§4用向量讨论垂直与平行
§4 用向量讨论垂直与平行
nav则,,
v b
与
平面α共面,一条直线l的
l
// 或l在内
存在两个实数x,
y, 使n
xa
yb
3.面面平行
两个不共线的向量
a,
v b 与平面α共面,则
// 或与重合 a//
且b//
mn
av v b
nv
l
av
v b
例3.（面面平行判定定理）若一个平面内有两条相交直线都平
行于另一个平面, 则这两个平面平行.
a // , b //
nv2
av
//
,
v b
//
nv2
nv2
av,
nv2
v b
aI b P
nnvv12
nv1 // nv2 //
练习3.如图所示,
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,
设
uuuv AB
av,
uuuv AC
v b,
uAuAuuuAuMuv1uvcvk, 在uAuCu面uv1,对uBu角Nuv线 AkCuBu1Cu上v(0和棱kBC1上). 分别取点AM1 、N, 使
D1B1的中点.求证EF⊥平面B1AC.
z
证法2: 如图建立空间直角坐标系D-xyz,
D1
F
C1
u设uBuv正1(2方,2体,2)的, E棱(2长,u2u,为u1v),2F，则(1,A1(,22),0 ,u0u)uv, C(0,2,0）A1
B1
EF (1, 1,1), AC (2, 2, 0), AB1 (0, 2, 2)
B
EF // B1D1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC EF
4.用向量讨论垂直和平行问题
练习：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直.
（一）用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E
B
C
N 且FM AN .求证：MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, D BE AB, FM AN , , FB AC 存在实数, 使FM FB, AN AC. MN MF FA AN BF EB AC ( BE BA AB AD) EB ( BE AD) EB ( BE BC ) BE ( 1) BE BC.
作业：1. 如图, 直三棱柱ABC A1 B1C1中, ACB 90 ,
0
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A Z
A1
D
B X
A1B, DM 为平面BDM内的两条相交直线, CD 平面BDM .
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A
A1
解:
如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
D
C
C1
M Y
B1
2 1 1 2 B D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 X 2 1 1 1 1 CD ( , , ), A1 B ( 2, 1, 1)， (0, , ), DM 2 2 2 2 2
用向量讨论垂直于平行
用向量讨论垂直于平行部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑设计人：雷义平教师寄语：不要等待机会，而要创造机会。
时间---------------- 班级---------- 学生姓名-------- -----------§2-4《用向量讨论平行与垂直》问题导读---评价单学习目标：1．理解用向量方法解决立体几何问题的思想。
2．掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题。
学习重难点：1、空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示2、用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.学习过程：一、阅读文本，解决以下问题。
1.怎样确定直线的方向向量？2.怎样确定平面的法向量？3.如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？4.用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则：b5E2RGbCAP①线线平行：或与重合即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
②线线垂直：即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
③线面平行：且在平面外即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外。
④面面平行：或与重合即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
⑤线面垂直：即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑥面面垂直： 5. 求平面法向量的方法步骤：p1EanqFDPw6. 三垂线定理：二．我的疑惑：问题解决---评价单1、平面α的一个法向量为(1,2,0>，平面β的一个法向量为(2，－1,0>，则平面α与平面β的关系是( >DXDiTa9E3dA．平行 B．相交但不垂直C．相交且垂直 D．无法判定2、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是( >A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定3、已知一平面的法向量为(1,2，－1>，则与此平面垂直的向量可以是( >A．(2,4，－2> B．(1，－1，－1>C．(0,1,2> D．(1,0，－1>4、在正方体AC1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1∥平面ACD1.问题拓展---评价单1 如下图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.RTCrpUDGiT2 ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D 是侧棱CC1的中点．求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
《用向量讨论垂直与平行》第一课时参考教案
2.4 用向量讨论垂直与平行 第一课时教案一、教学目标：1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。
二、教学重点：直线的方向向量和平面的法向量；教学难点：求平面的法向量 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？ （二）、探析新课 1、直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量 2、平面的法向量如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。
（三）、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量证：设正方体棱长为1，以1,,DD 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系xyz D -)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD 01=⋅DB ，所以DB ⊥1同理11AD DB ⊥ 所以⊥1DB 平面ACD从而1DB 是平面1ACD 的法向量。
2、 例2 在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。
解：由题意可得),,(000z z y y x x PM ---= 0=⋅即0),,(),,(000=---⋅z z y y x x C B A 化简得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 3、课堂练习已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量； （2）求平行四边形ABCD 的面积．（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=，(1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=，∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A =，AP ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量．（2）||(2)AB ==2||4AD ==， ∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=，∴cos(,)105AB AD ==，∴sin BAD ∠==∴||||sin ABCDSAB AD BAD =⋅∠=（四）、回顾总结：1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量的方法。
用向量方法证明平行与垂培训资料
总结词
向量线性组合定理
详细描述
如果两个平面上的任意两个向量都可以由另一个平面上的某个向量线性组合得到，则这两 个平面一定平行。
证明过程
设两个平面上的任意两个向量$vec{a}$和$vec{b}$可以由另一个平面上的某个向量$vec{c}$ 线性组合得到，即$vec{a} = k_1vec{c}$和$vec{b} = k_2vec{c}$，则根据向量线性组合的性 质，这两个平面一定平行。
03
向量的向量积
向量向量积的定义
总结词
向量积是由两个向量生成的第三个向量，其大小等于两个原向量构成的平行四边形的面 积，方向与原向量构成的平面垂直。
详细描述
向量积的定义基于几何概念，它表示两个向量通过点乘和叉乘运算生成第三个向量。这 个新向量的模等于原向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的
垂直证明
证明两向量垂直，即证明两向量之间 的夹角为90度。
通过向量的点积性质，可以证明两向 量的点积为0，即 $overset{longrightarrow}{AB} cdot overset{longrightarrow}{CD} = 0$。
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系平行与垂直是向量的重要性质，可以用向量的方法进行证明。
接下来，我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系，以及一些相关的性质和定理。
1.平行性质的证明：两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反，并且它们的长度可以不相等。
下面是两个向量平行的证明方法：方法一：向量比例法如果向量a和b平行，那么可以找到一个非零实数k，使得a=k*b。
可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。
如果两个向量平行，它们的对应坐标分量之间的比值应该相等。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6)，我们可以通过将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行，如下所示：1/2=2/4=3/6=1/2这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等，因此它们是平行的。
方法二：向量点乘法如果两个向量a和b平行，那么它们的点乘等于它们的长度之积。
即a·b=，a，*，b，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2)，那么它们的点乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面，它们的长度之积为，a，*，b， = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。
如果将这两个等式相等，即a·b = ，a，*，b，那么可以得出向量a和b平行。
2.垂直性质的证明：两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零，即a·b=0。
下面是两个向量垂直的证明方法：方法一：向量内积法两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0，那么可以证明向量a和b垂直。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2)，我们可以计算它们的点乘为：a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0因此，向量a和b垂直。
高中数学-4-用向量讨论垂直与平行
(1)证明：设 E(0，a，z)， 则A→1E＝(－a，a，z－a)，B→D＝(－a，－a,0)， ∴A→1E·B→D＝a2－a2＋(z－a)×0＝0，
∴A→1E⊥B→D，即 A1E⊥BD．
(2)E 为 CC1 的中点．证明如下： 由 E 为 CC1 的中点得 E(0，a，a2)， 设 BD 的中点为 O，则 O(a2，a2，0)， O→E＝(－a2，a2，a2)，O→A1＝(a2，－a2，a)， B→D＝(－a，－a,0)，则O→E·B→D＝0，O→A1·B→D＝0.∴O→E⊥B→D，O→A1⊥B→D， ∴∠A1OE 为二面角 A1－BD－E 的平面角， 由O→A1·O→E＝0，则∠A1OE＝90°，∴平面 A1BD⊥平面 EBD．
＝(-a,a,-a)，∴n2＝1aB→1D＝(-1,1,-1)为面 A1BC1
的一个法向量．
(2)M 为 CD 中点，求面 AMD1 的一个法向量． 解：设 n＝(x0，y0，z0)为面 AMD1 的法向量， ∵A→M＝(a2，a,0)，A→D1＝(0，a，a)， ∴n·A→M＝x0，y0，z0·a2，a，0＝a2x0＋ay0＝0，
n·A→D1＝x0，y0，z0·0，a，a＝ay0＋az0＝0. 令 x0＝2，则 y0＝－1，z0＝1， ∴n＝(2，－1,1)为面 AMD1 的一个法向量．
求一个平面的法向量，主要有以下两种方法： 1．找该平面的垂线，以该垂线的方向向量为该平面的法向量． 2．对于一般位置状态的平面，采用以下步骤求法向量．
图 2－4－2 【思路探究】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直 的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平 面的法向量 n1，n2，证明 n1·n2＝0.
【自主解答】由题意得 AB,BC,B1B 两两垂直, AB＝BC＝2，BB1＝1， E 为 BB1 的中点．以 B 为原点，BA，BC，BB1 分别为 x，y，z 轴，
用向量方法证明平行与垂直
用向量方法证明平行与垂直要证明两个向量是平行的，我们需要证明它们的方向相同或相反。
而要证明两个向量是垂直的，我们需要证明它们的内积为零。
首先，我们考虑平行向量的证明。
设有两个向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)其中n代表向量的维度。
如果u和v是平行的，那么它们的方向相同或相反，可以用以下方式进行证明：1.方向相同：我们可以证明向量u和v的比例关系。
即对于任意的i，我们有：ui/vi = u1/v1 = u2/v2 = ... = un/vn如果我们找到一个非零常数k，使得：ui = k * vi，则u和v是平行的。
2.方向相反：我们可以找到一个常数k，使得：ui = -k * vi，则u和v的方向相反，它们也是平行的。
下面我们来看一个具体的例子。
例1：证明(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。
解：我们可以计算向量的比例：(1/2)=(2/4)=(3/6)=1/2这意味着我们可以找到一个非零常数k=1/2，使得：(1,2,3)=(1/2)*(2,4,6)因此，向量(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。
接下来，我们考虑垂直向量的证明。
设有向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)如果u和v垂直，那么它们的内积为零，可以用以下方式进行证明：u·v=0我们可以将内积展开为标量乘积的形式：u · v = u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn = 0这意味着对于任意的i，我们有：ui * vi = -u1 * v1 - u2 * v2 - ... - un * vn如果我们能找到满足上述等式的向量u和v，则u和v是垂直的。
下面我们来看一个具体的例子。
例2：证明(1,2,3)和(-1,2,-1)是垂直的。
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求证 : 平面A1BD / /平面CB1D1
证明: 如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A
直角坐标系.设正方体的棱长为1,
Z
DC
B
则A1(1, 0, 0), B1(1,1, 0), C(0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1D (1, 0,1), B1C (1, 0,1)
FM
B
C
且FM AN.求证：MN / /平面EBC
N
证明: 在正方形ABCD与ABEF中, A
D
BE AB, FM AN , FB AC,
存在实数,使FM FB, AN AC.
MN MF FA AN BF EB AC
(BE BA AB AD) EB (BE AD) EB
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .
求证CD 平面BDM .
A
解:
D
如图,以C为原点建立空间直角坐标系.
B( 2,0,0), B1( 2,1,0), A1(0,1,1),
C
211 2
B
D( , , ), M ( ,1,0),
2 22 2
A1
C1
M
B1
CD (
2 2
,
1 2
,
1 2
),
A1B
D C B
C1
M
B1
A1B, DM为平面BDM内的两条相交直线,
CD 平面BDM .
18
课本p41练习 习题2-4
教后反思
19
l
m
l // ma // b a b
a ba
l //
l
u a u a u 0
u
v
// u // v u v
20
l
l m a b a b 0
A'
A'C AB ',求证：BC ' AB '
设底面边长为2,高为h, 如图建立空间直角坐标系.
坐பைடு நூலகம்法
C
B
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,1,0).
A
A'( 3,0, h), B'(0,1, h),C'(0,1, h).
AB ' ( 3,1, h), A'C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h) 0 AB ' • A'C 3 1 h2, h2 2.
(
2, 1, 1)，DM (0, 1 , 1), 217 2
作业：
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .
求证CD 平面BDM
A
A1
则CD • A1B 0, CD • DM 0. CD A1B,CD DM .
D1
B
C1
Y
在应用向量法时需要合理建 XA1
B1
立空间直角坐标系，方能减
少运算量。本题选用了坐标法。
9
（二）用向量处理垂直问题 Z
例3在正方体ABCD A' B 'C ' D '
中.E,F分别是CC ', BD的中点.
E
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图 取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴
D1
A1
B1
X
C1
Y
A1D // B1C.即直线A1D // B1C， 则A1D // 平面CB1D1.同理右证：A1B // 平面CB1D1. 平面A1BD // 平面CB1D1.
8
评注：
Z
由于三种平行关系可以相互
D
C
转化，所以本题可用逻辑推 A 理来证明。用向量法将逻辑 论证转化为问题的算法化，
AB ' • BC ' 0 2 h2 0. BC ' AB '
15
三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来使用。
16
四.作业：
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的
a
b
l a
m l u a // u a u
v
u v uv 0
u
21
§4用向量讨论 垂直与平行
1
一、复习
1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为 向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形 问题）
2
2.平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l // m
a
//
b
a
b
线面平行 面面平行
l // //
au//
u v
a u
u 0
v
3
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
Y
F
建立空间直角坐标系,
X
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)
10
Z
A' F (1,1, 2),
E
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
A' F • DB (1,1, 2) • (2, 2,0) 0,
F
(BE BC) BE ( 1)BE BC. 6
E
MN、BE、BC共面.
FM
B
M 平面EBC,MN // 平面EBC
N
C
A
D
评注：
向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是
存在实数对x,y使p=xa+yb.
利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
本题用的就是向量法。
7
例2在正方形ABCD - A1B1C1D1中,
a
c
•b
1
2
C
B
BC'• AB' (c a b)•(b a)
A
(c a 2a b) • (b a) (2a b) • (b a)
2
2
22
2a a • b b 2a b 11 0
14
练习：
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
B'
C'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
Y
A' F • DE (1,1, 2) • (0, 2,1) 0
X
A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
11
Z
评注：
本题若用一般法证明，
容易证A’F垂直于BD，
E
而证A’F垂直于DE，
或证A’F垂直于EF则较难，
用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
（2）垂直关系
线线垂直 l m
线面垂直 l 面面垂直
a b a b 0
a// u a u
u v uv 0
4
二、新课
（一）用向量处理平行问题 （二）用向量处理垂直问题
5
（一）用向量处理平行问题
例1如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
F
Y
X
12
练习：
B' C'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
证明：设底面边长为1,
设a AA', b AB, c AC C
B
A
a • b 0, a • c 0, b • c 1/ 2.
A'C A' A AC c a AB' AB BB' b a
向量法
BC' BA AC CC' c a b
13
练习：
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
B'
C'
A'C AB ',求证：BC ' AB '
A'
0 A'C • AB ' (c a) • (b a)
2
c•b c•a a•b a
2