求锐角的三角比的值

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锐角三角比讲义..

【知识点总结与归纳】1、锐角的三角比（1）定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。

同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2）同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A= 余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。

注意：求锐角三角比的值问题（1）在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。

（2）给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。

求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。

《求锐角的三角比的值》讲义

《求锐角的三角比的值》讲义一、锐角三角比的定义在直角三角形中，锐角的三角比包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）。

正弦（sin）等于锐角的对边与斜边的比值；余弦（cos）等于锐角的邻边与斜边的比值；正切（tan）等于锐角的对边与邻边的比值。

例如，在一个直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，∠A 为锐角，其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。

那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b。

二、特殊锐角的三角比值我们先来了解一些特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比值，这些是需要大家牢记的。

1、 30°角对于 30°角的直角三角形，假设斜边为 2，对边为 1，根据勾股定理可得邻边为√3。

所以，sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3。

2、 45°角在等腰直角三角形中，两个直角边相等，假设直角边为 1，斜边为√2。

则 sin 45°＝ cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1。

3、 60°角与30°角相对应，60°角的直角三角形中，假设斜边为2，邻边为1，对边为√3。

所以，sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3。

三、利用三角函数定义求三角比值当已知直角三角形的边长时，我们可以直接根据三角比的定义来求出相应锐角的三角比值。

例如，在直角三角形中，∠C 为直角，∠A 为锐角，已知∠A 的对边为 4，邻边为 3，斜边为 5。

则 sin A ＝ 4 ／ 5，cos A ＝ 3 ／ 5，tanA ＝ 4 ／ 3。

再比如，一个直角三角形的斜边为 10，一个锐角的对边为 6，那么这个锐角的正弦值就是 6 ／ 10 ＝ 3 ／ 5。

23用计算器求锐角三角比

23用计算器求锐角三角比锐角三角比是指在一个锐角三角形中，三个角的正弦、余弦和正切值。

计算锐角三角比的主要方法是使用三角函数表或者使用计算器。

使用计算器求锐角三角比的步骤如下：1. 打开计算器，并确保切换到角度模式（通常为degree）。

2.输入锐角的度数，例如30度。

3. 计算正弦（sin）值。

在计算器上找到正弦（sin）函数的键，然后按下角度值（30），最后按下等于（=）键。

结果将显示为一个小数，例如0.54. 计算余弦（cos）值。

在计算器上找到余弦（cos）函数的键，然后按下角度值（30），最后按下等于（=）键。

结果将显示为一个小数，例如0.8665. 计算正切（tan）值。

在计算器上找到正切（tan）函数的键，然后按下角度值（30），最后按下等于（=）键。

结果将显示为一个小数，例如0.577以上是求解一个具体角度的锐角三角比的步骤，通过反复使用这些步骤，可以计算出其他角度的锐角三角比。

锐角三角比的计算在数学和科学中有广泛的应用。

例如，在物理学中，通过计算三角比可以求解物体在斜面上滑动的问题；在工程学中，可以利用三角比计算力的分解；在测量学中，可以使用三角比计算距离和角度。

除了计算机外，还可以使用三角函数表来求解锐角三角比。

这些表通常包含了一些常见角度（如30度、45度、60度等）的正弦、余弦和正切值。

通过查表，可以找到所需角度的值。

另外，随着科技的发展，我们常见的计算器还可以进行更复杂的计算，比如反三角函数、双曲函数等。

这些功能可以帮助我们解决更复杂的三角函数问题。

在使用计算器求解锐角三角比时，需要注意以下几点：1.确保计算器的角度模式正确设置为度数模式。

有些计算器默认为弧度模式，如果不进行切换，会得到错误的结果。

2.注意结果的精度。

计算器通常会显示一定位数的小数，但这并不意味着结果是精确的。

因此，在实际应用中，需要根据情况对结果进行四舍五入或截断。

3.注意输入的角度。

角度应该是一个锐角，范围通常是0到90度之间。

25.2 求锐角的三角比的值

第一节锐角的三角比§25.2求锐角的三角比的值教学目标(1)经历用几何方法探求特殊锐角的三角比的值的过程，掌握特殊锐角的三角比的值。

(2)会利用计算器求锐角的三角比的值，也能根据锐角的三角比的值求锐角的大小。

教学重点让学生经历用几何方法探求特殊锐角的三角比值的过程，掌握特殊锐角的三角比的值。

让学生学会利用计算器求锐角的三角比的值以及根据锐角的三角比的值求锐角的大小。

知识概要1.求特殊锐角的三角比的值，一般步骤是：(1)将直角三角形的某边长设为a，用a的代数式表示其他两边的长；(2)根据三角比的定义求值。

2.3.①如果两角互余，那么其中一个角的正切值(正弦值)与另一个角的余切值(余弦值)相等；②以030角、045角、060角为序，正切值和正弦值从小到大，余切值和余弦值则从大到小；③1=；④2为分母构成的数。

4.利用计算器求三角比的值时，先要选定“角度模式”(DEG)。

如果按MODE键一次屏幕未显示出“Deg Rad Gra”画面，那么反复按MODE键，直到显示为止。

然后按1键，计算器即进入了DEG 模式。

计算器的型号较多，应该参阅其使用说明书进行具体操作。

5.在DEG模式下，根据三角比函数名计算。

如：计算0sin25，按sin 2 5 =屏幕会显示结果。

如要计算余切，利用1cottanαα=求cotα。

如：计算0cot75，依次按1 ÷ tan 7 5 =即可；也可以依次按tan 7 5 =1x-=。

6.当角的大小涉及到“分”和(或)“秒”时，输入“度”“分”和“秒”后，必须按0’”键。

在求0sin2718''时，7.如果一个锐角的三角比的值，这个锐角就是确定的。

如果这个三角比的值不是特殊角的三角比的值，可以利用计算器计算锐角度数的近似值。

如：已知cot 1.3025α=，求锐角α。

可以依次按键： SHIFT tan -1 ( 1 ÷ 1.3025 ) = SHIFT 0’”经典题型解析(一)特殊锐角三角比例1.(1)计算：200020sin 45cos60tan 60cos 30-+⋅。

_九年级秋季班-第3讲：锐角的三角比

a cAB锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．本讲主要讲解锐角的三角比的意义和特殊的锐角的三角比的值，以及各锐角的三角比的关系．重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角比的关系在代数中的灵活运用．1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边．2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．锐角的三角比内容分析知识结构模块一：锐角的三角比的意义知识精讲a cAB A BCxyAO（2，1） ABCD3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边．4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ． cos A AC bA AB c ===锐角的邻边斜边．【例1】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，则下列三角比表示正确的是（）A ．12sin 13A = B ．12cos 13A =C ．5tan 12A =D ．12tan 5B =【例2】在ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 2AB ，则cos A 的值为______．【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点（2，1），则tan α的值是______．【例4】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，AB = 6，CD AB ⊥，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是______．例题解析ABC【例5】 ABC ∆中，已知90C ∠=︒，1tan 2A =，c =a 、b 的值．【例6】 ABC ∆中，已知90C ∠=︒，2sin 3A =，求cos A 、tan A 的值．【例7】如图，ABC ∆的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为______．【例8】在平面直角坐标系中，过点P （0，2）作直线l ：12y x b =+（b 为常数，且b < 2）的垂线，垂足为Q ，则tan OPQ ∠=______．1、特殊锐角的三角比的值2、补充（仅作了解，若填空、选择中出现，可直接使用）3、通过观察上面的表格，可以总结出：当090α︒<<︒，α的正弦值随着角度的增大而增大，α的余弦值随着角度的增大而减小；α的正切值随着角度的增大而增大，α的余切值随着角度的增大而减小．【例9】 A ∠是等腰直角三角形的底角，B ∠是等边三角形的一个内角，则tan A =______，sin B =______．【例10】已知，在ABC ∆中，sin 2A =，tan B =，则C ∠=______．模块二：特殊锐角的三角比的值知识精讲例题解析【例11】在ABC ∆中，90C ∠=︒，已知a =，c = 4，求B ∠．【例12】在ABC ∆中，三边之比::2a b c =，则sin tan A A +=______．【例13】当4590α︒<<︒时，sin α、cos α、tan α的大小关系是（）A ．sin cos tan ααα<<B ．cos sin tan ααα<<C ．tan cos sin ααα<<D ．tan sin cos ααα<<【例14】在ABC ∆中，若)2sin tan 0A B+-=，则ABC ∆属于哪种三角形？【例15】求值：2211cos 45cos 30sin 45cos60sin 30︒-++︒+︒︒︒．【例16】()11tan 4532sin 458sin 60cos 45π-︒⎛⎫-+-︒-+ ⎪︒-︒⎝⎭．【例17】已知公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．求：sin 75°、cos 75°的值．ABC【例18】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BC = 1．过点C 作1CC AB ⊥于1C ，过点1C 作12C C AB ⊥于2C ，过点2C 作23C C AB ⊥于3C ，…，按这样的规律继续，则n AC 的长为（）A．n⎝⎭B．1n +⎝⎭C．12nn + D．12n n+1、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．模块三：锐角的三角比的关系及运用知识精讲【例19】在ABC ∆中，90C ∠=︒，下列四个等式：○1sin cos A B =；○2cos cos A B =；○31tan tan B A=；○4tan tan A B =．其中一定成立的是______．（填序号）【例20】已知α【例21】已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．【例22】求值：cos 40cos 48sin 42sin 50︒︒+-︒︒．【例23】化简：2222sin 1sin 2sin 88sin 89︒+︒+⋅⋅⋅+︒+︒．【例24】化简：2222tan sin tan sin αααα-．【例25】已知：sin cos m αα+=，sin cos n αα-=，则m ，n 之间的关系是（）A ．m = nB ．m = 2n + 1C ．222m n =-D ．212m n =-例题解析【例26】已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．【例27】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数．【例28】Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = a ，AC = b ，AB = c ．利用锐角三角比的定义证明：（1）22sin cos 1A A +=；（2）tan tan 1A B =；（3）sin tan cos A A A=；（4）sin cos 1A A +>．【例29】如果直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边上的高为h ，求证：222111a b h +=．【例30】已知α为锐角，且()12sin cos sin cos 13αααα+-=，求以tan α、cot α为两个根的一元二次方程．ABCDABC【习题1】ABC∆中，90C∠=︒，a、b、c分别是A∠、B∠、C∠的对边，已知b = 5，c = 13，则sin A =______，cos A =______，tan A =______．【习题2】如图，点A为α∠边上的任意一点，作AC BC⊥于点C，CD AB⊥于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC ．ADACD．CDAC【习题3】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则ABC∠的正切值是______．【习题4】若(22sin12cos0αβ+-=，求α、β的值（α、β都是锐角）．【习题5】tan45sin45cot60tan30cot30sin60︒-︒+︒︒︒︒．【习题6】化简：tan1tan2tan88tan89︒︒︒︒．随堂检测【习题7】求值：222222tan 602cos 45tan 45cot 30sin 27sin 63cos 27cos 63︒+︒︒+-︒+︒︒+︒．【习题8】等腰三角形底边长为8 cm，面积为2，求底角的正切值．【习题9】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2ABC m S ∆=，且两直角边长满足条件3a + 2b = m ．当m 取最小值时，求ABC ∆中最小内角的正切值．【习题10】已知a 、b 、c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠的对边，关于x 的一元二次方程()()221210a x bx c x -+++=有两个相等的实数根，且3c = a + 3b ．（1）判断ABC ∆的形状；（2）求sin A 、sin B ．【作业1】 Rt ABC ∆中，已知90A ∠=︒，AB = 2，AC = 4，则tan B =______，cos C =______，sin B =______．【作业2】在ABC ∆中，90C ∠=︒，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（） A ．13 B ．3 C．4 D．【作业3】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果各边的长都延长到原来的两倍，那么锐角A 的各三角比的值（）A ．都扩大到原来的2倍B ．都缩小为原来的一半C ．没有变化D ．不能确定【作业4】2012016cot 302-⎛⎫-︒+- ⎪⎝⎭．【作业5】若sin cos 1a θθ+=，sin cos 1b θθ-=，求证：ab = 1．【作业6】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，28a b +=，7sin sin 5A B +=，求斜边c 的长．课后作业A B C A B C （a ）（b ）【作业7】已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．【作业8】已知锐角ABC ∆中，AB = c ，AC = b ，BC = a ，利用锐角三角比的意义证明：cos cos c a B b A =+．【作业9】我们知道，在直角三角形中，一个锐角的三角比由三角形中相应两条边边长的比值确定，由此建立了直角三角形中边角之间的联系．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比值叫做顶角的“正对”（sad ）．如图（a ），在ABC ∆中，AB = AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A =BC AB．容易知道，一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据定义，求解下列问题：（1）sad 60°=______；（2）对于0°< A < 180°，sad A 的取值范围是______；（3）如图（b ），已知3sin 5A =，则sad A 的值是（）A ．65B ．23 CD【作业10】在锐角ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ．求证：（1）sin sin sin a b c A B C==；（2）111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===．。

2.3用计算器求锐角三角比课件(共17张PPT)

(1) sin 47°；
(2) cos 56.3°；
在角的度量单位为“度”的状态下(显示器上方显示 DEG)
(1) sin 47°；
按下列顺序依次按键： sin 47 DMS ＝，
屏幕上显示0.731353 701，按精确到0.0001取近似值，得sin 47° ≈ 0.7314；
(2) cos 56.3°；
0.3746
…
0.9848
0.99030.994 5… Nhomakorabea…
0.9659 0.9511
0.9397
0.9272
…
0.1736
0.1392
0.104 5
…
…
0.2679 0.3249 0.3640
0.4040
…
5.6713
7.1154
9.154 4
…
随着锐角A的度数不断增大，sinA有怎样的变化趋势？cosA呢？tanA呢？
2.
已知：sin 3 ,求：cos __4__。
5
5
3．根据下列条件用计算器求锐角α的度数（结果精确到）： (1) sin 0.893 6
(2) cos 0.079 4 (3) cos 0.079 4 (4) tan 3.450 9
（1）解： 63.3 （2）解： 85.4 （3）解： 40.8 （4）解： 73.8
用计算器求三角函数值的按键顺序第一步:按下相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键; 第二步:按下角度;
第三步:按下“=”键得到相应的三角函数值.
作业布置
1、课本47练习1,2 2、课本48练习1,2 2、习题2.3,T1-5
4.在△ABC中,cos A≈0.939 7,tan B≈1.191 8,试判断△ABC的形状. 【解析】用计算器解得∠A≈20°,∠B≈50°,则∠C≈110°; 因此△ABC为钝角三角形.

锐角的三角比

锐角的三角比一、介绍在数学中，三角比是指三角函数中的比值，用于描述三角形的各个边与角之间的关系。

锐角是指小于90度的角，因此在本文中，我们将讨论关于锐角的三角比。

三角比一共有六个，分别是正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。

这些三角比在数学和物理等科学领域中都有广泛的应用，例如解决三角函数方程、测量角度和距离等。

二、正弦(sin)在锐角三角形中，正弦表示三角形的对边与斜边之间的比值。

数学表达式如下：sin(A) = 对边 / 斜边其中，A表示锐角的大小。

正弦的取值范围是-1到1之间，当A接近0度时，正弦的值接近0；而当A接近90度时，正弦的值接近1。

三、余弦(cos)余弦代表锐角三角形的邻边与斜边之间的比值。

数学表达式如下：cos(A) = 邻边 / 斜边同样地，余弦的取值范围也是-1到1之间。

在锐角三角形中，当A接近0度时，余弦的值接近1；当A接近90度时，余弦的值接近0。

四、正切(tan)正切是锐角三角形中对边与邻边之间的比值。

数学表达式如下：tan(A) = 对边 / 邻边正切的取值范围是无穷，当A接近0度时，正切的值接近0；当A接近90度时，正切的值趋于无穷大。

五、余切(cot)余切是锐角三角形中邻边与对边之间的比值。

数学表达式如下：cot(A) = 邻边 / 对边余切的取值范围也是无穷，当A接近0度时，余切的值趋于无穷大；当A接近90度时，余切的值接近0。

六、正割(sec)正割表示斜边与邻边之间的比值。

数学表达式如下：sec(A) = 斜边 / 邻边正割的取值范围是大于等于1的实数。

当A接近0度时，正割的值趋于无穷大；当A接近90度时，正割的值接近1。

七、余割(csc)余割代表斜边与对边之间的比值。

数学表达式如下：csc(A) = 斜边 / 对边余割的取值范围也是大于等于1的实数。

当A接近0度时，余割的值接近无穷大；当A接近90度时，余割的值趋近于1。

锐角三角比讲义

【知识点总结与归纳】1、锐角的三角比（1）定义：在直角三角形ABC中，A∠为一锐角，则∠A的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边∠A的余弦=A bcos A=c∠的邻边，即斜边,∠A的正切=A atanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A的余切=A a=A b∠的邻边，即cotA∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。

同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2）同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A=余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。