广义积分的概念与计算
广义积分的收敛性与计算方法
广义积分的收敛性与计算方法广义积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
本文将讨论广义积分的收敛性以及一些计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、广义积分的定义广义积分是对一类具有特殊性质的函数进行积分的过程。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的广义积分表示为：∫[a,b] f(x) dx其中积分的上下限可以是有限的实数或者无限，但函数f(x)在积分区间内必须满足一定的条件。
二、广义积分的收敛性广义积分的收敛性是指积分结果是否存在有限的极限。
根据函数f(x)在积分区间的性质，广义积分可以分为两类：绝对收敛和条件收敛。
1. 绝对收敛如果函数f(x)在积分区间内绝对可积，并且积分结果存在有限的极限，那么广义积分就是绝对收敛的。
绝对收敛的广义积分具有一些重要的性质，例如线性性、保号性和可积性。
2. 条件收敛如果函数f(x)在积分区间内可积，但在某些点上发散，那么广义积分就是条件收敛的。
条件收敛的广义积分存在一定的不确定性，因此在计算时需要特别注意。
三、广义积分的计算方法广义积分的计算可以使用不同的方法，取决于具体的函数和积分区间。
以下是广义积分常用的计算方法之一：1. 初等函数法如果被积函数f(x)是一个初等函数，即可以使用基本初等函数（例如指数函数、对数函数、三角函数等）和基本运算（例如加、减、乘、除）表示，那么可以直接通过对这个函数求导和积分，以及使用基本积分公式来计算广义积分。
2. 替换法替换法是一种常用的计算广义积分的方法。
当被积函数f(x)在积分区间内具有一定的特殊性质时，可以通过引入一个新的变量，将积分转化为一个更容易计算的形式，然后再进行求解。
3. 分部积分法分部积分法是一种常用的计算广义积分的方法之一。
根据分部积分公式，可以将一个积分转化为两项乘积的形式，从而简化计算过程。
4. 极限求和法极限求和法是对广义积分进行近似计算的一种方法。
通过将广义积分转化为一列定积分的和或差，并通过极限运算来逼近积分结果，可以得到一个近似值。
广义积分的概念与计算
1
1 x12 x x12
2
0
d x 0
1
d( x 1 ) x
2 (x 1 ) 2 x
dt 2 t 2 (2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
0
分别讨论每一区间上的广义积分.
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(3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为
0 dx 下述解法是否正确 : 1 dx
的收敛性 .
1 1 解: 2 2 x x 1 x 0x 1 1 dx 0 1 1 2 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 所以广义积分 1 发散 .
边梯形的面积 可记作
y
1 y 2 x A
x 其含义可理解为 A lim
A
dx 2
b
1
b 1
b
1 dx lim 2 b x 1 x
O 1
b
x
1 lim 1 1 b b
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4
若 f ( x) C ( , ) , 则定义
f ( x) dx lim f ( x) dx a a b c lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
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5
引入记号
F () lim F ( x) ;
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。
掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。
一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。
对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。
（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。
§1广义积分的概念与计算
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
积分的广义积分
积分的广义积分数学中的积分是一种非常重要的运算，通常被定义为计算函数下方某个区间内的面积。
但是，在实际问题中，有时候我们需要计算无限区间或不连续函数等情况的积分，这时候就需要用到广义积分。
广义积分的概念粗略而言，广义积分就是把无限区间上的积分或不连续函数的积分看做是一种极限的处理方式。
因此，广义积分的概念比起普通积分来说是更加宽泛和复杂的。
在广义积分的概念中，最重要的就是无限区间的积分。
对于一个实函数f(x)，如果它在一个无限区间[a, ∞)上是有界的，并且在除有限多个点以外的所有点处都连续，那么可以定义其广义积分为：$ \int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{T\rightarrow\infty}\int_a^Tf(x)dx$其中，T是无限区间中的一个有限值。
类似地，可以定义在(-∞, b]上的广义积分为：$ \int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{T\rightarrow-\infty}\int_T^bf(x)dx$同时，如果一个函数f(x)在一些点处不连续，但是在这些间断点的“左右极限”都存在，则可以定义其在这个区间[a, b]上的广义积分为：$ \int_a^b f(x)dx =\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\epsilon}^b f(x)dx +\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_a^{b-\epsilon} f(x)dx$其中，$\epsilon>0$表示一个无限小量。
需要注意的是，广义积分并不是所有情况下都有意义的。
如果一个函数在无限区间上的积分或在某些点上的积分不收敛，则广义积分不存在。
比如下面这个函数：$f(x) = \frac{1}{x}, x\in[1,+\infty)$它在无限区间上的积分就不存在。
广义积分的性质广义积分并不是所有求和规则适用，因此它具有一些特殊的性质。
广义积分例题详解
广义积分例题详解在本篇文章中，我们将详细讲解广义积分的概念和例题。
广义积分是对于无限区间或者被积函数存在无穷大或无穷小值的情况下，对积分的一种推广。
在进行广义积分的计算时，需要对被积函数进行分段处理，然后计算每一段的积分。
接下来，我们来看两个广义积分的例题：例1：计算广义积分$int_0^{infty}frac{1}{x^2+1}dx$解析：由于被积函数存在无穷大值，所以需要对区间进行拆分，拆分成$[0,1]$和$[1,infty)$两个区间。
然后再分别对这两个区间进行积分计算。
对于$[0,1]$这个区间，我们可以采用换元积分法，令$x=tantheta$，则有$dx=frac{1}{cos^2theta}dtheta$，并且$0leqthetaleq frac{pi}{4}$。
则原积分可以转化为：$int_0^{frac{pi}{4}}frac{1}{1+tan^2theta}cos^2theta dtheta=int_0^{frac{pi}{4}}cos^2theta dtheta=frac{pi}{8}$ 对于$[1,infty)$这个区间，我们可以采用比较大小的方法，由于$x^2+1geq x^2$，所以$frac{1}{x^2+1}leqfrac{1}{x^2}$，而$int_1^{infty}frac{1}{x^2}dx$是一个收敛的积分，所以原积分也是收敛的。
则有：$int_1^{infty}frac{1}{x^2+1}dxleqint_1^{infty}frac{1}{x^2}d x=frac{1}{x}|_1^{infty}=1$综上所述，原积分的结果为$int_0^{infty}frac{1}{x^2+1}dx=frac{pi}{8}$。
例2：计算广义积分$int_0^1frac{lnx}{sqrt{x}}dx$解析：由于被积函数在$x=0$处存在无穷小值，所以需要对区间进行拆分，拆分成$[0,1]$和$(0,1]$两个区间。
广义积分与无穷小量的概念与运算
广义积分与无穷小量的概念与运算在微积分学中，广义积分是一种重要的数学工具。
它的概念与运算方法与无穷小量密切相关。
本文将介绍广义积分和无穷小量的基本概念，并探讨它们之间的运算规则。
一、广义积分的概念广义积分是对一定范围内函数的积分运算。
它与定积分的概念类似，但对于某些函数而言，定积分的定义不能直接适用。
这时，我们就需要引入广义积分来处理这种情况。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的广义积分可表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁻)〖∫_a^t f(x)dx〗其中，lim表示极限，a和b为积分区间的端点。
在计算广义积分时，我们通常将b设为一个趋于无穷的数，使得函数在该点不再有定义上的问题。
二、无穷小量的概念无穷小量是微积分中一个重要的概念，它表示当自变量趋于某个确定值时，函数取得的极限为零。
无穷小量常用符号o来表示。
形式化地，如果当x趋于a时，函数f(x)满足lim┬(x→a)〖f(x) = 0〗，则称f(x)为x趋于a时的无穷小量。
无穷小量在微积分中有着广泛的应用。
例如，在求导数和积分中，可以利用无穷小量的性质进行计算和推导。
三、广义积分与无穷小量的关系广义积分中的无穷小量概念与极限的思想密切相关。
为了更好地理解广义积分与无穷小量的关系，我们以一个例子来说明。
考虑函数f(x) = 1/x，我们想要求解∫f(x)dx，其中积分区间为[1, ∞)。
首先，我们将该广义积分问题转化为极限问题，即求解lim┬(t→∞)〖∫_1^t 1/x dx〗。
根据定积分的性质，我们可以通过求解定积分的极限来得到广义积分的值。
进一步计算，我们有：lim┬(t→∞)〖∫_1^t 1/x dx = lim┬(t→∞)〖ln(t) - ln(1)〗= ∞〗由此可见，在这个例子中，广义积分∫f(x)dx的值为无穷大。
这说明函数f(x) = 1/x在区间[1, ∞)上不满足定积分的定义，因此需要引入广义积分的概念来处理。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。
它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。
广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。
在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。
定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。
如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。
当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。
但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。
有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。
为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。
广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。
广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。
对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。
对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。
广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。
函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。
如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。
广义积分在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。
在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。
广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。
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2020/4/13
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例2. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时,广义积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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11
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
dx
F
(b
)
F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F (a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b )
F(a )
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F(c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
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10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
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12
则也有类似牛 – 莱公式的
计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
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4
若 f (x)C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
第十一章 广义积分
2020/4/13
主讲人：陈志勇副教授Biblioteka 宁波大学教师教育学院1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
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2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
F() F(a)
b
f (x) dx F(x)
f (x) dx F(x)
F(b) F() F() F()
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6
例1. 计算广义积分
解:
[arctan x ]
π ( π) π 22
思考:
y
y
1 1 x2
O
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
发散 .
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
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引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F(x)
2
2
27
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16
内容小结
积分区间无限 1. 广义积分
被积函数无界
2. 两个重要的广义积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
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,
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q 1
17
说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以 互 相转化 .
例如 ,
1
1
1 x2
14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
b
a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
0
x2
1 x2
dx
1 d(x 1x)
0
(x
1 x
)
2
2
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的广义积分.
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例4. 计算广义积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin
x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论广义积分
的收敛性 .
解所下:以述1广1解dx义x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
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15
例7.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2(x)
d
x
1
f
( x) f 2 (x)
d
x
1
d
f (x) f 2 (x)
arctan
f
(x)
C
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π]
π] arctan 32 2 π
当 p≤1 时,广义积分发散 .
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例3. 计算广义积分
解: 原式 t e pt p
1 p2
e pt
1 p2
1 e ptd t p0
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二、无界函数的广义积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
y 1 x
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
A
O
x
lim 2(1 ) 2
0
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定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分（也叫瑕积分）, 记作
边梯形的面积 可记作
y
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
A O1
b
x
lim 1 b
1 b
1
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定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作