反常积分(广义积分)
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反常积分
x arcsin a 0
t
lim t a
t arcsin a 0 π arcsin 1 2
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例5.20 求 (1) 0
1
3 dx dx dx (2) (3) 2 2 1 x 0 1 x ( x 1) 3 1
当上式右边两个广义积分都收敛, 称广义积分收敛.
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例5.19
a
dx a2 x 2
0
(a 0)
解：
lim x a
1
a2 x 2
x a为被积
函数的无穷间断点，于是
a
dx a x
2 2
0
lim a
t
t
dx a2 x 2
0
lim t a
b
lim ln( x a ) b q1 t , t a , q 1 1 q ( x a) b 1 q lim (b-a) t t a 1 q 1 q ,q 1
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则称此极限为函数 f (x) 在 (a, b] 上的反常积分, 记作
b a
f ( x )dx, 即
b a
f ( x )dx lim f ( x)dx
Aa A
b
此时也称反常积分
b a
b a
f ( x )dx 收敛, 否则就称反常积分
f ( x )dx 发散. a称为瑕点 .
高等数学@5-4反常积分
( x)dx
发散
.
y f (x)
s
a
b
x
b
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b
f
( x)dx
发散
.
2
f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x
2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2
( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
上限 (
3 a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)
3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
解:
[ arctan x ]|0
[ arctan x ]|
0 22
思考:
分析:
原积分发散 !
5.4 反常积分
x → −∞
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f ( x ) dx = F ( x )
= F (+∞ ) − F (a ) = F (b) − F (−∞ ) = F (+∞) − F (−∞)
8
∫−∞ f ( x) dx = F ( x) ∫−∞ f ( x) dx = F ( x)
+∞
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx.
4
例1. 求曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积。 解： 面积的含义可理解为Βιβλιοθήκη A=∫+ ∞ dx
1 y= 2 x
A
b
1
x
2 b
1 dx A = lim ∫ 2 = lim − b → + ∞ x 1 b→ +∞ 1 x 1 = lim 1 − = 1 b → + ∞ b
u →+∞ a
lim
∫
u
f ( x)dx = J ,
(1)
则称此极限J为函数 f ( x)在 [a, +∞) 上的无穷限反常积分 (简称无穷积分), 记作
并称
∫
+∞
J =∫
+∞
a
f ( x)dx,
+∞
a
f ( x)dx, 收敛.
如果极限(1)不存在, 称 即：
∫
+∞
∫
a
f ( x)dx 发散.
a
f ( x)dx = lim
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f ( x ) dx = F ( x )
= F (+∞ ) − F (a ) = F (b) − F (−∞ ) = F (+∞) − F (−∞)
8
∫−∞ f ( x) dx = F ( x) ∫−∞ f ( x) dx = F ( x)
+∞
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx.
4
例1. 求曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积。 解： 面积的含义可理解为Βιβλιοθήκη A=∫+ ∞ dx
1 y= 2 x
A
b
1
x
2 b
1 dx A = lim ∫ 2 = lim − b → + ∞ x 1 b→ +∞ 1 x 1 = lim 1 − = 1 b → + ∞ b
u →+∞ a
lim
∫
u
f ( x)dx = J ,
(1)
则称此极限J为函数 f ( x)在 [a, +∞) 上的无穷限反常积分 (简称无穷积分), 记作
并称
∫
+∞
J =∫
+∞
a
f ( x)dx,
+∞
a
f ( x)dx, 收敛.
如果极限(1)不存在, 称 即：
∫
+∞
∫
a
f ( x)dx 发散.
a
f ( x)dx = lim
反常积分
1 x
b 1
y
1 x2
A
1b
lim 1 b
1 b
1
2
定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
12
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
二、无界函数的反常积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
11
定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
1 0
1 dx 。 1 x2
y
y 1 1 x2
解：∵ lim 1 ， x1 1 x2
(0, 1)
o ∴ 1
1
1
课件：反常积分
dx发
散,
1
1
1 x
dx也
发
散.
思考题(2)
求位于x轴上方,直线x 1右侧,曲线y 2 1 x2
下方的平面图形的面积.
解
所求面积
1
1
2 x
2
dx
2arctan
x 1
22
4
.
2
三、小结与教学要求:
◆掌握无穷限的广义积分
a
f
( x)dx,
b
f
( x)dx,
f
(
x
)dx.
◆掌握无界函数的广义积分（瑕积分）
若lim b ta t
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在(a,b]上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
b
lim
ta t
f ( x)dx,
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
类似地, 设f ( x)在[a,b)上连续, 点b为f ( x)的瑕点,
若lim t tb a
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在[a,b)上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
t
lim
tb a
f ( x)dx.
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
若f ( x)在[a,b]上除c点外处处连续,且c为瑕点,则定义
b
a
x
1
,
(2) p 1,
1 1 x p dx
x1 1
p
p
1
反常积分的概念
反常积分的概念
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
几何意义：
反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。
例如的几何意义是：位于曲线
之下，X轴之上，直线x=0和x=a之间的图形面积，而x=a点的值虽
使无穷，但面积可求。
类型：
1.无穷区间反常积分
每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。
2.无界函数反常积分
即瑕积分，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间积分。
3.混合反常积分
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。
对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
敛散性判断：
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。
首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限
而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶
次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
反常积分(广义积分)
t
即
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
t a
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
4
反常积分
(2) 设f ( x)在(, b]上连续, 取t b
如果极限lim b f ( x)dx 存在, 则称这个极限值 t t
为f
t2
f ( x)dx
称反常积分
t t1
1
f (x)dx
t2 0
收敛;否则称反常积分
f
( x)dx
发散.
6
反常积分
注 为了这方时便反起常见积, 分规的定收: 敛与发散取决于F ( )
和对F反(常 积)是分否可存用在如.下的简记法使用N--L公式, 若F ( x)是连续函数f ( x)的原函数.
第七节 反常积分(广义积分)
improper integral 无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
函数与 函数
小结 思考题 作业
第五章 定积分
1
反常积分
积分区间有限 常义积分 被积函数有界
广推
反常积分 积分区间无限 常义积分的极限
被积函数无界
2
反常积分
一、无穷区间上的反常积分 (广义积分)
对于反常积分来说, 对称区间上的性质 不成立的.
注 x , x 各不相关.
sin xdx 0
12
反常积分
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
dx x
e
1 ln 2
广义反常积分简单提
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0 a2x2
l im 0arcsaxina0 l im 0arcas ain0
2
.
例 6证 明 广 义 积 分 01x1qd当 xq1时 收 敛 ， 当
q1时 发 散 .
证 (1)q1,
11
0 x q
dx
1
0
1 x
dx
lnx10
,
(2)q1,
1
0
1 xq
1
dx x2
.
解
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
al ima011x2dxbl im0b11x2dx
al im arctxa 0 anbl im arctxab0n
al im arctaanbl im arctban22.
例2
计算广义积分
2
1 x2
c
b
l i0a m f(x )d x l i0c m f(x )dx
否 则 ， 就 称 广 义 积 分 a b f ( x ) d 发 散 . x
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
a dx
例5
计算广义积分 0
a2x2
(a0).
解
lim 1 , xa0 a2x2
x a 为 被 积 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
第四节 广义（反常）积分
• 一、无穷限的广义积分 • 二、无界函数的广义积分 • 三、小结
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数f (x)在区间[a,)上连续，取
ba，如果极限lim b b a
f
(x)dx存在，则称此极
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反常积分，也称为广义积分，是对定积分的推广，包括无穷区间上的积分和无界函数的积分。无穷区间上的积分是指函数在无穷区间上的积分，其定义涉及极限的概念。若函数在无穷区间上的积分存在，则称该积分收敛；否则，称其发散。瑕积分则是指函数在某点附近无界，但在其他区间上可积的情况。对于瑕积分，同样需要借助极限来定义其积分值，并判断其收敛性。文档还介绍了反常积分的线性性质，即若两个反常积分收敛，则它们的线性组合也收敛。此外，文档还通过例题展示了如何判断反常积分的收敛性，并计算其积分值。需要注意的是，对于无穷积分，只有在收敛的条件下才能使用某些性质，否则可能会出现错误。总的来说，反常积分是对定积分的重要扩展，它在数学分析、物理学等领域有着广泛的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用。