云模型简介
云理论——精选推荐
云模型理论综述云模型理论是李德毅院士及其领导的研究小组所提出的一种全新的理论，它的出现主要用于解决现实系统定性概念与定量数值之间的不确定性转换问题。
目前在很多研究领域用语言表述一个事实时会面临两类问题：模糊性（边界的亦此亦必性）和随机性（发生的概率），当对客观世界给出定性概念后，需要经历将定性概念转化为可以用数字进行定量分析的过程，而在此转化过程中，必然涉及到模糊性和随机性的问题。
传统的模糊性理论作为处理模糊性问题的主要工具，用隶属度来刻画模糊事物的亦此亦彼性，但是这种利用一个精确隶属度函数来描述模糊集的方法，其已经将模糊概念强行纳入确定数据的讨论中，则以此为基础而引申出的叙述和分析都变的不再模糊，这也就是传统的模糊性理论的不彻底性问题。
传统的随机数学是解决模糊概念和定性概念之间的概率性问题的方法，当一个定性概念转化为定量概念后，每个转化后的数据只是依据一定概率存在，但是概念所代表的模糊区间却无法确定。
而云理论则很好地将两者特性结合。
一、云理论的原理和特征云理论的主要特点在于将概念的模糊性和随机性特征结合在一起，解决了非线性与不确定性的问题。
云理论解决概念模糊性和随机性特征的原理如下：其假设一个精确数值量组成的集合{}U x =，称为论域。
T 是与U 相联系的语言值。
U 中的元素x 对于T 所表达的定性概念的隶属度()T C x （或称x 与T 的相容度）是一个具有稳定性的随机数，隶属度在论域上的分布成为隶属云，简称云。
隶属度()T C x 在[0,1]中取值，云是从论域U 到区间[0,1]的映射，即()T C x ：[0,1]U −−→ 1、 由于()T C x 是一个随机分布，所以x U ∈到区间[0,1]的映射是一对多的转换，同时由于x 对于T 的隶属度是一个概率分布而非固定值，从而产生的云是一条具有一定厚度的云体，而不是一条清晰的隶属曲线。
2、 云由许多云滴组成，一个云滴是定性概念在定量数据上的一次实现，单个云滴无法表达什么，并且在不同时刻产生的云的细节也可能不尽相同，但是具有整体形状的云却能够反映概念的基本特征。
云模型计算公式
云模型计算公式
云模型是一种用于处理不确定性信息的数学模型，它基于随机变量的概念，并通过云函数和刻画函数来描述不确定性的分布情况。
在云模型中，计算公式包括以下几部分：
1. 云函数的计算：云函数是云模型的核心，用于描述随机变量的不确定性分布。
通常，云函数由两个参数表示，即基本云元和云元函数。
基本云元表示随机变量的取值区间，而云元函数则描述了在不同取值下的隶属度。
2. 刻画函数的计算：刻画函数用于描述云函数的形状和变化情况。
它可以通过一些统计指标来进行计算，比如均值、方差、偏度和峰度等。
刻画函数的计算可以帮助我们了解云函数的分布特征和形态。
3. 不确定性推理的计算：云模型可以进行不确定性推理，即根据已知信息推断未知信息的过程。
在推理过程中，需要根据已知的云函数和刻画函数进行计算，以得到推理结果。
总的来说，云模型的计算公式可以根据具体问题和应用场景的需求进行定制和调整，通常涉及云函数、刻画函数和不确定性推理等方面的计算。
云模型
云模型云模型（Cloud model）是我国学者李德毅教授提出的定性和定量转换模型。
随着不确定性研究的深入，越来越多的科学家相信，不确定性是这个世界的魅力所在，只有不确定性本身才是确定的。
在众多的不确定性中，随机性和模糊性是最基本的。
针对概率论和模糊数学在处理不确定性方面的不足，1995年我国工程院院士李德毅教授在概率论和模糊数学的基础上提出了云的概念，并研究了模糊性和随机性及两者之间的关联性。
自李德毅院士等人提出云模型至今短短的十多年，其已成功的应用到数据挖掘、决策分析、智能控制、图像处理等众多领域。
定义在随机数学和模糊数学的基础上,提出用"云模型"来统一刻画语言值中大量存在的随机性、模糊性以及两者之间的关联性,把云模型作为用语言值描述的某个定性概念与其数值表示之间的不确定性转换模型.以云模型表示自然语言中的基元——语言值,用云的数字特征——期望Ex,熵En和超熵He表示语言值的数学性质.“熵”这一概念最初是作为描述热力学的一个状态参量,以后又被引入统计物理学、信息论、复杂系统等,用以度量不确定的程度.在云模型中,熵代表一个定性概念的可度量粒度,熵越大粒度越大,可以用于粒度计算;同时,熵还表示在论域空间可以被定性概念接受的取值范围,即模糊度,是定性概念亦此亦彼性的度量.云模型中的超熵是不确定性状态变化的度量,即熵的熵.云模型既反映代表定性概念值的样本出现的随机性,又反映了隶属程度的不确定性,揭示了模糊性和随机性之间的关联.相关系数期望Ex是云在论域空间分布的期望,是最能够代表定性概念的点,或者说是这个概念量化的最典型样本;熵En代表定性概念的可度量粒度,熵越大,通常概念越宏观,也是定性概念不确定性的度量,由概念的随机性和模糊性共同决定.一方面, En是定性概念随机性的度量,反映了能够代表这个定性概念的云滴的离散程度;另一方面,又是定性概念亦此亦彼性的度量,反映了在论域空间可被概念接受的云滴的取值范围;超熵He是熵的不确定性度量,即熵的熵,由熵的随机性和模糊性共同决定。
云模型的具体实现方法
云模型的具体实现方法云模型（Cloud Model）是一种模糊理论的数学方法，用于处理不确定性和模糊性的问题。
它可以将模糊的概念转化为具体的数学模型，用于分析和决策。
云模型的具体实现方法主要包括以下几个步骤：1. 收集数据：首先，需要收集与问题相关的数据。
这些数据可以是定量的，也可以是定性的。
定量数据可以通过测量或统计得到，而定性数据则可以通过问卷调查或专家访谈等方式获得。
2. 确定隶属函数：在云模型中，隶属函数用于描述一个概念的模糊程度。
常见的隶属函数包括三角隶属函数、梯形隶属函数和高斯隶属函数等。
根据问题的特点和数据的分布情况，选择合适的隶属函数。
3. 制定初始云：根据收集到的数据和确定的隶属函数，可以制定初始的云模型。
初始云可以是一个随机生成的云，也可以是根据数据的分布情况进行估算得到的云。
4. 云的演化：通过云的演化过程，可以逐步改进和优化云模型。
云的演化过程可以通过云生成、云退化和云变换等操作来实现。
其中，云生成操作是指根据已有的云生成新的云，云退化操作是指根据已有的云退化为更低级别的云，而云变换操作则是指将一个云转化为另一个云。
5. 云的运算：云模型中的运算包括云间的运算和云内的运算。
云间的运算可以通过云的相交、相加和相减等操作来实现，用于描述不同概念之间的关系。
云内的运算可以通过云的中心、宽度和高度等指标来描述，用于表示概念的重要程度、模糊程度和可信度等。
6. 问题求解：最后，根据问题的具体需求，可以使用云模型进行问题求解。
问题求解可以通过云模型的聚类、分类、预测和优化等方法来实现。
其中，聚类方法可以将相似的数据点分为一类，分类方法可以将数据点划分到不同的类别，预测方法可以预测未来的趋势和结果，优化方法可以找到最优的解决方案。
云模型的具体实现方法主要包括数据收集、隶属函数确定、初始云制定、云的演化、云的运算和问题求解等步骤。
通过这些步骤，可以将模糊的概念转化为具体的数学模型，用于分析和决策。
云计算常用服务模型
云计算常用服务模型1. 基础设施即服务（IaaS）：IaaS是一种云计算服务模型，提供基于云的基础设施资源，包括虚拟机、存储、网络和操作系统等。
用户可以通过IaaS将自己的应用程序部署到云端，根据需要弹性地调节资源规模。
1.1 虚拟机（Virtual Machines）：虚拟机是云计算中最常见的IaaS服务。
虚拟机提供了一个完整的操作系统环境，可以在其中运行各种类型的软件。
用户可以通过虚拟机来搭建自己的应用程序环境，而无需购买和维护物理服务器。
1.2 存储（Storage）：云存储是一种可以将数据存储在云端的服务。
用户可以通过云存储来存储和共享文件、数据库和对象等数据。
云存储提供了高度可扩展的存储空间，可以根据用户的需求自动扩展和缩减。
1.3 网络（Networking）：云计算提供了对网络资源的访问和管理，用户可以通过云平台来配置虚拟网络、安全组和路由等。
云计算中的网络服务可以帮助用户构建复杂的网络拓扑，提供高可用性和可扩展性。
1.4 操作系统（Operating System）：云计算平台通常会提供多种操作系统环境供用户选择，用户可以根据自己的需求选择合适的操作系统。
云计算平台会负责操作系统的安装、管理和更新。
2. 平台即服务（PaaS）：PaaS是一种云计算服务模型，提供开发、测试和部署应用程序的平台环境。
PaaS提供了一整套开发工具、库和框架，可以帮助开发人员快速构建和部署应用程序。
2.1 开发工具箱（Development Tools）：PaaS平台提供了丰富的开发工具，包括软件集成开发环境（IDE）、调试工具和测试工具等。
通过PaaS平台，开发人员可以方便地进行应用程序开发和测试。
PaaS平台提供了各种运行时环境，包括Java、Python、Ruby等。
开发人员可以选择适合自己的运行时环境，在PaaS平台上开发和运行应用程序。
2.3 数据库和存储（Database and Storage）：PaaS平台通常会提供数据库和存储服务，用户可以将数据存储在云端，进行数据的读写和管理。
云模型的原理
云模型的原理云模型是一种基于概率统计理论的方法，用于处理不确定性问题。
它的提出主要是为了解决模糊逻辑和概率统计在处理不确定性问题时存在的问题和局限性。
云模型可以有效地处理模糊问题，如模糊分类、模糊决策和模糊控制等。
云模型是由云形状的隶属函数构成的数学模型。
云模型的隶属函数分为三个部分：云体、云元和云中心。
云体是一个表示不确定性的隶属度区间，用来表示事物在某个属性上的不确定性程度。
云元是云体的中心，表示了一个事物在某个属性上的隶属度。
云中心是指定在某个属性上的确定性程度，表示了一个事物在该属性上的确定性程度。
云模型的生成过程主要包括三个步骤：成员函数的构造、云体的生成和云元的生成。
首先，根据具体问题的特点来选择成员函数，构造一个隶属度函数。
成员函数可以是高斯型、均匀型或三角形等形式。
然后，根据成员函数生成云体。
云体是基于成员函数定义的一个概率分布函数，用来描述一个事物在某个属性上的不确定性。
最后，通过对云体的描述，生成云元。
云元是一个随机变量，表示一个事物在某个属性上的隶属度。
云模型的数学表达式可以通过使用概率密度函数来描述，具体形式为：F(a) = (α, β, γ)其中，α、β、γ分别表示云体的左边界、核心和右边界。
云模型的主要特点包括概率性、模糊性和不确定性。
概率性体现在云体的生成过程中，通过概率统计理论来描述一个事物在某个属性上的不确定性。
模糊性体现在云元的生成过程中，通过成员函数和云体的描述来表示一个事物在某个属性上的模糊程度。
不确定性体现在云体和云元的描述中，表示一个事物在某个属性上的确定性程度。
云模型的应用主要集中在不确定性问题的建模与分析。
例如，在模糊分类中可以使用云模型来描述事物在不同属性上的模糊性，从而确定事物的类别。
在模糊控制中可以使用云模型来描述控制输入和输出的不确定性，从而优化控制策略。
在决策分析中可以使用云模型来描述决策变量的不确定性，从而制定合理的决策方案。
总结起来，云模型是一种基于概率统计理论的数学模型，用于处理不确定性问题。
云计算常用服务模型
云计算常用服务模型
云计算是一种基于互联网的新型计算模式，它通过将计算资源、存储资源和网络资源等虚拟化，提供给用户按需使用，帮助企业降低IT成本、提高运营效率，促进数字化转型。
在云计算中，有三种常用的服务模型：IaaS、PaaS和SaaS。
IaaS（基础设施即服务）是云计算中最基础的服务模型，它提供了基础的计算、存储和网络资源，用户可以根据需求灵活选择使用。
IaaS可以为企业提供弹性的IT基础设施，满足了企业快速适应市场变化和应对业务发展的需求。
PaaS（平台即服务）是在IaaS服务基础上提供的一种更高层次的服务模型，它将开发和部署应用程序所需的基础设施和工具封装在一起提供给用户。
PaaS可以帮助企业缩短应用程序的开发周期、提高开发效率，同时减少了应用程序部署和管理的工作量。
SaaS（软件即服务）是在PaaS服务基础上提供的一种更高层次的服务模型，它提供了完整的应用程序，用户无需购买或运行软件，只需通过互联网访问即可使用。
SaaS可以帮助企业减少IT维护成本、提高用户体验，同时为用户提供了更多灵活的使用方式。
总之，云计算的常用服务模型包括IaaS、PaaS和SaaS，它们分别提供了基础设施、开发平台和应用程序，可以帮助企业实现快速适应市场变化、提高效率和降低成本的目标。
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云计算理论模型描述模型
云计算理论模型描述模型
1. 云计算层级模型：云计算通常被划分为不同的层级，包括基础设
施层（IaaS）、平台层（PaaS）和软件层（SaaS）。
这些层级描述了云计
算模式中不同层次的服务和功能。
2. 云计算服务模型：云计算服务模型描述了云计算提供的不同服务
类型。
其中，基础设施即服务（IaaS）提供了虚拟化的硬件资源，平台即
服务（PaaS）提供了开发和部署应用程序的平台，而软件即服务（SaaS）
提供了应用程序的完整功能。
3.云计算部署模型：云计算部署模型描述了云计算资源的部署方式。
常见的云计算部署模型包括公有云、私有云、混合云和社区云。
公有云指
的是由第三方服务提供商提供的云服务，私有云指的是组织内部部署和管
理的云基础设施，混合云是公有云和私有云的结合，而社区云则由一组共
同利益的组织共享和管理。
4.云计算关键特性：云计算具有一系列关键特性，包括按需自助服务、广泛网络访问、资源池化、快速弹性扩展和量化服务等。
这些特性是云计
算的基石，为用户提供了强大的灵活性和可扩展性。
5.云计算安全和隐私模型：云计算涉及大量的敏感数据和用户隐私，
因此安全和隐私问题成为了云计算领域的关注焦点。
云计算安全和隐私模
型用于描述和研究云计算环境下的安全和隐私挑战，并提供相应的解决方
案和技术。
总的来说，云计算理论模型为研究者和从业者提供了一个统一的框架
和理论体系，有助于理解和应用云计算模式。
通过深入研究和分析云计算
理论模型，可以为云计算的发展和应用提供更有针对性的建议和解决方案，从而推动云计算技术的进一步发展。
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第三章云模型简介在人类认知以及进行决策过程中，语言文字是一种强有力的思维工具，它是人类智能和其他生物智能的根本区别。
人脑进行思维不是纯粹地应用数学知识，而是靠自然语言特别是客观事物在人脑中的反映而形成的概念。
以概念为基础的语言、理论、模型是人类描述和理解世界的方法。
自然语言中，常常通过语言值，也就是词来表示概念。
而语言值、词或概念与数学和物理的符号的最大区别就是其中包含太多的不确定性。
在人工智能领域，不确定性的研究方法有很多，主要有概率理论，模糊理论，证据理论和粗糙集理论；对于确定性系统的不确定性的研究还有混沌和分形的方法。
这些方法从不同的视角研究了不确定性，优点是：有切入点明确、边界条件约束清楚、能够对问题进行深入研究等，但是在研究中常常将不确定性分成模糊性和随机性分开进行研究，然而两者之间有很强的关联性，往往不能完全的分开。
随机性是指有明确定义但是不一定出现的事件中所包含的不确定性。
例如在投掷硬币试验中，硬币落地时要么有国徽的一面向上，要么标有分值的一面向上，结果是明确的可以预知的，但是每次试验结果是随机的。
概率论和数理统计是研究和揭示这种随机现象的一门学科，至今已有几百年的研究历史．模糊性是另一种不确定性，是已经出现的但是很难精确定义的事件中所包含的不确定性。
在日常工作和生活中存在着许多模糊概念，如“胖子”“年轻人”“收入较高”等。
为处理这些模糊概念，引入了模糊集的概念[41]，使用隶属度来刻画模糊事物彼此间的程度。
隶属度函数常用的确定方法有模糊统计法、例证法专家经验法等，这些方法确定隶属度函数的过程是确定的,本质上说是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解存在差异,因此有很强的主观性，而且一旦隶属度函数确定之后，得到的概念、定理等包含着严密的数学思维，其不具有任何模糊性。
针对上述问题李德毅院士在传统的概率统计理论和模糊理论的基础上提出了定性定量不确定性转换模型——云模型，实现定性概念和定量值之间的不确定性转换。
在此工作上，一些学者对云模型做了深入系统的研究，使其日趋成熟，并将它成功地应用于不确定性推理、关联规则挖掘，空间数据的挖掘，智能控制及时间序列预测等领域。
云模型能模拟人类思维灵活划分属性空间，在较高的概念层上泛化属性值，完成定量数值到定性概念间的转换，同时允许相邻属性值或语言之间有重叠，这种划分使发现的知识具有稳健性。
而由于计算机系统的行为存在随机性和不确定性，云模型能够很好地处理具有随机性和不确定性的数据，所以可将云模型引入到入侵检测中来，通过云模型建立的入侵检测系统具有较准确的检测能力和适应能力。
3.1 云模型的引入云模型能够实现定性概念与定量值之间的不确定性转换。
同时数据挖掘是基于不同认知层次的“数据-概念-知识”视图，“数据”中包含大量的不确定性知识，而云模型能够更准确地将数据表达为概念，进而发现准确、完整的知识。
因此将云模型应用于数据挖掘中可以提高数据挖掘的准确度。
下面简单介绍云模型的一些概念和数字特征，重点介绍云的概念、正态云发生器及正态云的数学性质。
3.1.1 云和云滴定义3.1[42] 设U 是一个精确数值表示的定量论域，C 是U 上的定性概念，若定量值U x ∈，且x 是定性概念C 的一次随机实现，x 对C 的确定度]1,0[)(∈x μ是有稳定倾向的随机数]1,0[:→U μ U x ∈∀ )(x x μ→ （3.1）则x 在论域U 上的分布称为云(Cloud)，每一个x 称为一个云滴[42]。
云具有以下性质[42] ：(1)论域U 可以是一维或多维的;(2)定义中所提及的随机实现，是概率意义下的实现；定义中所提到的确定度，是模糊集意义下的隶属度，同时又具有概率意义下的分布;(3)对于任意一个U x ∈，x 到区间[0,1]上的映射是一对多的变换，x 对C 的确定度不是一个固定的数值，而是一个概率分布;(4)云由云滴组成，云滴之间无次序性，一个云滴是定性概念在数量上的一次实现，云滴越多，越能反映这个定性概念的整体特征;(5)云滴出现的概率大，云滴的确定度大，则云滴对概念的贡献大。
3.1.2 云的数字特征云的数字特征能够反映概念的整体性和定性知识的定量特性，它对定性概念的理解有很重要的意义。
云一般用期望Ex 、熵En 和超熵He 这三个数字特征来整体表征一个概念[43]，如图3-1所示。
图3-1 云的数字特征Fig.3-1 Digital Characteristics of the Cloud期望Ex ：云滴在论域空间分布的期望，是概念在论域中的中心点，它是最可以代表定性概念的点[43]。
熵En ：定性概念的不确定性度量，由概念的随机性和模糊性共同决定。
一方面熵是定性概念随机性的度量，反映了能代表这个定性概念的云滴的离散程度；另一方面又是定性概念模糊度的度量，反映了论域空间中可被概念接受的云滴的取值范围，此外熵还能反映随机性和模糊性之间的关联性[43]。
超熵He ：是熵的不确定性的度量，即熵En 的熵，由熵的随机性和模糊性共同决定，反映了云滴的离散程度，超熵的大小间接地反映云的厚度，超熵越大，云的厚度越大[43]。
3.1.3 云模型的类型云模型是云的具体实现方法，是云运算、云推理、云控制、云聚类等方法的基础。
由定性概念到定量表示的过程，即由云的数字特征产生云滴的过程，称为正向云发生器。
由定量表示到定性概念的过程，即由云滴群得到云的数字特征的过程，称为逆向云发生器。
云有多种实现方法，可构成不同类型的云，如半云模型、对称云模型、组合云模型等，还可以扩展到多维云模型。
3.2 正态云正态分布是概率理论中重要分布之一，通常用均值和方差两个数字特征表示；钟形隶属度函数是模糊理论中使用最多的隶属函数，通常用222)()(b a x e x -=μ来表示。
正态云正是在二者基础上发展起来的全新模型。
定义3.2 设U 是一个精确数值表示的定量论域，C 是U 上的定性概念，若定量值U x ∈，且x 是定性概念C 的一次随机实现，若x 满足：),(~2'En Ex N x ,其中),(~2'He En N En ，且x 对C 的确定度满足：2'22)()(En Ex x ex -=μ（3.2） 则x 在论域U 上的分布称为正态云[43]。
3.2.1 正态云发生器正态云发生器[44]是指用计算机实现的一种特定算法，其可以用集成的微电子器件来实现，包括正向云发生器和逆向云发生器。
(1) 正向云发生器正向云发生器是实现定性概念到定量值的转换模型，其由云的数字特征（He En Ex ,,）产生云滴，如图3-2所示。
图3-2 正向云发生器Fig.3-2 Forward Cloud Generator (2) 逆向云发生器逆向云发生器[44]是实现定量值到定性概念的转换模型，它可以将一定数量的精确数据转换为以数字特征(He En Ex ,,)表示的定性概念，如图3-3所示。
图3-3 逆向云发生器Fig.3-3 Backward Cloud Generator逆向正态云发生器的算法基于统计原理思想，基本算法有两种：一是无需确定度信息的逆向云发生器算法；二是需要确定度信息的逆向云发生器算法[44]。
3.2.2 云滴对概念的贡献在正向正态云模型中，云滴群对概念的贡献是不同的。
本文以一维正向正态云为例来说明云滴群对概念的贡献程度。
定义3.3 在一维论域U 中，X 中任一小区间上的云滴群x ∆对定性概念A 的贡献C ∆[43]为)2/()(En x x C A πμ∆*≈∆（3.3）易得，论域（+∞∞-,）上所有元素对概念A 的总贡献C 为122)()2/()(22===⎰⎰+∞∞---+∞∞-En dx e En dx x C Ex Ex x A ππμ（3.4） 同理，可得论域[En Ex En Ex 3,3+-]上所有元素对概念A 的总贡献En Ex C 3±为：EnEx C 3±=%74.99)(2133=⎰+-En Ex En Ex A dx x En μπ（3.5） 因此论域U 中对定性概念A 有所贡献的云滴，主要落在]3,3[En Ex En Ex +-区间中，通常可以忽略区间]3,3[En Ex En Ex +-之外的云滴对定性概念所做的贡献，这即为正向正态云的“En 3规则”[44]。
同理位于]67.0,67.0[En Ex En Ex +-区间内的云滴，占所有定量值的22.33%，它的贡献占总贡献的50％，这部分云滴被称为“骨干元素”；位于],[En Ex En Ex +-区间内的云滴，占所有定量值的33.33％，这部分的贡献占总贡献的68.26％，这部分元素被称为“基本元素”；位于],[En Ex En Ex +-区间和]2,2[En Ex En Ex +-区间内的云滴，占所有定量的33.33％，它们对定性概念的贡献占总贡献的27.18％，该部分元素被称为“外围元素”；位于]2,2[En Ex En Ex +-区间和]3,3[En Ex En Ex +-区间内的云滴，占全部定量值的33.33％，它们对定性概念的贡献占总贡献的4.3％，这部分云滴被称为“弱外围元素”[44]。
不同区域内的云滴群对定性概念所做的贡献不同，如图3-4所示。
图3-4 云滴群对定性概念的贡献 这图能不能小点儿Fig.3-4 Cloud Droplets Contribute to Qualitative Concept3.3 正态云的数学性质3.3.1 云滴分布的统计分析根据正态云发生器算法，所有云滴x 的集合构成随机变量X ，'En 服从以En 为期望、2He 为方差的正态分布，所以'En 的概率密度函数[44]为22'2)(21)(He En x En e He x f -=π（3.6） 如果'En 为定值时，X 服从以Ex 为期望、'En 为方差的正态分布，此时X 的概率密度函数[44]为2'22)(''21)(En Ex x x e En En x f -=π（3.7）由于'En 是随机变量，由条件概率密度公式可知X 的概率密度函数为dy e y He En x f x f x f He En y y Ex x x En x ⎰∞+∞----=⨯=2222'2)(2)('21)()()(π（3.8）式(3.8)是一个概率密度函数，它不具备解析形式，对于任意的变量x ，通过数值积分可以得到与之相应的函数值。
当云滴个数为n 时，采用Parzen 窗的方法可以估算出X 的概率密度函数[44]。
特别地，当0=He 时，X 的概率密度函数为222)(21)(En Ex x e En x f -=π（3.9） 因为所有的云滴x 都来自于期望为Ex 的正态随机变量，所以期望Ex EX =，方差22He En DX +=。