-广义积分
广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
20-广义积分 (1)
例1
计算 x ex2 d x . 0
解
x ex2 d x lim A x ex2 d x
0
A 0
令 u x2
lim
A
1 2
A2 eu d u
0
lim
A
1 2
(eu
)
A2 0
lim (
A
1 eA2 2
1 2
)
1 2
.
能否将这里的书 写方式简化？
为书写方便起见，若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则约定
b f (x) d x lim b f (x) d x ,
a
0 a
称之为函数 f (x) 在[a, b] 上的瑕积分 .
若式中极限存在 , 则称该瑕积分收敛 , 极限值即 为瑕积分值 ; 若式中极限不存在 , 则称该瑕积分发散 .
类似地，可定义
(1) 当x b 为瑕点时 ,
b f (x) d x lim b f (x) d x .
a
(5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算 .
(6) 若在[a, ) 上 f (x) g(x) , 则 f (x) d x g(x) d x .
a
a
二、瑕积分 ——无界函数的广义积分
1. 瑕积分的概念
(1) 瑕点的概念
0，若函数 f (x) 在 Uˆ (x0 , )内无界，则称点 x0 为
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
(1) b f (x) d x lim b f (x) d x (B b) .
B B
(2) f (x) d x c f (x) d x f (x) d x
10广义积分
在 0 使得对任意 a a , b b ， f ( x)dx I ，则记
lim a f ( x)dx a
b
b
f ( x)dx 。否则称 f ( x)dx 发散。
a
b
注 10.1.2 ： 如 果 函 数 f : (a, b)
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10.3 广义积分的收敛性 判断广义积分的收敛性是一个很重要的问题。由于广义积分是 Riemann 积分 随积分限变化时的极限，所以可以用判断函数收敛的办法来判断广义积分的 收敛性。 Cauchy 准则、 单调有界收敛定理、 夹逼定理是判定收敛的普遍方法， 对广义积分而言还有一个判别收敛的重要方法——比较法。 广义积分收敛的 Cauchy 准则 定理 10.3.1（广义积分收敛的 Cauchy 准则）
A A
lim
2A
sgn( x)dx lim A ，所以
A
x
sgn( x)dx 不收敛。
例 10.1.5：
0
e
dx 收敛当且仅当 0 。
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解： e
0
A x
1 e A 1 A x , 0 , 0 ，所以 lim e dx 。■ dx 0 A A, 0 , 0
A f ( x)dx I
B
。
于是对任意 A, A (, min{ N , a}) ，
F ( A) F ( A)
A A
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A B
第五节 广义积分
1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:
2
1 x2
sin 1 dx x
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b1
sin
2
x
d
1 x
lim
b
cos
1 b x 2
lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y
1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
2
.
原式
arcsin x a
第九讲广义积分
第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。
数学分析中的广义积分和应用
在数学分析中，广义积分是一个重要的概念，是对一些函数在区间上的积分的推广。
它的应用广泛，涉及到很多领域的计算和解决问题。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及一些应用。
首先，我们来看广义积分的定义。
在实数轴上，如果一个函数f(x)在区间[a,b)上是可积的，且对于任意的a≤c<b，都存在lim(x->c)∫[a,x] f(t)dt存在，则称该广义积分为收敛的，记作∫[a,b) f(x)dx。
如果lim(x->c)∫[a,x]f(t)dt不存在，则称该广义积分是发散的。
广义积分的性质与普通积分类似，我们可以用线性性、单调性、积分中值定理等方法来进行计算和证明。
此外，广义积分也满足Cauchy准则，即对于任意的ε>0，存在一个常数M>0，使得当a≤c≤d<b且|∫[c,d] f(x)dx|≥M时，有|∫[c,d] f(x)dx|<ε。
这个准则的意义在于可以通过对广义积分加上一个足够小的区间上的柯西收敛项来确定收敛性。
广义积分的应用领域非常广泛。
首先是在物理学中的力学、电磁学等方面的应用。
例如，在力学中，我们常常需要计算粒子在各种运动状态下的能量，这就需要对速度函数或者加速度函数进行广义积分。
在电磁学中，我们需要计算电场、磁场引起的能量分布，同样需要对电场强度或磁感应强度进行广义积分。
另外，在概率统计学中，广义积分也有着重要的应用。
概率密度函数可以看作是一种特殊的函数，它的积分对应于其概率的累积分布函数。
通过对概率密度函数进行广义积分，可以计算某个随机变量落在某个区间内的概率。
此外，在经济学中，广义积分也有一些应用。
经济学中的利润函数、边际效益函数等都可以看作是对某种经济现象的描述，而对这些函数进行广义积分可以得到更加具体的结果，帮助我们理解和解决实际经济问题。
最后，广义积分在工程学、生物学、医学等领域也有着广泛的应用。
例如，在工程学中，我们常常需要计算某个工程问题的能量消耗或者材料消耗，这就需要对相应的能量函数或者材料函数进行广义积分。
定积分积分法与广义积分
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，而定积 分可以通过极限的思想推广到广义积分。
03
两者都涉及到积分的存在性和可积性，以及积分的 计算和性质。
定积分与广义积分的区别
定义域不同
定积分的定义域是有限的闭区间，而广义积分的定义域可 能是无限的区间或者无界点集。
积分结果可能不同
在定积分中，如果被积函数在闭区间上连续且在开区间上可积 ，则其积分值是确定的；而在广义积分中，即使被积函数在某
个区间上连续，其积分值也可能不存在。
意义不同
定积分主要用于计算面积、体积等数值结果，而广义积分则更 多地用于研究函数的性质和行为，例如函数的奇偶性、可导性
、收敛性等。
定积分与广义积分的应用场景
定积分的应用场景
在物理学、工程学、经济学等各个领域中，都需要用到定积分来计算各种量值，例如物体的质量、面积、体积 等。
换元法
通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分。
分部积分法
通过分部积分公式将两个函数的乘积转化为两个函数的积分之差。
广义积分的计算方法
无穷区间上的广义积分
通过将无穷区间分割成有限个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行积分， 最后取极限得到广义积分的值。
无界函数的广义积分
对于无界函数的广义积分，需要特别注意积分的上下限，以及在计算过程中对无 界点的处理。
广义积分的性质
01
线性性质
广义积分具有线性性质，即对于两个 函数的和或差的积分，可以分别对每 个函数进行积分后再求和或求差。
02
区间可加性
对于函数在两个区间上的积分，如果 这两个区间有重叠部分，则该函数在 这两个区间上的积分之和等于在重叠 区间上积分的两倍。
03
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例1 解
计算
0
xe
x2
d x.
0
xe
x2
d x lim
A
A 0
xe
x2
dx
令 u x2
1 A2 u lim e d u A 2 0 1 lim (e u ) A 2
A2 0
能否将这里的书 写方式简化？
1 A2 1 lim ( e ) A 2 2 1 . 2
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f ( x) 在 [a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f ( x) R( [a, A] ) . 记
a
f ( x) d x lim
A
A a
0
0
cos x d x sin x
x
lim sin x sin 0 ,
由于 lim sin x 不存在，故原积分
x 0
cos x d x 发散 .
例5 解
dx a x p (a 0) 的敛散性， 其中P 为任意常数. 讨论 P－积分
当 P 1 时:
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
f ( x) d x .
c
f ( x) d x f ( x) d x [ f ( x) g ( x)] d x u ( x)v( x) d x u ( x)v( x)
c
f ( x) d x
cR.
a
f ( x) d x
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
g ( x) f ( x) 0，
则 (1) 当 ( 2) 当
a a
g ( x) d x 收敛时，积分 f ( x) d x 发散时，积分
a a
f ( x) d x 也收敛 . g ( x) d x 也发散 .
F (b) lim F ( x) .
x
lim F ( x) lim F ( x) .
x x
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例2
计算
0
0
dx . 2 1 x
0
解
dx arctan x 2 1 x
x
1 2 d x 1 t 故 dt , 4 0 1 x 2 0 t2 1 t2 1 1 令 u t , 则 d u (1 2 ) d t , t t 1
且 t : 0 时， u : , 从而,
0
dx 1 d u 4 1 x 2 u 2 2
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
与级数的情形类似, 比较判别法也是判别无 穷积分 敛散性的重要方法. P 积分是重要的比较标准 之一 .
例9 解
判别无穷积分
3
1
dx 的敛散性. 4 x 1
由于
0
3
1 4 x 1
1 1 3 x4/3 x4
4 而 p 1 的 P 积分 3
1 x
4/3
1
d x 收敛 , 故
无穷积分
3
1
dx 收敛 . 4 x 1
读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.
二、瑕积分 ——无界函数的广义积分
1. 瑕积分的概念
(1) 瑕点的概念
ˆ ( x0 , ) 内无界，则称点x0 为 0，若函数 f ( x) 在 U
1 1 u arctan 2 2 2
1 1 . 2 2 2 2 2 2
3. 无穷积分敛散性的判别法
实际上, 我们可以将无穷积分的 定义式写成下面的形式 :
a
f ( x) d x lim
x
x a
f (t ) d t ; f (t ) d t .
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a
dx ln | x | x
a
lim ln | x | ln a ,
x
故 p 1 时， P 积分发散 .
当 P 1 时:
a
d x x1 p x 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1, p 1.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十七讲 广义积分
主讲:岑利群
第五节 广义积分 一、无穷区间上的积分
二、瑕积分
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界
函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计
算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广.
证
(1) 若积分
a
g ( x) d x 收敛 ，则下列极限存在
x
lim
x a
f (t ) d t I .
由于有极限的量在该极 限过程中必有界 , 故可知
G ( x) g (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 .
a
x
由 a x 时, 0 f ( x) g ( x) 得
若 0 , f ( x ) R ( [ a , b] ) , 记
b a
f ( x) d x lim
0
b a
f ( x) d x ,
称之为函数 f ( x) 在 [a, b] 上的瑕积分 .
若式中极限存在 , 则称该瑕积分收敛 , 极限值即 为瑕积分值 ; 若式中极限不存在 , 则称该瑕积分发散 .
1
ln x d x. 2 x
ln x
运用分部积分法
1 x
1 x2 1 x
ln x ln x 1 1 x 2 d x x 1 1 x 2 d x d x 罗 2 ln x 1 1 x lim lim 0 x x x x 1 1 x
a
a
g ( x) d x .
a
u ( x)v( x) d x .
(5) 无穷积分也可按照定积 分的换元法进行计算 .
(6) 若在 [a, ) 上 f ( x) g ( x) , 则
a
f ( x) d x
a
g ( x) d x .
例6 解
计算
发散
收敛
综上所述，
P－积分
a
dx (a 0) p x
P 积分当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散 .
2. 无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分 均存在，则
(1) ( 2) (3) ( 4)
a a a a
f ( x) d x
a
a
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
lim arctan x arctan 0
2
.
例3
解
计算
dx 1 x 2 .
dx 1 x 2 arctan x
lim arctan x lim arctan x
x x
2
(
2
)
y
.
O
1 1 y 1 x2
函数 f ( x) 的一个瑕点 .
1 例如： x a 是 f ( x) 的一个瑕点； xa
x 1 是 g ( x) ln(1 x 2 ) 的瑕点.
x a 是 h( x )
1 的瑕点. 2 2 x a
(2) 瑕积分的概念
设 f ( x) 在 (a, b] 上有定义 , x a 为其瑕点 .
为书写方便起见，若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，则约定
a b
f ( x) d x F ( x) f ( x) d x F ( x) f ( x) d x F ( x)
0
lim F ( x) F (a) .
x
b
x
例4
计算
0
x d x. 2 1 x
0
解
0
x 1 2 d x ln( 1 x ) 2 1 x 2
1 lim ln( 1 x 2 ) 0 x 2