AO ＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．【类型二】利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC 的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB ＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．探究点二：平行线间的距离如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO 的面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH ＝12GH ·h，S△FGH ＝12GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．解析：(1)求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是BC的中点，BC＝12，得到BG＝CG＝12BC ＝6，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC＝10，根据勾股定理得AB＝8，求出四边形AGCD的面积为6×8＝48.解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE＝12AG，DF＝12DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四边形DEGF是平行四边形；(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，∴BG＝CG＝12BC＝6.∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．三、板书设计1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．3．平行四边形判定和性质的综合．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.。
平方差公式 公开课大赛(省)优【一等奖教案】
14．2乘法公式14．2.1平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．(重点)2．掌握平方差公式的应用．(重点)一、情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．学生积极举手回答．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y －x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【类型二】直接应用平方差公式进行计算利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25；(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【类型三】 平方差公式的连续使用求2(3＋1)(3＋1)(3＋1)(3＋1)的值．解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．【类型四】 应用平方差公式进行简便运算利用平方差公式简算：(1)2013×1923；(2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．【类型五】 化简求值先化简，再求值：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )，其中x ＝1，y ＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x 、y 的值代入进行计算即可得解．解：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2.当x ＝1，y ＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题对于任意的正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值一定是10的倍数吗？解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数．解：原式＝9n 2－1－(9－n 2)＝10n 2－10＝10(n ＋1)(n －1)，∵n 为正整数，∴(n －1)(n＋1)为整数，即(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值是10的倍数．方法总结：对于平方差中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．【类型七】 平方差公式的实际应用王大伯家把一块边长为a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a 2，改变边长后面积为(a ＋4)(a －4)＝a2－16，∵a 2＞a 2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．【类型八】 平方差公式的几何背景如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵左图中阴影部分的面积是a 2－b 2，右图中梯形的面积是12(2a ＋2b )(a －b )＝(a ＋b )(a －b )，∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，即可验证的乘法公式为：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．三、板书设计平方差公式文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符号语言：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成．第2课时 含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)一、情境导入问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD等于( )A ．3B ．2C ．1.5D ．1解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝12×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到CD ＝12DB . 解：CD ＝12DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD ＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝12DB . 方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．三、板书设计含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．。
平方差公式赛课一等奖学习教案
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式特征： （1）左边括号(kuòhào)中有两项完全相同，两
项互为相反数． （2）右边是相同项的平方减去相反项的平方． （3）公式中的a,b可以表示 一个单项式也可以
表示一个多项式.
第9第九页页，/共共161页6。页
判断下列(xiàliè)各式能否用平方差公式运算
第第3三页页，/共共161页6。页
(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b) = a2-abb++aabb-b2 = a2-b2
第4第页四页，/共共161页。6页
平方差公式(gōngshì)
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个(liǎnɡ ɡè)数的和与这两个(liǎnɡ ɡè)数的差的积， 等于这两个(liǎnɡ ɡè)数的平方差。
1.(b-8)(b+8)
2.(-x-1)(x+1)
3.(x+3)(x-2) 4.(mn-4k)(-mn-4k)
第1第0十页页，/共共16页1。6页
例1 运用平方差公式(gōngshì)计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; (2) (-x+2y)(-x-2y).
第第1十1一页页，/共共161页6。页
(4)( x 1)( x 1) (2 x 1)(2 x 1)
注意(zhù yì)：（1）（2）任 选一题
（3）（4）任选一题 第第1十3三页页，/共共161页6。页
一、了解平方差公式的特点(tèdiǎn)： （1）左边括号中有两项完全相同，两项互为相反 数． （2）右边是相同项的平方减去相反项的平方．
初中八年级数学教案-平方差公式【全国一等奖】
人教版八年级数学上册第十四章
乘法公式
平方差公式
一、教学目标：
1、经历探索平方差公式的过程。
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运。
二、教学重难点
1、重点：平方差公式的推导和应。
2、难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。
三、教学过程设计
（一）、推导与计算：a ＋ba －b ．
让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式。
然后，教师系统总结平方差公式。
（二）、平方差公式的表述：a ＋ba －b ＝a 2－b 2
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
（三）、平方差公式的特征：
引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两边的结构。
1、两个二项式的乘积，有一项完全相同，另一项互为相反数；
2、结果为相同的项的平方减去相反项的平方。
（四）
（五）
、应用新知
简单例题应用：运用平方差公式计算：
1、（3y ）3-y
2、－m-3n3n-m
填表可以从下面表格分析：
对本例的前个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式；第二小题可采用小组讨论的形式，运用平方差公式计算。
（六）、小结：
谈一谈：平方差公式的记忆
四、教学反思：
平方差公式是特殊的整式的乘法，运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果，运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别是什么，公式中的字母a、b不仅可以代表具体的数字，字母，单项式，也可以代表多项式。
平方差公式 获奖优秀教学设计
Ⅰ.创设情景，引入新课 做一做：计算下列各题：(1)(x +2)(x －2);(2)(1+3a )(1－3a );(3)(x +5y )(x －5y );(4)(y +3z )(y －3z ).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？Ⅱ.探究新知1、平方差公式两个数的和与差的积，等于它们的平方差.上述规律用符号表示为：(a +b )(a －b )=a 2－b 2其中a ,b 可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行验证，即 ( a +b )(a －b )=a 2－ab +ab －b 2=a 2－b 2我们可以把(a +b )(a －b )=a 2－b 2叫做平方差公式.平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.2、例题精讲［例1］1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x +1)(1+x )B.(21a +b )(b －21a )C.(－a +b )(a －b )D.(x 2－y )(x +y 2)E.(－a －b )(a －b )F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)2、利用平方差公式计算：（1）(5+6x )(5－6x ); （2）(x －2y )(x +2y ); （3）(－m +n )(－m －n ). ［例2］利用平方差公式计算：(1)(－41x －y )(－41x +y ); (2)(ab +8)(ab －8); (3)(m +n )(m －n )+3n 2. 设计意图：体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a 、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.(4)还需注意最后的结果必须最简.Ⅲ、练习巩固1.计算：(1)(a +2)(a －2); (2)(3a +2b )(3a －2b );(3)(－x +1)(－x －1); (4)(－4k +3)(－4k －3).2.把下图左框里的整式分别乘(a +b ),所得的积写在右框相应的位置上.Ⅳ.反思小结同学们有何体会和收获呢？1、今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a +b )(a －b )=a 2－b 2.2、应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.3、公式中的a 、b 可以是数，也可以是代表数的整式.4、有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式. Ⅴ.作业习题补充练习1、用简便方法计算：(1)79×81 (2)99×101×100012、计算：(1)(b －2)(b 2+4)(b +2)(2)［2a 2－(a +b )(a －b )］［(c －a )(a +c )+(－c +b )(c +b )］3、计算：(1)(4x +32y )(－4x +32y ) (2)(a +b －c )(a －b +c。
初中八年级数学教案- 平方差公式-市赛一等奖
陈琳
单位名称
哈密市第六中学
填写时间
2022年8月20日
学科
数学
年级/册
八年级上册
教材版本
人教版
课题名称
平方差公式
难点名称
平方差公式的几何验证，并能灵活应用公式进行计算。
难点分析
从知识角度分析为什么难
构建几何图形来解释平方差公式，需要较强的运用数学的综合能力，学生很难与面积联系在一起，很难找到突破口
教学过程
导入
1.刚用算数推理方法得到的公式什么
2.在应用公式的过程中应注意些什么呢
①公式中字母a、b可以是单项式或多项式。
②适当交换位置，合理添加括号
3.如何用几何方法验证公式呢
知识讲解
（难点突破）
4尝试用自己准备好的大正方形彩纸（变长设为a,中去掉一个小正方形（边长设为b之后，剩余图形的面积是多少与公式有何联系
小结
为渗透数形结合思想,培养学生多角度思考问题的习惯。引导学生从“形”的角度验证猜想。 渗透了数形结合的思想,让学生体会到代数与几何的内在联系充分调动学生动手操作与小组合作，发挥合作的力量，培养创新精神，最终得出平方差公式，验证了公式的正确性，并结合多媒体动态演示加深理解，凸显学生学习的主体地位。
新梯形的面积： ×（2a2b）a-b= ×2（ab）a-b=（ab）a-b
得到：（ab）a-b=
7.除此之外，还有没有其它方法了
学生讨论：
①平行四边形：（ab）a-b=
②矩形：（ab）a-b=
相信同学们还可以想到更多更好的方法来验证！
我们通过代数推理和几何验证两种方法得到了平方差公式，那接下来让我来看看同学们掌握了吗
从学生角度分析为什么难
初中八年级数学教案-平方差公式-优质课比赛一等奖
教师姓名杨丽萍单位名称库尔勒市实验中学填写时间学科数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称平方差公式难点名称准确找到公式中的a与b，能够灵活应用平方差公式难点分析从知识角度分析为什么难从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的第一种归纳、总结。
从学生角度分析为什么难根据学生的实际情况，学生学习本节课的困惑主要在于对公式的结构特征的理解和对字母能代表任意的数或整式的意义的理解，必须帮助学生解决这两个问题才能够让学生灵活地运用平方差公式。
难点教学方法采用“课前先学，合作探究”课堂教学模式，本着以学生课前先学—小组探究—跟踪训练—总结梳理的原则，采用学案导学的方式，让学生“观察—思考—猜想—验证”的学法，相应的采用“指导观察—引导思考—启发猜想—组织验证”的教法。
教学环节教学过程导入灰太狼开了间租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!”慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗知识讲解（难点突破）探究：平方差公式1 1-12 m2m-23 212-14 aba-b观察以上算式及其运算结果，你能发现什么规律观察思考：①等式左边相乘的两个多项式有什么特点②等式右边的多项式有什么规律③你能用一句话归纳出上述等式的规律吗（分组讨论，引导学生分析等式结构特征）两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差aba-b=a2-b2你能将上面发现的规律推导出来吗从数的角度考虑利用多项式乘法推导:aba-b=a2-abab-b2= a2-b23活动：自主探究平方差公式的几何意义动手做一做：在一块边长为acm的正方形纸板上，因为工作需要，中间挖去一块边长为b厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少还能通过剪纸拼图的方法来计算这个图。
平方差公式 优质课获奖课件
14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学《15.2.1平方差公式》教学设计
桂平市西山一中覃娟娟
教学目标：
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并运用公式进行简单的
运算.
2.在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。
3.在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美.
教学重点、难点：
重点：平方差公式的推导及应用.
难点：平方差公式的应用.
教具准备：
多媒体课件
教学过程：
一、创设情景，复习导入
回顾思考：
1、多项式乘法法则：(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
x+(a+b)x+ab 2、如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:(x+a)(x+b)=2
二、新课引入
1、计算下列各题,看谁做的又快又准确:
(1)(x＋y)(x－y)
(2)(2a＋b)(2a－b)
2、教师提问：1）上述式中都有什么样的规律？
2）能不能用字母来表现它呢？
学生活动：讨论，并回答出教师提问.
3、师生共同归纳出平方差公式
2
2
)
)(
(b
a
b
a
b
a-
=
-
+
4、师生共同探讨用面积说明平方差公式（课件演示图形）.
5、师生共同分析平方差公式的结构特征.
6、练习：
判断下列式子可用平方差公式计算吗?
①(a−b)(b−a) ；② (a+2b)(2b+a)；
③-(a−b)(a+b) ；④ (-2x+y)(y−2x).
三、例题讲解
例1 运用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5−6x)； (2) (b+2a)(2a−b)； (3) (-x+2y)(-x−2y).
评析:1）认清结构，找准a、b
2）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
例2：计算：
（1）102 × 98 ；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).
评析：1）巧妙的化为公式形式;
2）只有符合公式才能应用公式，否则，只能应用多项式与多项式乘
法法则进行运算。
四、随堂练习，巩固新知
1、指出下列计算中的错误：
(1)
2
2
1
)
2
1
)(
2
1(x
x
x-
=
-
+
(2)
4
4
2
2
2
22
)
2
)(
2
(b
a
b
a
b
a-
=
-
+
(3) 2223)23)(23(n m n m n m -=-+
学生先独立思考，然后抢答，师生共评.
2、运用平方差公式计算：
(1)(a+3b)(a −3b)； (2)(3+2a)(-3+2a)； (3)51×49；
学生独立完成，代表到黑板上板演，再让其他学生充当老师评改,接着再师生共评.
五、课堂总结，发展潜能
1、平方差公式22))((b a b a b a -=-+
2、应用平方差公式时要注意些什么？
六、布置作业.
课本p.156
习题15.2 第1题（1）（3）（5）.。