3.2.3直线与平面的夹角
课件2：3.2.3直线与平面的夹角
知 AC 为平面 BB1D1D 的一个法向量， 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ.
则 sin θ＝| AP·AC |＝ | AP|| AC |
2· 22＋m2＝
2 2＋m2.
cos θ＝ 1－sin2θ＝ 2＋m m2，
依题意 m2＝3 2，
解得 m＝13，
故当 m＝13时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为
[一点通] 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位 置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例 中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从 而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式 cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．
3．PA、PB、PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为
2＝ 6
36.
∴cos θ＝
1－sin2θ＝
1－69＝
3 3.
即 AD 与平面 BMD1N 所成角的余弦值为 33.
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD— A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点， CP＝m，试确定m，使直线AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为3 2.
解：建立如图所示的空间直角坐标系． 则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1， m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)， D1(0，0，1)， 所以 BD＝(－1，－1，0)，BB1 ＝(0，0， 1)， AP＝(－1，1，m)， AC ＝(－1，1，0)， 又由 AC ·BD＝0， AC ·BB1 ＝0，
设向量 AB 在平面α内的射影为 AB ，且直线AB与平 面α的夹角为θ，则〈 AB ， AB 〉＝θ，| AB | ＝ | AB|cos θ ．
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.3 含解析
第3课时 用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。
直线和平面的夹角
3.激情投入，培养缜密的逻辑思维品质。
【课前预习】
1.重点难点：
重点：斜线和平面所成的角（或夹角），如何求斜线与平面所成的角；
难点：斜线与平面所成角的求解，公式 的灵活运用.
2.问题导学：
1.斜线与平面夹角是如何定义的？它的范围分别是多少？直线和平面的夹角的范围呢？
三、当堂检测：（见课件）
① ② ③ ④
（3）PA,PB,PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值为( )
A B C D
4.我的疑问：
_______________________________________________________________________
【课内探究】
一、讨论、展示、点评、质疑
探究一：定义法求直线和平面的夹角
如图所示，在正三棱柱 中， ，求直线 和侧面 所成的角.
探究二： 的应用
已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为 ，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为 ，求斜线与平面所成角的大小.
拓展： 在平面 内，过该角的顶点A引平面 的斜线AP，且使 ，
求证：斜线AP在平面 内的射影平分 及其对顶角。（要画出图形，并思考能否用三余弦公式证明）
小结：
探究三：向量法求直线和平面的夹角
如图所示，在直三棱柱 中， ，D是线段 的中点，P是侧棱 上的一点，若 ，求 与底面 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
小结：
二、课堂小结：
1.知识方面：
2.数学思想方法方面：
3.2.3直线和平面的夹角
编制人：孙刘军、卜艳玲、尹桂臣审核人：领导签字：
课时作业13：3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.3 直线与平面的夹角基础达标练1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( )A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1D ．∠C 1BO2．P A 、PB 、PC 是由点P 出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC 与平面P AB 所成角的余弦值为( ) A.12 B.22 C.33D.633. 已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为( )A.13 B ．23 C.33 D.234．如果∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝60°，则P A 与平面PBC 所成角的余弦值为( ) A.12 B.2626 C.63D.335．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105°D ．75°6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．7．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角是________．8．在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面P AC所成的角为________．9．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．10．如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．能力提升练1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 夹角的正弦值为( ) A.62 B.63C.64D.22．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ满足( )A ．θ＝π4B ．cos θ＝23417C ．tan θ＝223D ．sin θ＝333．已知三棱锥S ABC 中，底面为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．4．如图所示，正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．5．如图所示，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：AC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.参考答案基础达标练1．【答案】D【解析】由线面垂直的判定定理，得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影，所以∠C 1BO 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，故选D. 2．【答案】C【解析】设PC 与平面P AB 所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝33.] 3. 【答案】C【解析】令正四棱锥的棱长为2，建立如图所示坐标系，则A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，22，∴AE →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，22，SD →＝()－1，－1，－2，∴cos 〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →||SD →|＝－33.∴AE 、SD 所成的角的余弦值为33. 4．【答案】D【解析】如图，设A 在平面BPC 内的射影为O ，∵∠APB ＝∠APC .∴点O 在∠BPC 的角平分线上，∴∠OPC ＝30°，∠APO 为P A 与平面PBC 所成的角． ∴cos ∠APC ＝cos ∠APO ·cos ∠OPC ， 即cos 60°＝cos ∠APO ·cos 30°， ∴cos ∠APO ＝33.] 5．【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°. 6．【答案】45°【解析】作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2.在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝ 2.在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22.∴∠CMO ＝45°. 7．【答案】30°【解析】连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O .设正方体棱长为a . 易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影． ∴∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ，∴sin ∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12，∴∠BA 1O ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°. 8．【答案】30°【解析】以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ， 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a2， 从而CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－a ，－a 2，a2，CB →＝(a ，a,0)． 设平面P AC 的一个法向量为n 可求得n ＝(0,1,1)， 则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12.所以〈CB →，n 〉＝60°.所以直线BC 与平面P AC 所成的角为90°－60°＝30°.9．解：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz ，如图．则D (0,0,0)，A (0,0,2)，M (1,0,2)，N (0,1,0)， 可得MN →＝(－1,1，－2).又D A →＝(0,0,2)为平面DCEF 的一个法向量， 可得cos 〈MN →，DA →〉＝MN →·DA →|MN →||DA →|＝－63.所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为|cos 〈MN →，DA →〉|＝63.10．解：如图，以D 为坐标原点，DA 为单位长建立空间直角坐标Dxyz .则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H . 设DH →＝(m ，m,1)(m >0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得m ＝122m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.能力提升练1．【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1，B 1(1,1,1)． A 1B 1→＝(0,1,0)，设平面A 1EF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，即⎩⎨⎧12y －z ＝0，－x ＋y 2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63，即线面角的正弦值为63.] 2．【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，所以G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，PG →＝⎝⎛⎭⎫23，23，－1.又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，则cos 〈PG →，n 〉＝－1⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫232＋(－1)2＝－31717，所以PG与平面ABCD 所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫－317172＝23417.]3．【答案】34【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3)． 设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)． 设AB 与平面SBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.]4．【答案】155【解析】取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0n ·BD →＝0所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝032x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.] 5．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC . ∵PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PDB . (2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，22，AE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，22.由(1)知AC →＝(－1,1,0)为平面PDB 的一个法向量． 设AE 与平面PDB 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC →，AE →〉|＝|AC →·AE →||AC →||AE →|＝12×1＝22.∴AE 与平面PDB 所成的角为45°.。
直线与平面的夹角(定稿)
A B
C
问题
平面的斜线和它在平面内的射影所成的
角,与斜线和平面内的任一条直线所成的角之间 有什么关系？ OA A, OB 于B 如图： O 设∠OAB=1 ∠BAC=2 ∠OAC=. AB cos 在Rt△AOB中， 1 AO AC 1 在Rt△ACB中， 2 cos A 2 B AB AC 在Rt△A图，ACB=90，S为平面 ABC外一点， SCA= SCB= 60，求SC与平面ACB所成的角
S
B
E O
C
F
A
4
例： 正方体 ABCD A B1C1 D1 的棱长为1. 1
求B1C1与面AB1C所成的角.
A1 B1
A B
x z
D1
C1
D
y
C
二、线面角：
A
直线与平面所成角的范围： [0, ]
z 以 AD AA 设正方体棱长为1， AB， ， 1为单 A1 0，， 0，， 位正交基底，可得 A(0，0) B1 (1，1) D1 B1 ， ，， C (11，， 1 (111) 则B1C1 (01 0) ，0) C ， ，， C1 AB1 (1 01) AC (11 0) ， ，， ， ， y A 设平面AB1C的法向量为n ( x，y，z ) D 则n AB1 0， AC 0 n B C x z 0 所以 ，取x = 1， x x y 0 0 1 0 3 B 得y = z = -1，故n = (1， ， ， cos n，1C1 -1 -1) 3 1 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
一、线线角：
异面直线所成角的范围： 0, 2 设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
第3章3.23.2.3直线与平面的夹角
1．直线和平面所成的角
4
90° 0° 射影
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5
思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线 和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为π2－〈s，n〉.
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2．最小角定理
6
cos θ= cos θ1﹒cos θ2
射影
最小的角
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7
1．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则
1
第三章 空间向量与立体几何
3．2 空间向量在立体几何中的应用 3．2.3 直线与平面的夹角
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2
学习目标
核心素养
1.理解斜线和平面所成的角的定
义，体会夹角定义的唯一性、合理 通过空间线面角提升学生的数
性. 学运算、逻辑推理素养.
2.会求直线与平面的夹角．(重点、
难点)
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3
自主预习 探新知
ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为( )
π
π
A.6
B.3
π
5π
C.2
D. 6
11
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12
B [以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正 方向建立空间直角坐标系(图略)，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， E0，1，12，
AC＝AB·sin 60°＝2a× 23＝ 3a，
所以 PC＝ 3a2＋4a2＝ 7a，设∠ACP＝θ，
则 AE＝AC·sin θ＝AC×APCP
＝
3a×
2a ＝2 7a
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB ＝60°，射线PC 与PA 、PB 所成角均为135°，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )A ．－63B.63C.33D ．－33[答案] B[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cos α·cos30°， ∴cos α＝63. 2．三棱锥P —ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是△ABC 的外心，P A ＝AB ＝1，BC ＝2，则PB 与底面ABC 所成角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由AB ＝1，BC ＝2，知AC ＝3，∴OA ＝32， 又∵PA ＝1，PQ ⊥AC ，∴PO ＝12，∵OB ＝OA ＝32，∴tan θ＝33.∴应选B. 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是( ) A.24 B.23 C.63D.32[答案] C[解析] 由计算得sin θ＝23.故选C. 4．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833 C.21060D.21030[答案] D[解析] 以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝(－24a,0，144a )，可求得平面PBC 的法向量为n ＝(－1，－1，17)， ∴cos(OD →，n )＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与面PBC 的角为θ，则sin θ＝21030，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，2π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡π2，2π3D.⎣⎡π3，π2[答案] D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A7．如图，正方体AC 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( ) A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1 D ．∠C 1BO [答案] D[解析] 由三垂线定理得，OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.56π [答案] B[解析] 以D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)， 而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos θ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角．9．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外 ，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC 的一条直角边BC 平行于平面α，点A ∈α，斜边AB ＝2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 过B 、C 作BB ′⊥α于B ′，CC ′⊥α于C ′， 则BB ′＝CC ′＝1，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.故选B. 二、填空题11．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ. sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，∴cos θ＝1－sin 2θ＝104. 12．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．[答案] 30°13．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为________．[答案] 60°14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、A 1D 1的中点，则EF 与面A 1C 1所成的角为________．[答案] 45° 三、解答题15．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12SC 与平面ABCD 所成的角．[解析] 解法1：如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，A ∈α，则AB 与平面α所成的角为π2－arccos |AB →·n ||AB →|·n ；AS →是平面ABCD 的法向量，设CS →与AS →的夹角为φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1. |AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos33. 从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.解法2：连结AC ，显然∠SCA 即为SC 与平面ABCD 所成的角．计算得：AC ＝2，∴tan ∠SCA ＝22，故SC 与平面ABCD 所成角为arctan22. 16．如图，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°.D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点．若OP ⊥BD ，试求：(1)OP 与底面AOB 所成的角的大小； (2)BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小．[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B (3,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，2，4，设P (3,0，z )，则BD →＝⎝⎛⎭⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98.∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，98.(1)∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan ∠POB ＝983＝38，∴∠POB ＝arctan 38.故OP 与底面AOB 所成角的大小是arctan 38.(2)∵OB →＝(3,0,0)，且OB →⊥平面AOO ′A ′， ∴平面AOO ′A ′的法向量为OB →＝(3,0,0)． 又DB →＝(3,0,0)－⎝⎛⎭⎫32，2，4＝⎝⎛⎭⎫32，－2，－4， ∴OB →·DB { ＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB →|＝3， |DB →|＝⎝⎛⎭⎫322＋(－2)2＋(－4)2＝892， ∴cos 〈OB →，DB →〉＝OB →·DB →|OB →|·|DB →|＝923×892＝389 .∴BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小为π2－〈OB →，DB →〉＝π2－arccos 389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－2x －2y ＝0n ·BB 1→＝2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y z ＝0， 令y ＝1时，则n ＝(－1,1,0)， cos<n ，BE →>＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.即BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的大小； [解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12.∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arcsin24. 解法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32a ，0，P (0,0，a )． (1)∵AP →＝(0,0，a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，∴BC →·AP →＝0， ∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D ⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12，E ⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面P AC . ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵AD →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a ，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →||AE →|＝144.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arccos144.。
高中数学人教B版选修2-1教案：3.2直线与平面的夹角-新授课+4+
20XX—20XX学年度第一学期高二数学教案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
3.2.3空间角分解
则
1
2
2
(0 1
1 2 2
,0 2 )
n B
而利用 cos 2 从而再求出
2 AB n
AB n
可求
2 ，
A
2
1
1
n
2. 线面角
设直线l的方向向量为 a ，平面 的法向量为 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),则
空间“角度”问题
复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题； （化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）
2
), 则
cos
ab a b
l
l
a
a b
m
例1 Rt ABC中，BCA 90 , 现将 ABC沿着
0
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1
取A1B1、AC BC CA CC1， 1 1的中点D 1、F 1，
2
u ，且
a u
sin
au a u
a
l
u
3.二面角的平面角
①方向向量法 如图（2），设二面角 l 的大 小为 其中AB l , AB , CD l , CD
3.2立体几何之夹角的计算(二)
设平面的法向量分别为u，直线l的方向向量为a, 若直线l与平面的夹角为夹角为 0， ，则 2 1当0 u, a 时， = u, a ， l 2 2 此时： sin sin u, a 2 ua = cos u, a u a
此时： cos cos - u, v
| u v | 综上： cos | u || v |
uv = cos u, v = u v
练习二：P45 2
已知平面 1的法向量为n1 =(1,2,3)，平面 2的法向量 为n2 =(-1,0,2)，求两个平面夹角的余弦值
1. 直线间的夹角
范围在 0, 内的角叫作两直线的夹角. 2
B
1当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，
l2
A
C
l1
2 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A
作AB//l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面 直线l1与l2的夹角.
l2 l1
3. 直线与平面的夹角
平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作 该直线与此平面的夹角.
A
0， 2
B
C
1 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们
规定这条直线与此平面的夹角为0. 2 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直
线与此平面的夹角为 . 2
ab 此时： cos cos - a , b = cos a, b = a b
a
b
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2
D A B
(2 17)2 62 42 82 2 CA BD cos CA, BD
C
E
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
3
例.正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中点， 当 AB1 BC1 时，求二面角D BC1 C 的余弦值。
B A
D
C l
cos cos AB, CD
AB CD AB CD
例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数
CD (CA AB BD)
解 : 设SA 1建立空间直角坐标系[O; AB, AD, AS ]
A( 0, 0, 0) ,
C( 1, 1, 0) ,
D( 0, 1, 0),
S (0, 0,1)
易知面SBA的法向量n1 AD (0,1,0)
CD (1,0,0), SD (0,1, 1)
设平面 SCD的法向量n2 ( x, y, z),
x0 y z 0
由n2 CD, n2 SD, 得：
任取n2 (0,1,1)
n1 n2 2 2 即所求二面角得余弦值是 | n1 || n2 | 2 2
cos n1 , n2
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
C1
A1
B1
C D A
B
解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则
3 1 3 1 D ( a, a,0) B ( 0 , a , b ) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) 1 4 4 2 2 故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b) AB1 BC1, 2 2 z 1 2 2 2 AB1 BC1 a b 0 b a C1 B1 2 2 A1 2
y
CE
1 EB 2
1 2 E (0, , ) EC (0, 1 , 2 ) 3 3 3 3
A B M D C A`
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 G D1 E C D C
1
A1
B1
6 arccos 6
C
A
G
D A
E
A1 F
F
B C
F
B
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
D1 A1
① 求证： PB ⊥AC ② 二面角C-PA-M的大小
P
D
2 arctan 3
A
B
M
F
C
射影法 是不找平面角求二面角的一种方法: A
B C
O
D
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
O
B
当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角 是 0°
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°）
直线与平面所成的角
〔 0°, 90°〕
异面直线所成的角
（ 0°, 90°〕
若斜线段AB的长度是它在平面内的射影 长的2倍，则AB与所成的角为 60° 。
1 D 00 6 2 cos PD， EB 6 3 1 2
y
C G
B
A
6 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 6 5 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 5
x
一条直线上的一个点把这条直线分成两
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
x
例3、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中 点。 (1)证明：PA//平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 z P y
E
C
G
B x
D
A
(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点
2
二面角的求法 二面角的求法
(1)垂面法 (2)垂线法
(3)射影法
垂面法(定义法)
定义法:根据定义,找到二1中，求二面角D1—AC—D 的大小？
D1 C1 B1
A1
D
O
C B
A
⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂 直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角EBD-C的大小?
以DA ， DC， DP为正交基底建立空间 P 直角坐标系。如图所示。则
z
y
E
可得PA 2EG PA // EG。因为PA与EG不共线，所以PA // EG
又PA 平面EDB，EG 平面EDB PA // 平面EDB
x
D(0， 0，， 0) P(0， 0，， 1) A(1， 0，， 0) C ， 0， 1) C (0， 1，， 0) B(11 ， ， 0) PA (1 1 1 G 又E为PC中点， E点坐标为(0， ， ) 2 2 D A 1 1 1 G为BD中点， G点坐标为( ， ， 0) EG ( 1 ， 0， ) 2 2 2 2
A
B
O
最小角原理
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。
A
O
M
B
如图,直线OA与平面所成的角为1,平 面内一条直线OM与OA的射影OB所成 的角为2,设∠AOM为
求证:cos= cos 1 ×cos 2
A 1 2
O
B
M
如图，ACB=90，S为平面 ABC外一点， SCA= SCB= 60，求SC与平面ACB所成的角
P
D A E BD=
5 2 3
DE= 15 8
C
3 COS = 4
B
四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点， 求二面角M-DN-C的平面角的正切值？
P
M C O H A
3 5 arctan 2
B
N
D
如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面 ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
S
B
E O
4
C
F
A
若直线 l1与平面所成的角为60 ° ，则这条直线与 平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ， 60° 最大的角为 。 90° l1
O
例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
D1 A1 B1 C1
O
D A B
C
二、线面角：
A
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
2
定义:
B A O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
∠AOB 二面角－AB－
A O
B
A
C
B
D
l
5
B
A 二面角－ l－
二面角C－AB－ D
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①法向量法
n1， n2
n1， n2
n1， n2
n2
l
n2
n1， n2
n1
n1
l
cos
cos n1, n2 cos
cos n , n
1
2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
AB1 (1 ， 01) ，， AC (11 ， ， 0)
z
A1 B1
A B
D1
C1
y
设平面AB1C的法向量为n ( x，y，z )
则n AB1 0， n AC 0 x z 0 所以 ，取x = 1， x y 0
D
C
0 1 0 3 B1C1 得y = z = -1，故n = (1， -1， -1)， cos n， 3 1 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
2
思考：
O
B
A
设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？
2
A
n
B
n， BA
n， BA
2
B
n
结论：sin
| cos n, AB |
例1： 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.