2015-16 微积分第一学期期末复习要点
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
微积分大一考试必背知识点
微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。
下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。
1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。
对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。
极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。
大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。
2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。
此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。
在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。
在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。
对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。
学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。
5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。
对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。
在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。
6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。
对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。
在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。
2016微积分期末复习资料汇总复习精要复习重点归纳
微积分基础知识复习资料目录一、不定积分 (3)（一）不定积分概念，第一换元积分法 (3)（二）第二换元积分法，分部积分法 (4)二、定积分............................. 错误！未定义书签。
（一）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质错误！未定义书签。
（二）定积分的几何定义............... 错误！未定义书签。
（三）定积分的基本性质............... 错误！未定义书签。
三、反常积分 ........................... 错误！未定义书签。
（一）无穷限的反常积分 ............... 错误！未定义书签。
（二）无界函数的反常积分 ............. 错误！未定义书签。
四、微分方程 ........................... 错误！未定义书签。
（一）微分方程的基本概念 ............. 错误！未定义书签。
（二）可分离变量的微分方程 ........... 错误！未定义书签。
四、齐次方程 ........................... 错误！未定义书签。
（一）齐次方程 ...................... 错误！未定义书签。
（二）可化为齐次的方程 ............... 错误！未定义书签。
五、一阶线性微分方程 ................... 错误！未定义书签。
（一）线性方程 ...................... 错误！未定义书签。
（二）伯努利方程 .................... 错误！未定义书签。
六、可降阶的高阶微分方程 ................ 错误！未定义书签。
（一）()()n y f x =型的微分方程 ........... 错误！未定义书签。
（二）(,)y f x y '''=型的微分方程 .......... 错误！未定义书签。
大一微积分高数期末知识点
大一微积分高数期末知识点微积分是大一高数课程中的一门重要学科，涵盖了许多基础的数学知识和计算方法。
在期末考试前，了解和掌握微积分的关键知识点对于取得好成绩至关重要。
本文将为您总结大一微积分高数期末考试中的主要知识点。
一、极限与连续1. 极限的定义和性质极限是微积分的核心概念之一，了解极限的定义和性质是理解微积分的基础。
掌握函数极限和数列极限的定义，熟练运用极限的性质进行计算和证明是必不可少的。
2. 连续的概念与判定了解函数在某一点的连续性的定义和判定方法。
可利用极限的性质判定函数在某一点的连续性。
二、导数与微分1. 导数的定义和计算法则理解导数的定义和计算法则是解决微积分问题的关键。
熟悉基本的导数计算法则，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等，并能够熟练运用。
2. 高阶导数了解高阶导数的概念和计算方法。
能够使用高阶导数解决相关的数学问题。
3. 微分的概念与应用理解微分的概念，能够根据问题应用微分进行计算，如求近似值、求最大值最小值等。
三、积分与不定积分1. 积分的定义和计算法则熟悉积分的定义和计算法则，包括基本积分法则、分部积分法、换元积分法等。
能够运用这些法则解决各种不定积分问题。
2. 定积分了解定积分的概念和几何意义。
能够计算定积分，求解曲线下的面积、弧长、旋转体的体积等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念了解微分方程的定义和基本概念，包括阶数、常微分方程和偏微分方程等。
2. 一阶常微分方程掌握一阶常微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
3. 高阶常微分方程了解高阶常微分方程的求解方法，特别是二阶常微分方程的特征方程法和常系数法等。
五、级数与幂级数1. 级数的定义和性质掌握级数的概念及其基本性质，理解级数的敛散性和收敛域的判定方法。
2. 幂级数了解幂级数的定义和性质，掌握幂级数的收敛域和求和方法，熟练运用幂级数求解函数展开和逼近问题。
六、空间解析几何1. 空间直角坐标系与向量理解空间直角坐标系的基本概念和性质，熟悉向量的基本运算法则和坐标表示。
微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
微积分大一上学期知识点
第一章 函数，极限与连续第一节 函数注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点，篇幅有点长，供查阅。
一、函数的概念与表示1、映射:设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法那么f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法那么f 〕叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。
注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.2、函数:如果A,B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作)(x f y =,其中B y A x ∈∈,.原像的集合A 叫做函数)(x f y =的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做)(x f y =的值域，显然值域是集合B 的子集.构成函数概念的三要素: ①定义域(x 的取值范围)②对应法那么〔f 〕③值域〔y 的取值范围〕两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致. 二、函数的定义域、解析式与值域 1、求函数定义域的主要依据： 〔1〕整式的定义域是全体实数； 〔2〕分式的分母不为零；〔3〕偶次方根的被开方数大于等于零；〔4〕零取零次方没有意义〔零指数幂的底数不为0〕； 〔5〕对数函数的真数必须大于零；〔6〕指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；〔7〕假设函数)(x f y =是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各局部结果的交集；〔8〕复合函数的定义域：假设)(x f 的定义域],[b a ，求复合函数))((x g f 的定义域，相当于求使],[)(b a x g ∈时x 的取值范围；假设复合函数))((x g f 的定义域，求)(x f 的定义域，相当于求)(x g 的值域. 2求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合b ax y ±+= ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分子或分母为二次且x ∈R 的分式；此种类型不拘泥于判别式法，如ka by +=2的形式可直接用不等式性质；n mx ax bx y ++=2可先化简再用均值不等式；nmx x n x m ax y ++'+'+=22通常用判别式法；nm x n x m x y +'+'+=2 可用判别式法或均值不等式；④别离常数：适合分子分母皆为一次式〔x 有范围限制时要画图〕；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：闭区间[]b a ,上的最值；求区间动〔定〕，对称轴定〔动〕的最值问题；注意“两看〞：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.)0,0(>>+=b a x b ax y 型函数的图像在单调性中的应用：增区间为],(ab --∞，),[+∞a b ，减区间为)0,[a b -，],0(ab ；⑦利用对号函数：xx y 1+=〔如右图〕；⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数 三．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，那么称y=f(x)为偶函数.如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，那么称y=f(x)为奇函数.2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称;②假设函数f(x)的定义域关于原点对称，那么f(0)=0;③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：“内偶那么偶，内奇同外〞 四、函数的单调性作用：比拟大小，解不等式，求最值.1、函数单调性的定义：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()()2121)()(x f x f x f x f ><，那么就称函数)(x f 在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 叫)(x f y =的单调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升〔y 随x 的增大而增大或减小而减小〕；减函数：从左到右下降〔y 随x 的增大而减小或减小而增大〕； 2.判断单调性方法：①定义法[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.②观察法：根据特殊函数图像特点；③掌握规律：对于两个单调函数()f x 和()g x ，假设它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(i)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x ，()g x 相同， ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定；(ii)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定； ②3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为增函数；5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为减函数. 3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
微积分(上)复习
n
n−1
同步练习P6 同步练习 一、13，33，35 ， ， 二、6，9，16 ， ，
11/58
(6)幂指函数求导法 幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以 为底的复合函数 再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存 在的点). 在的点). (3) 间 断 点
①可去间断点(左 可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左 跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右 无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点 例如： 例如：振荡
同步练习P5 同步练习 二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理 柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质 无穷小与无穷大的概念与性质 （1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（ 微积分（上）
微积分(一)各章复习知识点及证明题补充
微积分（一）各章复习知识点及证明题补充一：题型选择填空计算综合证明二、各章主要内容第一章函数概念、函数图形、函数的定义域函数的几何性质及其判断数列与函数极限定义的理解数列与函数极限的性质：唯一性，（局部）有界性，（局部）保号性函数极限存在的充分必要条件：左右极限及极限存在与无穷小的关系数列极限存在的判断条件：夹逼准则单调有界准则数列极限与其子列极限的关系函数极限与数列极限的关系无穷大量、无穷小量的定义及其关系无穷小的运算性质无穷小的比较函数连续的定义及其判断函数间断点的判断闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分导数定义用导数定义求函数极限导数及高阶导数的计算（含隐函数参数方程确定的函数）：求导法则基本初等函数的求导公式微分定义用定义判断可微微分的计算（含隐函数参数方程确定的函数）：微分运算法则基本初等函数的微分公式导数与微分的几何意义导数与微分的关系可导、可微与连续及极限存在的关系第三章微分中值定理与导数的应用三个中值定理的条件与结论洛比达法则的使用条件泰勒公式及其应用求简单函数的泰勒展开（拉格朗日余项与皮亚诺余项）函数单调性、极值，凹凸性、拐点的判断判断极值的必要条件及充分条件判断拐点的必要条件及充分条件函数的最值与极值的关系等式与不等式的证明数列与函数极限的运算方法：1.四则运算2.变量替换3.两个重要公式4.夹逼准则5. 无穷小的性质6. 等价无穷小代替7. 初等函数的连续性8.洛比达法则9.泰勒公式 10.小技巧：函数为商的结构：消零因子，等价无穷小代替，无穷大小量关系，0,0∞∞型用洛比达法则，使用中要及时对函数进行化简并注意和其它方法的结合乘积的结构（特别是未定式）：无穷小运算性质 等价代替 化为0,0∞∞型用洛比达法则和差结构：首先判断是否满足极限的运算法则，这是一般是∞-∞，可以采用通分，有理化，倒代换将其化为0,0∞∞型用洛比达法则幂指型函数取对数，求完极限后注意还原为函数本身其它结构： 变量替换 导数定义等中值定理的应用类型1. 用中值定理研究导函数的零点研究导函数的零点，一般有两种方法，其一是应用罗尔定理，对高阶导数的零点（如0()()k f ξ=），可反复使用罗尔定理;其二是证明ξ为函数()()(())k f x f x '或的最值或极值点，然后用费马引理证明。
大一微积分期末考试知识点
大一微积分期末考试知识点微积分是数学的重要分支，也是大一学生必修的一门课程。
期末考试对于学生来说是一个重要的节点，掌握好考试的重点知识是至关重要的。
在本文中，将对大一微积分期末考试的知识点进行整理和总结。
一、导数与微分导数是微积分的重要概念之一，对于理解函数变化趋势、求解极值等问题具有重要作用。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 导数的定义：导数可以看作是函数在某一点上的变化率，其定义为函数f(x)在点x处的极限，即f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h(h→0)。
2. 基本导数公式：常见的导数公式有常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
需要熟练掌握这些基本公式。
3. 高阶导数：导数也可以继续求导，得到的就是高阶导数。
在考试中可能会涉及到二阶导数、三阶导数等的求导计算。
二、不定积分不定积分是微积分中的另一个重要概念，它与导数有密切的联系。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 不定积分的定义：不定积分是函数的一个原函数。
即对于函数f(x)和它的原函数F(x)，有F'(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的原函数。
2. 基本积分公式：常见的积分公式有幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
需要熟练掌握这些基本公式。
3. 积分的基本性质：积分有线性性质、定积分的可加性等基本性质，需要理解和灵活运用。
三、定积分与积分应用定积分是微积分中的重要内容之一，在解决面积、体积、弧长等问题时具有重要作用。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 定积分的定义：定积分可以理解为函数在一定区间上的累计和，其定义为f(x)在区间[a,b]上的极限，即∫[a,b]f(x)dx=limΔx→0∑i=1n f(xi)Δxi。
2. 定积分的计算方法：除了基本积分公式外，还需要掌握换元积分法、分部积分法等计算定积分的方法。
3. 积分应用：定积分有许多应用，如计算曲线下面的面积、求解旋转体的体积、计算曲线的弧长等。
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a
a
f ( x)d x .
a
a
，第一个反应为：被积函数是否有奇偶性？） 。
II) 周期函数（周期为 T）的积分性质：
型：
nT
0
f ( x)d x n f ( x)d x
0
T
4. 累积（积分限）函数求导定理（微积分第一基本定理）及常见题
有积分限函数参与的 I) 未定式极限问题、II)单调性问题、 III)极值和最大（小）值问题、IV)积分方程问题. 5. 定积分的应用 （1） 曲线围成的平面图形的面积
值的充分条件和必要条件), 证明不等式； IV) 讨论曲线的凹向及求拐点； V) 相关变化率； VI) 简单实际问题中的最大最小值问题.
五、 反导数 （原函数）和不定积分(要求熟练掌握较简单的不定积 分的求法) 1. 反导数和不定积分的概念和记号； 2. 重点：不定积分的计算.
基本积分表； （教材第385页公式1~14） 拆项积分法（即线性性质）; f ( g ( x)) g ( x) dx f (u ) du 基本手段 换元积分法 有理代换，用以消去根式 n ax b; 三角代换,用以消去根式 a 2 x 2 , x 2 a 2 ; 分部积分法（u 和 dv 的选取）;
微积分第一学期期末复习要点（2015.12）
重要的概念、理论和方法归纳如下 一、 极限 1. 极限的定义（以直观定义为基本要求） ：
f ( x) lim an lim f ( x) ， lim f ( x) ， lim f ( x) ，xlim ， n . x c x c x c ( )
三、 导数 1. 导数的定义、几何意义、物理意义及性质和记号.
f ( x) lim
h 0
f ( x h) f ( x ) y lim x 0 x . h
2. 导数的计算(要求熟练掌握) (1) 基本求导公式. (2) 求导法则：和差积商求导法则、复合函数求导法、对数求 导法. (3) 不同类型函数的求导法： I) 显函数求导； II) 隐函数求导； III) 幂指函数求导； IV) 累积（积分限）函数求导（微分学与积分学的重要结合 点之一） 。 3. 微分的定义, 几何意义(线性近似). 一些常用的微分公式.
lim y 1. 定义： x 0
0 或 lim f ( x) f (c)
x c
lim （用条件 : x c
f ( x) lim f ( x) f (c) 判断分段函数在分段
x c
点处的连续性）.
2. 可去间断点的判别及例子. 特别注意分母为零的点及分段函数的分段点。 3. 连续与可导（可微） 、可积的关系： 可导（可微） 连续 可积（反之不真） 。 4. 闭区间上连续函数的性质（特别注意零点定理和最值存在定理）.
y d y f ( x) d .x
四、 导数的应用 (重点) （1） 理论基础：微分中值定理（重点： Rolle, Lagrange ） （2） 应用导数解决的一些基本问题： I) 切线斜率、切线方程； II) 求未定式的极限（ LHospital 法则） ； III) 讨论单调性， 进而用于求函数的极值、 最大最小值、 (极
（2） 旋转体的体积: 切片法和薄壳法 （3） 曲线的弧长 （4） 物理做功，力矩和质心
七、微分方程 1. 微分方程的概念和相关术语: 阶， 解，通解，初始条件，特解. 2. 微分方程的解法 (1) 一阶可分离变量的微分方程，解法：分离变量法； (2) 一阶线性微分方程，解法：积分因子法. 3. 简单的微分方程实例：人口增长模型，位移函数，速度和加速度.
六、 定积分(重点) 1. 定积分的定义、几何意义、物理意义及主要性质（线性性质、对 区间的可加性、单调性、积分中值定理） ； 2.
Newton Leibniz 公式（微积分第二基本定理） ，它的条件、
结论； 3. 定积分的计算：定积分的换元法、分部积分法及对称性. I) 奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分： （一看到
3. 记住一些常用的凑微分公式：
1 1 1 dx d (ax c); xdx dx 2 ; x 2 dx dx 3 ; d ln x; sin x;sin xdx d cos x; d arctan x a 1 x2 dx
2.
1 sin x 1 和 lim (1 x) x e . 两个重要极限 lim x 0 x 0 x
3. 极限的基本运算法则 Thm 2.3A（注意条件！ ） 4. 夹逼准则 Thm2.3D 5. 极限不存在的一类重要情况：无穷大. 无穷远处的极限与图形的水平渐近线; 无穷大与图形的铅直渐近线. 6. 极限的求法. (要求掌握) 以洛必达法则为基本方法，以各类未定式的极限为主要对象, 结合极限的基本运算法则 , 两个重要极限以及连续函数在连续点 处的极限。注意有积分限函数参与的未定式极限问题。 二、 连续