备战中考数学相似的综合复习及答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：

∴

代入，得

解得

∴抛物线对应二次函数的表达式为：

（2）解：如图，

设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．

由得对称轴为直线x=1，

∴

∴

∴为等腰直角三角形．

∴

∴

∴

∴为等腰三角形．

设

∴

在中，

∴

∴

整理，得

解得，

∴点P的坐标为或

（3）解：存在点M，使得∽．如图，连结

∵

∴为等腰直角三角形，

∴

由（2）可知，

∴

∴分两种情况．

当时，

∴，解得．

∴

∴

当时，

∴，解得

∴

∴

综上，点M的坐标为或

【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；

（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：或，根据所得比例式即可求解。

2．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

（1）若点N在BC之间时，如图：

①求证：∠NPQ＝∠PQN；

②请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°，

AB//CD，∴∠APM＝∠DQM，∵M是AD边的中点，∴AM＝DM，

在△APM和△DQM中，，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，∵MN⊥PQ，∴MN是线段PQ的垂直平分线，∴PN＝QN，∴∠NPQ＝∠PQN

② 是定值

理由：如图，过点M作ME⊥BC于点E，

∴∠MEN＝∠MEB＝∠AME＝90°，

∴四边形ABEM是矩形，∠MEN＝∠MAP，∴AB＝EM，

∵MN⊥PQ，∴∠PMN＝90°，∴∠PMN＝∠AME，

∴∠PMN－∠PME＝∠AME－∠PME，∴∠EMN＝∠AMP，∴△AMP∽△EMN，

∴，∴，∵AD＝12，M是AD边的中点，∴AM＝ AD＝6，

∵AB＝8，∴；

（2）解：分点N在BC之间和点N在BC延长线上两种情况

（ⅰ）当点N在BC之间时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，

∴∠BFS＝∠CGT＝90°，BS＝ PN，CT＝ QN，

∵PN＝QN，S△PBN＝S△NCQ，∴BF＝CG，BS＝CT

在Rt△BFS和Rt△CGT中，，∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL），∴∠BSF＝∠CTG，∴∠BNP＝∠BSF＝∠CTG＝∠CQN，

在△PBN和△NCQ中，，∴△PBN≌△NCQ（AAS），∴BN＝CQ，BP＝CN，

∵AP＝AB－BP＝8－CN，又∵CN＝BC－BN＝12－CQ，∴AP＝CQ－4

又∵CQ＝CD+DQ，DQ＝AP，∴AP＝4+AP（舍去），∴此种情况不成立；

（ⅱ）当点N在BC延长线上时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，

同理可得，△PBN≌△NCQ，∴PB＝NC，BN＝CQ，

∵AP＝DQ，∵AP+8＝DQ+CD＝CQ＝BC+CN＝12+BP，

∴AP－BP＝4 ①，∵AP+BP＝AB＝8②，①+②得：2AP＝12，∴AP＝6．

【解析】【分析】（1）①由矩形的性质用角角边易证△APM≌△DQM，可得PM＝QM，已知MN⊥PQ，由线段的垂直平分线的定义可得MN是线段PQ的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质可得PN＝QN，由等边对等角可得∠NPQ＝∠PQN；

②过点M作ME⊥BC于点E，由矩形的性质跟据有两个角对应相等的两个三角形相似易证

△AMP∽△EMN，可得比例式，结合已知条件易求得为定值；

（2）根据MN⊥PQ交射线BC于N点可知分两种情况：①当点N在BC之间时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，通过证Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△NCQ可求解；

②当点N在BC延长线上时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，通过证△PBN≌△NCQ可求解。

3．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2=EH•EA；

（3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长．

【答案】（1）证明：如图，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠ODB=∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD=90°，