含参变量积分连续性
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。
这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。
其次，含参量积分具有可微性。
设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。
这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。
此外，含参量积分还具有积分区间可微性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。
这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。
1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。
例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。
2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。
例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。
3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。
例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。
4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。
含参变量的积分例题详解
含参变量的积分例题详解一、引言在数学中，含参变量的积分是一个重要的概念，它涉及到函数的整体性质。
理解并掌握含参变量的积分对于解决各种实际问题具有深远的意义。
下面，我们将通过一个具体的例题来详解含参变量的积分。
二、例题详解假设我们要求解这样一个积分：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx。
这是一个典型的含参变量的积分问题，其中参数为x，被积函数含有x^2。
我们需要根据这个问题的特点，灵活运用积分的各种方法，包括换元法、分部积分法等，来解决它。
首先，我们考虑换元法。
将x换元为t，令t=a-x，则原积分可以改写为：∫(上限a，下限0)e^(a-x)*x^2dx。
注意到e^(a-x)是一个常数，因此我们可以将积分区间变为[0,a]，这样原积分就变成了一个简单的定积分。
接下来，我们使用分部积分法对被积函数进行化简。
被积函数中的x^2可以分解为x的导数乘以x，即x*(x-1)。
因此，原积分的被积函数可以表示为e^(a-x)*(x-1)*x。
对这部分进行积分，我们可以得到∫(上限a，下限0)e^(a-x)*(x-1)*xdx=e^(a-x)*(x^2-x)|(上限a，下限0)=a^3/3-a^2/2。
最后，我们将两部分相加得到最终结果：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx=a^3/3-a^2/2+C，其中C为常数。
三、总结通过这个例题，我们可以看到含参变量的积分需要我们灵活运用各种积分方法，包括换元法和分部积分法等。
同时，我们需要对被积函数进行适当的化简，以便更好地理解和求解含参变量的积分。
需要注意的是，当参数或者被积函数含有复杂的形式时，我们需要更深入地理解和分析问题，才能找到合适的解决方法。
总的来说，含参变量的积分是数学中的一个重要概念，它涉及到函数的整体性质和变化规律。
通过理解和掌握含参变量的积分，我们可以更好地解决各种实际问题，为我们的学习和工作提供有力的支持。
13-高等数学第十三讲 含参量的积分
387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
数学分析 含参变量的积分
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
关于参数的可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 的偏导数 fy (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y ) 关于 y 可导, 且
I (y) =
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
证明. fy (x, y ) 关于 x 在 [a, b] 中的积分记为 ψ(y ). 根据上述引理, ψ(y ) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 交换积分次序可得
的函数, 考虑积分 F (y) =
b(y ) a(y )
f
(x
,
y
)
dx
.
若 f (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y ), b(y) ≤ b, 则 F (y ) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
积分上下限中的参数
x ∈[a,b]
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
(整理)第16章含参量积分.(可编辑修改word版)
1 - k2 sin 2 t ⎰ b第十六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常 义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。
但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力 / 2学中常遇到的椭圆积分： 01 - k2 sin 2 tdt ，从形式可以看出，积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的 参量。
显然，若将k 视为一个变元，记 f (t , k ) = 为一 个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。
因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。
§1 含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。
设 f (x , y ) 在 D = [a , b ] ⨯[c , d ]，此时 f (x , y 0 ) 是为关于 x 的一元连续函数，因而可积。
考虑其积分 ⎰a f (x , y 0 )dx ，显然其与 y 0 有关，b记为 I ( y 0 ) = ⎰a f (x , y 0 )dx ，更一般，引入bI ( y ) = ⎰a f (x , y )dx ，称其为含参变量 y 的积分。
注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函0 0数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。
更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。
为此，先研究含参量积分的分析性质。
Chapter19 含参量积分
其结论也可写为 : lim I ( x) I ( x0 ), 即求极限与求积分可换 序
x x0
d f ( x, y )dy d lim f ( x, y )dy , x [a, b]. lim c c x x 0 x x
0 0
同理, 若二元函数 f ( x, y )在矩形 R [a, b] [c, d ]上连续 , 则函数 b f ( x, y )dx J ( y ) a 在[c, d ]上连续 .
x1 x2 , y1 y2 , f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) .
就有
d f ( x x, y ) f ( x, y ) dy (d c). 当 x 时， I ( x x) I ( x) c 证毕.
特别地， c和d为常数时，得到定理 19.3.
练习2：求F ( y )
解： F ( y )
sin y y2 y xy )dx 2 y
y2
y 2 sin( xy ) dx的导数. y x 3
sin y 2 2y y
sin xy sin y 3 sin y 2 3 sin y 3 2 sin y 2 2 2y . y y y y y
一般地 , 设f ( x, y )是定义在 G {( x, y ) | c( x) y d ( x), a x b} 上的二元函数 , 其中 c( x), d ( x)为定义在 [a, b]上的连续函数 , 若对 于固定的 x [a, b], f ( x, y )作为 y的一元函数在 [c, d ]上可积 , 则其 积分值是在 [a, b]上取值的 x的函数 , 记为 F ( x), 就有 d ( x) f ( x, y )dy, x [a, b]. F ( x) c ( x) (2)
微积分课程含参定积分
0
0 1 cos x
后者是三角有理式，利用换元 t tan x 可以变为以 t 为自变量的有理函数的积分。当 0 时， 2
F( ) 2 arctan t t
t0
2
1 2 arctan
t
1 1 t t0
π
yk
yk
因此 G 可微，且是 C1 的。对 G((y), ( y), y) 用链索法则，得到
( y)
f (x, y)dx
( y) f
(x, y)dx f ( ( y), y) ( y) f (( y), y) ( y) 。■
yk ( y)
(2)
f yk
(x,
y)
关于
y
在
y0
U
处连续，且这连续性对积分变量
x [a,b]
一致。
则 F(y)
b a
f
(x,
y)dx
关于
yk
在
y0
U
处可导，且
yk
b
f (x, y)dx
a y y0
b a
f yk
(x,
y0 )dx
。
证明：对任意 0 ，当 t ( ) 时，对任意 x [a,b] 及任意 0 s 1 ， y0 stek y0 st t ，
存 在 仅 由 决 定 的 正 数 ( ) 使 得 当 y U 满 足 y y0 ( ) 时 ， 对 任 意 x [a,b] 都 有
f ( x, y) f ( x, 0y ) 。
则 F(y)
b a
f
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求F(x)．
四、计 I 2 算 ln 1a 积 co x分 sdx： (a1 ).
0 1aco xsy co xs
练习题答案
一1． 、 ; 4
2． 8. 3
二 1 ． 2 l 、 1 n x 2 ) (;2 ． 2 x x 5 e e x 3 x 2 y 2 e x 2 d y . y
上式在 [0,1]上对 积分,得到
(1)(0) 01ln11(2 )d
1ln2
2
1 d 0 12
4
011d2,
即 I I l2 n l2 n I l2 n . 2442 42
从而
I ln2.
8
四、小结
1、含参变量的积分所确定的函数的定义 ； 2、含参变量的积分所确定的函数的连续性； 3、含参变量的积分所确定的函数的微分； 4、莱布尼茨公式及其应用.
x (xx)
(8)
当 x 0时，上式右端的第一个积分的积分限
不变，则
(x )f( x x ,y ) f( x ,y ) (x ) f( x ,y )
(x )
x
d y (x ) xd . y
对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得
1
(xx)
f(xx,y)dy
x (x)
1[(xx)(x)]f(xx,),
把被积函数分解为部分分式,得到
x 1[x ]. ( 1 x )1 (x 2 )1 21 x1 x 2 1 x 2
于是
()1[1 d x 1xd 1x d]x 1 20 1 x0 1 x 2 0 1 x 2
1 1 2[ ln 1 () 1 2 l2 n 4 ],
当 x 0时，（4）式右端的前两个积分都趋于 零. 于是，当 x 0时，
( x x ) ( x ) 0 ( a x b ),
所以函数 (x)在 [a,b]上连续.
定理得证
二、含参变量的函数的微分
下面考虑由积分(*)确定的函数 ( x) 的微分问题.
定理4 如果函数 f(x,y)及其偏导数 f ( x, y) 都在
(x x)
(x)
xx
f(xx, y)dy
(xx)
(x)
(x)
f(xx,y)dy f(xx,y)dy
(xx)
(x)
(xx)
f(xx, y)dy,
(x)
(x)
(xx)(x)
f(xx, y)dy
(xx)
(xx)
f(xx, y)dy
(x)
(x)
[f(xx, y) f(x, y)]dy. (4) (x)
于是由（1）式有
(x x)(x)
f(x x,y)f(x,y)d y().
所以(x)在 [a,b]上连续.
定理得证
注 既然函数(x) 在[a,b]上连续,那么它在 [a,b]上
的积分存在,这个积分可以写为
ab(x)dxab[ f(x,y)dy]dx
b
adx f(x,y)dy.
右端积分式函数 f(x,y)先对 y后对 x的二次积分.
(x)d (x)f(x,y)d y(x)f(x,y)dy
dx (x)
(x) x
f[x,(x)](x)f[x,(x)](x). (7)
证 由(4)式有
(xx)(x) (x) f(xx, y) f(x, y)
x
(x)
dy x
1
(xx)
f(xx, y)dy
x (x)
1 (x) f(xx, y)dy.
练习题
一、求下列含积 参分 变所 量确 的定的限 函： 数的极
1．lxim 0 x1x1xd2yy2;
2．lim2 y2cosx(y)dy. x0 0
二、求下列： 函数的导数
1．(x) xln1 ( x)yd;y 2．(x) x2ex2yd.y
0y
x
三、 F(设 x) x(xy)f(y)d， y 其f(中 x)为可微函 0
上连续，又函数(x)与(x)在区间 [a,b]上连续，
并且 ( x ) , ( x ) ( a x b ),
则由积分（3）确定的函数 (x)在 [a,b]上也连续.
证 设 x和 xx是[a,b]上的两点，则
(x x) (x)
(x x)
(x)
f(x x,y)d y f(x,y)d.y
因此，令 x 0，取(8)式的极限便得公式(7).
公式(7)称为莱布尼茨公式.
例1
设
x2
(x)x
sinxydy, 求 y
(x).
解 应用莱布尼茨公式，得
(x )x 2 cx oy s sd x i2n y 2 x sx i2n ix n3sixx n2
跟着改变. 这个积分确定一个定义在[a,b]上的 x的函
数, 我们把它记作(x), 即
x f x ,y d( a y x b ).( )
这里变量 x在积分过程中是一个常量，通常称它为
参变量.
定理1 如果函数 f(x,y)在矩形
R ( a x b , b )
上连续，那么由积分
x
为了求(x)，先利用公式(1)作出增量之比
( x x x ) ( x ) f( x x , y x ) f( x ,y ) d . y
由拉格朗日中值定理，以及 f 的一致连续性，我们有
x
f(xx,y)f(x,y)f(xx,y)
x
x
f(x,y)(x,y,x), (6)
x
其中 01， 可小于任意给定的正数 ，只要
x
其中在(x)与(xx)之间. 当 x 0时,
1[(xx)(x)](x),
x
f(xx,)f[x,(x)],
于是 1 x ( ( x x ) x )f(x x ,y ) d y f[ x ,(x )] (x )
类似地可证,当 x 0时,
1 x ( ( x x ) x )f(x x ,y ) d y f[x ,(x )] (x ).
I bdy1xydy
a
0
b a
yxy1110dy
b
1 dylnb1.
a y1
a1
例3
计算定积分
1ln1(x)
I0 1x2 dx.
解 考虑含参变量的积分所确定的函数
()01ln 11 (x2x)d.x
显然， (0 ) 0 ,(1 ) I .根据公式(5)得
()01(1x)x1 (x2)d.x
当 x 0时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又
(x) f(xx,y)dy M (xx)(x),
(xx)
(x) f(xx,y)dy M (xx)(x).
(xx)
其中 M是 f(x, y)在矩形 R上的最大值. 根据(x) 与 (x)在 [a,b]上连续的假定，由以上两式可见，
x 小于某个正数 . 因此
( x ,y , x ) d y d y ( )( x ),
这就是说
l x i0m (x,y, x)d y0.
综上所述有
( x x ) x ( x ) f ( x x ,y ) d y ( x ,y , x ) d ,
令x 0取上式的极限，即得公式（5）.
三、莱布尼茨公式
定理5 如果函数 f(x,y)及其偏导数 f ( x, y)都在
x
矩形上 R ( a x b , y ) 连续，又函数 (x)
与(x)在区间 [a,b]上可微，并且 ( x ) , ( x ) ( a x b ),
则由积分(3)确定的函数 (x)在 [a,b]上可微，并且
定理2 如果函数 f(x,y)在矩形
R ( a x b , y )
上连续,则
b
b
a [ f ( x , y ) d ] d y [ x a f ( x , y ) d ] d .x y ( 2 )
公式（2）也可写成
a b d f ( x x , y ) d d y a b f ( x y , y ) d . x ( 2 )
(x ) f(x ,y ) d(a y x b )
确定的函数 (x)在 [a,b]上也连续.
证 设 x和 xx是[a,b]上的两点，则
(x x)(x)
[f(x x,y)f(x,y)d ].y(1 )
由于 f(x,y)在闭区域 R上连续，从而一致连续.
因此对于任意取定的 0,存在0,使得对于 R内
3sinx32sinx2. x
例2 求 I0 1xb l n x xadx(0ab).
解 abxyd y[lxn yy]b axb l nxxa,
1b
I dxxyd.y 0a
这里函数 f(x,y)xy在矩形
R ( 0 x 1 , 0 a y b )
上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有
一、含参变量积分的连续性
设函数 f(x,y)是在矩形R ( a x b , b )
上的连续函数. 在[a,b]上任意确定x的一个值, 于是
f(x,y)是变量 y在[,]上的一个一元连续函数,
从而积分
f(x,
y)dy存在,
这个积分的值依赖于取
定的 x值. 当 x的值改变时,一般来说这个积分的值也
我们在实际中还会遇到对于参变量 x的不同的值， 积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 x的函
数.这样,积分
x x x fx ,y dy3
也是参变量 x的函数.下面我们考虑这种更为广泛地
依赖于参变量的积分的某些性质.
定理3 如果函数 f(x,y)在矩形 R ( a x b , y )
x
矩形 R ( a x b , y ) 上连续,那么由积分(1)
确定的函数( x) 在 [a, b]上可微分,并且