导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题

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利用导数证明不等式的四种常用方法

利用导数证明不等式的四种常用方法杨玉新(绍兴文理学院数学系, 浙江绍兴 312000)摘要: 通过举例阐述了用导数证明不等式的四种方法,由此说明了导数在不等式证明中的重要作用. 关键词: 导数; 单调性; 中值定理; 泰勒公式; Jensen 不等式在初等数学中证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法.但是当不等式比较复杂时，用初等的方法证明会比较困难,有时还证不出来.如果用函数的观点去认识不等式,利用导数为工具,那么不等式的证明就会化难为易.本文通过举例阐述利用泰勒公式, 中值定理,函数的性质, Jensen 不等式等四种方法证明不等式,说明了导数在证明不等式中的重要作用.一、利用泰勒公式证明不等式若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0)(x fn ,则有公式)()(!)()(!2)()(!1)()()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≥或)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≤例1 证明: ).11(,32)1ln(32<<-+-≤+x x x x x 证明设)11)1ln()(<<-+=x x x f （则)(x f 在0=x 处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式)11()1(432)1ln(4432<<-+-+-=+ξξ x x x x x0)1(444≤+-ξx 32)1ln(32x x x x +-≤+∴　由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点0x 在0x 处展开,然后判断余项)(x R n 的正负,从而证明不等式.二、利用中值定理证明不等式微分)(Lagrange中值定理: 若)(x f 满足以下条件:(1) )(x f 在闭区间],[b a 内连续 (2) )(x f 在开区间),(b a 上可导则 ab a f b f f b a --='∍∈∃)()()(),(ξξ 例2 若)()(1,011y x py y x y x py p x y p p p p -<-<-><<--则　分析因为,0x y <<则原不等式等价于11--<--<p p p p px yx y x py)1(>p .令p t x f =)(,则我们容易联想到Lagrange 中值定理yx y f x f y x f --=-)()())(('ξ.证明设p t t f =)(,显然],[)(x y t f 在满足Lagrange 中值定理的条件则 ,)()()(),(y x y f x f f x y --='∍∈∃ξξ 即yx y x p ppp ---＝1ξ111,),(---<<∴<<∴∈p p p px p py x y x y ξξξ )()(11y x py y x y x py p p p p -<-<-∴--　例3 设)(x f 在],[b a 上连续可导,且,0)()(==b f a f 则dx x f a b x f babx a ⎰-≥≤≤)()(4)(max 2'证明设)(max 'x f M bx a ≤≤=则由中值公式,当),(b a x ∈时,有))(())(()()(11a x f a x f a f x f -'=-'+=ξξ ))(())(()()(22b x f b x f b f x f -'=-'+=ξξ其中).,(),,(21b x x a ∈∈ξξ由此可得)()()()(x b M x f a x M x f -≤-≤及所以4)()()()()()(22222a b M dx x b M dx a x M dxx f dx x f dx x f b a abb a bab a a bb a -=-+-≤+=⎰⎰⎰⎰⎰++++ 即⎰-≥badx x f a b M )()(42所以 dx x f a b x f babx a ⎰-≥'≤≤)()(4)(max 2积分第二中值定理]1[ 若在区间f ],[b a 上f 为非负的单调递减函数,而g 是可积函数,则存在],[b a ∈ξ,使得⎰⎰=ξabag a f fg )(例4 设⎰+=12sin )(x xdt t x f ,则0>x 时xx f 1)(<特别地:当2003=x 时机为2003年浙江省高等数学竞赛试题(工科、经管类)证明令u t =,则由积分第二中值定理xudu x udu ux f xx x 1sin 212sin )(2221≤=⎰⎰+ξ ＝又因为⎰⎰⎰+++-++-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=222222)1(2322)1(2322)1(cos 41)1cos()1(21cos 21cos 21)1(cos 1212sin )(x x x x x xu udu x x x x u udu x x u u udu ux f ＝＝于是,0>x 时xx x x x duu x x x f x x 1)111(21)1(212141)1(2121)(22)1(23=-+-+++++<⎰+- ＝由上可见利用中值定理证明不等式,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和定义区间的选择要与题设和结论相联系,然后由中值定理写出不等式,从而进行证明.三、利用函数的单调性证明不等式定理1 如果函数)(),(x g x f 满足以下条件:(1) )(),(x g x f 在闭区间],[b a 内连续(2) )(),(x g x f 在开区间),(b a 可导,且有)()(x g x f '>'(或)()(x g x f '<') (3) )()(a g a f =则在),(b a 内有)()(x g x f >(或)()(x g x f <令)()()(x g x f x F -=由于0)(0)()()()(≤⇔≤-⇔≤x F x g x f x g x f 所以证明)()(x g x f ≤⇔证明0)(≤x F 则相应地有推论1 若)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,c a f =)(且0)('>x f (或0)('<x f )则在),(b a 内有c x f >)((或c x f <)().例5 证明:当1>x 时,有).2ln(ln )1(ln 2+⋅>+x x x分析只要把要证的不等式变形为)1ln()2ln(ln )1ln(++>+x x x x ,然后把x 相对固定看作常数,并选取辅助函数xx x f ln )1ln()(+=.则只要证明)(x f 在),0(+∞是单调减函数即可.证明作辅助函数xx x f ln )1ln()(+=)1(>x 于是有xx x x x x x x x x x x x f 22ln )1()1ln()1(ln ln )1ln(1ln )(+++-=+-+=' 因为 ,11+<<x x 故)1ln(ln 0+<<x x 所以 )1ln()1(ln ++<x x x x因而在），（∞+1内恒有0)('<x f ,所以)(x f 在区间),1(+∞内严格递减.又因为x x +<<11,可知)1()(+>x f x f即)1ln()2ln(ln )1ln(++-+x x x x 所以 ).2ln(ln )1(ln 2+⋅>+x x x例6 证明不等式x x x x <+<-)1ln(22,其中0>x .分析因为例6中不等式的不等号两边形式不一样,对它作差)2()1ln(2x x x --+,则发现作差以后不容易化简.如果对)1ln(x +求导得x+11,这样就能对它进行比较. 证明先证 )1ln(22x x x +<-设 )2()1l n ()(2x x x x f --+= )0(>x则 00)01l n ()0(=-+=f xx x x x f +=+-+=1111)(2'0>x 即 0012>>+x x 01)(2>+='∴x x x f ,即在),0(+∞上)(x f 单调递增0)0()(=>∴f x f 2)1ln(2x x x ->+∴　再证 x x <+)1ln(令 x x x g -+=)1l n ()( 则 0)0(=g 111)(-+='xx g 10<+∴>xx １１x x x g <+∴<'∴)1ln(0)( x x x x <+<-∴)1ln(22定理1将可导函数的不等式)()(x g x f <的证明转化为)()(x g x f '<'的证明，但当)(x f '与)(x g '的大小不容易判定时，则有推论2 设)(x f ，)(x g 在[b a ,]上n 阶可导，（1）)()()()(a g a f k k = 1,2,1,0-=n k （2）)()()()(x g x f n n > （或)()()()(x g x f n n <）则在（b a ,）内有)()(x g x f > （或)()(x g x f <）例7 证明:331x x tgx +>，)2,0(π∈x .分析两边函数类型不同,右边多项式次数较高,不易比较,对它求一阶导数得.1)31(,sec )(232x x x x tgx +='+='仍然不易比较,则我们自然就能想到推论2.证明设tgx x f =)( 331)(x x x g +=则（1）0)0()0(==g f（2）1)0()0(),1()(),(sec )(22='='+='='g f x x g x x f （3）1)0()0(,2)(,cos sec 2)(2=''=''=''=''g f x x g xxx f（4）2)(),31)(1(2)(22='''++='''x g x tg x tg x f 显然有 )()(x g x f '''>'''由推论2得，231x x tgx+> （20π<<x ）.利用函数的单调性证明不等式我们都是先构造函数.然后通过对函数求导,来判定函数的增减性,从而达到证明不等式的目的.四、利用Jensen(琴森)不等式证明不等式定义]1[ 如果),()(b a x f 在内存在二阶导数)("x f 则(1) 若对,.0)(),(>''∈∀x f b a x 有则函数)(x f 在),(b a 内为凸函数.(2) 若对,.0)(),(<''∈∀x f b a x 有则函数)(x f 在),(b a 内为凹函数.若函数),()(b a x f 在内是凸(或凹)函数时,对),(,,,21b a x x x n ∈∀ 及∑==ni i 11λ,有Jensen(琴森)不等式∑∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ni i i n i i i i i n i i i x f x f x f x f 1111)()(　或 λλλλ 等号当且仅当n x x x === 21时成立.例8 证明下列不等式),2,1,0(111212121n i a na a a a a a a a a ni nn n n=>+++≤⋅≤+++ .分析上式只要能证明),2,1,0(2121n i a na a a a a a i nnn =>+++≤⋅ ,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的i a 可以看作是同一函数的多个不同函数值,设x x f ln )(=那么就可以用Jensen 不等式来证明它.然后只要令xx f 1ln)(=,同理可得n n na a a a a a n 2121111⋅≤+++.证明令)0(ln )(>=x x x f 因为 01)(2<-=''xx f ,所以),0()(+∞在x f 是凹函数则对),0(,,,21+∞∈∀na a a 有[])()()(1)(12121n n a f a f a f na a a n f +++≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ 即 []n n a a a na a a n ln ln ln 1)(1ln 2121+++≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ 又因为[]n n n a a a a a a n2121ln ln ln ln 1⋅=+++ 所以 na a a a a a nnn +++≤⋅ 2121令 xx f 1ln)(=, 则同理可得n n na a a a a a n 2121111⋅≤+++所以),2,1,0(111212121n i a n a a a a a a a a a ni nnn n=>+++≤⋅≤+++ 例9 设)(x f 二次可微,且对一切x ,有0)(≥''x f ,而)(t u 在],0[a 上连续,则⎰⎰≥a adt t u af dt t u f a 00])(1[)]([1 分析上述不等式在形式上很像Jensen 不等式,且当t 取不同的值时,)]([t u f 就是同一函数的不同函数值,则可以用琴森不等式进行证明.证明由)(x f 及)(t u 的连续性,保证了可积性.并且∑⎰-=∞→=100)]([1lim )]([1n K n a n Ka u f n dt t u f a ⎰∑-=∞→=a n K n n Ka u n dt t u a 010)(1lim )(1 因0)(≥''x f ,故)(x f 为凸函数,在Jensen 不等式)()()(112211n n n n x f q x f q x q x q x q f ++≤+++ )1,,,(2121=+++n n q q q q q q 均为正，且中,取）（ n i nq a n i u x i i ,3,2,11),1(==-= 即得∑∑-=-=≤1010)]([1])(1[n K n K nKa u f n n Ka u n f 由)(x f 的连续性,在上式取∞→n 即得所要证的结论.由以上证明可知应用Jensen 不等式证明不等式,首先是构造适当的函数并判断它的凹凸性,然后用Jensen 不等式证明之.本文所述四种用导数证明不等式的四种方法充分说明了导数在不等式证明中的独到之处.在证明不等式时,应用导数等知识往往能使复杂问题简单化,从而达到事半功倍的效果.需要指出的是利用导数证明不等式,除上述四种方法外还有不少方法.如用极值、最值等来证明不等式.由于受篇幅之限,这里不再详述.参考文献[1] 华东师范大学数学系,数学分析[M]第三版,北京:高等教育出版社,2001. [2] 裘单明等,研究生入学考试指导,数学分析[M],济南:山东科学技术出版社,1985.[3] 胡雁军,李育生,邓聚成,数学分析中的证题方法与难题选解[M],开封:河南大学出版社,1987.Four Usual Methods to Prove Tthe Inequality by UsingDerivativeYang Yuxin(Department of Mathematics Shaoxing College of Arts and Sciences, Shaoxing Zhejiang,312000) Abstract:Examplisies four methods to prove the Inequality by using Derivative to show the imporpance of using derivative to crove the inequalityKey words:Derivative; Monotonicity; Theorem of mean; Taylor formula; Jensen Inequality。

导数数列型不等式证明问题

导数数列型不等式的证明涉及到导数的概念、性质和运算，通常需要运用放缩、构造辅助函数、微分中值定理等方法。

以下是一些常见的导数数列型不等式的证明方法：
放缩法：通过放缩不等式，使得不等式的证明变得更加容易。

例如，可以利用导数的性质，将原不等式转化为容易证明的等式或不等式。

构造辅助函数法：根据导数的性质，构造出一个辅助函数，通过研究该函数的性质，证明不等式。

例如，可以构造一个函数，使其在指定区间上单调递增或递减，从而证明不等式。

微分中值定理法：利用微分中值定理，将不等式转化为一个容易证明的等式或不等式。

例如，可以根据微分中值定理，将原不等式转化为一个关于某个变量的函数，然后对该函数求导，证明其单调性，从而证明不等式。

需要注意的是，在证明导数数列型不等式时，需要充分理解导数的性质和运算规则，并能够灵活运用。

同时，还需要注重证明过程中的严谨性和准确性，避免出现错误。

导数不等式证明18种题型归类 (学生版)

导数不等式证明18种题型归类一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳题型一：不等式证明基础题型二：三角函数型不等式证明题型三：数列“累加型”不等式证明题型四：双变量构造换元型不等式证明题型五：同构型不等式证明题型六：双变量“比值代换”型不等式证明题型七：凸凹反转型不等式证明题型八：极值点偏移型不等式证明题型九：“极值型偏移”不等式证明题型十：三角函数型极值点偏移不等式证明题型十一：三个零点型不等式证明题型十二：三个极值点型不等式证明题型十三：系数不一致型不等式证明题型十四：极值构造(利用第一问结论)题型十五：先放缩型不等式证明题型十六：切线放缩型不等式证明题型十七：利用韦达定理置换型不等式证明题型十八：泰勒展开型不等式证明三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论1.应用导数证明不等式基础思维：(1)直接构造函数法：证明不等式f x >g x (或f x <g x )转化为证明f x-g x >0(或f x -g x <0)，进而构造辅助函数h x =f x -g x ；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：y=e x在点0,1处的切线为y=x+1，如图所示，易知除切点0,1外，y=e x图象上其余所有的点均在y=x+1的上方，故有e x≥x+1．该结论可构造函数f x =e x-x-1并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．3.泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在x0处具有n阶导数的函数利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+f (x0)2!(x-x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x-x0)n+R n(x)其中：f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的R(n)(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小量.4.常见函数的泰勒展开式：(1)e x=1+x1!+x22!+x33!+⋯+x nn!+x n+1n+1!eθx，其中0<θ<1；(2)ln1+x=x-x22!+x33!-⋯+-1n-1x nn!+R n，其中R n=-1nx n+1n+1!11+θxn+1；(3)sin x=x-x33!+x55!-⋯+-1k-1x2k-12k-1!+R n，其中R n=-1kx2k+12k+1!cosθx；(4)cos x=1-x22!+x44!-⋯+-1k-1x2k-22k-2!+R n，其中R n=-1kx2k2k!cosθx；(5)11-x=1+x+x2+⋯+x n+o(x n)；(6)(1+x)n=1+nx+n(n-1)2!x2+o(x2)；(7)tan x=x+x33+215x5+⋅⋅⋅+o x2n；(8)1+x=1+12x-18x2+116x3+⋅⋅⋅+o x n．5.麦克劳林(Maclaurin)公式f(x)=f(0)+f (0)x+f (0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!x n+R n(x)虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.6.常见函数的麦克劳林展开式：(1)e x=1+x+x22!+⋯+x nn!+eθx(n+1)!x n+1(2)sin x=x-x33!+x55!-⋯+(-1)n x2n+1(2n+1)!+o(x2n+2)(3)cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯+(-1)n x2n(2n)!+o(x2n)(4)ln(1+x)=x-x22+x33-⋯+(-1)n x n+1n+1+o(x n+1)(5)11-x=1+x+x2+⋯+x n+o(x n)(6)(1+x)n=1+nx+n(n-1)2!x2+o(x2)7.两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)(1)、对数型超越放缩：x-1x≤ln x≤x-1(x>0)(2)、指数型超越放缩：x +1≤e x ≤11-x(x <1)8.极值点偏移问题的一般题设形式：(1)若函数f (x )存在两个零点x 1,x 2且x 1≠x 2，求证：x 1+x 2>2x 0(x 0为函数f (x )的极值点)；(2)若函数f (x )中存在x 1,x 2且x 1≠x 2满足f (x 1)=f (x 2)，求证：x 1+x 2>2x 0(x 0为函数f (x )的极值点)；(3)若函数f (x )存在两个零点x 1,x 2且x 1≠x 2，令x 0=x 1+x22，求证：f '(x 0)>0；(4)若函数f (x )中存在x 1,x 2且x 1≠x 2满足f (x 1)=f (x 2)，令x 0=x 1+x22，求证：f '(x 0)>0.热点考题归纳题型一:不等式证明基础1已知函数f x =x ln x ．(1)求曲线y =f (x )在点1,f 1 处的切线方程；(2)求证：f x <x 2+x ．【变式演练】1(甘肃省武威市凉州区2022届高三下学期质量检测数学(文)试题)设函数f x =x 2-2x e x +aex-e 2ln x ，其中e 为自然对数的底数，曲线y =f x 在2,f 2 处切线的倾斜角的正切值为32e 2+2e ．(1)求a 的值；(2)证明：f x >0．2已知函数f(x)=ln x+x2-ax.(1)若函数f(x)在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(2)若a=0且x∈(0，1)，求证：x⋅[1+x2-f(x)]<(1+x-x3)⋅e x.题型二:三角函数型不等式证明1(北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题)已知函数f x =x n+2-x n cos x(其中n∈Z)．上的单调性；(1)若n=-1，判断函数f x 在0,π2(2)若n=1，判断函数f x 零点个数，并说明理由；>0．(3)若n=0，求证：f x +2-xe x-11(江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题)已知函数函数f(x)=sin x x.(1)当x>0时，f(x)<a，求实数a的取值范围；(2)证明：x3e x>x ln x+sin x.题型三:数列“累加型”不等式证明1(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数f x =ln x-a1-1 x.(1)若f x ≥0，求实数a的值；(2)已知n∈N*且n≥2，求证：12+13+⋅⋅⋅+1n<ln n.1(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数f x =ln x-x-1 x.(1)证明：f x ≥0；(2)证明：ln2+ln322+ln432+⋯+ln n+1n2>1-1n+1,n∈N∗.题型四:双变量构造换元型不等式证明1(2021·黑龙江·校联考模拟预测)已知f(x)=e x.(1)求关于x的函数g(x)=f(x)-4f(-x)-5x的单调区间；(2)已知a>b，证明：e a-e ba-b ≤16e a+e b+4e a+b2.1(2021·广东·统考一模)已知f(x)=ln x，g(x)=12x2+mx+72(m<0)，直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.(Ⅰ)求直线l的方程及m的值；(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g (x)(其中g (x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值；(Ⅲ)当0<b<a时，求证：f(a+b)-f(2a)<b-a2a.题型五:同构型不等式证明1(四川省乐山市高中2022届第一次调查研究考试数学(理)试题)已知函数f x =e axx，g x =ln x+2x+1x，其中a∈R.(1)试讨论函数f x 的单调性；(2)若a=2，证明：xf(x)≥g(x).1(2022·贵州黔东南·统考一模)已知函数f(x)=ln xmx(m≠0).(1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)对∀a,b∈(1,e)，且a>b，证明：a b+1>b a+1.题型六:双变量“比值代换型”不等式证明1(2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考三模)函数f x =ln x-2(x-1) x+1(1)求证：函数f x 在(0,+∞)上单调递增；(2)若m,n为两个不等的正数,试比较ln m-ln nm-n与2m+n的大小,并证明.1(2022·湖北黄冈·统考一模)已知函数f x =ln x -mx +m .(1)求函数f x 的单调区间；(2)若f x ≤0在x ∈0,+∞ 上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，对任意的0<a <b ，求证：f b -f a b -a <1a a +1.题型七:凸凹反转型不等式证明1(宁夏青铜峡市高级中学2022届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数f x =ax -ln x ，a ∈R .(1)求函数f x 的单调区间；(2)当x ∈0,e 时，求g x =e 2x -ln x 的最小值；(3)当x ∈0,e 时，证明：e 2x -ln x -ln x x >52.1(陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题)已知函数f (x )=ln x -x .(1)讨论函数g (x )=f (x )-ax(a ≠0,a ∈R )的单调性；(2)证明：f (x ) >ln x x +12.题型八:极值点偏移型不等式证明1已知函数f (x )=ln x +a x.(1)求f (x )的最小值；(2)若方程f (x )=0有两个根x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：x 1+x 2>2a .1已知函数f x =ln x-12ax2+1.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)当a=1时，设函数f x 的两个零点为x1，x2，试证明：x1+x2>2.题型九:“极值型偏移”型不等式证明1(湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题)已知函数f x =a ln x+x，g x =12x2-a+2x+32a a∈R.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a>1，h x =f x +g x ，x1，x2为h x 的两个极值点，证明：h x1+h x1<7 2.1(2023·贵州毕节·校考模拟预测)已知函数f x =2x+aln x-3x-a,a>0.(1)当x≥1时，f x ≥0，求a的取值范围.(2)若函数f x 有两个极值点x1,x2，证明：x1+x2>2e-12.题型十:三角函数型极值点偏移不等式证明1(2022·河南郑州·校联考二模)已知函数f x =e-x⋅sin x，x∈0,π.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若x1≠x2，且f x1=f x2，证明：x1+x2>π2.1(2023·福建宁德·统考模拟预测)已知函数f x =a sin xe x,x∈0,π.(1)若f x ≤1，求实数a的取值范围；(2)若a=4，且f x1=f x2,x1<x2，求证：x1+x2>π2且π-x2eπ-x2<sin x2.题型十一:三个零点型不等式证明1(浙江省舟山中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数f x =x+1ln x+a x-1,a∈R．(1)求函数y=f x 的最小值；(2)若f x 有三个零点x1,x2,x3，①求a的取值范围；②求证：1ln x1+a +1ln x2+a+1ln x3+a<3a．1(浙江省杭州市第十四中学2021届高三下学期5月模拟考试数学试题)已知函数f x =x ln x,g x =x2+ax-1,a∈R.(1)若对任意x∈1,+∞，不等式f x ≤12g x 恒成立，求a的取值范围；(2)已知函数h x =f x-a有3个不同的零点x1,x2,x3x1<x2<x3..(i)求a的取值范围；(ii)求证：x3-x2>1+2a-1-2a.题型十二:三个极值点型不等式证明1已知函数f x =x-2e x+ax33-x22 ．(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若f(x)有3个极值点x1，x2，x3(其中x1<x2<x3)，证明：x1x3<x22．1已知函数f(x)=(x-a)2ln x(其中a为常数)．(1)当a=0时，求函数f(x)的单调减区间和极值点；(2)当a>0时，设函数f(x)的3个极值点为x1，x2，x3，且x1<x2<x3，①求a的取值范围；②证明：当0<a<1时，x1+x3>2e．题型十三:系数不一致型不等式证明1(浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题)设实数a>0，且a≠1，函数f x =axe2-log a x,x∈0,+∞.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若函数y=f x 有两个不同的零点x1,x2x1<x2.(i)求a的取值范围；(ii)证明：x1+2x2>3a.1(浙江省绍兴市诸暨市2021-2022学年高三上学期期末数学试题)已知函数f x =x-1e x-43x+132-ax a∈R.(1)当a=0时，求y=f x 在0,f0处的切线方程；(2)若y=f x 有两个极值点x1、x2，且x1<x2.(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)求证：x22-x1<a+3.题型十四:极值构造型(利用第一问结论)1(2022·海南·统考一模)已知函数f(x)=ax-e x+1,a∈R.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0在x∈R上恒成立，求实数a的取值集合；(3)当a=1时，对任意的0<m<n，求证：1n -1<f(ln n)-f(ln m)n-m<1m-1.1(2023·吉林·统考模拟预测)已知函数f x =x ln x -m x -1 ，且f x ≥0.(1)求实数m 的取值范围；(2)设k 为整数，且对任意正整数n ，不等式1+131+132 ⋯1+13n <k 恒成立，求k 的最小值；(3)证明：202320242024<1e<20232024 2023.题型十五:先放缩型证明不等式1(2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学信息卷(二))已知函数f x =ax sin x -b cos x ，g x =ln x +x +3．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题．①a +b =0，②a -b =1，③a +b =-1．(1)(ⅰ)，曲线f x 在点π,f π 处的切线经过点0,π-1 ，求实数a 的值；(ⅱ)求证：y =2x +2是曲线g x 的一条切线．(2)x ∈0,π2，当a =2，b =0时，求证：f x +π>g x ．1(山东省2021-2022学年高三上学期12月备考监测第二次联合考试数学试题)函数f x =ln x -ax +1.(1)若f x ≤0恒成立，求a 的取值范围.(2)证明：ln x x +1 e -x+1 <2e +1.题型十六:切线放缩型不等式证明1(2021年高考数学押题预测卷(天津卷)01)已知函数f x =m x 22-k ln x +n e x +114e x +1-ax +a -1 ，其中e =2.718⋯是自然对数的底数，f x 是函数f x 的导数.(1)若m =1，n =0时 .(i )当k =1时，求曲线f x 在x =1处的切线方程.(ⅱ)当k >0时，判断函数f x 在区间1,e 零点的个数.(2)若m =0，n =1，当a =78时，求证：若x 1≠x 2，且x 1+x 2=-2，则f x 1 +f x 2 >2.1(江苏省泰州市姜堰中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数f (x )=a (x -1)e x ，a ≠0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a =1时，①求函数在x =1处的切线l ，并证明0<x <1，函数f (x )图象恒在切线l 上方；②若f (x )=m 有两解x 1,x 2，且x 1<x 2，证明x 2-x 21<me-m .题型十七:利用韦达定理置换型不等式证明1(山西省山西大学附属中学2021届高三下学期三月模块诊断理科数学试题)已知函数f x =x 2-x +k ln x ，k ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 -f x 2 <14-2k ．1已知函数f x =12x 2+ln x +mx ，(m ∈R )．(1)若f x 存在两个极值点，求实数m 的取值范围；(2)若x 1，x 2为f x 的两个极值点，证明：f x 1 +f x 2 2-f x 1+x 22 >m +228．泰勒展开型不等式证明1(2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)给出以下三个材料：①若函数f x 可导，我们通常把导函数f x 的导数叫做f x 的二阶导数，记作f x .类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作f x ，三阶导数的导数叫做四阶导数⋯⋯一般地，n -1阶导数的导数叫做n 阶导数，记作f nx =f n -1x,n ≥4.②若n ∈N ∗，定义n !=n ×n -1 ×n -2 ×⋅⋅⋅×3×2×1.③若函数f x 在包含x 0的某个开区间a ,b 上具有n 阶的导数，那么对于任一x ∈a ,b 有g x =f x 0 +f x 0 1!x -x 0 +f x 0 2!x -x 02+f x 0 3!x -x 0 3+⋅⋅⋅+f nx 0 n !x -x 0 n ，我们将g x 称为函数f x 在点x =x 0处的n 阶泰勒展开式.例如，y =e x 在点x =0处的n 阶泰勒展开式为1+x +12x 2+⋅⋅⋅+1n !x n .根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出f 1x =sin x 在点x =0处的3阶泰勒展开式g 1x ，并直接写出f 2x =cos x 在点x =0处的3阶泰勒展开式g 2x ；(2)比较(1)中f 1x 与g 1x 的大小.(3)证明：e x +sin x +cos x ≥2+2x .【变式演练】1(2022春·广东广州·高三校级联考)已知函数f (x )=ln (x -1)-k (x -1)+1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：ln23+ln34+ln45+⋅⋅⋅+ln n n +1<n n -1 4(n ∈N *,n >1).高考真题对点练1(2023·天津·统考高考真题)已知函数f x =1x+12ln x+1．(1)求曲线y=f x 在x=2处切线的斜率；(2)当x>0时，证明：f x >1；(3)证明：56<ln n!-n+12ln n +n≤1．2(2022·全国·统考高考真题)已知函数f x =e xx-ln x+x-a．(1)若f x ≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f x 有两个零点x1,x2，则x1x2<1．3(2022·北京·统考高考真题)已知函数f(x)=e x ln(1+x)．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)设g(x)=f (x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．4(2021·浙江·统考高考真题)设a，b为实数，且a>1，函数f x =a x-bx+e2(x∈R)(1)求函数f x 的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f x 有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>e4，函数f x 有两个不同的零点x1,x2,x2>x1，满足x2>b ln b2e2x1+e2b.(注：e=2.71828⋅⋅⋅是自然对数的底数)5(2021·全国·统考高考真题)设函数f x =ln a-x，已知x=0是函数y=xf x 的极值点．(1)求a；(2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明:g x <1．6(2021·全国·统考高考真题)已知函数f x =x1-ln x.(1)讨论f x 的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a-a ln b=a-b，证明：2<1a +1b<e.最新模考真题1(2023·西藏昌都·校考模拟预测)已知函数f (x )=ln x -ax +1,a ∈R ．(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若x 0为函数g (x )=x [f (x )+ln x -2]的极值点，求证：2ax 20<e x 0-1．2(2023·贵州毕节·校考模拟预测)已知函数f x =mx +n e x +mx 2+2m +n x 在x =-1处取得极小值-1e-1.(1)求实数m ,n 的值；(2)当x ∈0,+∞ 时，证明：f x >ln x +x +32.3(2023·贵州贵阳·校联考三模)实数k >0，f (x )=ln (x +1)，g (x )=kxx +k.(1)讨论f x -g x 的单调性并写出过程；(2)求证：nk =1e31+3k 2>n +1-1n +1.4(2023·四川·校联考一模)已知函数f x =x 2-2ln x ．(1)求f x 的单调区间；(2)令g x =f x -a -2 ln x ，若g x 有两个零点x 1，x 2x 1<x 2 ，且x 0是g x的唯一极值点，求证：x 0-x1x 2-x 0<3．5(2023·福建三明·统考三模)已知函数f x =axx+1-ln x a∈R.(1)讨论f x 的单调性；(2)若x∈12,1，证明：1-xe4x-1x-4x2+x<0.6(2023·山东济南·校考模拟预测)设函数f(x)=e mxx+1(x>-1)，已知f(x)≥1恒成立．(1)求实数m的值；(2)若数列{a n}满足a n+1=ln f(a n)，且a1=1-ln2，证明：|e a n-1|<12n.7(2023·江西赣州·统考模拟预测)已知函数f x =ln x +a a ∈R .(1)若函数g x =f x +12x 2+ax ，讨论函数g x 的单调性；(2)证明：当a ≤12时，f x <e x -sin θ.8(2023·江西赣州·统考模拟预测)已知函数f x =ln x +a ，a ∈R .(1)若g x =f x +12x 2+ax ，讨论函数g x 的单调性；(2)证明：当m ≤12时，函数y =f x +m -a 的图象在函数h x =e x +32sin θ的图象的下方.。

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 6

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0，证明：2ln )()2(2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。

证明：1ln )(+='x x g ，设)2(2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=⨯+-=' 当a x <<0时0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ，即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ，即0)2(2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+=)ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)('<x G ，因此)(x G 在区间),0(+∞上为减函数；因为0)(=a G ，又a b > ∴0)()(=<a G b G ，即 02ln )()2(2)()(<--+-+a x x a g x g a g 故2ln )()2(2)()(a x x a g x g a g -<+-+ 综上可知，当 b a <<0时，2ln )()2(2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。

导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔(三)

-1-
②若 a 0 ，如图，总有 x3 x1 ，欲使 x4 x2 ，亦即
1 4a 9 a 1 a 2 2a 9 ， 2 2
所以 4a 9 a a 2 2a 9 ，即 0 4 a 9 a a 2 2 a 9 ，两边平方，化简可得 4a 9 1 ，所以 a 2 .
命题角度 5
函数凹凸性的应用
【典例 10】（2018 届合肥三模）已知函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，函数 g x x 2 a 1 x 2 有零点 x3，x4 ，且 x3 x1 x4 x2 ，则实数 a 的取值范围是
结合函数图象，欲使 x3 x1 x4 x2 ，则 2 a 0 ，所以实数 a 的取值范围是 2， 0 .正确答案为 C. 思路 4 ：（特例法）令 a 2 ，则函数 f x x 2 x 有零点 x1 =0，x2 1 ，函数 g x x 2 x 2 有零点
【评注】同理，g x3 f x3 a 1 x3 0 a 1 x3 ，g x4 f x4 a 1 x4 0 a 1 x4 ，所以 x3 1 x4 ，
0 . 故 g 1 a 2 0 ，即 a 2 ，所以实数 a 的取值范围是 2，
0 .正确答案为 C. 所以实数 a 的取值范围是 2，
思路 3：因为函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，
所以 x 2 x 2 a 的解分别为 x1，x2 ，因为函数 g x x 2 a 1 x 2 有零点 x3，x4 ，所以 x 1 a 的解分别为 x3，x4 ，令 h x x 2 x 2,u x x 1 ，两个函数的交点的坐标分别为 1,0 , 1, 2 , 2,0 ，如图所示，

利用导数证明不等式的常见题型与技巧

利用导数证明不等式的常见题型与技巧例题：已知函数x x x g ln )(=，设b a <<0，证明：2ln )()2(2)()(0a b b a b g a g -<+-+<.本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。

技巧：①利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

②解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

1、利用题目所给函数证明【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111【提示】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、直接作差构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；【提示】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。

读者也可以设)()()(x g x f x F -=做一做，深刻体会其中的思想方法。

3、换元后作差构造函数证明【例3】证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(nnn->+ 都成立.【提示】我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a>b ，求证：．a )(a f >b )(b f【提示】由条件移项后)()(x f x f x +'，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(x xf x F =，求导即可完成证明。

导数与构造函数证明不等式的技巧

导数与构造函数证明不等式的技巧在高中数学中，不等式是经常会遇到的题目类型，也是数学竞赛中经常涉及到的一类题目。

在证明不等式的过程中，我们可以运用导数与构造函数等技巧来简化证明难度，提高证明效率。

一、运用导数证明不等式当我们需要证明一个函数的值在某个范围内时，我们可以考虑用导数来帮助我们进行证明，具体可分为以下步骤：1、确定函数的定义域和值域，并确定要证明的不等式形式。

2、通过求导得到函数的单调性或极值点。

3、根据函数的单调性或极值点，利用数轴或图象来确定函数的取值范围及是否满足要证明的不等式。

例如，要证明关于 $x$ 的不等式 $\frac{3}{2}x^2-6x+5>0$ 成立，可按以下步骤进行证明：1、由不等式左边的式子可得到 $f(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+5$，其定义域为实数集，值域为 $[0,\infty)$。

2、对 $f(x)$ 求导，得到 $f'(x)=3x-6$。

当 $f'(x)>0$ 时，$f(x)$ 单调上升，当$f'(x)<0$ 时，$f(x)$ 单调下降。

当 $f'(x)=0$ 时，$f(x)$ 有极值，即当 $x=2$ 时，$f(x)$ 取得极小值 $-1$。

3、据此得到 $f(x)$ 的图象如下图所示，可知在 $x<2$ 和 $x>2$ 的区间内，$f(x)$ 的取值为正，因此原不等式成立。

构造函数法是一种运用代数方法构造一个函数来满足指定条件的证明方法。

具体可分为以下步骤：1、根据不等式的形式或特点，分析解析式中可能出现的约束条件或不等式关系。

2、构造一个函数并确定其满足条件的范围。

3、证明所构造的函数满足所要证明的不等式条件。

1、根据不等式的形式，可考虑构造分式函数。

2、构造函数 $f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}$，其定义域为$D=\{(x,y)\mid x\neq0,y\neq0,x\neq y\}$。

导数中证明不等式技巧——构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔!

导数中证明不等式技巧——构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔!在导数中证明不等式时，我们可以运用一些技巧来简化证明过程。

以下是几种常用的技巧：1.构造法：构造一个函数，使其导数的符号与要证明的不等式的符号相同。

例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以构造一个函数$h(x)=f(x)-g(x)$，然后证明$h'(x)>0$。

这样，当$h'(x)>0$时，$h(x)$就递增，从而$f(x)-g(x)$也递增，即$f(x)>g(x)$。

2.切线放缩法：通过构造一个切线来放缩函数。

例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以找到函数$f(x)$在其中一点处的切线，然后利用切线的性质来证明不等式。

具体地，找到函数$f(x)$在其中一点$x_0$处的切线$y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$，然后证明$h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)>g(x)$成立。

3.二元变量法：将不等式中的一些变量表示为另一个变量的函数，然后对新的不等式进行处理。

例如，对于$f(x)>g(x)$，我们可以将其中的一个变量表示为另一个变量的函数，例如$x=h(y)$，然后将不等式转化为$F(y)>G(y)$的形式进行证明。

4.凹凸反转法：利用函数的凹凸性质来证明不等式。

例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以证明$-f(x)<-g(x)$，然后利用函数的凹凸性质，通过证明$-f(x)$是凸函数，而$-g(x)$是凹函数，从而得到$-f(x)<-g(x)$成立。

最后，无论采用哪种技巧，熟练掌握基本的导数计算和不等式性质是非常重要的。

只有通过大量的练习，加深对导数和不等式的理解，才能真正掌握这些技巧，并在实际应用中灵活运用。

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导数中的不等式证明命题角度1 构造函数【典例1】已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x=-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直．（1）求,a b 的值；（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x+≥．命题角度2 放缩法【典例2】已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ；（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+.【典例3】已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++【典例4】已知函数()2ln 2xx f x e +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e+'+<+.命题角度3 切线法【典例5】已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+-的最小值为.A .18B .1C .19D - 【变式训练】设2D a =+，其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为.A .B .1C .1A【能力提升】对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为.A .2B .C e .3A 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =.（1）求实数,a b 的值；（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F '<.【典例8】已知函数()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈.（1）当0b =时，方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（2）当0a b =>时，设12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，【典例9】已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ， (e 为自然对数的底数).（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.【典例10】已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是9.24A ⎫⎛-- ⎪⎝⎭ ， 9. 04B ⎫⎛- ⎪⎝⎭ ，().2 0C - ， ().1 D +∞ ，命题角度5 函数凹凸性的应用【典例11】已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；（2）求证：()()2*2ln 2ln 2ln723...2,1632n n n n n -++++>≥∈-N ．【典例12】已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-.【典例13】已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【典例14】函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切．（1）求a 的值；（2）证明：对于任意正整数n ，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.【典例15】已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.答案导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。

本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1 构造函数命题角度2 放缩法命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路命题角度5 函数凹凸性的应用命题角度1 构造函数【典例1】已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x=-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直．（1）求,a b 的值；（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x+≥．【解析】（1）1a b ==-；（2）1()x e g x x e x =-++，()2ln 1()10x x e f x g x x x x e x+≥⇔---+≥，令()()()2()1h x f x g x x x=+-≥，则 ()ln 11x x e h x x x e x=---+， ()2221ln 1ln 11x xx e x eh x x e x x e -'=-+++=++，因为1x ≥，所以()2ln 10xx eh x x e '=++>，所以()h x 在[)1.+∞单调递增，()()10h x h ≥=，即ln 110x x e x x e x---+≥，所以当1x ≥时，()2()f x g x x+≥．【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.命题角度2 放缩法【典例2】已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ；（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. 【解析】（1）1a =，1b =；（2）由（1）可知()(1)(1)x f x x e =+-，()(0)0,10f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x =+--，则()()22x g x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，当2x >-时，设()()()22x h x g x x e '==+-，则()()30x h x x e '=+>，故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0g '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，故()(0)0g x g ≥=，即()()211x x e x mx x +-≥≥+. 故2()f x mx x ≥+.【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.【典例3】已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++ 【解析】（1）[)1,-+∞；（2）设数列{}{},n n a b 的前n 项的和分别为,241n n n n S T n n ==++，则由于()()111,2,n nn S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，解得()()112n a n n =++；同理，()11n b n n =+，所以只需证明()()()2111ln 121n n n a b n n n n n +=<<=+++. 由（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x-≥. 令11n x n +=>，则11ln 1n n n +>+，所以()()()2211111ln 12121n n n n n n n +>>=-+++++，所以2223111ln 2ln ln 22224n nn n n ++++>-=++；再证明()211ln 1n n n n +<+，亦即1ln n n +，因为1lnnn +==，所以只需证，现证明()12ln 1x x x x<->. 令()()12ln 1h x x x x x =-+>，则()()22212110x h x x x x -'=--=-<，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=，所以当1x >时，12lnx x x<-恒成立，令1x =，则，综上，()()()2111ln 121n n n n n n +<<+++，所以对数列{}{}21,ln ,n n n a b n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭分别求前n 项的和，得22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++. 【思路总结】待证数列不等式的一端是n 项之和（或积）的结构，另一端含有变量n 时，可以将它们分别视为两个数列的前n 项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.【典例4】已知函数()2ln 2xx f x e +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e +'+<+. 【解析】（1）()()21ln xx x x f x xe --'=，令()1ln g x x x x =--，则()10g =，当01x <<时，10,ln 0x x x ->->，所以()()0,0g x f x '>>，当1x >时，10,ln 0x x x -<-<，所以()()0,0g x f x '<<，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）要证明()()222ln 1x x f x x e e +'+<+，即证()()211ln ln 11x x x x x e ⎫⎛--+<+ ⎪⎝⎭，令()1ln g x x x x =--，则()()1ln 12ln g x x x '=--+=--，当210x e <<时，()0g x '>，当21x e >时，()0g x '<，所以函数()g x 在210,e ⎫⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,e ⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()22212111g x e e e ≤-+=+，所以211ln 1x x x e --≤+. 要证()()211ln ln 11x x x x x e ⎫⎛--+<+ ⎪⎝⎭，只需再证()ln 1x x +<即可.易证ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号（证明略），所以()0ln 1x x <+<，综上所述，当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e+'+<+. 【思路点睛】对于含有ln x 与x e 型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式ln 11x x x e x ≤-⇔≥+的合理代换.命题角度3 切线法【典例5】已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-，由题设得()()12,11f e f e '=-=-，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+；（2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-，当ln2x <时，()0g x '<，当ln2x >时，()0g x '>，所以函数()()g x f x '=在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，()()()min ln 2ln 222ln 20g x g f '===->，所以函数()2x f x e x =-在()0,+∞上单调递增，由于曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，()11f e =-，可猜测函数()f x 的图象恒在切线()21y e x =-+的上方.先证明当0x >时，()()21f x e x ≥-+.设()()()()210h x f x e x x =--->，则()()()22,2x x h x e x e h x e '''=---=-，当ln2x <时，()0h x ''<，当ln2x >时，()0h x ''>，所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<，所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=，所以当()()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号，所以当0x >时，()221x e x e x -≥-+，变形可得()21x e e x x x+--≥，又由于ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号（证明略），所以()21ln 1x e e x x x+--≥+，当且仅当1x =时取等号.【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+-的最小值为 .32A .18B .321C .1962D - 【解析】由于,a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，所以动点(),P a b 到定点()2,3C -的距离为定值1，亦即动点(),P a b 的轨迹是以()2,3C -为圆心，半径1r =的圆，()()22ln x a x b -+-(),P a b 与动点(),ln Q x x 的距离，而(),ln Q x x 的轨迹是曲线ln y x =，如图，1PQ CQ PC CQ ≥-=-，当且仅当,,C P Q 共线，且点P 在线段CQ 上时取等号，以C 为圆心作半径为r 的圆与ln y x =相切，切点是(),ln Q x x ，此时的公切线与半径垂直，ln 3112x x x-⋅=-+，即()()ln 13x x x =--+，结合函数 ln y x =与()()13y x x =--+的图象可知()1,0Q ，所以1321PQ CQ PC CQ ≥-=-≥，故()()22ln x a x b -+-的最小值为()23211962=-正确答案为D .【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题. 【变式训练】设()()2222xD x a e aa =-+-+，其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为.2A .3B .21C .31A ()()222x x a e a-+-表示点(),x P x e 与点(,2Q a a 之间的距离PQ ，而点(),x P x e 的轨迹是曲线x y e =，点(,2Q a a 的轨迹是曲线()240y x y =≥，如图所示，又点(,2Q a a 到直线0x =的距离为a ，自然想到转化为动点Q 到抛物线准线1x =-的距离，结合抛物线的概念可得()()2222xD x a e aa =-+-+11PQ QH PQ QF =++=++，所以11D PQ QF PF =++≥+，当且仅当,,P Q F 共线，又以F 为圆心作半径为r 的圆与xy e =相切，切点是(),xP x e ，此时的公切线与半径垂直，11xx e e x ⋅=--，即0x =，所以min PF =min 1D .正确答案为C .【能力提升】对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为.A .2B .C e .3A 【答案】B .命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =.（1）求实数,a b 的值；（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x的两个零点，求证：0F '<.【解析】（1）1,1a b ==-；（2）()2ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x'=+-，因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11221ln 1ln m x x m x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-，1212ln ln 1x x F m x x -'=+=-，要证明0F '<，只需证1212ln ln x x x x -<-. 思路一：因为120x x <<，只需证1122ln ln ln 0x x x x ->⇔>.令()0,1t =，即证12ln 0t t t -+>.令()()12ln 01h t t t t t =-+<<，则()()22212110t h t t t t-'=--=-<，所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证12ln 0t t t-+>.由上述分析可知0F '<.【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形为齐次式，设12111222,ln ,,x x x xt t t x x t e x x -===-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x <<，只需证12ln ln 0x x ->，设())22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 ()2110Q x xx '===，所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()()20Q x Q x >=，即证2ln lnx x ->. 由上述分析可知0F '<.【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1x （或2x ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法.思路三：要证明0F '<，只需证1212ln ln x x xx -<-. 即证1212ln ln x x x x --.【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.【知识拓展】对于0,0,ab a b >>≠，则2ln ln a b b a b a +->-，其中ln ln b ab a--称之为对数平均数.简证如下：不妨设()1b ax x =>，只需证明112ln x x x+->()21ln 1x x x -<<+. 【典例8】已知函数()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈.（1）当0b =时，方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（2）当0a b =>时，设12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，证明：()12ln 22x x a +<. 【解析】（1）因为()()0f x g x +=，所以20x e ax +=，即2xe a x -=，设()()20xe h x x x=>，则()()32xx e h x x -'=，所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()()224e h x h ≥=，当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，要使方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，则24e a ->，解得24e a <-，故a 的取值范围是2,4e ⎫⎛-∞-⎪ ⎝⎭；【一题多解】本题也可以变形为x e ax x =-，转化为过原点的直线y ax =与函数xe y x=-图象有两个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.（2）由题意，()2x F x e ax ax =--，()2x F x e ax a '=--，因为12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，不妨设12x x <，()()120,0F x F x ''==，即121220,20x x e ax a e ax a --=--=，两式相减得12122x x e e a x x -=-.要证()12ln 22x x a +<，即证明1222x x e a +<，只需证1212212x x x x e e e x x +-<-，即12122121x x x x e e x x ---<-，亦即()121221210x x x x x x e e ----+>. 令1202x x t -=<，只需证当0t <时，不等式2210t t te e -+>恒成立，设()()2210t t Q t te e t =-+<，则()()()221221t t t t Q t t e e e t e '=+-=+-，易证()10t t e t +<<，所以()0Q t '<，所以()Q t 在(),0-∞上单调递减，()()00Q t Q >=，即2210t t te e -+>. 综上所述，()12ln 22x x a +<成立. 【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题.【典例9】已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ， (e 为自然对数的底数).（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.解析：（1）由于()212x f x e x ax =--，则()x f x e x a '=--，设()()x g x f x e x a '==--，则()1x g x e '=-.令()10x g x e '=-=，解得0x =.所以当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以()()min 01g x g a ==-.①当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，所以函数()f x 单调递增，没有极值点；②当1a >时，()min 10g x a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. 此时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，，不妨设12x x <，则120x x <<，所以函数()212x f x e x ax =--有两个极值点时，实数a 的取值范围是()1,+∞；【答案速得】函数()f x 有两个极值点实质上就是其导数()f x '有两个零点，亦即函数x y e =与直线y x a =+有两个交点，如图所示，显然实数a 的取值范围是()1,+∞.（2）由（1）知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=. 由于()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，所以()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.设()()20x x h x e e x x -=-+>，则()120x x h x e e'=--+<，所以()h x 在()0 +∞，上单调递减，所以()()00h x h <=，()()220h x g x =-<，所以120x x <-<.由于函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，所以()()12f x f x >-. 要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->. 设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->，所以()x ϕ在()0+∞，上单调递增，()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. 所以()k x 在()0+∞，上单调递增，()()00k x k >=. 故当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->，所以()()222f x f x -+>，亦即()()122f x f x +>.【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移，依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的120x x <-<，如果“脑中有‘形’”，如图所示，并不难得出.命题角度5 函数凹凸性的应用【典例10】已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是9.24A ⎫⎛-- ⎪⎝⎭ ， 9. 04B ⎫⎛- ⎪⎝⎭ ，().2 0C - ， ().1 D +∞ ，解析：思路1：因为()()()1g x f x a x =+-，如图所示，结合函数图象，则()()()()1111110g x f x a x a x =+-=-<，()()()()2222110g x f x a x a x =+-=->，若0a >，则11x >，不适合题意，则0a <；当0a <时，121x x <<，所以()120f a =--<，即2a >-，所以实数a 的取值范围是()2 0-，.正确答案为C . 【评注】同理，()()()()3333101g x f x a x a x =+-=>-，()()()()4444101g x f x a x a x =+-=<-，所以341x x <<，故()120g a =--<，即2a >-，所以实数a 的取值范围是()2 0-，. 思路2：因为函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，所以22x x a --=的解分别为12x x ，，因为函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，所以22x x ax --=的解分别为34x x ，，令()22h x x x =--，①若0a ≥，如图，总有13x x ≤，不适合题意；②若0a <，如图，总有31x x <，欲使42x x <2149129a a a a ++++++<， 24929a a a a +++204929a a a a +++ 491a +，所以2a >-.所以实数a 的取值范围是()2 0-，.正确答案为C . 思路3：因为函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，所以22x x a --=的解分别为12x x ，，因为函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，所以21x a x--=的解分别为34x x ，，令()()222,1h x x x u x x x=--=--，两个函数的交点的坐标分别为()()()1,0,1,2,2,0----，如图所示，结合函数图象，欲使3142x x x x <<<，则20a -<<，所以实数a 的取值范围是()2 0-，.正确答案为C . 思路4：（特例法）令2a =-，则函数()2f x x x =-有零点1201x x ==，，函数()22g x x x =+-有零点3421x x =-=，，此时满足3142x x x x <<<，因此排除B ；再令1a =-，则函数()21f x x x =--有零点12151522x x -+==，，函数()22g x x =-有零点3422x x =-=，，此时满足314215152222x x x x -+=-<=<==<，因此排除A ，D ；所以实数a 的取值范围是()2 0-，.正确答案为C . 命题角度5 函数凹凸性的应用【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.【知识拓展】一般地，对于函数)(x f 的定义域内某个区间D 上的不同的任意两个自变量的值21,x x ， ①总有1212()()()22x x f x f x f ++≥（当且仅当12x x =时，取等号），则函数)(x f 在D 上是凸函数，其几何意义：函数()f x 的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.()0f x ''<，则()f x '单调递减，()f x 在D 上为凸函数； ②总有1212()()()22x x f x f x f ++≤（当且仅当12x x =时，取等号），则函数)(x f 在D 上是凹函数，其几何意义：函数()f x 的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.()0f x ''>，则()f x '单调递增，()f x 在D 上为凹函数. 【典例11】已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；（2）求证：()()2*2ln 2ln 2ln723...2,1632n n n n n -++++>≥∈-N ．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln x f x x x+'=+，又()12f '=，()10f =，所以该切线方程为()21y x =-．设()()()1ln 221F x x x x x =+-+>，则()1ln 1F x x x'=+-，令()()g x F x '=，则()22111x g x x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '>，所以()()g x F x '=在()1,+∞上单调递增，又()10g =，所以()()0g x F x '=>，即()F x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10F x F >=，故1x >时，()f x ax b >+；（2）由（1）知：当1x >时，()()1ln 21x x x +>-.令()2212,x n n n N =->≥∈，则()()()2221ln 223n n n -->-，所以()()()222ln 22211311111n n n n n n n ->==----+-+，所以()222ln 2111111111111 (3)3243546211nk k k n n n n =-⎫⎫⎫⎫⎫⎫⎛⎛⎛⎛⎛⎛>-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎝⎝⎝⎝⎝⎭⎭⎭⎭⎭⎭∑，化简可得()222ln 21113213212nk k k n n n=->+-->--+∑，得证. 【方法归纳】本题()()()1ln 1f x x x x =+>，其()1ln x f x x x +'=+，()210x f x x-''=>，说明函数()()()1ln 1f x x x x =+>为凹函数，因此有()()1ln 21x x x +>-.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点.【典例12】已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-. 【解析】（1）由()0f x ≥，得1ln a x x-≤+恒成立，令()1ln u x x x=+，则()22111x u x x x x -'=-=，所以()u x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()u x 的最小值为()()min 11u x u ==，所以1a -≤，即1a ≥-，故a 的取值范围是[)1,-+∞；（2）有（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，所以1ln x x x-≥. ①要证()1ln x e x x e -<，可证()()111xe x x x e x--<>，只需证1x e x -≥，易证1x e x ≥+（证明略），所以1x e x -≥； ②要证2ln x x x <-，可证ln 1x x <-，易证ln 1x x ≤-（证明略），由于1,10x x >->，所以()211x x x x x -<-=-，所以2ln x x x <-，综上所述，当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-. 【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法. 【典例13】已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【解析】（1）()()f x g x <等价于()2ln 02a x x x x --<，即()1ln 02a x x x -⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，记()()1ln 2a x h x x -=-，则()1222a axh x x x -'=-=，当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，由()10h =，()()10h x h >=，所以()0xh x >，即()()f x g x <不恒成立；当02a <<时，221,1,x aa ⎫⎛>∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增，()()f x g x <不恒成立；当2a ≥时，()1,x ∈+∞，()0h x '<，()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=，所以()0xh x <，即()()f x g x <恒成立；故()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，实数a 的取值范围是[)2,+∞；（2）当2a =时，()()f x g x <在()1,+∞上成立，即ln 1x x <-，令()21,1,2,,1kx k n n =+=+，则()()22ln 111k kn n ⎡⎤+<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，所以()()()()2222112ln 1ln 1111111nk k n n n n n =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ()()()()()()2222112121211121n n nn n n n n n +<+++==<+++++，所以()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【方法归纳】当2a =时，ln y x =，由于1y x'=在()0,+∞上单调递减，所以ln y x =为凸函数，则切线在函数ln y x =的图象的上方，所以ln 1x x <-.【典例14】函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切．（1）求a 的值；（2）证明：对于任意正整数n ，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.【解析】（1）()f x '11a x =++．设直线2y x =与曲线()y f x =相切于点()00,P x y ．依题意得： ()0000002ln 1121y x y x ax a x ⎧⎪=⎪⎪=++⎨⎪⎪+=+⎪⎩，整理得，()000ln 101x x x +-=+，……（*）令()()ln 11x g x x x =+-+，()()()2211111xg x x x x '=-=+++．所以，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增；当10x -<<时，()0g x '<，()g x 单调递减．当0x =时，()g x 取得最小值()00g =，所以()0g x ≥，即()ln 11xx x +≥+. 故方程（*）的解为00x =，此时1a =．（2）①要证明()12!!n nn n n en +⋅<，即证()()()112n n n n e n n n n +⋅<+++，只需证11212ln ln ln1n n n n n n n n n n nen n n n n nn+++++++<⋅⇔<++++. 由（1）知，()0g x ≥，即()ln 11xx x +≥+，因此11ln 11⎛⎫+> ⎪+⎝⎭n n ，221ln 121⎛⎫+>> ⎪++⎝⎭n n n ，…，1ln 11⎛⎫+>> ⎪++⎝⎭n n n n n n ．上式累加得：12ln 1111⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅⋅+>⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n n n n ，得证； ②要证明()122!!n nn n en +<⋅，即证()()()1212n nn n n n n e++++<⋅，只需证1212121ln ln ln2n n n n n n n n n n e n nn n nn ++++++++⋅<⇔+++<. 令()()ln 1=+-x x h x ，则()1111xh x x x -'=-=++．所以当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当10x -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增.当0x =时，()h x 取得最大值()00h =，即()0h x ≤，()ln 1+≤x x ．由()ln 1+≤x x 得：11ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n ，22ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n ，…，ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n nn n．上式累加得：12121ln 1112⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅⋅+<=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n n n n n ，得证；【审题点津】第（2）小题待证不等式的证明途径只有从第（1）小题的探究切线的过程中挖掘，这是切线放缩法的拓展运用.【典例15】已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-. 【解析】（1）1a b ==；（2）由（1）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，()()21x f x x e '=+-，设()f x 在()1,0-处的切线方程为()h x ，易得()1()11h x x e ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-， ()()()1()1111x F x x e x e ⎫⎛=+---+ ⎪⎝⎭，则()1()2x F x x e e'=+-，当2x ≤-时，()11()20x F x x e ee'=+-≤-<，当2x >-时，设()1()()2x G x F x x e e'==+-，则()()30x G x x e '=+>，故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，故()(1)0F x F ≥-=，即()()f x h x ≥，所以11()()f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则111mex e'=-+-，又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤，再者，设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =，令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x T x x e '=+-≤-<，当2x >-时，令()()()22x H x T x x e '==+-，则()()30x H x x e '=+>，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，所以()(0)0T x T ≥=，即()()f x t x ≥，所以22()()f x t x ≥，设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故222()()()t x f x t x '=≥，故22x x '≥，又11x x '≤，所2121(12)1111me m e x x x x m e e-⎛⎫''-≤-=--+=+⎪--⎝⎭. 【能力提升】结合函数的凸凹性应用切线放缩法证明不等式必须做到“脑中有形”，结合示意图易得1122x x x x ''≤<≤，显然2121x x x x ''-≤-.脑海中有这样的示意图，我们的思路不就清晰了吗？。