2018届人教B版 等差数列及其前n项和 单元测试
2018届人教A版 等差数列及其前n项和 理 检测卷
2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标29 等差数列及其前n 项和 理[解密考纲]主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．已知等差数列{a n }的前13项之和为39，则a 6＋a 7＋a 8＝( B )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：由等差数列的性质得，S 13＝13a 7＝39，∴a 7＝3.由等差中项，得a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝9，故选B ．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( C )A ．8B ．12C ．16D ．24解析：由已知得a 1＋4d ＝8,3a 1＋3×22d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C ．3．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9解析：由题意可得S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴2(a 7＋a 8)＝0，即a 7＋a 8＝0.又∵a 1>0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．∴当S n 最大时，n ＝7.4．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10＝( C )A ．20B ．22C ．24D ．－8解析：在等差数列{a n }中，∵a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴5a 8＝120，∴a 8＝24.2a 9－a 10＝a 8＝24，故选C ．5．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( C ) A ．24 B ．48 C ．66 D ．132解析：设公差为d ，a 9＝12a 12＋3即a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋3，整理，得a 1＋5d ＝6，即a 6＝6.∴S 11＝11 a 1＋a 11 2＝11×2a 62＝66.故选C ． 6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( C )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意的n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析：选项C 显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n >0不成立．二、填空题7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝13. 解析：由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝ k ＋1 a 1＋a k ＋1 2＝ k ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212， 解得k ＝13.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是(－3,21)． 解析：S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6. 因为－3<3a 3<3,0<6a 6<18，两式相加即得－3<S 9<21.9．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －8，下列四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a 2n }是递增数列，其中为真命题的是p 1，p 3.解析：由公差d ＝2>0，知数列{a n }是递增数列，所以p 1为真命题；因为na n ＝n (2n －8)，对称轴为n ＝2，则数列{na n }先减后增，所以p 2为假命题；因为a n n ＝2－8n ，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列，所以p 3为真命题； 因为a 2n ＝(2n －8)2，对称轴为n ＝4，则数列{a 2n }先减后增，所以p 4为假命题．三、解答题10．数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＋1－a n －3＝0.(1)求数列的前n 项和S n ；(2)求使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围．解析：(1)因为a n ＋1－a n －3＝0，所以a n ＋1－a n ＝3，即数列{a n }是等差数列，公差d ＝3.又a 1＝－23，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝－23n ＋12n (n －1)·3，即S n ＝32n 2－492n . (2)S n ＝32n 2－492n 的对应函数为f (x )＝32x 2－492x ，它的图象是一条抛物线，其开口向上，对称轴为x ＝496. 当x ≥496时，函数f (x )是增函数． 因为8<496<9，且496－8<9－496，所以f (8)<f (9)． 综上，可知使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围是{n |n ≥8，n ∈N *}．11．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解析：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2. 从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝S m ＋k －S m －1＝(m ＋k )2－(m －1)2＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，k ＝4.12．(2015·福建卷)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4， a 1＋3d ＋ a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋...＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋...＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝2× 1－2101－2＋1＋10 ×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.。
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等差数列及其前n 项和一、选择题1．(2016·陕西八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19解析：a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，∴m ＝37.故选A.答案：A2．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16>0，且S 17<0，则当S n 最大时n 的值为( )A ．16B ．8C ．9D ．10解析：∵S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)>0， S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9<0， ∴a 8>0，a 9<0，且d <0，∴S 8最大． 答案：B3．(2016·广东湛江模拟)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17解析：设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16. 答案：C4．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10解析：因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180. 又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， 所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60. 所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·602＝390，即n ＝13. 答案：A5．(2016·黑龙江佳木斯月考)若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为( )A ．22B ．21C ．24D ．23解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23.答案：D6．(2016·湖南箴言中学调研)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．44解析：∵数列{a n }是等差数列，且S 8－S 3＝10，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝10，∴5a 6＝10，a 6＝2，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝11a 6＝22.答案：C7．(2016·北京海淀模拟)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析：由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可知数列{a 2n }是等差数列，且首项为a 21＝1，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以数列{a 2n }的通项公式为a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 26＝3×6－2＝16，又因为a 6>0，所以a 6＝4.选D.答案：D8．(2016·高考调研原创题)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos(π2＋π3)＝－32，故选D. 答案：D9．(2016·吉林长春质量监测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋1 解析：设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝4，b 2＝8，{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，S n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n ＝4.当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)na n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，又因为a 11＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)，a n ＝n 2n －1(n ∈N *)，故选A. 答案：A10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 013等于( )A ．2 013B ．－2 013C ．－4 026D ．4 026解析：由等差数列的性质可得{S nn }也为等差数列， 又∵S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0132 013＝S 11＋2 012d ＝－2 014＋2 012＝－2. ∴S 2 013＝－2×2 013＝－4 026. 答案：C 二、填空题11．(2016·江苏无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)(n ≥2)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2(n ≥2)，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：21112．已知在数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于________．解析：记b n ＝11＋a n，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112.∴a n ＝11－n n ＋1，故a 11＝0.答案：013．已知A n ＝{x |2n <x <2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为________．解析：∵A 6＝{x |26<x <27且x ＝7m ＋1，m ∈N }，∴A 6的元素x ＝.组成一首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891. 答案：89114．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是________．解析：设数列{a n }的公差为d ，则依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝15，S 5＝5a 1＋10d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. 故直线PQ 的斜率为a 4－a 34－3＝d 1＝4.答案：4 三、解答题15．(2016·辽宁协作体模拟)已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列．(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.16．(2016·河南商丘一模)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 5＝27a 23，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解：(1)方法1：设正项等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 1＋4d ＝27(a 1＋2d )2，7a 1＋21d ＝63，即⎩⎨⎧a 1＋2d ＝17(a 1＋2d )2，a 1＋3d ＝9，又∵a n >0，∴a 3＝a 1＋2d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝9， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1(n ∈N *)． 方法2：设正项等差数列{a n }的公差为d . ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 5＝27a 23，∴2a 3＝27a 23， 又a n >0，∴a 3＝7.∵S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝63，∴a 4＝9. ∴d ＝a 4－a 3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1，且a n ＝2n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝2n ＋3.当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝(2n ＋1)＋(2n －1)＋…＋5＋3＝n (n ＋2)， 又当n ＝1时，b 1＝3满足上式， ∴b n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)． ∴1b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＋1b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n 2＋3n ＋2).。
2018课标版理数一轮（6）第六章-数列（含答案）2第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业本
2018课标版理数一轮（6）第六章-数列（含答案）2第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业本第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2016青岛模拟)在等差数列{a n}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是()A.24B.48C.96D.无法确定2.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为()A.14B.15C.16D.173.(2016淄博模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若-a m<a1<-a m+1(m∈n*,m≥2),则必有()<="" p="">A.S m>0且S m+1<0B.S m<0且S m+1>0C.S m>0且S m+1>0D.S m<0且S m+1<04.数列{a n}的前n项和S n=2n2+3n(n∈N*),若p-q=5,则a p-a q=()A.10B.15C.-5D.205.设数列{a n}的前n项和为S n,若S nS2n为常数,则称数列{a n}为“吉祥数列”.已知等差数列{b n}的首项为1,公差不为0,若数列{b n}为“吉祥数列”,则数列{b n}的通项公式为()A.b n=n-1B.b n=2n-1C.b n=n+1D.b n=2n+16.在等差数列{a n}中,公差d=12,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=.7.等差数列{a n}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{a n}的前n项和S n中最大的为.8.(2016福建莆田期中)如果数列{a n}满足a1=2,a2=1,且an-1-a nan-1=a n-a n+1a n+1(n≥2),则这个数列的第10项等于.9.(2016威海模拟)已知S n为正项数列{a n}的前n项和,且满足S n=12a n2+12a n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{a n}的通项公式.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数,(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.B组提升题组11.(2016德州模拟)已知正项数列{a n}的前n项的乘积T n=14n2-6n(n∈N*),b n=log2a n,则数列{b n}的前n项和S n中最大的是()A.S6B.S5C.S4D.S312.已知等差数列{a n}的公差d>0,若a1+a2+…+a2017=2017a m(m∈N*),则m=.13.(2016四川成都一诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a9=24,则S88·S1010的最大值为.14.(2016安徽安庆二模)已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列,S n为其前n项和,且a n=S2n-1(n∈N*).若不等式λa n ≤n+8n对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为.15.已知数列{a n}是等差数列,b n=a n2-a n+12.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{b n}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{b n}的前n项和为S n,是否存在实数k,使S n当且仅当n=12时取得最大值?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.16.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n},求证:{a n}为等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n},求{b n}的前n项和S n.答案全解全析 A 组基础题组1.B 由等差数列的通项公式知,a 2+a 12=2a 1+12d=2(a 1+6d)=32,所以 a 1+6d=16,所以2a 3+a 15=3a 1+18d=3(a 1+6d)=48.2.C 设等差数列{a n }的公差为d,∵a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,∴5a 8=120,a 8=24,∴a 9-13a 11=(a 8+d)-13(a 8+3d)=23a 8=16.3.A 由题意知,a 1+a m >0,a 1+a m+1<0,得S m =m (a 1+a m )2>0,S m+1=(m +1)(a 1+a m +1)2<0.4.D 解法一:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2+3n-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1, 当n=1时,a 1=S 1=5,符合上式, ∴a n =4n+1,∴a p -a q =4(p-q)=20.解法二:由题意可知{a n }为等差数列,且公差d=2×2=4,∴a p -a q =d(p-q)=20.5.B 设等差数列{b n }的公差为d(d ≠0),S n S 2n=k,因为b 1=1,则n+12n(n-1)d=k 2n +12×2n(2n-1)d ,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n 上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=14.所以数列{b n }的通项公式为b n =2n-1.6.答案 10 解析 S 100=1002(a 1+a 100)=45,a 1+a 100=0.9,a 1+a 99=a 1+a 100-d=0.4,则a 1+a 3+a 5+…+a 99=502(a 1+a 99)=502×0.4=10.7.答案 S 5解析∵ a 4+a7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴ a 5>0,a 6<0,∴S n 中最大的为S 5. 8.答案15解析∵a n -1-a n a n -1=a n -a n +1a n +1(n ≥2),∴a n =2a n -1a n +1an +1+a n -1(n ≥2),∴2a n=1an +1+1a n -1(n ≥2),∴ 1a n为等差数列.∴公差d=1a 2-1a 1=1-12=12,∴1a 10=12+9×12=5,∴a 10=15.9.解析(1)已知{a n}是正项数列,由S n=1 2a n2+12a n(n∈N*),可得a1=12a12+12a1,解得a1=1;S2=a1+a2=12a22+12a2,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2)S n=12a n2+12a n,①当n≥2时,S n-1=12an-12+12a n-1,②①-②化简得(a n-a n-1-1)(a n+a n-1)=0(n≥2),又{a n}为正项数列,∴a n-a n-1=1(n≥2).由(1)知a1=1,故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列,故a n=n.10.解析(1)证明:由题设a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减可得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1. 由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.此时a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}(n∈N*)是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}(n∈N*)是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.B组提升题组11.D当n=1时,a1=T1=14-5=45,当n≥2时,a n=T nTn-1=142n-7,显然a1=45也适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=142n-7,所以b n=log2a n=14-4n,数列{b n}是以10为首项,-4为公差的等差数列,所以S n=10n+n(n-1)(-4)2=-2n2+12n=-2[(n-3)2-9],易得S n中最大的是S3.12.答案1009解析因为数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a2017=2017a1+2017×20162d=2017(a1+1008d),又 a m=a1+(m-1)d,所以根据题意得,2017(a1+1008d)=2017[a1+(m-1)d],解得m=1009.13.答案 64解析设等差数列{a n }的公差为d,则a 2+a 4+a 9=3a 1+12d=24,即a 1+4d=8,所以S n n=na 1+n (n -1)2d n=a 1+n -12d=8-4d+n -12d,则S 88=8-4d+72d=8-d 2,S 1010=8-4d+92d=8+d 2,S 88·S 1010= 8-d 2 8+d2 =64-d 24≤64,当且仅当d=0时取等号,所以S88·S 1010的最大值为64.14.答案 9解析 a n = S 2n -1?a n = (2n -1)(a 1+a 2n -1)2= (2n -1)a n ?a n 2=(2n-1)a n ?a n =2n-1,n ∈N *.因为λa n ≤n +8n,所以λ≤(+8)(2n -1)n,即λ≤2n-8n+15.易知y=2x-8x(x>0)为增函数,∴2n -8n+15≥2×1-81+15=9,所以λ≤9,故实数λ的最大值为9. 15.解析 (1)证明:设{a n }的公差为d,则b n+1-b n =(a n +12-a n +22)-(a n 2-a n +12)=2a n +12-(a n+1-d)2-(a n+1+d)2=-2d 2,∴数列{b n }是以-2d 2为公差的等差数列.(2)∵a 1+a 3+a 5+…+a 25=130,a 2+a 4+a 6+…+a 26=143-13k,∴13d=13-13k,∴d=1-k,又13a 1+13×(13-1)2×2d=130,∴a 1=-2+12k,∴a n =a 1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3,∴b n =a n 2-a n +12=(a n +a n+1)·(a n -a n+1)=-2(1-k)2n+25k 2-30k+5.(3)存在.要满足当且仅当n=12时S n 最大,则b 12>0,b 13<0.即-2(1-k )2·12+25k 2-30k +5>0,-2(1-k )2·13+25k 2-30k +5<0? k 2+18k-19>0,k 2-22k +21>0? k >1或k <-19,k >21或k <1?k>21或k<-19,故存在满足题意的实数k,此时k ∈(-∞,-19)∪(21,+∞). 16.解析 (1)证明:∵f(x)=x 2-2(n+1)x+n 2+5n-7=[x-(n+1)]2+3n-8,∴a n =3n-8.∵a n+1-a n =3(n+1)-8-(3n-8)=3,∴数列{a n }为等差数列.(2)由题意知,b n =|a n |=|3n-8|,∴当1≤n ≤2,n ∈N *时,b n =8-3n,S n =n (b 1+b n )2=n [5+(8-3n )]2=13n -3n 22;当n ≥3,n ∈N *时,b n =3n-8,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =5+2+1+…+(3n-8)=7+(n -2)[1+(3n -8)]2=3n 2-13n+282.∴S n = 13n-3n 22,1≤n ≤2,n ∈N *,3n 2-13n+282,n ≥3,n ∈N *.</a1<-a>。
2018届高考数学文大一轮复习检测：第五章第2讲等差数列及其前n项和 含答案 精品
第2讲 等差数列及其前n 项和, [学生用书P98])1．等差数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．1．辨明两个易误点(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 2．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．3．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 C [解析] a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C.2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [解析] 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2，若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N *)， 则当n ≥2且n ∈N *时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N *)， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件．3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63 D ．27B [解析] 法一：因为S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.4．(2017·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2.[答案] 25．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． [解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.[答案] －72等差数列的基本运算(高频考点)[学生用书P99]等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．高考对等差数列基本量计算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．[典例引领](1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A ．172B ．192C ．10D ．12(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【解析】 (1)因为公差为1，所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.因为 S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192，故选B.(2)法一：由题知S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36得，(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 【答案】 (1)B (2)D等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．[题点通关]角度一 求公差d 、项数n 或首项a 1 1．(2017·豫东、豫北十所名校联考)已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．3D [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3，故选D.角度二 求通项或特定项 2．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．[解析] 由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.[答案] 27等差数列的判定与证明[学生用书P100][典例引领]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0， 所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2， 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．(1)判断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．(2)用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．[证明] 因为a n ＝2－1a n －1，所以a n ＋1＝2－1a n .所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1，＝12－1a n －1－1a n －1，＝a n －1a n －1＝1， 所以{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．等差数列的性质及最值[学生用书P100][典例引领](1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18B ．99C ．198D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________． (3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】 (1)因为a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99. (2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.(3)当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.【答案】 (1)B (2)21 (3)⎝⎛⎭⎫－1，－78应用等差数列的性质应注意的两点(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m 、n 、p 、q 、k ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质．(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．[通关练习]1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40A [解析] 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.2．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17 A [解析] 设{a n }的公差为d ， 因为a 1＝29，S 10＝S 20，所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，所以S n ＝29n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值． 3．(2017·陕西省五校模拟)等差数列{a n }中，如果 a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66C [解析] 由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66，所以a 2＋a 5＋a 8＝33，所以数列{a n }前9项的和为66＋33＝99., [学生用书P100])——整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________． 【解析】 法一：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.法二：法一中两方程相减得－90a 1－100×99－902d ＝90，所以a 1＋110－12d ＝－1，所以S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝－110.法三：因为S 100－S 10＝（a 11＋a 100）×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝（a 1＋a 110）×1102＝（a 11＋a 100）×1102＝－110.【答案】 －110(1)法一是利用等差数列的前n 项和公式求解基本量，然后求和，是等差数列运算问题的常规思路．而法二、法三都突出了整体思想，分别把a 1＋110－12d 、a 11＋a 100看成了一个整体，解起来都很方便．(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要熟练掌握公式，理解其结构特征．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．[解析] 法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20, [学生用书P327(独立成册)])1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15B [解析] 设{a n }的公差为d ，由S 5＝（a 2＋a 4）·52⇒25＝（3＋a 4）·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12B [解析] 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0.3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( )A ．20B ．17C ．42D ．84B [解析] 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4⇒2(a 4＋a 14)＝4⇒a 1＋a 17＝2，故S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17.4．(2017·东北三校联考(一))已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121B [解析] 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7（b 1＋b 7）2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，则a 8＝－109.5．(2017·黄冈质检)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135 D ．80B [解析] 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.6．(2017·杭州重点中学联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9C [解析] 在等差数列{a n }中 ，因为a 4＜0，a 5＞|a 4|，所以a 5＞0，a 5＋a 4＞0，S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＜0，S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 4＋a 5）2＝4(a 4＋a 5)＞0. 所以使S n ＞0成立的最小正整数n 为8，故选C. 7．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．[解析] a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37.所以m ＝37. [答案] 378．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________． [解析] 设{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.[答案] －19．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于________．[解析] 因为a 5＝a 1＋a 92，b 5＝b 1＋b 92，所以a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9（a 1＋a 9）29（b 1＋b 9）2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.[答案] 21410．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当k ≥2时，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则S n 的最大值为________．[解析] 当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝－8，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－10，公差d ＝a k ＋1－a k ＝－2，S k ＝k （a 1＋a k ）2＝0，所以a 1＋a k ＝0，所以a 1＝8，所以a n ＝－2n ＋10，由a n ＝0得n ＝5，所以S 4＝S 5＝20最大．[答案] 2011．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：因为b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ，所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，所以a n ＝1b n＝12n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.12．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 0152 015＝2，则S 2 019的值为________．[解析] 由S 2 0172 017－S 2 0152 015＝a 1 009－a 1 008＝2.即{a n }的公差d ＝2，又a 1＝－2 017，所以S 2 019＝2 019×(－2 017)＋2 019×2 0182×2＝2 019.[答案] 2 01913．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1. 当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，① a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．因为数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝2n －1. 14．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．[解] 因为2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得， ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. 所以a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0， 解得292≤n ≤312，因为n ∈N *，所以n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，所以T 15最小． 因为数列{b n }的首项是－29，公差为2，所以T 15＝15（－29＋2×15－31）2＝－225.。
2018届人教B版 等差数列及其前n项和 单元测试
第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2016云南昆明三中月考)等差数列{a n}的前三项为x-1,x+1,2x+3,则这个数列的通项公式为( )A.a n=2n-5B.a n=2n-3C.a n=2n-1D.a n=2n+12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=15,S5=55,则数列{a n}的公差是( )A. B.4 C.-4 D.-33.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为( )A.14B.15C.16D.174.(2015陕西八校联考,4)在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a m=a1+a2+…+a9,则m的值为( )A.37B.36C.20D.195.(2015河南实验中学期中,5)设{a n}是等差数列,S n是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值6.若数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2,则使a k·a k+1<0的k值为( )A.22B.21C.24D.237.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S5=30,则a7+a8+a9= .8.已知等差数列{a n}中,a n≠0(n∈N*),若对任意的n≥2有a n-1+a n+1-=0且S2m-1=38,则m等于.9.(2013课标全国Ⅱ,16,5分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为.10.已知数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2(n∈N*),它的前n项和为S n,且a3=10,S6=72,若b n=a n-30,设数列{b n}的前n项和为T n,求T n的最小值.B组提升题组11.(2015甘肃兰州二模,6)已知数列{a n},{b n}都是等差数列,S n,T n分别是它们的前n项和,并且=,则=( )A. B.5 C. D.12.设数列{a n}的前n项和为S n,若为常数,则称数列{a n}为“吉祥数列”.已知等差数列{b n}的首项为1,公差不为0,若数列{b n}为“吉祥数列”,则数列{b n}的通项公式为( )A.b n=n-1 B .b n=2n-1 C.b n=n+1 D.b n=2n+113.(2016内蒙古包头九中期中)在等差数列{a n}中,前n项和是S n,若S15>0,S16<0,则在,,…,中最大的是( )A. B. C. D.14.(2016福建莆田期中)如果数列{a n}满足a1=2,a2=1,且=(n≥2),则这个数列的第10项等于( )A. B. C. D.15.(2015四川成都一诊,14)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a9=24,则·的最大值为.16.已知数列{a n}是等差数列,b n=-.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{b n}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{b n}的前n项和为S n,是否存在实数k,使S n当且仅当n=12时取得最大值?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.17.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n},求证:{a n}为等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n},求{b n}的前n项和S n.答案全解全析A组基础题组1.B ∵等差数列{a n}的前三项为x-1,x+1,2x+3,∴(x+1)-(x-1)=(2x+3)-(x+1),解得x=0.∴a1=-1,d=2,∴a n=-1+(n-1)×2=2n-3.2.B ∵{a n}是等差数列,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11,又a4=15,∴公差d=a4-a3=4.3.C设等差数列{a n}的公差为d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.4.A a m=a1+a2+…+a9=9a1+d=36d=a37,∴m=37.故选A.5.C由S5<S6,得a6>0,由S6=S7>S8,得a7=0,a8<0,故公差d=a8-a7<0,所以a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7=0>a8>a9>a10>…,所以S6和S7均为S n的最大值.因为S9-S5=a6+a7+a8+a9=a6+a8+a9=3a7+2d=2d<0,所以S9<S5.6.D 因为3a n+1=3a n-2,所以a n+1-a n=-,又a1=15,所以数列{a n}是首项为15,公差为-的等差数列,所以a n=15-·(n-1)=-n+,且{a n}为递减数列,令a n=-n+>0,得n<23.5,可知使a k·a k+1<0的k值为23.7.答案63解析设数列{a n}的公差为d,则解得所以a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×21=63.8.答案10解析∵2a n=a n-1+a n+1(n≥2),又a n-1+a n+1-=0(n≥2),∴2a n-=0(n≥2),即a n(2-a n)=0(n≥2).∵a n≠0,∴a n=2(n≥2),又{a n}是等差数列,∴a n=2(n∈N*).∴S2m-1=2(2m-1)=38,解得m=10.9.答案-49解析由S n=na1+d得解得a1=-3,d=,则S n=-3n+·=(n2-10n),所以nS n=(n3-10n2),令f(x)=(x3-10x2),则 f '(x)=x2-x=x,当x∈时, f(x)递减, 当x∈时, f(x)递增,又6<<7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nS n的最小值为-49.10.解析∵2a n+1=a n+a n+2,∴a n+1-a n=a n+2-a n+1,故数列{a n}为等差数列.设数列{a n}的公差为d,由a3=10,S6=72得,解得a1=2,d=4.∴a n=4n-2,则b n=a n-30=2n-31,令即解得≤n≤,∵n∈N*,∴n=15,∴T15最小,∵数列{b n}为等差数列,其首项是-29,公差为2,∴T15==-225,∴数列{b n}的前n项和T n的最小值为-225.B组提升题组11.D解法一:由题意可令S n=(7n+1)n,T n=(n+3)n,则a n=14n-6,b n=2n+2,所以==.解法二:设等差数列{a n},{b n}的公差分别为d1,d2,则======.12.B设等差数列{b n}的公差为d(d≠0),=k,因为b1=1,则n+n(n-1)d=k2n+×2n(2n-1)d,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=.所以数列{b n}的通项公式为b n=2n-1.13.B 因为S15==15a8>0,S16==8(a8+a9)<0,所以a8>0,a9<0.易知>0,>0,……,>0,<0,<0,……,<0,且S1<S2<…<S8,a1>a2>…>a8,所以在,,…,中最大的是.14.C ∵=(n≥2),∴a n=(n≥2),∴=+(n≥2),∴为等差数列.∴公差d=-=1-=,∴=+9×=5,∴a10=.15.答案64解析设等差数列{a n}的公差为d,则a2+a4+a9=3a1+12d=24,即a1+4d=8,所以==a1+d=8-4d+d,则=8-4d+d=8-,=8-4d+d=8+,·==64-≤64,当且仅当d=0时取等号,所以·的最大值为64.16.解析(1)证明:设{a n}的公差为d,则b n+1-b n=(-)-(-)=2-(a n+1-d)2-(a n+1+d)2=-2d2,∴数列{b n}是以-2d2为公差的等差数列.(2)∵a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k,∴13d=13-13k,∴d=1-k,又13a1+×2d=130,∴a1=-2+12k,∴a n=a1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3,∴b n=-=(a n+a n+1)(a n-a n+1)=-2(1-k)2n+25k2-30k+5.(3)存在.要满足当且仅当n=12时S n最大,则b12>0,b13<0.即⇒⇒⇒k>21或k<-19,故存在满足题意的实数k,此时k∈(-∞,-19)∪(21,+∞).17.解析(1)证明:∵f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7=[x-(n+1)]2+3n-8,∴a n=3n-8.∵a n+1-a n=3(n+1)-8-(3n-8)=3,∴数列{a n}为等差数列.(2)由题意知,b n=|a n|=|3n-8|,∴当1≤n≤2,n∈N*时,b n=8-3n,S n===;当n≥3,n∈N*时,b n=3n-8,S n=b1+b2+b3+…+b n=5+2+1+…+(3n-8)=7+=.∴S n=。
等差数列及其前n项和经典习题
第28讲 等差数列及其前n 项和一、基本概念1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．例1：等差数列147369{},39,27,{}9n n a a a a a a a a ++=++=中则数列前项的和9S 等于？(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． （4）．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ． 又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．（5）．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43 C ．21 D ．83 4．C 解析： 解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4， ∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ． 由等差数列的性质：若γ＋s ＝p ＋q ，则a γ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615， ∴｜m －n ｜＝21． 5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2；若已知首项a 1和公差d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d .例2：(2011·福建)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．性质(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．例3：在等差数列{}n a 中，若481,4S S ==，则17181920a a a a +++的值为？性质(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .例4：两个等差数列{}{},,n n a b 1212...72,...3n n a a a n b b b n ++++=++++则55ab =_ __。
2017-2018学年高中数学人教B版必修5 课时跟踪检测八
课时跟踪检测（八） 等差数列的前n 项和层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n2＝－32n 2＋n2.2．若等差数列{a n }的前5项的和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B ∵S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5. ∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.故选B.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27 解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________. 解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是______，项数是______．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 解：(1)设{a n }的首项、公差分别为a 1，d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，a 1＋2d ＝－3，解得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k2，解得k ＝2 016.故选C.3．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，所以193≤k ≤223.因为k ∈N ＋，所以k ＝7. 故满足条件的n 的值为7.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选 D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12n －b 1＋b 2n －12n －＝A 2n －1B 2n －1＝n －＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则满足S n <0的n 的最大值为________． 解析：因为a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， 所以a 11>－a 10，a 1＋a 20＝a 10＋a 11>0， 所以S 20＝a 1＋a 202>0.又因为a 10＋a 10<0， 所以S 19＝a 10＋a 102＝19a 10<0，故满足S n <0的n 的最大值为19. 答案：197．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53. 令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N ＋时，a n >0； 当n ≥18，n ∈N ＋时，a n <0， ∴{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N ＋时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N ＋时， |a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×172＋1032×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N ＋，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N ＋.。
2018版高中数学 第二章 数列 2.2.2 第1课时 等差数列的前n项和同步精选测试 新人教B版必
同步精选测试 等差数列的前n 项和(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A.7 B.15 C.20 D.25 【解析】 S 5＝5×a 1＋a 52＝5×a 2＋a 42＝5×62＝15. 【答案】 B2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A.1B.－1C.2D.12【解析】 S 9S 5＝92a 1＋a952a 1＋a5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 【答案】 A3.在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )【导学号：18082088】A.37B.36C.20D.19【解析】 ∵{a n }是等差数列，a 1＝0，由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9得0＋(m －1)d ＝9a 5＝36d .又d ≠0，∴m ＝37.【答案】 A4.已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192C.10D.12 【解析】 ∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋－2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.【答案】 B5.在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＋b 100＝100，b 1＋a 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项和为( )A.0B.100C.1 000D.10 000 【解析】 {a n ＋b n }的前100项的和为a 1＋a 1002＋b 1＋b 1002＝50(a 1＋a 100＋b 1＋b 100)＝50×200＝10 000.【答案】 D 二、填空题6.已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________.【导学号：18082089】【解析】 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.【答案】 127.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 【解析】 因为a m －1＋a m ＋1＝2a m ， 所以2a m －a 2m ＝0， 所以a m ＝0或a m ＝2. 因为S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝38，所以a m ＝2，所以(2m －1)×2＝38， 解得m ＝10. 【答案】 10 8.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nn ＋的前n 项和为S n ，且S n ＝1920，则n ＝________.【解析】 ∵1nn ＋＝1n －1n ＋1，∴S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 由已知得nn ＋1＝1920，解得n ＝19. 【答案】 19三、解答题9.等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n . (2)由S n ＝na 1＋n n －2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n n －2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去).故n ＝11.10.在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图223所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：【导学号：18082090】图223(1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？【解】 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：a 9＝a 1＋(9－1)·d ＝9＋(9－1)×9＝81(块).(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈石板总数为：S 9＝9a 1＋－2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块). 答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板.[能力提升]1.如图224所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )图224A.3n 22 B.n n ＋2C.3nn －2D.n n －2【解析】 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2， 所以a2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝n －＋3n －2＝3nn －2.【答案】 C2.已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A.15B.24C.18D.28【解析】 设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24， ∴6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值， 所以a 1＋5d 为定值. 所以n ＋126＝5，n ＝18.【答案】 C3.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋45n －3，则使得a nb n为整数的n 的个数是________.【解析】 由等差数列的性质，知a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝n －＋45n －－3＝7n ＋19n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋33n －2∈Z ，则n －2只能取－1,1,3,11,33这5个数，故满足题意的n 有5个.【答案】 54.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 【解】 (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k k －2·d ＝2k ＋k k －2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0， 解得k ＝10或k ＝－11(舍去)， 故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n＋2n2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n 2＋n ＋2＝n n ＋2.。
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开卷速查(二十九) 等差数列及其前n 项和A 级 基础巩固练1．[2014·福建]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C 。
答案：C2．[2016·吉林模拟]等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1,2,3，…)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中为定值的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 16解析：由等差数列的性质得：a 5＋a 11＝2a 8，所以a 5＋a 8＋a 11为定值，即a 8为定值。
又因为S 15＝15 a 1＋a 15 2＝15×2a 82＝15a 8， 所以S 15为定值。
故选C 。
答案：C3．[2016·大连模拟]下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n}是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列。
其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则a n n＝1，故p 3是假命题。
故选D 项。
答案：D 4．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( ) A ．15B ．30C ．31D ．64解析：由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11 a 1＋a 11 2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A 。
答案：A5．[2016·马鞍山模拟]等差数列{a n }中，“a 1＜a 3”是“a n ＜a n ＋1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：等差数列中，由a 1＜a 3，可知公差d ＞0，所以a n ＋1＝a n ＋d ＞a n ，即a n ＜a n ＋1。
反过来，由a n ＜a n ＋1，可知公差d ＞0，所以a 3＝a 1＋2d ＞a 1，即a 1＜a 3。
等差数列{a n }中，“a 1＜a 3”是“a n ＜a n ＋1”的充分必要条件。
答案：C6．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝0，则S n 取最大值时n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．2或3解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝0，∴a 3＝0，∵d ＜0，∴{a n }的第一项和第二项为正值，从第四项 为负值，故S n 取最大值时n 等于2或3，选D 。
答案：D7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝__________。
解析：由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝ k ＋1 a 1＋a k ＋1 2＝ k ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13。
答案：138．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是__________。
解析：方法一：S 9＝9a 1＋36d ，又⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜a 1＋2d ＜1，0＜a 1＋5d ＜3，依据线性规划知识，得－3＜S 9＜21。
方法二：S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6。
因为－3＜3a 3＜3,0＜6a 6＜18，两式相加即得－3＜S 9＜21。
方法三：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2a 6＋2a 9，而a 3＋a 9＝2a 6，所以S 9＝3a 3＋6a 6，又－1＜a 3＜1,0＜a 6＜3，依据线性规划知识，得－3＜S 9＜21。
答案：(－3,21)9．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －8，下列四个命题：α1：数列{a n }是递增数列；α2：数列{na n }是递增数列；α3：数列{a n n }是递增数列；α4：数列{a 2n }是递增数列。
其中为真命题的是__________。
解析：由公差d ＝2＞0，知数列{a n }是递增数列， 所以α1为真命题； 因为na n ＝n (2n －8)，对称轴为n ＝2，则数列{na n }先减后增，所以α2为假命题；因为a n n ＝2－8n ，故数列{a n n}是递增数列，所以α3为真命题；因为a 2n ＝(2n －8)2，对称轴为n ＝4，则数列{a 2n }先减后增，所以α4为假命题。
答案：α1，α310．[2015·成都模拟]数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＋1－a n －3＝0。
(1)求数列的前n 项和S n 。
(2)求使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围。
解析：(1)因为a n ＋1－a n －3＝0，所以a n ＋1－a n ＝3，即数列{a n }是等差数列，公差d ＝3。
又a 1＝－23，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝－23n ＋12n (n －1)·3，即S n ＝32n 2－492n 。
(2)S n ＝32n 2－492n 的对应函数为f (x )＝32x 2－492x ，它的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为x ＝496。
当x ≥496时，函数f (x )是增函数。
因为8＜496＜9，且496－8＜9－496， 所以f (8)＜f (9)。
综上，可知使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围是{n |n ≥8，n ∈N *}。
B 级 能力提升练11．[2016·唐山模拟]在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 015的值等于( )A ．－2 015B ．－2 014C ．－2 013D ．－2 012解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 1212－S 1010＝2，根据等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列，所以d ＝2。
所以S 2 015＝2 015a 1＋2 015× 2 015－1 ×22＝－2 015。
答案：A12．[2015·新余质检]在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132 解析：数列{a n }是等差数列，故a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6， ∴a 6＝12。
又S 11＝11 a 1＋a 11 2＝11a 6， ∴S 11＝132。
答案：D13．已知等差数列{a n }的公差d ＞0。
设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36。
(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65。
解析：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5。
因为d ＞0，所以d ＝2。
从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)。
(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)·(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65。
由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5。
所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，k ＝4。
14．[2015·福建]等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15。
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值。
解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d 。
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4， a 1＋3d ＋ a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝1。
所以a n＝a1＋(n－1)d＝n＋2。
(2)由(1)可得b n＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋...＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋...＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝2× 1－2101－2＋1＋10 ×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101。