定积分的计算与广义积分

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七大积分总结

七大积分总结一．定积分1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点：a=x 0<x 1<x 2<……<x i-1<x i <x i+1<……<x n-1<x n =b,把区间[a,b]分成n 个小区间：[x 0,x 1]……[x i-1,x i ]……[x n-1,x n ]，记△x i =x i －x i-1(i=1,2,3,……,n)为第i 个小区间的长度，在每个小区间上[x i-1,x i ]上任取一点ξi (x i-1≤ξi ≤i )，作乘积:f(ξi )△x i (i=1,2,3,……,n),并作合式： i i x f ∆=∑-)(S i n1ξ记λ=max{△x 1, △x 2, △x 3……, △x n },若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x i-1,x i ]上点ξi 怎样取法，只要当λ→0时，S 的极限I 总存在，这时我们称I 为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做： ∑⎰=→∆==ni i i ba x f I dx x f 10)()(lim ξλ其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间，∑=∆ni iixf 0)(ξ称为积分和。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。

关于定积分的定义，作以下几点说明：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(。

（2）定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。

（3）定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：∑⎰=∞→=ni n n i f dx x f 110n 1)()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理定理一若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

高等数学定积分

第五章定积分第一节定积分的概念第二节定积分的性质和中值定理第三节微积分基本公式第四节定积分的换元法第五节定积分的分部积分法第六节定积分的近似计算第七节广义积分问题的提出定积分的定义几何意义定积分存在定理第一节定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 （求曲边梯形的面积）)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点，内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间形面积，曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底，以i i i f x x ξ-（1）分割（2）近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数，且0)(≥t v ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度（3）求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ（4）取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值（2）近似设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间，各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ，),2,1( =i ，在各小区间上任取一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ，二、定积分的定义定义怎样的分法，⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为积分上限积分下限积分和几点说明：（1）定积分是一个数值，它仅与被积函数及积分区间有关，⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定：）（.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积，则在区间若）（i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分，分点为nix i =，(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆，(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ，(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -，（n i ,,2,1 =）小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ，（n i ,,2,1 =）i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3：将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 ：五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为：)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =，（n i ,,2,1 =）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续，且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充：不论的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f （定积分对于积分区间具有可加性）假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论：证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明：可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7（定积分中值定理）积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，1. 积分中值公式的几何解释：xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。

广义积分的几个计算公式

广义积分的几个计算公式广义积分是指将拓展由单变量积分发展而来并用于多变量积分和有限元积分的变体，以帮助解决由分段函数和更宽泛形式的函数定义的积分问题。

其计算的公式如下：1.单变量积分：对于一元函数f（x），它的定积分为∫f (x) dx, 其结果为[ F(x ) + C], 其中C为常数，F(x)为原函数f (x )的积分函数。

2.多变量积分：对于二元函数f (x, y)，根据变量分别求积分，即∫f (x, y)d x∫f (x, y)d y, 其结果为[ F(x , y） + C], 其中C为常数，F(x , y)为原函数f (x , y )的积分函数。

3.向量积分：对于M元函数f（x1，x2，…，xM），将它视为一个向量，其积分可求为∫ ∫…∫f (x1，x2，…，xM) dx1dx2…dxM , 其结果为[ F(x1，x2，…，xM ) + C]，其中C为常数，F(x1，x2，…，xM )为原函数f (x1，x2，…，xM )的积分函数。

4.曲面积分：对于曲面f (x, y, z)，其积分可求为∫∫f (x，y，z) da, 其结果为[F (x，y，z) + C]，其中C为常数，F (x，y，z)为原函数f (x，y，z)的积分函数。

5.对象积分：用于计算实体表面和体积之间关系的积分，是为求解几何学问题而出现的，其积分形式为∫∫∫f (x，y，z) d v, 其结果为[F (x，y，z) + C]，其中C为常数，F (x，y，z)为原函数f (x，y，z)的积分函数。

综上所述，广义积分分为单变量积分、多变量积分、向量积分、曲面积分和对象积分等模式，它的计算公式均为[F ( x , y, ... , z )+C]，其中C为常数、[F ( x , y, ... , z )]为原函数f ( x , y, ... , z )的积分函数。

它可用于计算傅立叶级数和拉普拉斯积分等积分问题。

综上所述，可以看出，广义积分具有很好的应用价值，可以帮助解决很多积分问题。

高等数学习题课(5)定积分

0
则 b a
f
(
x)dx
0
(a b)
推论：（1）如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x) ，
则 b a
f
(
x
)dx
b
a g( x)dx
(a b)
（2）
b
a
f
(
x)dx
b
a
f
( x)dx
(a b)
性质6 设M 及m 分别是函数 f ( x) 在区间[a,b]
上的最大值及最小值，
则
b
即 F( x) x ( f ( x) f (t) 2)dt 0 a f (t) f (x) F ( x) 单调增加.
又 F (a) 0, F(b) F(a) 0,
即
b
f ( x)dx
b dx
(b a)2.
a
a f (x)
例8
( x et2 dt)2
求 lim x
0
x e2t2 dt
( x)
x
a
f
(t )dt 在[a,b]上具有导数，且它的导数
是
( x)
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
定理 3（微积分基本公式）如果F ( x) 是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上的一个原函数，则
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
也可写成
b a
b
b
a
f
( x)dx
lim
a
f ( x)dx
b
b
a
f
( x)dx
lim
0 a

定积分积分法与广义积分

02
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，而定积分可以通过极限的思想推广到广义积分。
03
两者都涉及到积分的存在性和可积性，以及积分的计算和性质。
定积分与广义积分的区别
定义域不同
定积分的定义域是有限的闭区间，而广义积分的定义域可能是无限的区间或者无界点集。
积分结果可能不同
在定积分中，如果被积函数在闭区间上连续且在开区间上可积，则其积分值是确定的；而在广义积分中，即使被积函数在某
个区间上连续，其积分值也可能不存在。
意义不同
定积分主要用于计算面积、体积等数值结果，而广义积分则更多地用于研究函数的性质和行为，例如函数的奇偶性、可导性
、收敛性等。
定积分与广义积分的应用场景
定积分的应用场景
在物理学、工程学、经济学等各个领域中，都需要用到定积分来计算各种量值，例如物体的质量、面积、体积等。
换元法
通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分。
分部积分法
通过分部积分公式将两个函数的乘积转化为两个函数的积分之差。
广义积分的计算方法
无穷区间上的广义积分
通过将无穷区间分割成有限个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行积分，最后取极限得到广义积分的值。
无界函数的广义积分
对于无界函数的广义积分，需要特别注意积分的上下限，以及在计算过程中对无界点的处理。
广义积分的性质
01
线性性质
广义积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
02
区间可加性
对于函数在两个区间上的积分，如果这两个区间有重叠部分，则该函数在这两个区间上的积分之和等于在重叠区间上积分的两倍。
03

第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分

x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线，围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数．由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy

积分常用公式(最新整理)

积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。

定积分计算法

、定积分计算基本方法1牛顿一莱布尼兹公式：护0)=a,®(P )二b ，f ［®(t)］在［S P ］上连续，b pf f (x)dx = f f ［®(t)］®'(t)dt 。

注：条件3书上用较强的条件f(x) 在［a,b ］上连续且当"［sP ］时，护(t)的值域不超出［a,b ］来代替。

实际上代换W (t)的值域可以超出［a,b ］，如上图。

bbbaudv =[uv]a - [vdu注意事项：1、被积函数含绝对值记号。

1 -<x <1 时，In xcO,|l nx|=-l nx ；当 1<x c e 时，In x>O,|l n x |= Inx 。

e1e2(l nxdx=f 1(T n x)dx +[l nxdx=2-- (分界点 x=1 处 ln x = 0) ；；eba f (x)dx =F(x)a=F(b)-F(a) (t)2、定积分的换元法:设10④(t)&'(t)在［gP ］上连续, aa a 1 01 P例1：M ln x |dxe例2：|x-3|dx解： 4订 X —dx = 例3：「J sin 3 x -!4 sin5 xdx 34[(3 - x)dx + ((X —3)dx= 5 20 30 3、定积分的分部积分法:解：当兀3 兀3 4 02 sin 2 xcosxdx + (sin 2x( -cosx)dx =-2、广义积分有推广的牛顿-莱布尼兹公式(1)如果f(x)在［a,b)上连续，f(b-O) = K ,原函数F(x)在［a,b ］上连续，贝U 仍有(2)如果f(x)在［a,址)上连续，f(x)的原函数F(x)适合lim F(x)存在记为F (畑)则-be d X例解： 0兀 J si n 3x-si n 5xdx = 3兀 9f sin 2X I cos b[f(x)dx =F(x) a4 = F(b-O)-F(a)仍有[f (x)dx = F (x) 产=F (址)-F(a)。

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A c
f ( x) d x .

c
f ( x) d x 与 f ( x) d x 与对

于是
a T
T
f ( x) d x f (t T ) d t f (t ) d t f ( x) d x
0 0 0
a
a
a

a T a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a 0 0
0
T
a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a R，有

a T a 0
f ( x) d x f ( x) d x .
0 T a T 0 T
T
证
因为

a T a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a
f ( x) d x ,
故令 x t T，则 d x d t，且 x : T a T 时，t : 0 a，从而
1 x d x
2

cos t d t
2
1 (1 cos 2 t ) d t 2
1 1 t sin 2 t C arcsin x x 1 x 2 C 2 2 2 4
由牛顿——莱布尼兹公式，得

1 0
1 1 1 x d x arcsin x x 2 2
(3) ( ) a ， ( ) b，
则

b a
f ( x) d x f ( (t )) (t ) d t .

说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
5

3 5 1 2
2 dx dt dt 3 5 2 2 2 2 x 1 x t 1 t 1 3
ln | t t 1 |
2
2 5 3
ln( 2 3) ln 3 .
例5
设 f ( x) C( [a, a] )，证明：
(1) f ( x) 为偶函数，则 (2) f ( x) 为奇函数，则
2
1 0

4
.
有什么想法没有？
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼
兹公式便可得到定积分的结果 .
一、定积分的换元法定理
设 (1) f ( x) C( [a, b] ) ;
(2) x (t ) C 1 ( [ , ] ) 且单调；
A R , A a , 且 f ( x) R( [a, A] ) . 记

a
f ( x) d x lim
A

A a
f ( x) d x ,
称之为 f ( x) 在 [a, ) 上的无穷积分 .
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
当 x : 0 8 时，t : 0 2 ，故
2 2 2 3t d x dx 2 t 01 3 x 0 1 t 30 1 t d x 2 1 3 (t 1 )dx 0 1 t
8
2 1 2 3[ t t ln(1 t )] C 0 2 3 ln 3
0

a2 2

2 0
(1 cos 2 t ) d t

2 0
y
y a x
2
2
a2 sin 2 t (t ) 2 2

a2
4
.
o
a x
例4 解
计算

3 5 1 2
dx . 2 x 1 x
令 x
1 dt ，则 d x 2 ， t t 1 3 5 且 x : 时，t : 2 ，故 2 5 3
满足有界条件的函数的积分，有时还需计算不满
足有界条件的函数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作.
牛顿公式：成立的条件：
记作
1：f(x)在[a,b]上是连续的（有界的） 2：f(x)的原函数F(X)存在 3： a,b是有限常量

0 a
f ( x) d x f (t )( d t ) f (t ) d t f ( x) d x .
a 0 0
0
a
a
于是

a a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x [ f ( x) f ( x)] d x.
分发散.
类似地可定义：
(1)
( 2)

b

f ( x) d x lim
f ( x) d x
c
B

b B
f ( x) d x
c
( B b) .
f ( x) d x
A

f ( x) d x
c B
lim
若
B
f ( x) d x lim
0
a
(2) 若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x) －f ( x)，故有

a a
f ( x) d x 0 .
例6 证
n n 2 2 证明： sin x d x cos xd x. 0 0

令 x

2
t，则 d x d t，
且 x: 0

2
时，t :
0
b
(t ) (t )
或配元
f ( x) d x (令 x ห้องสมุดไป่ตู้ (t ) )
a
(t ) (t )
(t ) d (t )
配元不换限
4) 换元的规则、情况同不定积分 .
例2
dx 计算 . 3 0 1 x
8
8
dx .令解考虑 3 0 1 x
3
x t，则 x t 3 , d x 3t 2dt，

2 e x sin x d x
0

1 2 e x sin x d x
0
1 e x sin x

2 0
2 e x cos x d x
0

1 e 2 2 e x cos x d x
0
故
1 2 2 x 0 e cos x d x 2 ( e 1) .
2
1 x
2
1 0

4
.
例1 解
计算

1 0
1 x d x .
2
令 x sin t
0 x 1
0t

2
先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1 22 cos 22 t) dd tt xx 2 cos 2 t d t 2(1 (1 cos t) 11 ddxx 0 2 0
有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定积分的换元法和定积分的分部积分法.
第五章
第5节定积分的换元法
第6节定积分的分部积分法
不定积分
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
例1 解
计算

1 0
1 x2 d x .
令 x sin t
先用不定积分求被积函数的一个原函数：

例10 解
计算

e2
1
1 (ln x) 2 d x . x
x (ln x) 2 d x
1 1 2 e2 1 2

e2
1
1 (ln x) 2 d x x
e2 1
2 (ln x) 2 d x
2[ x (ln x) 2
1 2
e 1
2
x d (ln x) 2 ]
1
e2
1 2

a a a a
f ( x) d x 2 f ( x) d x .
0
a
f ( x) d x 0 .
a
证
因为

a a
f ( x) d x
0 a
f ( x) d x f ( x) d x ,
0
故令 x t，则 d x d t，且 x : a 0 时，t : a 0，从而
2[x (ln x)
1 2
1 2
2 e 1
2

2
e2
1
1 x 2(ln x) dx ] x
e2 1 2 1
1 2
2[ x (ln x) 2
e 1
2 (ln x) x
dx ]
例11 解
计算

e 1 e
| ln x | d x .

e 1 e
| ln x | d x 1 ( ln x) d x ln x d x
e 1
1
e
x ln x
2 (1
1 1e
1 d x x ln x 1 d x
e e 1