微积分中值定理及其应用
微积分中的中值定理及其应用
微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。
微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。
而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。
一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。
中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。
意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。
二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。
具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。
根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。
3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。
具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。
4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。
例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。
中值定理及其应用
中值定理及其应用中值定理是微积分中的一项重要定理，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对中值定理的概念、原理以及其在实际问题中的应用进行探讨。
一、中值定理的概念和原理中值定理是微积分中的一个基本定理，它涉及到函数的导数和函数的连续性。
中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它是由法国数学家拉格朗日提出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
数学表达式为：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)，其中a < c < b其中f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是中值定理的另一种表达形式，由法国数学家柯西提出。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)上不为零，则存在一点c在(a, b)内，使得函数的导数之比等于函数值之比：(f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)，其中a < c < b其中f'(c)和g'(c)分别表示两个函数在点c处的导数。
二、中值定理的应用中值定理在实际问题中具有广泛的应用，下面将以一些具体的例子来说明其应用。
1. 函数图像的研究通过中值定理，我们可以研究函数在区间内的性质，例如函数的单调性、极值点的位置以及图像的凹凸性等。
通过计算函数的导数和应用中值定理，可以得到函数在不同区间的性质，并进一步绘制函数的图像。
2. 物理学中的应用在物理学中，很多物理量都可以通过导数和中值定理来描述。
例如，在描述物体的运动过程中，我们可以通过速度函数的导数来计算物体的加速度，而中值定理则可以用来描述物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度之间的关系。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
拉格朗日中值定理与应用
拉格朗日中值定理与应用拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
这个定理在数学领域有着广泛的应用，特别是在求解函数的极值、证明函数的性质以及优化问题等方面起到了重要的作用。
拉格朗日中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换句话说，函数在开区间内的某一点的导数等于函数在闭区间上的平均变化率。
这个定理的证明思路相对简单，我们可以通过引入一个辅助函数g(x) = f(x) -(f(b) - f(a))/(b - a) * (x - a)，来进行证明。
首先，我们可以发现g(a) = g(b)，因为f(a) = f(b)。
其次，由于g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，根据罗尔定理，我们可以得到存在一个点c，使得g'(c) = 0。
进一步计算g'(c)，可以得到g'(c)= f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0，即f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
因此，拉格朗日中值定理得证。
拉格朗日中值定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来证明函数的性质。
例如，如果一个函数在某个区间上导数恒为零，那么根据拉格朗日中值定理，这个函数在该区间上必然是一个常数函数。
其次，它可以用来求解函数的极值。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在某个开区间上导数存在且不变号，那么函数在该开区间上的极值点必然存在。
通过求解导数等于零的方程，我们可以找到这些极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用来证明其他重要的数学定理，例如泰勒定理等。
除了理论上的应用，拉格朗日中值定理在实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常需要求解某个函数在某个区间上的平均增长率，这时就可以利用拉格朗日中值定理来求解。
积分中值定理及其应用
积分中值定理及其应用
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了在一定条
件下函数的平均值与积分的关系。
这个定理在数学理论和实际应用
中都有着重要的作用。
在本文中，我们将介绍积分中值定理的基本
概念，以及它在实际问题中的应用。
首先，让我们来看一下积分中值定理的表述。
设函数f(x)在区
间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导。
那么存在一个点
c∈(a, b)，使得。
\[f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx\]
这个定理告诉我们，对于连续函数来说，在某个点上函数值等
于其在整个区间上的平均值。
这个点c被称为积分中值点。
积分中值定理的一个重要应用是在求解定积分时，可以利用这
个定理来简化计算。
通过积分中值定理，我们可以将定积分转化为
函数在某点的取值，从而简化计算过程。
这在实际问题中特别有用，比如在物理学、工程学和经济学等领域中经常会遇到需要求解定积
分的情况。
另外，积分中值定理还可以用来证明一些重要的不等式，比如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
这些不等式在数学分析和实际问题中都有着广泛的应用，而积分中值定理为它们的证明提供了重要的基础。
总之，积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
通过对积分中值定理的理解和运用，我们可以更好地理解函数的性质，简化定积分的计算，以及证明一些重要的不等式，为数学理论和实际问题的解决提供了有力的工具。
积分中值定理的改进和应用
积分中值定理的改进和应用一、积分中值定理简介积分中值定理是微积分中的重要定理之一，主要描述了函数f(x)在区间[a,b]上的平均值与函数f(x)在[a,b]中的某一点c的函数值相等的关系。
根据积分中值定理，如果f(x)在[a,b]上连续，则存在至少一个点$c\\in[a,b]$，使得：$$ \\int_a^b f(x)dx = f(c)\\cdot(b-a) $$重要的是，使用了积分中值定理，我们可以非常简单地证明定积分的存在性并计算其值。
二、改进积分中值定理的改进主要是关于该定理的充分性，即是否能够在积分中值定理的条件下保证f(x)在[a,b]上连续。
对于一些特定情况的函数f(x)，积分中值定理存在不充分的情况。
例如，我们考虑函数 $f(x)=\\sqrt{x}$，在区间[0,1]上，f(x)明显连续并且积分可计算。
直接应用积分中值定理，存在点 $c\\in[0,1]$，使得：$$ \\int_0^1 \\sqrt{x} dx = c\\cdot(1-0) $$则有 $\\sqrt{c}=\\frac{2}{3}$，即 $c=\\frac{4}{9}$。
但是我们可以看到，$f(x)=\\sqrt{x}$ 没有在点x=0处定义，因此积分中值定理在此情况下不充分。
为了有效地避免这种情况的出现，可以改进积分中值定理的条件。
一般的改进方式是引入曲线的概念，然后将积分中值定理的条件定为曲线的完整性。
三、引入曲线的概念对于一个连续的函数f(x)，我们可以定义一个曲线y=f(x)。
本文我们默认f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，因此函数的反函数f−1(y)存在且单调递增，从而可以将曲线y=f(x)在[a,b]上的一部分映射到[f(a),f(b)]上的一条弧线。
曲线的完整性指的是曲线中不剩余任何点的情况。
即，曲线上的点与曲线下的点之间不存在任何缺口或间隙。
根据这个定义，我们可以将积分中值定理的条件改为：存在一条从(a,f(a))到(b,f(b))的弧线，该弧线光滑且完整，且过点(c,f(c))。
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【教学改革】
吕梁教育学院学报 Journal of Lvliang Education Institute
Jun． 2017 Vol． 34 No． 2( Sum． No． 100)
微积分中值定理及其应用
陈杰
( 苏州旅游与财经 高等职业技术学校，江苏 苏州 215104)
连续，则在积分区间［a，b］上至少存在一个点 ξ，使
下式成立:
b
∫ f( x) dx = f( ξ) ( b － a) a
有假设条件: f( x) 在闭区间［a，b］上函数连续，设函
数 f( x) 最大值及最小值分别为 M 和 m，即: m≤f( x)
≤M． 将上式同时在区间［a，b］内积分，可得积分中
参考文献: ［1］柯希均． 微分学在经济 分析中的 几点应 用［J］． 科技资
讯，2010( 14) : 179． ［2］龚友运． 微分学在经济 分析中的 应用浅析［J］． 科技资
讯，2010( 15) : 182 － 184． ［3］胡乔林． 管窥微分学在经济学中的应用［J］． 中国成人教
育，2010( 17) : 188． ［4］郜欣 春，贾 仙 勤． 微 分 学 在 微 观 经 济 学 中 的 几 处 应 用
比价格函数曲线的点斜率更平缓) ，则这个交点处
便是最优定价点。若把需求量与供给量都表示为价
格函数，则可以利用积分中值讨论资源剩余等经济
问题。
二、积分中值定理
微积分学说是继欧几里得几何学之后，数学理
论应用中最大的一个科学发现，它是联系着经济社
会的应用过程发展起来的。17 世纪末，人们为了理
解和解决社会现象问题( 尤其是物理力学问题和经
和行为者的最优理性选择，探讨了实现有限资源的最
优配置方案。微积分中值定理是研究经济最优选择
的根本方法，经济与数学具有天然的密切关联性，无
论是经济中静态数据的最优化理论，还是经济动态数
据的最优化理论中，微积分中值定理是最合适的经济
分析工具。人们在经济学中应用数学方法，对经济现
象予以定量描述，其研究深度日益增长。 假设以下经济函数，( 1) 产量函数 Q( x) ; ( 2) 收
－ －
f( a
a)
拉格朗日 ( Lagrange) 中值 定 理 曲 线 原 理 如 图 2 所
示。
பைடு நூலகம்
图 2 拉格朗日中值定理曲线
拉格朗日中值定理的几何意义: 当目标函数在 某个闭区间上连续，开区间上可导后，那么在这个函 数所表示的函数曲线上，必然一定至少存在一点，使 得该点的斜率切线与两个端点连线平行。罗尔中职 定理揭示了曲线与水平斜率的存在性，拉格朗日中 值定理揭示了函数切线与一般直线斜率相等的存在
值定理，即:
93
b
∫ m ≤ f( x) dx / ( b － a) ≤ M a
因为 m≤f( x) ≤M 是连续函数，由拉格朗日中值定
理，必存在一点 ξ，使得
b
∫ f( x) dx /( b － a) a b
∫ 即: f( x) dx = f( ξ) ( b － a) a
= f( ξ)
积分中值定理在现代经济管理的应用是广泛
间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内
是一个常数。
拉格朗日中值定理给我们揭示了社会现象的必
然性存在性。对于非匀速直线运动的物体，在其任
意运动过程中，至少存在一个位置点( 或一个时刻)
的瞬时速度等于该过程中的平均速度。拉格朗日中
值定理从根本上证明了: 在自由经济交易中，经济利
益的获得效益是变动的，不完全都是增值的。从有
－ F( a)
=
F( x)
|
b a
牛顿-莱布尼茨公式给我们揭示了社会现象的必然
性存在性，找到了解决曲线长度、曲线围成的面积和
曲面围成的体积等问题的一般方法。牛顿 － 莱布尼
茨公式简化了定积分的计算过程，条件是只要知道
被积函数的原函数，就可以计算出定积分的精确值
或者是一定精度下的近似值。
( 三) 拉格朗日中值定理
92
b) ，使得:
f( b) g( b)
－ f( a) － g( a)
=
f'( ξ) g'( ξ)
柯西定理可以由一般曲线的参数方程证明，可
以理解为 f( x) 与另一函数曲线 g( x) 在( a，b) 上至
少存在一点 ξ，使得在该点处，f( x) 与 g( x) 曲线的切
线是平行的。柯西中值定理产生了微积分学基本定
济趋势问题) 创立了微积分学说。微积分学说极大
地推动了自然科学( 物理学、化学、天文学、生物学、
经济学和工程技术等) 各个分支科学的发展，并在
这些学科中越来越广泛的被实践应用。积分中值定
理用来表示曲边梯形的面积，可以推导平面曲线之
间图形面积、曲面面积和立体体积之间的关系。
积分中值定理: 若函数 f( x) 在闭区间［a，b］上
图 1 罗尔中值定理曲线
( x) 的极值费马点，由于 f( x) 在开区间( a，b) 内可导， 并且 f( x) 在 ξ 处可导，故可得结论: f'( ξ) = 0．
实践意义: 设有一段弧的两端点的函数值相等， 如果除两端点之外，各处都有不垂直于水平 x 轴的 切线，那么弧线上至少有一点，使得该点处的切线平 行于 x 轴。罗尔中值定理给我们揭示了许多物极必 反现象的必然性存在性。例如: 经济分析中的边际 分析法是把追加支出和追加收入相比较，计算二者 相等时的临界点，即投入资金所得到的利益与成本 输出相等时的临界点。构造函数为利润函数，如果 追求的目标是取得最大利润，那么当追加收入等于 所增加的支出时，这一经济目标就能够实现。
理“牛顿 － 莱布尼茨公式”，揭示了定积分或被积原
函数或者不定积分函数之间的逻辑关系。
牛顿 － 莱布尼茨公式的主要内容: 如果函数 f
( x) 在区间［a，b］上有定义，并且满足以下条件: ( 1)
在区间［a，b］上可积; ( 2) 在区间［a，b］上存在原函
数 F( x) ，则有
b
∫ f( x) dx = F( b) a
求关系［J］． 商场现代化，2007( 18) : 42． ［8］沈奇． 微积分及其在经济学中的应用［J］． 赤峰学院学报
( 自然科学版) ，2014( 24) : 6 － 7．
94
微积分中值定理的出现是一个科学逻辑典型代 表，其中聚集了众多数学爱好者和数学家的研究心 血，在数学发展史具有举足轻重的突出地位，它是自 然科学研究不可缺失的基础。
一、微分中值定理 微分中值定理可以揭示了函数关系的曲线必然 轨迹规律，是数学工具分析数据的基础工具，本文主 要以微 分 中 值 定 理 ( 罗 尔 ( Rolle) 定 理、拉 格 朗 日 ( Lagrange) 定理、Cauchy 定理等) 一系列成果及定理 之间的关系为研究对象，利用它们来讨论一些社会 现象，包括对供需平衡的求解问题，以及最佳增值 效率的求解法等。 ( 一) 罗尔中值定理 若函数满足如下条件: ( 1) 在闭区间［a，b］上连 续; ( 2) 在开区间( a，b) 内可导; ( 3) f( a) = f( b) ，则 在［a，b］内至少存在一点 ξ∈( a，b) ，使得: f' ( ξ) = 0． 曲线原理如图 1 所示。 证明: 目标函数 f( x) 在［a，b］上连续，必然有最 大值和最小值，最大值和最小值分别用 m 与 M 表示。 如果有 M = m，则函数 f( x) 在闭区间［a，b］上即为为 常数，显然结论成立; 如果 M ＞ m，结合端点条件 f( a) = f( b) ，容易想到，在( a，b) 内至少有一个点 ξ，使 f ( x) 取得使得最大值 M 或最小值 m，从而使 ξ 成为 f
摘 要: 文章分析了微积分中值定理及其实践意义，围绕中值定理包含的内在关系，从微分中 值定理推广到积分中值定理，总结中值定理在社会应用中的效能估算等方面的具体推广应用，最后 给出经济学中应用中值定理的实践案例。
关键词: 微积分; 中值定理; 应用 中图分类号: O13 文献标识码: A 文章编号: 1672 － 2086( 2017) 02 － 0092 － 03
限理性、交易利润和交易增值的角度考虑，可以进一
步推导出 商 品 交 易 中，合 同 成 交 的 均 衡 条 件，即:
“经济———人”假说里的一般均衡，可以推广到现实
社会的广义均衡理性。应用拉格朗日中值定理，可
以揭示经济学中的成本边际定价法则，价格函数曲
线与边际成本函数曲线相交点( 边际成本函数曲线
的点斜率大于 0、或者边际成本函数曲线的点斜率
的，积分中值定理需要由边际函数的不定积分求解
出原经济函数，更重要的是由边际函数的定积分和
广义积分法则，求解出原经济函数曲线的点变动特
征。由于经济现象较难理解与掌握，积分中值定理
在经济分析中的重要地位，积分中值定理成为经济
数学的核心内容。例如: 在经济利润分析过程中，经
常会遇到假设目标函数的导数微分问题，求解这个
( 二) 柯西中值定理 假设有函数 f( x) 及 g( x) 满足: ( 1) 在闭区间 ［a，b］上连续; ( 2) 在开区间( a，b) 内可导; ( 3) 满足 g( a) ≠g( b) 且 g'( x) ≠0，则至少存在一点 ξ∈( a，
收稿日期: 2017 － 04 － 08 作者简介: 陈杰( 1980 － ) ，男，江苏丹阳人，苏州旅游与财经高等职业技术学校讲师，硕士，研究方向: 数学教育教学。
拉格朗 日 ( Lagrange) 中 值 定 理 又 称 为 拉 氏 定
理，是罗尔( Rolle) 中值定理的推广，同时也是柯西