复数的概念及运算 知识点+例题 全面分类
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
(完整版)复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。
复数的基本概念与运算例题和知识点总结
复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。
复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。
二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。
复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。
（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。
（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1．复数的有关概念我们把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a＋b i可以分类如下：复数(b＝0)，(b≠0)(当a＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)――――→一一对应平面向量OZ ――→.5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 311.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则(1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d .(2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0.12．复数代数形式的除法法则：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例]实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解](1)当x 2－2x －15＝0，＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x2－2x －15≠0，＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 0，≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件。
复数知识点总结和例题
复数知识点总结和例题一、名词的复数形式1. 一般情况下，名词构成复数的规则是在单数形式后面加上-s，如book-books，cat-cats，dog-dogs等。
2. 以-s, -ss, -sh, -ch, -x结尾的名词，复数形式应在词尾加-es，如bus-buses，class-classes，box-boxes等。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，复数形式应将y变为i再加上-es，如baby-babies，city-cities等。
4. 以-f或-fe结尾的名词，复数形式应将f变为v再加上-es，如leaf-leaves，knife-knives 等。
5. 一些名词的复数形式是不规则变化的，需要独立记忆，如child-children，man-men，woman-women等。
二、不可数名词不可数名词是指不能用于单复数变化的名词，它们通常表示一种概念、物质或抽象事物，如water, milk, money, information等。
不可数名词没有复数形式，不能与不定冠词a/an连用，通常用于表示数量的量词或用作可数名词的量词修饰。
例题一：1. The teacher gave us some useful _______ for the exam. (information)A. informationsB. informC. informationD. informs答案：C. information2. There are too many ______ in the river. (fish)A. fishsB. fishC. fishesD. fishies答案：B. fish3. He bought two new ______ at the bookstore yesterday. (novel)A. novellsB. novlesC. novelD. novels答案：D. novels4. There is some ______ on the table, could you please pass me the ______? (butter)A. buttersB. butterC. buttersD. butteries答案：B. butter5. Please give me some more ______ for my cup of ______. (milk)A. milksB. milkC. milkieD. milkies答案：B. milk三、名词的数量表达1. 在表示数量的名词或代词前，应使用相应的量词来修饰，如a few, a little, some, many, much, a lot of, plenty of等。
复数的概念及运算-知识点+例题-全面分类
[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z 为复数，i z 2+为实数，且z i )21(-为纯虚数，其中i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1=-z w ，求w 的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为_______. （2）若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 1 (2) 充分不必要条件解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1， 所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i 是虚数单位．若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为__________. （2）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的____________条件. （填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案 一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案 －1解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案 －3－4i解析 因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。
(完整版)高考复数知识点精华总结
1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。
4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称 若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
专题09：复数知识点及典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习课件+知识清单+练习题
A． 4 2i
12．A 【分析】
B． 4 2i
利用复数的加法法则直接计算即可.
C．1 4i
D．1 5i
【详解】
(3 4i) (1 2i) 3 1 4 2 i 4 2i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的加法运算，属于基础题.
13．如图，在复平面内，若复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 OA ，OB ，则复数
zm zn zmn , (zm )n zmn , (z1z2 )n z1n z2n
15．复数 z 2 i1 2i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
15．A
【分析】
利用复数的乘法化简复数 z ，利用复数的乘法可得出结论.
【详解】
z 2 i1 2i 2 3i 2i2 4 3i ，
D．1 3i
7．A
【分析】
由图形得复数对应点的坐标，利用复数的运算法则求解.
【详解】
由题意可得
z
1i
，所以 z
4 =1 i+ 4
z
1i
1 i 21 i 3 i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算、几何意义，属于基础题.
8．在复平面内，若表示复数 z m2 1 1 i 的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（ ） m
z 2i，
则 z 的虚部是 1．
故选： B ．
21．设复数
z
1 i2020 1i
（其中
i
为虚数单位），则
z
在复平面内对应的点所在象限为（
）
A．第四象限 21．A
B．第三象限
C．第二象限
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[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+
[巩固1] 复数
i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4
[巩固2] 如果
)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1
[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+
[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3
[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则
ni m ni m -+的共轭复数为_________.i
[例4] 计算：（1）3)2)(1(i
i i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-
[巩固] 计算：
（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）i
i 4321-+
1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2．复数的模：22b a bi a z +=+=
3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=
- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
[例1] 已知复数i i z -+=
12，则._____=z 210
[巩固1] 复数)0(21<+=
a i
ai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5
[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.
______=z i 5
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[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=
（1）若z z =，求z ；
（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模
精典例题透析
[巩固] 已知z为复数，i
z2
+为实数，且z
i)
2
1(-为纯虚数，其中i为虚数单位.
（1）求复数z；
（2）若复数z满足1
=
-z
w，求w的最小值.
题型一：复数的概念
[例]（1）已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若
z1
z2为纯虚数，则复数
z1
z2的虚部为_______.
（2）若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）
答案(1) 1(2) 充分不必要条件
解析(1)由
z1
z2＝
2＋a i
1－2i
＝
(2＋a i)(1＋2i)
5＝
2－2a
5＋
4＋a
5i是纯虚数，得a＝1，此时
z1
z2＝i，其虚部为1.
(2)由
⎩⎪
⎨
⎪⎧m2＋m＋1＝3，
m2＋m－4＝－2，
解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
[巩固]（1）设i是虚数单位．若复数a－
10
3－i
(a∈R)是纯虚数，则a的值为__________.
（2）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的____________条件.（填充分不必要，知识模块4经典题型
必要不充分，充要或既不充分也不必要）
答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件
解析 (1)a －103－i
＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i
为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；
当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－
b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，
所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．
题型二：复数的运算
[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i
＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i
解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1
＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )2
2]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2
＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.
（2）复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1
解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，
得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )
＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩
⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i
＝－1.
题型三：复数的几何意义
[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：
（1）AO →、BC →所表示的复数；
（2）对角线CA →所表示的复数；
（3）B 点对应的复数．
解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.
∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.
(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，
∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，
即B 点对应的复数为1＋6i.
[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.
答案 一
解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，
∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，
∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．
（2）已知z 是复数，z ＋2i 、
z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，
∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6，
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.
答案 －1
解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.
答案 －3－4i
解析 因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.
3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i
的点是______点. 夯实基础训练。