11-3_含参变量广义积分
【通用】第十一章 广义积分与含参变量的积分 复习.ppt
g(x) ≥0，它们在任意区间[a,b]上都可积，且
则有以下结论：
lim f (x) k, x g(x)
(1)当0≤k<+∞时,若
g(x)d收x 敛则 a
f (x)d收x 敛； a
(2)当0<k ≤ +∞时,若
g(x)d发x 散则 a
f (x)d发x 散。 a
当0<k<+∞时,两无穷级数同时收敛或同时发散。
第十一章 广义积分与含参变量的积分
复习
精选
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义a：设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且对任意
A>a,
f(x)在[a,A]上可积。若
lim
A
A
a
f
(x)dx
存在，则称
无穷积分
f (x)dx
a
收敛，并定义
f (x)dx lim
A f (x)dx；
a
A a
否则称无穷积分发散。
上述无穷积分收敛。
精选
(5)无穷积分收敛的判别法
定理3(阿贝尔判别法): 设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义， 并考虑无穷积分
a f (x)g(x)dx.
若无穷积分
A
a
f
(x)dx
收敛，且函数g(x)在
[a,+
∞)
上单调有界，则无穷积分
a
f
(x)g(x)dx
收敛。
精选
2. 瑕积分
(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义，且f(x)在任意
A'
A'
A f (x)dx A | f (x) | dx.
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分第一，广义积分的概念和性质。
在数学分析中，我们通常通过定积分来求解曲线下面的面积。
然而，如果被积函数在有限区间上发散或无定义，就无法使用定积分。
这时，我们就需要用到广义积分。
广义积分可以看作是一些特殊函数的面积，其被积函数在有限区间上可能发散或无定义，但在无穷区间上是收敛的。
广义积分的概念可以统一定积分与不定积分的特点，并在此基础上建立一些重要的性质。
第二，广义积分的判定和应用。
对于广义积分的求解，我们需要先进行判定，即判断广义积分是否存在。
常用的判定方法有比较判定法、绝对收敛判定法、积分判别法等。
这些方法可以帮助我们准确地判断广义积分的存在性，并进一步应用于实际问题的求解。
广义积分在实际问题中的应用非常广泛，比如物理学、工程学等领域都需要用到广义积分的计算。
第三，含参变量积分的概念和性质。
含参变量积分是将被积函数中的参数视为独立变量进行积分。
含参变量积分可以看作是广义积分的一种特殊情况，其被积函数中的参数在一定范围内变化。
含参变量积分的性质与普通的定积分类似，可以满足线性性质、积分换序等性质。
同时，由于含参变量积分中的参数是变化的，所以可以应用于优化问题的求解，帮助我们找到最优解。
第四，含参变量积分的应用。
含参变量积分在实际中的应用非常广泛。
比如，在经济学中，我们可以用含参变量积分来求解收益函数或成本函数的最优解，从而确定最优生产方案。
在物理学中，我们可以用含参变量积分来求解一个变量随时间变化的过程，如物体的运动方程。
在金融学中，我们可以用含参变量积分来计算一些金融衍生品的价格，如期权的定价。
这些都是含参变量积分在实际问题中的应用。
综上所述，数学分析第十二章的广义积分与含参变量积分的概念、性质以及应用都非常重要。
通过对广义积分与含参变量积分的学习与理解，我们能够更好地理解数学中的积分概念，并应用于实际问题的求解。
数学分析第十二章提供了一种更加灵活且广泛的积分方法，对我们的数学思维与解决问题的能力都有很大的提升作用。
含参变量积分
目录摘要 (1)前言 (2)一、预备知识 (2)（一）、含参变量积分的定义 (2)（二）、含参变量反常积分的定义 (2)（三）、定理 (3)1、含参变量积分的相关定理 (3)2、含参变量反常积分的相关定理 (4)二、含参变量积分的应用 (5)（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 (5)1、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式 (5)2、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式 (6)（二）、证明等式 (7)（三）、证明不等式 (9)（四）、求极限 (10)（五）、求隐函数的导数 (12)三、含参量反常积分的性质 (13)（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 (13)1、局部一致收敛概念 (13)2、连续的等价条件 (13)3、几种收敛性的关系 (15)（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 (17)1、主要结果 (17)2、主要引理 (18)（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法 (21)1、利用反常积分的定义和变量替换求解 (21)2、通过建立微分方程求积分值 (21)3、引入收敛因子法求解 (22)4、级数解法 (23)5、利用其他的积分 (24)总结 (25)参考文献 (25)含参变量积分赵洁（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。
首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。
关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分Parameter IntegralZhao Jie(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter improper integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given.Keywords：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral前言含参变量积分是一类比较特殊的积分, 由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。
11-3_含参变量广义积分讲解
d
d
d
g( y)dy dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy 。
c
c
a
a
c
定理5： 设函数 f (x, y) , f y (x, y) 在区域
{(x, y) | a x , c y d} 上连续且积分
g( y) f (x, y) dx
0
2 1t2
及 ue 1t2 u2 dt eu2 I 0
分别对于t 及u是连续的, 积分互换后的逐次积分显然存在.
于是,(1)式中的积分顺序可以互换, 且有
I 2
dt
0
ue 1t2 u2 du
0
1 2
dt 0 1t2
.
4
I 0, I ex2 dx .
则含参变量无穷积分
f (x, y)g(x, y)dx
a
在 Y 上一致收敛。
对任意项级数（阿贝尔判别法）
若序列an 单调有界，而级数
则级数 anbn 收敛。 n1
bn
n1
收敛，
对函数项级数（Abel 判别法）
若函数项级数 an (x)bn (x) 满足： n1
（1）函数序列an (x) 对于固定的 x X 关于n单调，
都有
f x, y dx A
,
则称含参变量的无穷积分
a
f
x,
y dx
在
Y上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, ydx
a
在 Y上
点点收敛, 若存在常数 l 0 , 不论 N 多么大,
含参变量广义积分
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1
即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1
则它也在 X 收敛,但反之不成立。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，
则在 c , d 上定义了一个函数
a
g ( y) a来自f ( x, y)dx ,
c yd ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。
一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有
A
f x, y dx ,
则称含参变量的无穷积分 a f x, y dx 在 Y 上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, y dx
n 1 n 1
例1
0
e
x
sin x dx
含参量广义积分
含参量广义积分
广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间无限分割后的极限求和。
在实际应用中，有时需要对含有参数的函数进行积分，这就是含参量广义积分。
含参量广义积分的形式为：
$int_{a}^{+infty}f(x,t)dx$
其中，$t$为参数，$f(x,t)$为含有参数$t$的函数。
含参量广义积分的求解需要满足收敛性条件，即当$x$趋于无穷时，积分值能够收敛于一个有限的实数。
如果不满足收敛性条件，那么含参量广义积分的积分值就不存在。
对于一些特殊的函数，含参量广义积分可以通过换元、分部积分等方法进行求解。
例如，当$f(x,t)$为$e^{-tx^2}$时，积分的结果可以表示为$t$的函数形式。
含参量广义积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在统计物理中，可以通过对含参量广义积分的求解，得到粒子的分布函数。
在经济学中，含参量广义积分可以用来表示收益函数和成本函数。
总之，含参量广义积分是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
- 1 -。
数学分析课件第12章
根据α(y)β(y)的连续性可知，当y→y0时， 右端→0，从而 lim I 2 ( y ) = 0, lim I 3 ( y ) = 0 ,即证。 y→ y y→ y
0 0
定理5 定理5
设 f ( x, y ) 与 f y′( x, y ) 都在闭矩形：a≤x≤b， c≤y≤d上连续,又设α(y),β(y)在c≤y≤d 上有连续的导函数，且满足 a≤α(y)≤b,a≤β(y)≤b (c≤y≤d),则 函数I(y)在[c,d]上有连续的导函数，且
∀ε > 0 ,由f(x,y)在闭矩形上连续可得一致 连续，因此，必有δ>0存在，使当 ∆y < δ 时，对一切 x(a ≤ x ≤ b) 都有 ε f ( x, y0 + ∆y ) − f ( x, y0 ) < ∆y < δ b − a ,从而当
b
I ( y0 + ∆y ) − I ( y0 ) = ∫ [ f ( x, y0 + ∆y ) − f ( x, y0 )]dx
证明： 证明：
∀y0 ∈ [ c, d ] ,需证 lim I ( y ) = I ( y0 )
α ( y0 )
y → y0
I ( y) = ∫ =∫
β ( y0 ) α ( y0 )
α ( y)
f ( x, y )dx + ∫
β ( y) β ( y0 )
β ( y0 )
α ( y0 )
f ( x, y )dx + ∫
I ( y ) = I1 ( y ) + I 2 ( y ) − I 3 ( y ) ,则
′ ′ I ′( y ) = I1′( y ) + I 2 ( y ) − I 3 ( y )
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分别关于 y 及 x 在任意有穷区间 c , d 及 a , b 上
一致收敛, 并且两积分
a
f ( x, y) dx , c y , f ( x, y) dy , a x ,
及
c
a
dx
c
f x, y dy 及
dy
a
f x, y dx
中至少有一个存在, 则以下两积分 都存在 且相等,
a
dx
c
f x, y dy
dy
a
f x, y dx
亦即可交换积分次序. 定理6可推广到无穷瑕积分的情况如下:
定理6’： 设函数f ( x, y) 在区域 a, c, 上连续， 又设二个参变量积分
根据一致收敛的柯西收敛原理 sin x e ax dx在 0 a 上一致收敛. 0 x
sin x ax 1 ax e dx e sin xdx , x A A
其中 A A,
一致收敛积分具有如下性质：
定理4： 设函数 f ( x, y) 在区域 {( x, y) | a x , c y d} 连续，
A
x 0 不是瑕点.
证法1 0 sin xdx 1 cos A 2,
e ax 在 x 0时关于 x 递减, x 且当 x 时它关于 a 0 a 一致趋于0, e ax 1 0 a , x 0时,0 x x 所以由狄利克雷判别法知
a
f y ( x, y) dx 在c, d 上一致收敛，
g ( y)
a
则含参变量的无穷积分
f ( x, y) dx
在c, d 上可导且
d f ( x, y) dx f ( x, y) dx a y dy a
定理6： 设函数f ( x, y) 在区域 a, c, 上连续， 又设二个参变量积分
11－3 含参变量的广义积分 本节研究形如
a
b
f ( x, y) dx
a
f ( x, y) dx, ( b 为瑕点)
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性， 以及与之相关的特殊函数。 含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与 论证方法上极为相似，学习时应注意比较。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
且在集合 X 上一致有界；
（2）级数
b ( x)
n 1 n
n 1 n
在 X 上一致收敛；
n
则函数项级数
a ( x)b (x)
在 X 上一致收敛。
例 证明
0
sin x ax e dx 在 0 a 上一致收敛. x
sin x ax lim e 1, x 0 x
2 2
I e
0
du ue
0
u 2t 2
dt.
并且
(1)
2 1 t
2
0
ue
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1
即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1
则它也在 X 收敛,但反之不成立。
含参变量无穷积分一致收敛的判别方法：
c
c
dy
a
f x, y dx
中至少有一个存在, 则以下两积分 都存在 且相等,
a
dx
c
f x, y dy
dy
a
f x, y dx
亦即可交换积分次序.
例 求 I 0 e 解
x2
dx.
u 2t 2 u 2 du u e dt e du 0
内一致收敛。
定理2（ 狄利克雷判别法）
若函数 f ( x, y) , g ( x, y) 满足： （） 1 y Y ,当x充分大后函数 g ( x, y) 关于 x 单调且
g ( x, y) 0 ,
A a
y Y , x ,
（2） A a, 积分 f ( x, y)dx 存在且对 y Y 一致有界,
A
f x, y A dx l ,
则无穷积分在 Y 上不一致收敛.
序列的一致收敛 定义： 若函数序列 fn ( x) 在集合 X 上收敛于极限函数 f ( x)。
且 0, 存在与 x X 无关的序号 N=N( )，满足
只要 n N，就有
fn ( x) f ( x) ， x X ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。
n
的任意部分和序列有界， 即存在常数 M>0 使
b
k=1
n
k
M,
n 1, 则级数
a b
n 1
n n
收敛。
对函数项级数（Dirichlet 判别法）
若函数项级数
a ( x)b ( x)
n 1 n n
满足：
(1)序列 an ( x) 对于固定的 x X 关于 n 单调 且 an ( x) 0 ,
一致收敛的柯西收敛准则:
含参变量的无穷积分
a
f ( x, y)dx 在区间 Y 上一致收敛的
充要条件是： 0 , 存在与 y 无关的常数 N , 使得
A N , A N , y Y , 都有
定理1：设当 y Y 时,A a, f x, y 在 a, A 上可积,
dx f ( x, y)dy 。
a c
定理5： 设函数 f ( x, y) , f y ( x, y) 在区域
{( x, y) | a x , c y d} 上连续且积分
g ( y)
又积分
a
f ( x, y) dx
在c, d 上点点收敛，
只要 A N , 则有
A
f ( x, y0 )dx
f ( x, y )dx g ( y )
0 0 a
A
。
定义 设无穷级数 g y a f x, y dx 对于区间 Y 中的
一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有
n 1 n 1
例1
0
e
x
sin x dx
在
[0 ,) (0 0)
内一致收敛. 解:
|e
x
sin x | e
0 x
x 0 , 0 ,
收敛，
而积分
x 0
0
e
dx
e
0
x
sin x dx
在 [0 ,) (0 0)
0
sin x ax e dx 在 0 a 上一致收敛. x
证法2
由积分中值定理: 当 A A 0 时,
A
ax
A
a sin x cos x ax e , e sin x 的原函数是 F x 2 1 1 2 1 显然,当 a 0, x 0 时, F x 2 2 2 2, 1 1 1 故当 A A 0, 0 时, A sin x 4 1 ax , e dx F F A A x A A
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，
则在 c , d 上定义了一个函数
a
g ( y)
a
f ( x, y)dx ,
c yd ,
称其为含参变量的无穷积分。
若 y0 c , d , 则 g( y0 ) 收敛， 即 0 , N N ( , y0 )
在 I 0 e dx 中令 x ut , 其中 u 为任意正数,
x2
I u e
0
2
u t
2 2
dt. Ie
u 2
u 2
等式两边对 u 从0 到 积分,得
0
是非负的连续函数, ue 1t u 1 及 ue du
1 t 2 u 2
则称函数序列 fn ( x) 在集合 X 上一致收敛于极限函数 f ( x)。
记为 fn ( x) f ( x) , x X , n 。
函数项级数的一致收敛 定义： 设 un ( x) 为集合 X 上函数项级数，令 sn ( x) uk ( x) ,
若函数序列sn ( x) 在集合 X 上一致收敛,
n 1
x X ,
n,
（2）级数 bn ( x) 的任意部分和序列在 X 上一致有界，即