§1含参量正常积分
第十九章含参量积分
∫ [∫
0
1
b a
b 1 b +∞ 1 1 sin(ln )x y dy ]dx = ∫ dy ∫ sin(ln )x y dx = ∫ dy ∫ e − ( y +1)t sin tdt (令 x = e − t ) 0 a a 0 x x
=∫
1 dy = arctan(1 + b) − arctan(1 + a) . a 1 + (1 + y 2 )
解: 据定理 19.4 知:
Fx ( x, y ) = ∫ x f ( z )dz + y ( x − xy 2 ) f ( xy ) −
y
xy
1 x x f ( )( x − y ) y y y
= ∫ x f ( z )dz + xy (1 − y 2 ) f ( xy )
y
xy
Fxy ( x, y ) = xf ( xy ) +
b
(2) I =
∫
1 b 1 b 1 [cos(ln ) ∫ x y dy ]dx = ∫ dx ∫ x y cos(ln )dy a 0 0 x a x 1
1 ⎧ y ⎪ x cos(ln ) 0 < x ≤ 1 令 f ( x, y ) = ⎨ , 则 f ( x, y ) 在 [0,1] × [a, b] 上连续,据定理 19.5 有 x ⎪ x=0 ⎩0
1 0
+∫
1 0
⎤ 1 dy ) ⎥ 2 x +y ⎦
2
=∫
1 0
1 π dx = . x +1 4
2
类似的,
∫
1 0
dy ∫
x2 − y2 π dx = − 0 ( x 2 + y 2 )2 4
第十九章含参量积分
0 a +t
2
2
∫ 从而当 a 2 + b2 ≠ 0 时，
π
2 ln(a2 sin2
x
+ b2
cos2
x)dx
=
π
ln
a
+
b
.
0
2
∫ (2) 令 I (a) = π ln(1− 2a cos x + a2)dx 0
(Ι) 当 a < 1 时, 1 − 2a cos x + a 2 ≥ 1 − 2 a + a 2 > 0 ,因而, ln(1 − 2a cos x + a 2 )
∫ ∫ I / (b) =
π 2 0
2 b cos2 x
a2
sin
2
x
+
b2
cos2
dx x
=
2 b
π 2
1
dx = π ,
0 1+ ( a tan x)2
a+b
b
∫ 由于 I (0) =
π
2 ln(a2 sin2
x)dx
=π
ln
a
，因此
0
2
∫ I (b) = b π dt + π ln a = π ln a + b
1
∫ Ⅰ) 当 y > 1时, F ( y) = (−1)dx = −1 0
当 y < 0 时, F ( y) = 1 .
∫ ∫ ∫ 1
y
1
Ⅱ) 当 0 ≤ y ≤ 1时, F ( y) = f (x, y)dx = f (x, y)dy + f (x, y)dy = 1− 2 y .
§1含参量正常积分
(4)
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d
| I( x x) I( x) | c | f ( x x, y) f ( x, y) | dy
d
c dx (d c).
即 I (x) 在[a, b]上连续. 同理可证: 若 f ( x, y)在矩形区域 R上连续,则含参
量 y的积分
b
J ( y) a f ( x, y)dx
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续,
即对任意 0 , 总存在 0 , 对R内任意两点
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
| x1 x2 | , | y1 y2 | ,
就有
| f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) | . 所以由(3), (4)可得, 当 | x | 时,
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
x
d c
f x ( x,
y)dy
d c
f
( x x, y) x
f
( x,
y)
f x ( x,
y)
dy
(d c) .
这就证明了对一切 x [a, b] , 有
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d I( x)
dx
d
c fx ( x, y)dy .
定理19.4 ( F ( x)的可微性) 设 f ( x, y), fx ( x, y)在
第十九章 含参量积分
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
作业 P.178. 习题 2, 9(选做)
补充作业
1. 设 f 是可微函数, 命 F ( u )
计算F"(u). 2. 求函数 f ( x )
u 0
( x u ) f ( x )d x ,
b x ax
sin xt t
(4)
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§2 含参量反常积分
定理19.7(一致收敛的柯西准则) 含参量反常积
分(1)在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 对任
给的 0, 总存在实数 M c, 使得当A1, A2 M 时, 对一切x[a, b], 都有
A2 A1
f ( x , y )d y .
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
级数与多元微积分
Series and Calculous in Several Variables
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分
x1 x 2 , y1 y 2 ,
就有
f
x1 ,
y1 f
x2 ,
y2 .
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.3(可微性) 若函数 f (x, y)与 fx(x, y)都在矩形区 域R[a, b][c, d]上连续, 则
上. 若对任意x[a, b], 作为y的函数 f (x, y)在 [c(x), d(x)]上可积, 则称积分
第十九章 含参量正常积分
第十九章 含参量正常积分§19.1 含参量正常积分教学要求：(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．(3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上有定义，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的函数⎰=dcdy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1）设二元函数),(y x f 在区域}),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义，函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2）称()(,)dc I x f x y dy =⎰和()()()(,)d x c x F x f x y dy =⎰为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。
类似可定义含参量y 的正常积分．含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。
即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 .二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1. 连续性:定理19.1(连续性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=dc dy y x f x I ),()(在],[b a 上连续．分析 设],[b a x ∈，对充分小的x ∆，有],[b a x x ∈∆+（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ），要证)(x I 在],[b a 上连续, 只须证)(x I 在任意],[b a x ∈上连续, 只须证0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时, ε<-∆+|)()(|x I x x I , 即 0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时,≤-∆+⎰|)],(),([|dc dy y x f y x x f ε<-∆+⎰dcdy y x f y x x f |),(),(|.要使上式成立， 只须 )(|),(),(|c d y x f y x x f -<-∆+ε. 由),(y x f 在R 上连续， 从而一致连续可得结果. 证明思路：连续的定义+一致连续。
（完整版）含参量积分的分析性质及其应用
（完整版）含参量积分的分析性质及其应用含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数()x ?=?dcdy y x f ),(在[a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分?=10),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,x01)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,1,x>y则??-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1, y<0当y>1时, f(x,y)=-1,则?-=-=101)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0-1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(+∞-∞上连续.例2 求下列极限：（1）dx a x ?-→+11220limα; (2)?→220cos lim xdx x αα.解（1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ?-+1122在[-1,1]上连续.则--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα.（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-=R 上连续,由连续性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==??→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ?+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数22)(yx x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因dx yx x yf dx y x x yf y F ??+-=+-=-1022122)()()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(1022122=+-≥+=??,从而04)(lim 0>≥+→πm y F y ,但F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?) ()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.例4 求?+→++αααα12201limx dx. 解记?+++αααα1221)(x dx I .由于2211,1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以41)0()(lim 1020παα=+==?→x dx I I .例5 证明函数dx e y F y x ?-∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.证明对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得∞+-∞+-----∞+--+=+===0)(2)(22222yyt t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π.对于含多量正常积分?--02yt dt e ,由连续性定理可得?--02yt dt e 在),(+∞-∞上连续,则dx e y F y x ?+∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数xf ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ?=dy y x f d c),(在[a,b]上可微,且dy y x f xdy y x f dx d d c dc ),(),(=.定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =?)() (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=?定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则-+==)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=?.现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得=)()(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .由于0)(02=y F ,所以dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o-=-=--=→→→)()(0020220;'2000),(lim )(lim )()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20y f y y y b y b y F y y ξ?--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间. 再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.同样可以证明]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =于是定理得证.例6 设,sin )(2dx xyxy F y y ?=求)('y F .解应用定理5有 y y yy y yxdx y F y y223'sin 1sin 2cos )(2-?+=?yy y y yyxy y23sin sin 2sin 2-+=yy y 23sin 2sin 3-=.例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数dt t f t x n x n x )()()!1(1)(10-?--=? （1）的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =?解由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得----+---=x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!1(1)())(1()!1(1)(? ?---=x n dt t f t x n 02.)()()!2(1同理----+---=x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(? ?---=x n dt t f t x n 03.)()()!3(1如此继续下去,求得k 阶导数为-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(?特别当1-=n k 时有=-xn dt t f x 0)1(,)()(?于是).()()(x f x n =?例8 计算积分.1)1ln(12dx xx I ?++=.解考虑含参量积分.1)1ln()(102dx xx ?++=αα? 显然,)1(,0)0(I ==??且函数21)1ln(xx ++α在R=[0,1]?[0,1]上满足定理3的条件, 于是++=102'.)1)(1()(dx x x xαα?.因为),11(11)1)(1(222x xx x x x ααααα+-+++=++ 所以)('α?)111(11101010222+-++++=dx x dx xx dx x αααα ])1ln()1ln(21arctan [1110102102x x x ααα+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα+-+?+=因此10')(αα?d ?+-++=102)]1ln(2ln 214[11αααπαd )1(arctan 2ln 21)1ln(810102?ααπ-++= )1(2ln 82ln 8?ππ-+=)1(2ln 4π-=.另一方面=-=10'),1()0()1()(αα?d 所以.2ln 8)1(π==I1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ?和()x ψ分别在[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ?=()?d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()?ba y x f ,dy.这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：()dx dy y x f ba d c,与()dy dx y x f dcb a ?,,简便记为()dyy x f dx b adc,与()dx y x f dy dcba,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()dy y x f dx bad c,=()dx y x f dy d cba,.定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f ba,在[]d c ,上连续,且()()dy y x f dx x g d ccba,=()()dx x g y x f dy d cba,.注意推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I=dx xx x ab ?-1ln （b>a>0）. 解由xx x dy x ab bayln -=得I=dx dy x b a y10=??10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可得I=dx x dy b ay ??1=dy y ba ?+11=ln ab ++11. 例10 试求累次积分()dy yxy x dx ??+-1012222与()+-10122222dx yxy x dy ,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：()dy y xy x dx ??+-101022222=()dx dy y x y x++101022222=()()dx y x y x d y y x dy++-+1010102222222=dx y x yd y x dy ??+++10101022221=dx x ?+10211=0arctan 1arctan -=4π. () +-1122222dx y xy x dy =()dx x y x y dy ??+--10122222,由()dy y xy x dx ?+-1122222=4π,同理可得()dx x yx y dy ??+-10122222=4π,所以()??+-10102222 2dx y x y x dy =–4 π.即()dy yxy x dx+-10122222≠()+-10122222dx yxy x dy ,这与定理不符.因为()()()222220,0,limyxy x y x +-→=()()()2222220,0,2limy xy y x y x +-+→=()()()+-+→2222220,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()22222,yxy x y x f +-=在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0?上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x xb ln 1ln sin 10-?()0>>a b . 解令()xx x x x g ab ln 1ln sin -??? ??=,x x x dy x a b b a yln -=?.因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续. 所以dx x xx x a b ln 1ln sin 10-??? ???=()?10x g =dx dy x x b a y ????101ln sin . 令()y x f ,= yx x ??1lnsin , 10≤<="" 0="x" p="">则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可知dx dy x x b ay101ln sin =dx x x dy yba101ln sin =()?+∞aty tdte dy 01sin =()()()a b dy y ba +-+=++?1arctan 1arctan 1112.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设),(y x f 在?I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分)(x φ=?+∞c dyy x f ),(在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.推论 ),(y x f 在?I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上內闭一致收敛,则Φ（x ）在I 上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x ox ),(lim ),(),(lim 0+∞→+∞+∞→==例12 证明⑴dy x e xy+∞-0⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.证明⑴? x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有bexeayxy--≤≤0,而dybe xy ?+∞-0收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy+∞-0在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x ）=dy x e xy ?+∞-0= 0,0=x ，1,0b x ≤≤.在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知dy x e xy+∞-0在0≤ x ≤ b 上不一致连续.例13 回答对极限dy xy xy e x ?+∞→-+220lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？解110lim ][0lim lim22222lim ==--=-=-++++→+∞→∞+→∞+→x x x x xy xyexyee dxy dy xyo . 而0002lim 2==-?∞+∞+→+dy dy xyxyex 运算顺序不能交换,是因为dy xyxye∞22在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分?+∞adxu x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=?+∞adx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]上连续.证明由于+∞adx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使得不等式︱?+∞A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在[βα,]上连续,?+∞A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,︱?A dx u x f a),(-?A dx u x f a),(0︱<3ε.于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()()0u ?︱=︱+∞adxu x f ),(-? +∞adxu x f ),(0︱≤︱A dxu x f a ),(-A dxu x f a ),(0︱+︱+∞Adx u x f 0 ),(︱+︱?+∞Adx u x f 0),(0︱<3ε+3ε+3ε=ε.这就证明了?在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以?在[βα,]上连续.这个定理也可以写成：+∞→+∞+∞→=a u aau dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(00lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数=)(α?dx x x x)2(arctan 3+?+∞α的连续性区间.解先看函数)(α?的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 13121~)2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx xx x)2(arctan 3+?+∞α当x +∞→时,dx x x x )2(arctan 3+α～x312+απ,所以积分dx xx x)2(arctan 31+?+∞α当α>-2时收敛.由此得知)(α?的定义域是（-2,2）.我们只需证明?在任意[a,b]?（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤xb c 1-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx xx x a )2(arctan 31+?在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设-2xxa a dx x3331212)2(arctan ++≤≤+ππα.而a+3>1,故有比较判别法,积分dx xx x)2(arctan 31+∞+α在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx x x x)2(arctan 3+?+∞α[a,b]?（-2,2）上一致收敛,故?在（-2,2）上连续.注意与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证?连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是?连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ?[,c )∞+上连续.若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f cx ),(?+∞在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('?+∞=Φ.例15 求积分dx x xye x2cos -?+∞-. 解记J(y)= dx xxy e x 20cos -?+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx xxye xsin 0+∞-=y arctan ,而0)0(=J ,所以dx xxy20cos 1-?+∞-=)(y J =?y dt t J 0)(', )1ln(21arctan arctan 20y y y tdt I y +-==?.例16 对dy e x x F y x 23)(-+∞=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理验证函数dy e x x F y x 23)(-+∞=是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,解由于??+∞--+∞-=??0420322)23()(dy e y x x dy e x xy x yx = 0,0=x .因而dy e x xyx )(203-+∞?在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 23)(-+∞==x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而+∞--+∞-=??0420322)23()(dy e y x x dy e x x yx y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11（积分号下求导定理）设),(y x f 与),(y x f x 在?I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f cx ),(?+∞在I 上内闭一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('?+∞=Φ.证明设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记dy y x f x u nn c c n ?-=1),()(,n=1,2···,且有)(x I =)(1x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上可微,且dy y x f x u nn c c n ?-=1),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f cx ),(?+∞在[]b a ,上一致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c),(?+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项级数)('1x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数==?∑∑-∞=∞=dy y x f x u nn c c x n n n 1),()('11dy y x f cx ),(?+∞也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且==∑∞=)(')('1x u x I n n dy y x f cx ),(?+∞.上述定理的结果也可记成dy y x f x dy y x f dx d c c),(),(??+∞+∞=. 定理12 如果函数f 和u f ??都在[)[]βα,,?+∞a 上连续,积分dxuu x f a ?+∞),(在[]βα,上一致收敛,那么?+∞=adx u x f u ),()(?在[]βα,上可微,而且βα?≤≤??=?+∞u dx uu x f u a,),()('. 证明对于任意正整数a n >,令?=n an dx u x f x ),()(?.又因为若函数f 及其偏导数uf都在闭矩形[][]βα,,?=b a I 上连续,那么函数?=b a dx u x f x ),()(?在[]βα,上可微,而且dx u x f ux du d ba)),(()(=?.所以n ?在[]βα,上有连续的导函数dx uu x f u nan ?=),()('?. 由于.),(dx uu x f a+∞在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ?在[]βα,上一致收敛,且因{}n ?在[]βα,上收敛于?,故?在[]βα,上连续可微,且βα?≤≤??=?+∞u dx uu x f u a,),()(' 成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx xe e bxax ,0222∞+---﹥0,b ﹥0.解把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ?+∞--=02)('.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2x e e δ-≤-由于.02dx e x ?+∞-δ收敛,故由Weierstrass 判别法知道,积分.02dx e ax ?+∞-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于δ﹥0是任意的,故.)('02a I ax ?+∞--=在()+∞,0中成立.计算得aa I 2)('π-=, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性定理13设),(y x f 在[a,b][c, )∞+上连续,若dy y x f x c+∞=Φ),()(在[a,b]上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且dy y x f dx cb a+∞),(=dx y x f dy bac+∞),(.定理14 设),(y x f 在[a,b]?[c, )∞+上连续,若（1）?+∞adx y x f ),(关于y在[c, )∞+上内闭一致收敛,?+∞cdy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）积分??+∞+∞dy y x f dx ),(与??+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛.则+∞+∞acdy y x f dx ),(=dx y x f dy ac+∞+∞),(.例18 等式dy e baxy-=xee bxax---出发,计算积分dx xe e bx ax ?∞+---0（b>a>0）.解因为xy e -在[0,)∞+?[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<="" e=""p="" xy="">dx e ax ?+∞-0=-∞+-01ax e a=a1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ?+∞-0在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=I y ?+∞-0dx e xy 在[ a,b]上可积.且dy e dx b axy ??-+∞=dx x e e bx ax ?∞+---0=dx e dy xyb a ??+∞-0=?+∞--b a xy dy e y 01=?bady y 1=ab ln . 例19 对dx e xy y dy xy ??+∞--03103)22(能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x 2y ,则dx exy y dy xy ?+∞--03103)22(=[]dy ue yu∞+-?0102=10dy =0而[]x xu ux xy xy e ue xdu e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-= -02102131)1(1)1(1)22(22.则dy e xy y dx xy ??-+∞-1303)22(=dx e x ?+∞-0=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy +∞--033)22(在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.。
数学《含参量积分》讲义
第十九章 含参量积分§1 含参量正常积分设:[,][,]f a b c d R ⨯→连续, 形如(,)dc f x y dy ⎰的积分, 称为含参量(x 的)正常积分. 若[,]x a b ∀∈,(,)dcf x y dy ⎰存在 (固定x 时, (,)f x y 关于y 可积), 则由()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰([,]x a b ∈)定义了[,]a b 上的函数ϕ. 1) ϕ的连续性由于[,]a b 是闭区间,考察连续性就是考察一致连续性, 即需证 12 0,0,||:x x εδδ∀>∃>-<121212|()()||(,)(,)||(,)(,)|dddcccx x f x y dy f x y dy f x y f x y dy ϕϕε-=-≤-<⎰⎰⎰,只需1212[,],||: |(,)(,)|y c d x x f x y f x y d cεδ∀∈-<-<-,而f 在[,][,]a b c d ⨯上连续,则其在[,][,]a b c d ⨯上也一致连续. 因而121212120,0,,[,],,[,], ||,||:x x a b y y c d x x y y εδδδ∀>∃>∀∈∀∈-<-<1122|(,)(,)|f x y f x y d cε-<-特别地, 121212[,],,[,],|-|<: |(,)(,)|y c d x x a b x x f x y f x y d cεδ∀∈∈-<-.故有下面的结论.定理1 若f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰在[,]a b 上连续, 即()lim (,)lim ()()(,)lim (,)d d dccc x xx xx xx f x y dy x x f x y dy f x y dy ϕϕϕ→→→=====⎰⎰⎰.2) ϕ的可导性 设[,],[,]x a b x h a b ∈+∈, 则()()(,)(,)(,), 01(,) (: )dc dx h h cdx x cx h x f x h y f x y dyhhf x h y dy f x y dy f ϕϕθθ+-+-==+⋅<<→⎰⎰⎰条件连续定理2 若f 与x f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,) ([,])dcx f x y dy x a b ϕ=∈⎰在[,]a b 上连续可导, 且()(,)dx cx f x y dy ϕ'=⎰.更一般地, 我们有定理3 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则由(,)(,), [,]tcx t f x y dy t c d ψ=∈⎰定义的ψ在[,][,]a b c d ⨯上连续, 且当x f 连续时, 1C ψ∈(因而ψ可微) . 定理4 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 函数:[,][,]a b c d β→连续, 则函数()()(,) , [,]x cx f x y dy x a b βϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, β可微, 则ϕ可导. 且()'()(,)+(,())()x x cx f x y dy f x x x βϕββ'=⋅⎰定理5 若,,f αβ连续, 则函数()()()(,), [,]x x x f x y dy x a b βαϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, ,αβ可导, 则ϕ可导, 且()()()(,)+(,()) ()(,()) ()x x x x x f x y dy f x x x f x x x βαϕββαα'''=⋅-⋅⎰注 上述定理中[,]a b 均可改为(,)a b 或任意区间.3) ϕ的可积性定理6 若(,)f x y 在矩形域[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,), ([,])d cx f x y dy x a b ϕ=∈⎰与()(,), ([,])bay f x y dx y c d ψ=∈⎰分别在[,]a b 和[,]c d 上可积.引入累次积分及记号(,)[(,)],(,)[(,)]bdb da cacdbd bcacadx f x y dy f x y dy dx dy f x y dx f x y dxdy∆∆==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.定理7 (累次积分定理, 交换积分次序) 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则(,)(,)bd d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰例1 1) 1220lim 14x dx x ααπα+→=++⎰.2) 11222223220011111arctan (0)arctan +()22(1)dx dx x x ααααααααα=≠⇒=+++⎰⎰.3) 设f 连续, 10()()()xn x f t x t dt ϕ-=-⎰, 求()n ϕ.4)设cos sin ()x xF x e =⎰, 求'F .5) 设(,)()()xy x y F x y x yz f z dz =-⎰, f 可微, 求xy F .例2 求1(,), (0)ln b ax x I a b dx b a x-=>>⎰.例3 求120ln(1)1x I dx x +=+⎰例4 讨论122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性, 其中f 为[0,1]上的正值连续函数.例5 试分别求累次积分221122200()x y dx dy x y -+⎰⎰与221122200()x y dy dx x y -+⎰⎰.§2 含参量反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域[,][,)a b c ⨯+∞上. 若对任一固定的[,]x a b ∈, 反常积分(,)cf x y dy +∞⎰收敛, 则其值为定义在[,]a b 上(关于x )的函数. 记为()x ϕ.即 ()(,) [,]cx f x y dy x a b ϕ+∞=∈⎰称为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分, 简称含参量反常积分. 取1,,n A c A =↑+∞ 则 1()(,)() n ndA n A nx f x y dy x ϕϕ+==∑∑⎰.因而我们可仿照讨论函数项级数来讨论反常积分. 先比较一下函数项级数与反常积分性质判别方法x E ∈, )x 收敛)x =∑一致收敛(nx ϕ'∑x E ∈, ,)x y dy )cx dy +∞=⎰一致收敛b 上可微,)x y dy (cf x +∞bdx dx =⎰例1 证Cauchy 准则例2 反常积分()(,)cx f x y dy ϕ+∞=⎰在[,]a b 上一致收敛⇔对任一趋于+∞的递增数列1{},()n A A c = 函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy x ϕ++∞+∞===∑∑⎰在[,]a b 上一致收敛.例3 证明可微性.例4 证明Abel 和Dirichlet 判别法.例5 1) 证明: 含参量积分2cos 1xydx x+∞+⎰在R 上一致收敛.2) 证明:sin xydy y+∞⎰在[,),(0)δδ+∞>上一致收敛,但在(0,)+∞上不一致收敛. 3) 证明: 11sin ,(0)y x dx y x+∞<⎰在(,],(0)δδ-∞<上一致收敛, 但在(,0)-∞上不一致收敛.4) 证明: 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上收敛,(,)cf b y dy +∞⎰发散, 则(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.例6 证明: 0sin ()kxxI k e dx x+∞-=⎰在[0,)+∞上连续, 并求()I k 的值.例7 求2cos cos (,),(,0)x xI dx xαβαβαβ+∞-=>⎰.例8 求证: 222400()cos (xx exdx edx γϕγγ+∞+∞---==⇒=⎰⎰.例9 (198P 定理13) (了解,不证明)设(,)f x y 定义在[,)[,)a c +∞⨯+∞上连续. 若 1)(,)af x y dx +∞⎰关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛,(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在任何闭区间[,]a b 上一致收敛;2) 积分|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与|(,)|cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛, 则另一个积分也收敛, 且(,)(,)accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰§3 Euler 积分含参量积分 10(), 0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰1110(,)(1), ,0p q B p q x x dx p q --=->⎰称为Euler 积分, Gamma 函数, Beta 函数. 一、Γ函数11101()()()s x s x s x e dx x e dx I s J s +∞----Γ=+=+⎰⎰对()I s : 1s ≥时, 正常积分; 0<1s <时, 收敛的瑕积分. 对()J s : 0s >时, 收敛的反常积分(无限). 故0s >, ()s Γ有定义.1. ()s Γ在定义域(0,)+∞上连续可导.对任何闭区间[,],(0)a b a >, 对()I s , 当01x ≤≤时, 从而()I s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 而对于()J s , 当1x ≥时, 11s xb xx e x e ----≤, 由于110b x x e dx --⎰收敛, 从而()J s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在0s >上连续.又1100()ln s xs x x e dx x e dx s+∞+∞----∂=∂⎰⎰, 类似可证在[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在[,]a b 上可导. 故()s Γ在0s >上可导. 且10()10()ln , 0()(ln ), 0s x n s x n s x e xdx s s x e x dx s +∞--+∞--'Γ=>Γ=>⎰⎰.2. 0(1)()(1)!!x s s s n n e dx n +∞-Γ+=⋅Γ⇒Γ+==⎰3. Γ图像4. Γ的延拓定义 (1)(), 10, (0,)s s s s n sΓ+Γ=-<<≠-5. Γ的其他形式22210, ()2, (0)s y x y s y e dy s +∞--=Γ=>⎰10, (), (0,0)s s py x py s p y e dy s p +∞--=Γ=>>⎰二、B 函数1. (,)B p q 在定义域 0,0p q >>上连续.1) 定义域 0,0p q >>. 1,1p q ≥≥为正常积分. 当01,1p q <<≥时, 0为瑕点,1()(0)p f x xx -→. 而当1q <时, 0,1为瑕点,1112102()()()f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰,11()(0),()(1)(1)p q f x x x f x x x --→-→. 从而 0p >时, (,),(0)B p q q >收敛.2) 在 0,0p q >>连续.0,0p q ∀>>, 1111(1)(1), (,)p q p q x x x x p p q q -----≤-≥≥ (,)B p q ⇒在,p p q q ≥≥上一致收敛.1. 对称性 (,)(,)B p q B q p =作变换1x y =-得 1111110(,)(1)(1)(,)p q p q B p q x x dx y y dy B q p ----=-=-=⎰⎰2. 递推公式 1(,)(,1) (0,1)1q B p q B p q p q p q -=->>+-1(,)(1,) (1,0)1p B p q B p q p q p q -=->>+-(1)(1)(,)(1,1) (1,1)(1)(2)p q B p q B p q p q p q p q --=-->>+-+-3. 其他形式2212120cos , (,)sin cos q p x B p q d πϕϕϕϕ--==⎰10, (,)1(1)p p q y y x B p q dy y y -+∞+==++⎰ 11101, (,)(1)p q p q y y x B p q dy t y --++==+⎰三、Γ函数与B 函数的关系 1) ()()(,)()p q B p q p q Γ⋅Γ=Γ+2) (,1)()(1)sin B p p p p p ππ-=Γ⋅Γ-=3)1()2Γ=(120111()(,)222B πΓ===⎰) 11()2()22Γ-=-Γ=-321()()232Γ-=-Γ-=1()2n Γ+=1()2n Γ-= 4) 20111(,)sin cos (,), (,1)222p q p q I p q x xdx B p q π++==>-⎰ 特别地, 0,1q p =>-时,20(21)!!111()()()22(2)!!1222sin (2)!!22(1)()22(21)!!p n p p p nn xdx p p n p np n ππ-⎧++Γ⋅ΓΓ⎪=⎪===⎨≠⎪Γ+Γ⎪+⎩⎰三、利用Euler 积分求积分 例 1 1)6111()(1)16663dx x π+∞=ΓΓ-=+⎰2)10113(,)4444B ==⎰习 题 课例 1 证明: 10()(,)F y f x y dy =⎰连续, 这里1(,)01x y f x y x y x y>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.例 2 求22222220ln(sin cos ), (0)(0,0)a x b x dx a b a b π++≠>>⎰例 3 求101sin(ln ), (0)ln b ax x dx b a x x->>⎰例 4 证明: 0xy xe dy +∞-⎰在[,],(0)a b a >上一致收敛, 但在(0,]b 上不一致收敛.例 5 求22222(0)a x b x ee dx b a x --+∞->>⎰例 6 1) 对极限202xy xye dy +∞-⎰能否进行极限与积分运算次序.2) 2130(22)xy dy y xy e dx +∞--⎰⎰能否交换积分次序.3) 对230()xy F x x edy +∞-=⎰能否交换积分与求导次序.例 7 设10()(,)()u x k x y v y dy =⎰,其中(1)(,)(1)x y x y k x y y x x y-≤⎧=⎨->⎩,v 为[0,1]上的连续函数, 求证: ()()u x v x ''=-.。
第十九章 含参量积分
第十九章含参量积分【教学目的】1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算【教学重点】含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定【教学难点】一致收敛性的判定【教学时数】12学时§1含参量正常积分一、含参量积分的定义以实例和引入.定义含参量积分和.含参量积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参量积分表达的函数为含参量积分.二、含参量积分的解析性质1. 含参量积分的连续性Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数在上连续 . ( 证 ) P172Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在上连续 , 则函数在上连续. ( 证 ) P1732. 含参量积分的可微性及其应用Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导 , 且.( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含参量积分在上可微 , 且. ( 证 )P174例1 计算积分. P176.例2 设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数的阶导数存在 , 且. P177.三、作业§2 含参量反常积分一、含参量无穷积分:1. 含参量无穷积分函数定义在上 ( 可以是无穷区间 ) . 以为例介绍含参量无穷积分表示的函数.2. 含参量无穷积分的一致收敛性逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使.引出一致收敛问题 .定义 (一致收敛性 ) 设函数定义在上 . 若对,使对成立, 则称含参量无穷积分在( 关于)一致收敛.Th 19.5 ( Cauchy收敛准则 ) 积分在上一致收敛,对成立 .例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间内非一致收敛3. 含参量无穷积分与函数项级数的关系:Th 19.6 积分在上一致收敛, 对任一数列,↗, 函数项级数在上一致收敛. ( 证略 )二、含参量无穷积分一致收敛判别法1. Weierstrass M 判别法设有函数, 使在上有. 若积分,则积分在一致收敛.例2 证明含参量无穷积分在内一致收敛. P1822. Dirichlet判别法和Abel判别法三、含参量无穷积分的解析性质含参量无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.1. 连续性: 积分号下取极限定理.Th 19.7 设函数在上连续 . 若积分在上一致收敛, 则函数在上连续. ( 化为级数进行证明或直接证明 )推论在Th.7的条件下 , 对, 有2. 可微性: 积分号下求导定理.Th 19.8 设函数和在上连续. 若积分在上收敛, 积分在一致收敛. 则函数在上可微,且.3. 可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数在上连续. 若积分在上一致收敛, 则函数在上可积 , 且有.例3 计算积分P186四、含参量瑕积分简介五、作业§3 Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即和. 它们统称为Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一、Gamma函数—— Euler第二型积分1. Gamma函数: 考虑无穷限含参量积分,当时, 点还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为来讨论其敛散性 .: 时为正常积分 .时, .利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到时积分收敛 . (易见时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散 ). 因此, 时积分收敛 .: 对R成立,.因此积分对R收敛.综上 , 时积分收敛 . 称该积分为Euler第二型积分. Euler第二型积分定义了内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为,即=, .函数是一个很有用的特殊函数 .2. 函数的连续性和可导性在区间内非一致收敛 . 这是因为时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若内收敛, 但在点发散, 则积分在内非一致收敛。
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则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
§1 含参量正常积分
对多元函数其中的一个自变量进行积分形 成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的 非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正 常积分两种形式.
一、含参量正常积分的定义 二、含参量正常积分的连续性 三、含参量正常积分的可微性 四、含参量正常积分的可积性 五、例题
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一、含参量正常积分的定义
x
d c
f x ( x,
y)dy
d c
x
c
x
由微分学的拉格朗日中值定理及 fx ( x, y) 在有界闭
域 R上连续(从而一致连续),对 0 , 0, 只要
x 时，就有
f
(x
x, y) x
f
( x,
y)
f x ( x,
y)
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fx ( x x, y) fx ( x, y) , 其中 (0,1). 因此
I
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续,
即对任意 0 , 总存在 0 , 对R内任意两点
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
| x1 x2 | , | y1 y2 | ,
就有
| f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) | . 所以由(3), (4)可得, 当 | x | 时,
(4)
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d
| I( x x) I( x) | c | f ( x x, y) f ( x, y) | dy
d
c dx (d c).
即 I (x) 在[a, b]上连续. 同理可证: 若 f ( x, y)在矩形区域 R上连续,则含参
量 y的积分
b
J ( y) a f ( x, y)dx
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a , b]上连续. 证 设 x [ a, b], 对充分小的x , 有x x [a, b](若 x 为区间的端点, 则仅考虑 x 0 或 x 0 ), 于是
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d
I( x x) I( x) c [ f ( x x, y) f ( x, y)]dy, (3)
设 f ( x, y)是定义在矩形区域 R [ a, b][ c, d]上的
二元函数.当 x取[ a, b]上的定值时,函数 f ( x, y) 是
定义在[ c, d ]上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时
f ( x, y)在[ c, d ]上可积, 则其积分值
d
Hale Waihona Puke I( x) c f ( x, y)dy , x [a, b]
中c(x), d(x)为[ a, b]上的连续函数, 则函数
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x)
(6)
在[ a, b]上连续.
证 对积分(6)用换元积分法, 令
y c( x) t(d( x) c( x)) .
当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且
在矩形区域 [ a ,b][0 ,1]上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续.
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三、含参量正常积分的可微性
定理19.3 ( I( x) 的可微性 ) 若函数 f ( x, y)与其偏导
数 fx ( x, y) 都在矩形区域 R [a, b][c, d]上连续,
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
Oa
bx
图 19 1
若对于[ a, b]上每一固定的 x 值, f ( x, y)作为 y 的函
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数在闭区间[ c( x), d( x) ]上可积, 则其积分值
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy , x [ a, b] c( x)
(2)
是定义在[ a,b ]上的函数.
用积分形式 (1) 和 (2) 所定义的这函数I( x)与F ( x)
通称为定义在 [ a, b]上的含参量 x 的(正常)积分,
或简称为含参量积分.
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二、含参量正常积分的连续性
定理19.1 ( I( x) 的连续性) 若二元函数 f ( x, y) 在矩 形区域 R [ a, b][ c, d]上连续, 则函数
(5)
在[c ,d ]上连续.
注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:
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若 f ( x, y)在矩形区域 R 上连续,则对任何
x0 [a, b] , 都有
d
d
lim f ( x, y)dy lim f ( x, y)dy .
xx0 c
c xx0
这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其