年人教A版高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 4.3 4.3.1 4.3.2
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 42 421 含解析
第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．1直线与圆的位置关系课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是() A．相交且直线过圆心B．相交但直线不过圆心C．相切D．相离解析：选D圆心C(1,1)到直线的距离d＝|3×1＋4×1＋12|32＋42＝195，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于()A.6B.6 2C．1 D．5解析：选A圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝2，圆心到直线的距离d＝|2＋2－5|2＝22，所以直线被圆截得的弦长为2r2－d2＝22－12＝ 6.3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9解析：选D圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|6＋4＋5|5＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．0或4 B．0或3C ．－2或6D ．－1或 3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2 解析：选D 圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.6．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝ .解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15. 答案：4±157．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为 ．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是 ．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1，即－k2＋1＋1＝0，∴k ＝4. ∴r ＝16＋4－162＝1.答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上， 故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27， 则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2， 解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为(a ，b )，半径长为r . ∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上．∴a ＋2b ＝0，① 且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， ∴r 2－d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2.③ 解由方程①②③组成的方程组，得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(x ＋7)2＝244. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．无法确定，与m 的取值有关 解析：选A 圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1＜1＝r ，故选A.2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.3．若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 解析：选C 由题意得|2k －3＋2|k 2＋1<1，解得0<k <43.4．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：选A 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时， |AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx＋3的距离d ≤1.∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1.由二次函数的图象可得－34≤k ≤0.5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为 ．解析：圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555. 答案：25556．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则实数b 的取值范围是 ．解析：如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)即直线l 2，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切即直线l 1，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，直线l 2中b ＝1；直线l 1中b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2)．答案：[1，2)7．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为 ．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝ 5.切线长|OP |＝|OO ′|2－|O ′P |2＝2 5.∴|PQ |＝2·|OP |·|O ′P ||OO ′|＝2×25×55＝4.答案：48．已知点A (1，a )，圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程； (2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值．解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3.当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1.① 又圆心到直线的距离d ＝|b |2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，② 由①②，得⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－2－1，b ＝－ 2.。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评23 Word版含答案.doc
学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋(－1)2＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为(0＋3)2＋(－1－2)2＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－(32)2＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有3个． 【答案】 3 三、解答题8．过点A (1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x －2)2＋(y －2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】 因为tan 135°＝－tan 45°＝－1， 所以直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2－2|2＝ 2＜r ＝22，所以直线与圆相交． 弦长为2r 2－d 2＝28－2＝2 6.9．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 【解】 (1)设圆A 的半径为r ， ∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)当直线l 与x 轴垂直时， 则直线l 的方程x ＝－2，此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0，∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ， ∴|AQ |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2＝r 2，又∵|MN |＝219，r ＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑战]10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝ 2 B．－1＜b≤1或b＝－ 2C．－1≤b≤1 D．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－2；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－ 2.【答案】 B11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程.【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， ∴2r ＝|15－(－5)|22＋12＝45，∴r ＝25，∴|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10，① |2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10， ②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴b －1a －2＝12，③由①②③解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. (2)设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |， ∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.。
2020_2021学年高中数学课时分层作业新人教A版必修2第四章圆与方程
课时分层作业(二十三) 圆的标准方程(建议用时：45分钟)一、选择题1．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x－1)2＋(y－2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x－1)2＋(y－2)2＝5D.(x－1)2＋(y－2)2＝25D[圆心坐标为(1，2)，半径r＝（5－1）2＋（5－2）2＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.]2．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )A.(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C.(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4A[已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.]3．方程y＝9－x2表示的曲线是( )A.一条射线B．一个圆C.两条射线D．半个圆D[y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．]4．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2D[利用两点间的距离公式求圆的半径，从而写出方程．圆的半径r＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]5．若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|<55B．|a|<1C.|a|≤55D．|a|≤1D [由已知，得(4a )2＋(3a )2≤25，∴a 2≤1，∴|a |≤1.] 二、填空题6．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．(x －2)2＋(y －4)2＝20 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即圆心为(2，4)，从而r ＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.]7．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第________象限．四 [因为直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，所以圆心(－a ，－b )在第四象限．]8．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则（x －1）2＋（y －1）2的最大值为________． 1＋2 [（x －1）2＋（y －1）2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1，1)的距离，因此最大值为2＋1.]三、解答题9．已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解] 法一：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8， ∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中， |OC |＝|AC |2－|AO |2＝ 52－42＝3.设点C 坐标为(a ，0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3. ∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25. 法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25. ∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0，4). 代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.10．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，求△ABP 面积的取值范围．[解] 由题意知A (－2，0)，B (0，－2)，|AB |＝（－2）2＋（－2）2＝2 2.∵圆心(2，0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|4|2＝2 2.又∵圆的半径为2，∴点P 到直线的距离的最大值和最小值分别为32和 2. ∴S max ＝12×22×32＝6，S min ＝12×22×2＝2，故△ABP 面积的取值范围是[2，6].1．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.2 B ．1 C ． 3 D ．2 B [由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.]2．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．(x ＋5)2＋y 2＝5 [如图所示，设圆心C (a ，0)，则圆心C 到直线x ＋2y ＝0的距离为|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，∴圆心是(－5，0).故圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.]课时分层作业(二十四) 圆的一般方程(建议用时：60分钟)一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( ) A ．(1，－1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1 C ．(－1，2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D [圆的方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.]2．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＝E C ．D ＝FD ．E ＝FB [由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D2，即D ＝E .]3．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．－2或0C [圆的圆心坐标为(1，2)，由点到直线距离公式得d ＝|1－2＋a |12＋（－1）2＝22， 解得a ＝2或0，故选C.]4．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，0)D ．(0，－1)D [由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＋34k 2－1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2. 若表示圆，则r 2＝1－34k 2＞0，从而圆的面积为s ＝πr 2＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34k 2，显然当k ＝0时，s的值最大，最大值为π，所以圆的圆心坐标为(0，－1).故选D.]5．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A. (x －1)2＋y 2＝4 B. (x －1)2＋y 2＝2 C. y 2＝2xD. y 2＝－2xB [由题意知，圆心(1，0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1，0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B.]二、填空题6．圆心在直线y ＝x 上，且经过点A (－1，1)、B (3，－1)的圆的一般方程是________．x 2＋y 2－4x －4y －2＝0 [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2， 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋3D －E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝－4，F ＝－2，即所求圆的一般方程是x 2＋y 2－4x －4y －2＝0.]7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0，1)，则点B 的坐标为________．(2，－3) [由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1).设B (x 0，y 0)，又A (0，1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3).]8．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线y ＝－x 上；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确的是________．(要求写出所有正确命题的序号)①③ [将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确．] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．[解] 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2，3). (1)P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； (2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值．[解] (1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上， ∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0， ∴a ＝4，P (4，5)，∴|PQ |＝（4＋2）2＋（5－3）2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13. (2)∵圆心C 坐标为(2，7)，∴|QC |＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42， 圆的半径是22，点Q 在圆外， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 A [圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A.]2．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9πB [设动点P 的轨迹坐标为(x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，知（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.]3．已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是________．3－2 [直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2.] 4．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围． [解] (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝－7t 2＋6t ＋1， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，∴－17＜t ＜1.即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1. (2)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167.当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·4t 2＋16t 4＋9＜0时，点P 恒在圆内，化简得8t 2－6t ＜0，即0＜t ＜34.故t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.课时分层作业(二十五) 直线与圆的位置关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B ．2 C ． 2 D ．22C [由圆的方程(x ＋1)2＋y 2＝2，知圆心为(－1，0)，故圆心到直线y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0的距离d ＝|－1－0＋3|2＝ 2.]2．圆心为(3，0)且与直线x ＋2y ＝0相切的圆的方程为( ) A.(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C.(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9B [由题意知所求圆的半径r ＝|3＋2×0|1＋2＝3，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3，故选B.]3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3] C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)C [圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a ，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则d ≤r ＝2⇔|a ＋1|2≤2⇔|a ＋1|≤2⇔－3≤a ≤1.] 4．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A.y ＝－34 B ．y ＝－12C.y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]5．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( ) A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个C [圆心(3，3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，又r ＝3，故有3个点到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1.]二、填空题6．若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．x ＋2y －5＝0 [设切线斜率为k ，则由已知得：k ·k OP ＝－1.∴k ＝－12，又∵P (1，2)，∴切线方程x ＋2y －5＝0.]7．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 22 [设点A (3，1)，易知圆心C (2，2)，半径r ＝2.当弦过点A (3，1)且与CA 垂直时为最短弦，|CA |＝（2－3）2＋（2－1）2＝2，∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝2，∴最短弦的长为2 2.]8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [先确定直线过的定点，再求圆的方程． 直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1).当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]三、解答题9．已知圆C 的圆心与点P (－2，1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求圆C 的方程．[解] 设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C (m ，n )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m2＋1，n －1m ＋2·1＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1.故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18.故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.10．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．[解] 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，∴圆C 的半径为3|m |. ∵圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |，由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m 2＝7＋2m 2， ∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.1．已知2a 2＋2b 2＝c 2，则直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是 ( ) A.相交但不过圆心B ．相交且过圆心C.相切D ．相离A [∵2a 2＋2b 2＝c 2，∴a 2＋b 2＝c 22.∴圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |c 22＝2<2，∴直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交，又∵点(0，0)不在直线ax ＋by ＋c ＝0上，故选A.]2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2，3)，则直线l 的方程为________．x －y ＋5＝0 [由圆的一般方程，可得圆心为M (－1，2).由圆的性质易知，M (－1，2)与C (－2，3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1，即得k AB ＝1.故直线AB 的方程为y －3＝x＋2，整理得x －y ＋5＝0.]3．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．4±15 [圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1. 因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15.] 4．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点．(1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使∠BPA ＝60°，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x .所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1， 所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋12＋9.所以当x ＝－45时，|PC |2min ＝9.所以|AP |min ＝9－1＝2 2.即四边形PACB 面积的最小值为2 2.(2)由(1)知圆心C 到P 点距离3为C 到直线上点的最小值，若∠APB ＝60°易得需PC ＝2，这是不可能的，所以这样的点P 是不存在的．课时分层作业(二十六) 圆与圆的位置关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．若圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A.2 B ．－5 C.2或－5D ．不确定C [两圆的圆心坐标分别为(－2，m )，(m ，－1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得（m ＋2）2＋（－1－m ）2＝3＋2，解得m ＝2或－5.]2．圆x 2＋y 2－2x ＋F ＝0和圆x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.E ＝－4，F ＝8 B ．E ＝4，F ＝－8 C.E ＝－4，F ＝－8D ．E ＝4，F ＝8C [公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2－2x ＋F )－(x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4)＝0，即x ＋E4y －F ＋44＝0，又由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧E 4＝－1，－F ＋44＝1，解得E ＝－4，F ＝－8，故选C.] 3．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4C [∵圆C 1的圆心C 1(－2，2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2，5)，半径r 2＝4，∴|C 1C 2|＝（2＋2）2＋（5－2）2＝5＝r 1＋r 2. ∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．]4．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( ) A.(x －4)2＋(y －6)2＝6B.(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6 C.(x －4)2＋(y －6)2＝36D.(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36D [由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36，由题意，得a 2＋9＝5，所以a 2＝16，所以a ＝±4.]5．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切 B ．相交 C.外切D ．相离B [先由圆截直线所得线段长度求出a ，再判断两圆的位置关系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0，0)，(－a ，a ). ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋（－a ）2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0，2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1，1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3，1<|MN |<3，∴两圆相交．] 二、填空题6．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．外切 [因为点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上， 所以a 2＋b 2＝4.又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1， 圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a ，0)，半径r 2＝1， 则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， 所以d ＝r 1＋r 2.所以两圆外切．]7．已知圆C 1：(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＝1，则过圆C 1与圆C 2的两个交点且过原点O 的圆的方程为________．x 2＋y 2－x －2y ＝0 [设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋1＋λ(x 2＋y 2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C 1与圆C 2的两个交点且过原点O 的圆的方程为：x 2＋y 2－x －2y ＝0.]8．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为________．4 [如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2，∴|AB |＝4.] 三、解答题9．求圆心为(2，1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．[解] 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．[解] 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2，0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1). 又圆心C 1(－2，0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2，∴所求圆的半径r ＝（3）2－（2）2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A.4 B ．42－1 C.22－2D ．2D [∵|CC ′|＝5＜8－1＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为8－|CC ′|－1＝2.]2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C.4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0A [以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．]3．若圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．x －y ＋2＝0或x ＋y ＝0 [两圆的圆心分别为O (0，0)，C (－2，2)，由题意，知l 为线段OC 的垂直平分线或直线OC ，故其方程为x －y ＋2＝0或x ＋y ＝0.]4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，满足以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，且OA ⊥OB ，设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消元得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0.设此方程两根为x 1，x 2，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.∵以AB 为直径的圆过原点O ， ∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0，即2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， ∴b 2＋3b －4＝0，∴b ＝－4或b ＝1. 又Δ＝(2b ＋2)2－8(b 2＋4b －4)， 经检验当b ＝－4或b ＝1时满足Δ>0. ∴存在这样的直线l 为y ＝x －4或y ＝x ＋1.课时分层作业(二十七) 直线与圆的方程的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A.1.4米 B ．3.0米 C ．3.6米 D ．4.5米C [可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得|OD |＝|OC |2－|CD |2＝3.6(米).]2．由y ＝|x |和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小扇形的面积是( ) A.π4 B ．π C．3π4 D ．3π2B [由题意知围成的面积为圆面积的14，所以S ＝14πr 2＝π.]3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A.10 6 B ．20 6 C.30 6D ．406B [圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1. 根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×10×46＝20 6.]4．已知点A (－1，1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )A.62－2 B ．8 C ．4 6 D ．10B [点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5，7)的距离为（5＋1）2＋（7＋1）2＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8.]5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C ．22D ．2 D [圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.]二、填空题6．若圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是________． －2 [因为圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，所以直线y ＝kx ＋3过圆心(1，1)，即1＝k ＋3，所以k ＝－2.]7．圆C ：(x －4)2＋(y －4)2＝4与直线y ＝kx 的交点为P ，Q ，原点为O ，则|OP |·|OQ |＝________．28 [如图，过原点O 作☉C 的切线OA ，连接AC ，OC ，在Rt △OAC 中，|OA |2＝|OC |2－r 2＝32－4＝28，由平面几何知识可知，|OP |·|OQ |＝|OA |2＝28.]8．方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的取值范围是________．{k |k ＝2或－1≤k ＜1} [由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点．结合图形(图略)易得－1≤k <1或k ＝ 2.]三、解答题9．AB 为圆的定直径，CD 为直径，过D 作AB 的垂线DE ，延长ED 到P ，使|PD |＝|AB |，求证：直线CP 必过一定点．[证明] 以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，直径AB 位于x 轴上，动直径为CD .令C (x 0，y 0)，则D (－x 0，－y 0)， 所以P (－x 0，－y 0－2r ).所以直线CP 的方程为y －y 0＝－2r －y 0－y 0－x 0－x 0(x －x 0)，即(y 0＋r )x －(y ＋r )x 0＝0.所以直线CP 过直线：x ＝0，y ＋r ＝0的交点(0，－r )， 即直线CP 过定点．10．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40，0)，B (0，30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到．设持续时间为t ，则t ＝2252－24228＝0.5(h)，即外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h ．1．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，n ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是( )A.[－32，32] B ．[－3，3] C.(－3，32]D ．[－32，3)C [数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y >0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得，当－3<b ≤32时， 直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)有公共点．]2．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2，0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－524∪⎝ ⎛⎭⎪⎫524，＋∞ [由题意知，AB 所在直线与圆C 相切或外离时，视线不被挡住，直线AB 的方程为y ＝a 5(x ＋2)，即ax －5y ＋2a ＝0，所以d ＝|3a |a 2＋（－5）2≥1，即a ≥524或a ≤－524.] 3．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km 处，受影响的范围是半径长为20 km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 建立如图所示的直角坐标系，取10 km 为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6，0)，(0，3)，所以轮船航线所在直线方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0，台风区域边界所在圆的方程为x 2＋y 2＝4. 由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离d ＝|－6|12＋22＝65>2.所以直线x ＋2y －6＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．课时分层作业(二十八) 空间直角坐标系(建议用时：45分钟)一、选择题1．点A (2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在y 轴内 B ．在xOy 平面内 C ．在xOz 平面内D ．在yOz 平面内C [因为点(2，0，3)的纵坐标为0，则点在平面xOz 内．]2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4，7，6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为( )A ．(4，0，6)B ．(－4，7，－6)C ．(－4，0，－6)D ．(－4，7，0)C [点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4，7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4，0，－6).]3．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)C [设P (0, 0, z )，则有12＋（－2）2＋（z －1）2＝22＋22＋（z －2）2，解得z ＝3.] 4．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上中线的长是( )A ．2B ． 6C ．3D ．22B [由题意可知A (0，0，1)，B (4，0，0)，C (0，2，0)，所以BC 边的中点坐标为D (2，1，0)，所以BC 边的中线长|AD |＝（2－0）2＋（1－0）2＋（0－1）2＝ 6.]5．已知三点A (－1，0，1)，B (2，4，3)，C (5，8，5)，则( ) A ．三点构成等腰三角形 B ．三点构成直角三角形 C ．三点构成等腰直角三角形 D ．三点构不成三角形D [由|AB |＝29，|BC |＝29，|AC |＝116，|AB |＋|BC |＝|AC |.故选D.] 二、填空题6．如图所示，在长方体OABC O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 [由长方体性质可知，M 为OB 1中点，而B 1(2，3，2)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1.] 7．如图是一个正方体截下的一角P ABC ，其中|PA |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c 3 [由题意知A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，C (0，0，c ).由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3.]8．如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1，1，1)的距离是________．2或 6 [设P (0，0，z )，由|PO |＝（0－0）2＋（0－0）2＋（z －0）2＝1，得z ＝±1，∴P (0，0，1)或P (0，0，－1)，则|PA |＝2或 6.]三、解答题9．依次连接四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，且已知A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，－5)，求顶点D 的坐标．[解] 设线段AC 与BD 的交点为M ，设点M 的坐标为M (x 1，y 1，z 1)，点D 的坐标为D (x 2，y 2，z 2)，由M 既是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，得x 1＝72，y 1＝4，z 1＝－1，又2＋x 22＝72，－5＋y 22＝4，1＋z 22＝－1， ∴x 2＝5，y 2＝13，z 2＝－3. ∴顶点D 的坐标为(5，13，－3).10．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．[解] 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0，0，a ).由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a ， 因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a . 由两点间的距离公式可得：|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .1．在空间直角坐标系中，以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，则实数x 的值为( )A ．－2B ．2C ．6D ．2或6D [∵以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，∴|AB |＝|AC |，∴（4－10）2＋（1＋1）2＋（9－6）2＝（4－x ）2＋（1－4）2＋（9－3）2，∴7＝（4－x ）2＋45，即(4－x )2＝4，∴x ＝2或x ＝6.经检验，当x ＝2或x ＝6时，均满足|BC |＜14，故选D.] 2．△ABC 的顶点坐标是A (3，1，1)，B (－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1D [△ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A ′(0，1，1)、B ′(0，2，1)、C ′(0，2，3)，△ABC 在yOz 平面上的射影是一个直角三角形A ′B ′C ′，容易求出它的面积为1.]。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 43 431 432 含解析
第四章4．3空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系4．3．2空间两点间的距离公式课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()A．3B．2C．1 D．0解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x 轴对称，则|BC|的值为()A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：选B点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：选D∵|AB|＝(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝(x－2)2＋8＝26，∴x＝6或－2.6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是三角形．(填三角形的形状)解析：|AB|＝(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14.|AC|＝(4－5)2＋(3－2)2＋(1－3)2＝6，|BC|＝(7－5)2＋(1－2)2＋(2－3)2＝6，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为．解析：由两点间距离公式可得|AB |＝ (1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥355. 答案：3558．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为 ．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4189．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.10.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)． ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1.M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内． 2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 与点C 的距离为( )A.132B.534C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532. 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.5．已知点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为 ．解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A ′B ′|＝(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101. 答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是 ．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．对于任意实数x，y，z则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2的最小值为．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2＝|PM|＋|PO|.由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.答案： 68．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．解：(1)设P(x,0,0)．由题意，得|P0P|＝(x－4)2＋1＋4＝30，解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．则|MN|＝(x0－6)2＋(1－x0－5)2＋(0－1)2＝2(x0－1)2＋51.所以当x0＝1时，|MN|min＝51.此时点M的坐标为(1,0,0)．。
高中数学新课标人教A版必修二第四章 圆与方程同步经典习题
4.1.2圆的一般方程基础达标1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()．A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝02．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()．A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A 的轨迹方程是()．A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)4．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为________．6．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0则x2＋y2的最大值是________．7．(1)定长为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M 的轨迹．(2)如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．能力提升8．(天津高一检测)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程是()．A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x9．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．10．自点A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系基础达标1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()．A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称2．设z是任意实数，相应的点P(2，2，z)运动的轨迹是()．A．一个平面B．一条直线C．一个圆D．一个球3．(吉林高一检测)若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()．A．7 B．－7 C．－1 D．14．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________．5．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1在如图所示的空间直角坐标系中，则体对角线的交点O的坐标是________．6．(北京东城高一检测)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M1点，则M1关于原点的对称点坐标是________．7．四面体P－ABC是一个正方体截下的一角，且满足|P A|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如图所示的空间直角坐标系，求△ABC的重心G的坐标．能力提升8．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为()．A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)9．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述是________．10．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂蚁从点D出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．的距离的最大值和最小值．的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 能力提升在平面内转动，15＝0也相切，求圆C的方y＝x截得的弦长为27，交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在r1－r2＝1.答案 1x2＋y2＝5的公共弦长为________．②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，|－3|3 22________．关于原点的对称点坐标是(2，0，3)．，|PC|，DD1的长度为单位轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么x＝________．＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－为坐标原点，分别以AB，0，0)，设B(a，0，0)，。
2019-2020学年高中人教A版数学必修二习题：第4章 圆与方程 学业分层测评23 Word版含答案
学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 【解析】 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是A (1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0 【解析】 结合圆的几何性质知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.【答案】 B3．圆心为(3,0)且与直线x ＋2y ＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9【解析】 由题意知所求圆的半径r ＝|3＋2×0|1＋2＝3，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3，故选B. 【答案】 B4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4【解析】 由弦长公式l ＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d ＝2，即|a －2|12＋－＝2，解得a ＝0或4.【答案】 D5．圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n ＝( )A ．10－27B ．5－7C ．10－3 3D ．5－322【解析】 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＋＋－1－＝32<5.∴最大弦长为直径，即m ＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦， 即n ＝225－2＝27. ∴m －n ＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x －y ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝4交于点A 、B ，则|AB |＝________.【解析】 圆心到直线的距离d ＝|2－0|2＝2，半径r ＝2，∴|AB |＝2r2－d2＝2 2. 【答案】 2 27．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有________个.【解析】 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，所以弦心距为d ＝|－1－2＋1|2＝ 2. 又圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．【解】 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD|＝|4＋2a|a2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1. 故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.9．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．【解】 (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0.则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m|5. 由垂径分弦定理得：m25＋(3)2＝22，即m ＝± 5. 所以直线MN 的方程为：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.10．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．b ＝ 2B ．－1＜b ≤1或b ＝－ 2C ．－1≤b ≤1D ．以上都不正确【解析】 如图，作半圆的切线l 1和经过端点A ，B 的直线l 3，l 2，由图可知，当直线y ＝x ＋b 为直线l 1或位于l 2和l 3之间(包括l 3，不包括l 2)时，满足题意．∵l 1与半圆相切，∴b ＝－2；当直线y ＝x ＋b 位于l 2时，b ＝－1；当直线y ＝x ＋b 位于l 3时，b ＝1.∴b 的取值范围是－1＜b ≤1或b ＝－ 2.【答案】 B11．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0.(1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长．【解】 (1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－4－3＝3，所以直线l 的斜率为－13， 则2m ＝－13，所以m ＝－16. 在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5.所以|AB |＝2|AC2|－|PC|2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.。
高中数学必修二第四章圆与方程分层练习
圆与圆的方程分层练习基础训练一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++=2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或115．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x二、填空题1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。
3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的取值范围为________________。
5．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评21含答案
学业分层测评（二十一）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】 由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．(2016·湖南师大附中高一检测)圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A．1B．4C．5D．632＋42【解析】 圆心(0,0)到M的距离|OM|＝＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】 B4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D 正确．【答案】 D5．(2016·兰州高一检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，为半径的圆的方程为( )5A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由Error!得Error!∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C二、填空题6．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________．【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>，∴|a |>，即a >或a <－.1169113113113【答案】 a >或a <－1131137．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．【解析】 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，|1－1－2|1＋12即最大距离为1＋.2【答案】 1＋2三、解答题8．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程.【导学号：09960131】【解】 法一：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，∴Error!解得Error!故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ，∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ，∴圆心为C (a,5－2a )．由圆的定义得|AC |＝|BC |，即(a －4)2＋(5－2a －7)2＝.(a ＋3)2＋(5－2a －6)2解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝＝5.(4－1)2＋(7－3)2故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.9．求圆2＋(y ＋1)2＝关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．(x －12)54【解】 圆2＋(y ＋1)2＝的圆心为M ，半径r ＝.设所求圆的(x －12)54(12，－1)52圆心为(m ，n )，∵它与关于直线x －y ＋1＝0对称，(12，－1)∵Error!解得Error!∴所求圆的圆心坐标为，半径r ＝.(－2，32)52∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋2＝.(y －32)54[能力提升]10．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，(4－)B.(4＋)，(4－)125125125C.，4－ D.(＋2)，(－2)55125125【解析】 点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB |＝，所以△PAB 面积|2－0＋2|22＋(－1)24555的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－)，125(455＋1)125125(455－1)125选B.【答案】 B 11．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程.【导学号：09960132】【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13，∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角，∴内切圆的半径r 1＝＝2，5＋12－132圆心为C 1(2，－2)．∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.∵外接圆的半径r 2＝，132圆心为C 2，(52，－6)∴外接圆的方程为2＋(y ＋6)2＝.(x －52)1694。
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第四章4．3空间直角坐标系
4．3．1空间直角坐标系
4．3．2空间两点间的距离公式
课时分层训练
‖层级一‖……………………|学业水平达标|
1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()
A．3B．2
C．1 D．0
解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；
④正确．故选C.
2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()
A．7 B．－7
C．－1 D．1
解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.
3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()
A．(0，2，0) B．(0，2，3)
C．(1,0，3) D．(1，2，0)
解析：选D点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.
4．已知点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )
A ．2 5
B ．4
C ．2 2
D ．27
解析：选B 点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，
故|BC |＝
(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.
5．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4
D ．6或－2
解析：选D ∵|AB |＝(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2 ＝(x －2)2＋8＝26， ∴x ＝6或－2.
6．已知A (4,3,1)，B (7,1,2)，C (5,2,3)，则△ABC 是 三角形．(填三角形的形状)
解析：|AB |＝
(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14.
|AC |＝(4－5)2＋(3－2)2＋(1－3)2＝6，
|BC |＝(7－5)2＋(1－2)2＋(2－3)2＝6，所以|AC |＝|BC |，由三边长度关系知能构成三角形，
所以△ABC 是等腰三角形． 答案：等腰
7．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为 ． 解析：由两点间距离公式可得 |AB |＝ (1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝
5⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －152＋95≥35
5. 答案：35
5
8．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD
上，且|CG |＝1
4|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为 ．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，
由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，78，12.
所以
|EF |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－02＝
418. 答案：41
8
9．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．
解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .
在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12，
∴点D 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
0，－12，32.
10.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB 、AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)． ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3，1.
M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．
由两点间距离公式，得 |MN |＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. ‖层级二‖………………|应试能力达标|
1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内
D ．在xOz 平面内
解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内． 2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称
D ．以上都不对
解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 与点C 的距离为( )
A.13
2 B.534 C.532
D.532
解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，32，3，
由空间两点间的距离公式，得|PC |＝
(2－0)2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32
－12＋(3－0)2
＝532. 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )
A ．9 B.29 C ．5
D ．2 6
解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.
5．已知点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为 ．
解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段
AB
在
yOz
平面上的射影长|A ′B ′|＝
(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101. 答案：101
6．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是 ．
解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
7．对于任意实数x ，y ，z 则 (x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2的最
小值为 ．
解析：设P (x ，y ，z )，M (－1,2,1)， 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2 ＝|PM |＋|PO |.
由于x ，y ，z 是任意实数，即点P 是空间任意一点，则|PM |＋|PO |≥|OM |＝1＋4＋1＝6， 故所求的最小值为 6. 答案： 6
8．在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．
解：(1)设P(x,0,0)．
由题意，得|P0P|＝(x－4)2＋1＋4＝30，解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．
则|MN|＝(x0－6)2＋(1－x0－5)2＋(0－1)2
＝2(x0－1)2＋51.
所以当x0＝1时，|MN|min＝51.
此时点M的坐标为(1,0,0)．
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