2019九年级数学上册 第4章 相似三角形 专题分类突破四 相似三角形的基本图形练习
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结相似三角形作为九年级数学中的重要内容，涉及到比例、角度、边长等概念。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的相关知识点进行总结。
以下是该知识点的详细内容：一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
在两个相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
1. 对应角相等性质：若两个三角形的内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 对应边成比例性质：若两个三角形的三条边之间成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. 相似三角形的比例关系：设两个相似三角形A和B，它们的对应边长分别为a、b和c、d。
则有以下比例关系成立：a/b = c/d = k （k为比例系数）二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用以下方法：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
2. AAA相似判定法：若两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形一定相似。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有广泛的应用。
以下是相似三角形的性质在实际问题中的应用：1. 测量不可达长度：在实际测量中，有时由于某些原因，无法直接测量出几何图形中的某些边长。
利用相似三角形的比例关系，可以间接计算出这些不可达长度。
2. 高度与距离计算：利用相似三角形的性质，可以求解建筑物高度、山上塔楼高度等实际问题中需要计算的高度和距离。
3. 相似三角形的构造：利用相似三角形的特点，可以进行各种构造问题的求解，如分割线段、求解垂足等问题。
四、相似三角形与比例运算相似三角形的性质与比例运算密切相关。
以下是相似三角形与比例运算的相关内容：1. 比例关系的运用：相似三角形的性质中涉及到边长的比例关系，通过运用比例关系，可以计算出未知边长的具体值。
2. 比例运算的应用：在解决相似三角形实际问题中，我们可以借助比例运算的方法，确定未知量的数值。
相似三角形知识点九年级
相似三角形知识点九年级相似三角形是几何学中一个重要的知识点，它在解决实际问题和推导其他几何性质时起着关键作用。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在初中数学中，我们主要学习三个与相似三角形相关的知识点：相似三角形的判定条件、相似三角形的性质以及相似三角形的应用。
首先，我们来看相似三角形的判定条件。
两个三角形相似的必要条件是它们的对应角相等，即如果两个三角形的三个内角分别相等，那么它们就是相似的。
进一步地，我们还可以通过判断它们的对应边之间的比例关系来确定两个三角形是否相似。
如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们也是相似的。
这一判定条件是解决相似三角形问题时的重要思路。
接下来，我们来研究相似三角形的性质。
首先，相似三角形中的对应边比例相等。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例关系是恒定的。
其次，相似三角形的对应角相等。
这个性质与相似三角形的判定条件相呼应。
最后，如果两个三角形相似，那么它们的面积之间的比例关系等于对应边的平方比。
这个性质在解决计算相似三角形面积的问题时非常有用。
最后，让我们来看一下相似三角形的应用。
相似三角形广泛地应用于测量和计算问题中。
比如在测量高建筑物的高度时，我们可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影长度和太阳高度的关系来计算建筑物的高度。
此外，在地图制作中，我们也可以利用相似三角形来确定地图上各个地点的实际距离。
在几何推导中，相似三角形也是许多几何性质的基础，如正弦定理和余弦定理等。
相似三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它的判定条件、性质和应用广泛地应用于各种实际问题以及数学推导中。
通过学习相似三角形，我们不仅可以提高解决实际问题的能力，还能够在进一步学习几何知识时打下坚实的基础。
因此，在学习数学的过程中，我们应该重视相似三角形的学习和应用。
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。
在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。
本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。
1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。
- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。
2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。
以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。
- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。
3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。
黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。
- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。
- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。
4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。
当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。
常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。
- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。
相似三角形九年级知识点
相似三角形九年级知识点数学是一门令人兴奋和困惑的学科，尤其是对于中学生来说，掌握基本的几何知识是非常重要的。
而在几何学中，相似三角形是一个十分重要的概念。
在这篇文章中，我将为大家介绍相似三角形的概念、性质以及应用。
首先，我们来看一下相似三角形的定义。
在几何学中，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
换句话说，相似三角形是指形状相似但尺寸不同的三角形。
相似三角形有一些重要的性质。
首先是角度对应性质。
如果两个三角形是相似的，那么对应的角是相等的，而对应边的比例也是相等的。
利用这个性质，我们可以用已知的相似三角形来求解未知的尺寸，或者证明一些几何问题。
例如，当我们需要测量高处的物体时，可以利用相似三角形的性质，通过测量一个已知长度的影子和其对应的物体长度，再利用相似三角形的比例关系来计算出物体的高度。
其次是面积对应性质。
如果两个三角形是相似的，那么它们的面积之比是边长比的平方。
例如，如果一个三角形与另一个三角形相似，而它们的边长比为2:1，那么它们的面积之比就是4:1。
利用这个性质，我们可以计算出相似三角形的面积，或者通过已知的面积比来求解未知的尺寸。
除了这些基本的性质，相似三角形还有一些重要的应用。
例如，在地图制作中，为了将地球表面缩小表示在平面上的地图上，需要利用相似三角形的性质。
通过选择一个参考点，然后测量它在地球上的实际位置和在地图上的位置，我们可以利用相似三角形的比例关系来将地球表面上的其他点的位置转化为地图上的坐标。
另一个应用是在建筑设计中。
在设计高楼大厦或者桥梁时，需要根据实际需要确定各个部分的尺寸和比例。
相似三角形的性质使得设计师能够维持整体建筑的比例和美观。
通过在设计中运用相似三角形的原理，设计者可以在不改变整体结构的前提下，根据不同的需求来调整单个部分的尺寸。
总结一下，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过了解相似三角形的定义、性质和应用，我们可以更好地掌握几何学中的相关知识。
九年级数学相似三角知识点
九年级数学相似三角知识点数学是一门重要且有趣的学科，其中相似三角形是数学中一个重要的概念。
相似三角形的研究帮助我们理解和解决各种实际问题。
在九年级数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
本文将详细介绍九年级数学中与相似三角形相关联的几个知识点，以加深对这个概念的理解。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例也相等。
相似三角形有很多有趣的性质。
例如，如果两个三角形相似，则它们的对应边长比相等。
根据这个性质，我们可以通过已知条件推导出未知条件。
此外，两个相似三角形的高度、中线、角平分线也是成比例的。
二、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，我们需要使用一些判定方法。
最常用的判定方法有AAA（角-角-角）相似判定法、SAS（边-角-边）相似判定法和SSS（边-边-边）相似判定法等。
这些方法非常重要，可以帮助我们准确地判定两个三角形是否相似，从而在解决问题时提供正确的切入点。
三、相似三角形的比例关系相似三角形具有重要的比例关系。
在相似三角形中，我们可以根据已知条件求解未知条件以及应用比例关系解决实际问题。
例如，我们可以利用两个相似三角形的对应边长比来计算未知长度。
在解决实际问题时，掌握比例关系是非常重要的一项技能。
四、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用。
例如，我们可以使用相似三角形的原理来计算高楼、高塔的高度。
此外，相似三角形还可以应用于已知影子长度和物体高度计算等问题。
掌握了相似三角形的知识，我们可以更好地理解和解决这些实际问题。
五、相似三角形的构造在九年级数学中，我们还需要学习相似三角形的构造。
构造相似三角形时，我们可以通过已知条件构造一个相似的三角形，从而解决问题。
构造相似三角形的方法有很多，如底角平分线、相似三角形的角平分线、相似三角形的中线等。
掌握这些构造方法可以为我们解题提供更多的思路和方法。
结语：相似三角形是九年级数学中一个重要的知识点，它有广泛的应用，并能够帮助我们解决各种实际问题。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点九年级数学：相似三角形知识点1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例的三角形。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，且每组对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. 相似三角形的标记在标记相似三角形时，通常使用希腊字母来表示对应的顶点。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，我们可以标记为：△ABC ∼△DEF。
3. 相似三角形的性质- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
- 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 对应高的比值也相等：AH/DH = BH/EH = CH/FH（其中H是三角形的高所在的顶点）。
- 对应中线的比值也相等：AM/DM = BM/EM = CM/FM（其中M是三角形的中线所在的顶点）。
4. 相似三角形的判定- 三角形相似的判定定理一：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理二：如果两个三角形的三组对应边的比值都相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理三：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，且它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
5. 相似三角形的应用- 解决实际问题：在建筑设计、地图制作等领域，相似三角形的概念可以用来解决比例缩放问题。
- 计算面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
即，如果AB/DE = x，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为x²。
- 证明几何定理：在证明某些几何定理时，可以通过证明三角形相似来简化证明过程。
6. 相似三角形的计算- 使用比例关系解决实际问题时，通常需要先确定比例系数，然后利用这个系数来计算其他边长或角度。
- 在计算面积比时，应先计算出三角形的边长比，然后根据边长比计算面积比。
7. 相似三角形的证明- 在证明三角形相似时，需要明确指出所使用的判定定理，并确保所有的条件都满足。
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第2课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1
【例题】
【例1】证明(zhèngmíng)：图中 △AEB 和△FEC相似．
证明 AE FE ∵ (zhèngmíng)
54 36
1.5，
BE 45 1.5， CE 30
∴ AE BE， FE CE
∵ ∠AEB＝∠FEC，
∴△AEB∽△FEC（两边成比 例且夹角相等的两个
(liǎnɡ ɡè)三角形相似）．
（1）三角分别(fēnbié)相等、三边成比例的两个三角形叫相似三角形． （2）相似三角形对应边的比叫做相似三角形的相似比．
2、自学课本(kèběn)P91例2以上的内容：
第三页，共二十页。
点拨(diǎn bo)
观察下图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么 位置才能(cáinéng)使△ADE与△ABC相似呢？
第2课时(kèshí) 两边对应成比例且夹角
相等的两个三角形相似
第一页，共二十页。
1.复习上节课学习的三角形相似的判定方法.
2.通过探索，掌握相似三角形的判定定理2，并能运 用(yùnyòng)相似三角形的判定定理2解决数学问题．
第二页，共二十页。
自学 指导1 (zìxué)
1、什么叫做相似三角形？什么叫做相似三角形的相似比？
第八页，共二十页。
2．如图，在△ABC中,点D在线段BC上，且 A
△ABC∽△DBA，则下列结论(jiélùn)一定正确的是
（ ）A
A.AB2=BC·BD
B.AB2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD B
D
C
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是
AC上一点(yī diǎn)，DE⊥AB于点E，若AC=8，
初三相似三角形知识点
初三相似三角形知识点在初三数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
接下来，我们将介绍一些与相似三角形相关的重要概念和定理。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
对于两个相似三角形ABC和DEF来说，它们的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
而且，它们的对应边长之比相等，也就是AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质：- 对应角和对应边的比例相等。
即∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F，以及AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 如果两个三角形相似，它们的对应边长之比等于它们的对应边长的平均数与对应角的正弦比之积。
即AB/DE = (BC + AC)/(EF + DF) = sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
3. 判断相似三角形的方法判断两个三角形是否相似的方法有几种：- AA准则：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
- SAS准则：如果两个三角形的一个角相等，两个边成比例，且不在这个角的两边上，则它们是相似的。
- SSS准则：如果两个三角形的三个边成比例，则它们是相似的。
4. 相似三角形的应用相似三角形有很多应用场景，其中一个重要的应用是解决实际问题中的长度或距离问题。
通过相似三角形定理，我们可以利用一些已知的长度或距离来求解未知的长度或距离。
例如，通过测量一个高楼的阴影长度和同一时间地面上的阴影长度，我们可以利用相似三角形的性质来计算出这个高楼的高度。
5. 相似三角形定理相似三角形定理是判断相似三角形的重要定理之一。
根据相似三角形定理，如果在两个三角形中，两个角相等，则这两个三角形相似。
根据这个定理，我们可以利用相似三角形定理来求解一些长度或角度相关的问题。
通过对初三相似三角形知识点的了解，我们可以更好地理解和运用这个概念，解决实际问题中的相关数学计算。
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专题分类突破四 相似三角形的基本图形(见B 本41页)
, 类型 1 “A ”字型)
【例1】 如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，四边形DEFB
是菱形，AB ＝6，BC ＝4，那么AD ＝__185
__．
例1图
变式 扬州中考如图所示，已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且a<b<c ，平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①，②，③的面积分别为S 1，S 2，S 3则S 1，S 2，S 3的大小关系是__S 1<S 3<S 2__．
变式图
, 类型 2 “X ”字型)
例2图
【例2】 如图所示，已知△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F.若AD ∶BD ＝3∶2，BC ＝15，则EF 的长为__6__．
变式 株洲中考如图所示，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( C )
变式图
A.13
B.23
C.34
D.45
, 类型 3 “K ”字型)
【例3】 如图所示，在边长为12的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．若BF ＝3，则小正方形的边长为( A )
例3图
A.154 B ．2 3 C ．5 D ．6
变式图
变式 如图所示，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则AF 等于( C )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
, 类型 4 交叉型与旋转型)
【例4】 如图所示，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M ，交AB 于点N ，
交CB 的延长线于P ，若MN ＝1，PN ＝4，则DM 的长为．
4图
变式 2017·深圳中考如图所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝__3__．
变式图
1．如图所示，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD ＝3S △ABD ，则AB ∶AC 等于( C )
A ．1∶3
B ．1∶4
C ．1∶3
D ．1∶2
1题图
2题图
2．如图所示，已知△ABC 的面积是12，BC ＝6，点E ，I 分别在边AB ，AC 上，在BC 边上依次做了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，…，KHIJ ，则每个小正方形边长为( D )
A.1211
B.122n －3
C.125
D.122n ＋3
3．如图所示，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点
H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52
，∠EDF ＝90°，则DF 的长是( C ) A.158 B.113 C.103 D.165
3题图
4题图
4．如图所示，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为__16∶9__．
5．2017·东营中考如图所示，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连结CD ，BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD ＝CD ；③CD 2＝CE·CO ，其中正确结论的序号是__①②③__．
第5题图
6题图
6．2017·六盘水中考如图所示，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的
延长线上取一点E ，连结OE 交AD 于点F.若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169
__．
第7题图
7．岳阳中考如图所示，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N.
(1)求证：△ABM ∽△EFA.
(2)若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝90°，
∵AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠EAF ，
又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°，
∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EFA.
(2)∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5，
∴AM ＝122＋52＝13，AD ＝12，
∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12
AM ＝6.5， ∵△ABM ∽△EFA ，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE
， ∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.
第8题图
8．2017·株洲中考如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，求EQ ＋FQ 的值．
第8题答图
解：如图，在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，DE ＝DF ，∠1＝∠2＝∠3， ∵∠1＋∠QEF ＝∠3＋∠DFQ ＝45°，
∴∠QEF ＝∠DFQ ，∵∠2＝∠3，
∴△DQF ∽△FQE ，∴DQ FQ ＝FQ QE ＝DF EF ＝12
， ∵DQ ＝1，∴FQ ＝2，EQ ＝2，∴EQ ＋FQ ＝2＋ 2.。