北师大选修2-2 1.2综合法与分析法
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《综合法与分析法》课件1_(北师大版选修2-2)
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法与分析法 (习题课）
1.2 综合法与分析法 课件1 (北师大选修2-2)
练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1
1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.2 综合法与分析法1.2.1
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由正弦定理,得
������ sin������
>
0.
∴
������ ������
+
������������≥2,
当且仅当
������ ������
=
������ ������
,
即x=y=
1 2
时,等号成立.
则有
1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥5+2×2=9 成立.
1
+
������+������ ������
=
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
+
������+������-������ ������
=
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
−
3
>2
������ ������
·������������
+
2
������ ������
∴EC∥GD.
又EC⊈平面AB1D,DG⫋平面AB1D,
∴EC∥平面AB1D.
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】
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典例透析
IANLITOUXI
1.2 综合法与分析法 课件(北师大选修2-2)
2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边 AB的中点，并且PA＝PB＝PC. 求证：PO⊥平面ABC.
证明：连接OC，如图所示，
∵AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OC. 又∵PA＝PB＝PC，∴PO⊥AB， 且△POA≌△POC， ∴∠POA＝∠POC. ∴∠POC＝90°. 即PO⊥AB，PO⊥OC，且AB∩OC＝O，所以PO⊥ 平面ABC.
分析法与综合法的优缺点： 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方 法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解
题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际 证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用 综合法有条理地表述解题过程．
提示：基本不等式．
问题 2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
综合法
(1)含义：从命题的 条件 出发，利用定义、公理、定理 及运算法则，通过 演绎 推理，一步一步地接近要证明 的 结论 ，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法． (2)思路：综合法用以下的框图表示：
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 所以 a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2
2 2
[一点通]
分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成
立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆着分析，由未
知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键
AC cos B 1．在△ABC 中，AB＝ ，证明 B＝C. cos C
sin B cos B 证明： 在△ABC 中， 由正弦定理及已知得 ＝ . sin C cos C 于是 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－C)＝0， 因为－π<B－C<π，从而 B－C＝0，所以 B＝C.
(北师大版)数学选修2-2：第1章《综合法与分析法》ppt课件(2)
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发
1.2.2《分析法》课件(北师大版选修2-2)
统（Private Key Gryptosystem),其加密、解密原理如下图：
现在加密密钥为y=loga(x+2)，如上所示，明文“6”通过加密后
得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文
“6”.问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为____.
【解析】要想解密，则只需获其加密原理即密文与明文的对应 关系即可，则有3=loga(6+2),故a=2, 因此4=log2(x+2),得x=24-2=14, 即解密后得明文为14. 答案：14
（A）综合法
（C）演绎推理
（B）分析法
（D）归纳法
【解析】选B.由于不等式的结构特点，用综合法去证思路不好
找，因此宜用分析法去寻求解题思路.
2.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且 a+b+c=0，求证 （A）a-b>0 （C）(a-b)(a-c)>0
b 2 -ac< 3a, 欲索的因应是（
又μ∈{正实数}，∴0<μ≤16.
2.（5分）a>b>c,n∈N+,且 值为_______.
1 1 n 恒成立,则n的最大 + a-b b-c a-c
【解题提示】要求出n的最大值，只需求出 (
1 1 )·(a-c)的最小值即可. + a-b b-c
【解析】
答案：
3.（5分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系
写出具体的证明过程，这是解决数学证明题的一种重要的思想
方法.
典型例题精析
思路点拨：本题要证不等式较为复杂，但其结构比较对称， 可利用分析法证明，移项化为绝对值不等式，两边平方，整 理可证.
北师大版高中数学选修(2-2)-1.2分析法与综合法的区别和联系
分析法与综合法的区别和联系一、知识要点：综合法与分析法是中学数学解题思想中最基本的两种方法．所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知…可知1…可知2…结论”．所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法．分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论须知1须知2…已知”；基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“ ”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。
二、综合应用(2)综合证明表述如下：∵ AF是直线，且∠1=∠2(已知)，∴∠3=∠4(等量减等量其差相等)．又∵ BE＝CD(已知)，BC=BC(公共边)，∴△EBC≌△DCB(边角边)．∴ BD=CE(全等三角形对应边相等)．例1 已知AD是∠BAC的平分线，DE∥CA，且交AB于E(如图)．求证：DE=AE．思路分析(1)用综合法探求，其思路如下： (2)用分析法探求，其思路如下：至此，恰好是题设条件，问题得到解决．评述：由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述．例如对下面这道数学问题：例2 已知AF是直线，∠1=∠2，BE=CD，如图4－4．求证：BD=CE．思路分析 (1)分析思路如下：至此步骤，均为题设中提供的条件，问题获得解决．。
高中数学北师大版选修2-2课件：2 分析法
7
∵ x1 >
x2
>3 ∴ x1-
x2 >0，且
x1+ x2
>6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f ( x) 2 x 2 12x 16 在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证 AF⊥SC
8 7 5 10
f ( x) 2x 2 12x 16 在区间 例3、求证：函数
（3，+∞）上是增加的。
6
证明：要证明函数 f ( x) 2x 12x 16
2
在区间（3，+∞）上是增加的， 只需证明 对于任意 x1 ， 2 ∈（3，+∞），且 x
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ， 只需证明 对任意的 x1 > 2 >3，有
特点： 执果索因 即：
要证结果Q，只需证条件P
5
例2、求证： 8 7 5 10 证明：要证明
8 7 5 10
只需证明 ( 8 7 ) 2 ( 5 10) 2 即 8 7 2 56 5 10 2 50 只需证明 56 50 即 56>50，这显然成立。 这样就证明了
8
S
F
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
E A B C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
9
用P表示已知条件,定义,定理, 公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:
∵ x1 >
x2
>3 ∴ x1-
x2 >0，且
x1+ x2
>6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f ( x) 2 x 2 12x 16 在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证 AF⊥SC
8 7 5 10
f ( x) 2x 2 12x 16 在区间 例3、求证：函数
（3，+∞）上是增加的。
6
证明：要证明函数 f ( x) 2x 12x 16
2
在区间（3，+∞）上是增加的， 只需证明 对于任意 x1 ， 2 ∈（3，+∞），且 x
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ， 只需证明 对任意的 x1 > 2 >3，有
特点： 执果索因 即：
要证结果Q，只需证条件P
5
例2、求证： 8 7 5 10 证明：要证明
8 7 5 10
只需证明 ( 8 7 ) 2 ( 5 10) 2 即 8 7 2 56 5 10 2 50 只需证明 56 50 即 56>50，这显然成立。 这样就证明了
8
S
F
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
E A B C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
9
用P表示已知条件,定义,定理, 公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:
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例4. 求证 3 7 2 5
解:要证
3 7 2 5
( 3 7 ) 2 (2 5 ) 2
只需证
展开,只需证
21 5
只需证 21<25因为 Nhomakorabea21<25成立,所以
3 7 2 5
成立.
3.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法） 注：直接证明的一般形式为：
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证; ab 2 只需证; a + b 2 ab
还原成综合法： 证明: 因为; ( a b ) 0
2
只需证; a + b 2 ab 0
只需证; ( a b ) 0
2
所以 a + b 2 ab 0
所以
a + b 2 ab
本题条件 已知定义 ⇒ A ⇒ B ⇒ C 已知公理 已知定理 ⇒ 本题结论
4.分析法和综合法的优缺点： 分析法的优点： 解题方向明确，容易找到解题的思路和方法； 缺点：思路逆行，叙述较繁.
综合法的优点： 从条件推出结论，较简捷地解决问题； 缺点：不便于思考.
注：解题时，一般用分析法寻找解题思 路，再用综合法写解题过程
数学归纳法
直 接 证 明
一.综合法 1.定义：从已知条件出发，以已知的定 义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出 要证明的结论为止.
其推证过程为：
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
2．综合法的推证过程 A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
因为;( a b ) 0 成立 a+b ab 成立 所以 2
2
a+b 所以 2
ab 成立
例：已知a > 5，求证 ： a -5 • • • • • • • •
a -3 <
a-2 -
a.
证明: 要证 a -5 - a -3 < a -2 - a 只需证 a -5 a < a -2 + a -3 只需证 a(a - 5) < (a - 2)(a - 3) a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0<6 只需证 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
特点： 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”
（由因导果）
• 例 1 ． a 、 b 、 c 为互不相等的正数，且 a2 ＋ c2 ＝ 2bc. 则 下列关系中可能成立的是( ) • A． a＞ b＞ c B．b＞c＞a • C． b＞ a＞ c D． a＞ c＞ b • 解析： ∵ a 、 b 、 c 为互不相等的正数， ∴ a2 ＋ c2 ＞ 2ac， • 即2bc＞2ac.∴b＞a.排除A、D.从B、C来看，b＞c， • ∴a2＋c2＝2bc＞2c2.∴a2＞c2，∴a＞c. • ∴b＞a＞c可能成立． • 答案： C
• 例2．已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证： a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2. • 证明： ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2， • a4＋c4≥2a2c2， • ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)． • 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. • 又∵a，b，c互不相等， • ∴a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.
练习1.:如图，已知AB,CD相交于点O, △ACO≌△BDO,AE=BF, 求证：CE=DF C A
F
E O
B
D
练习2.已知a 0, b 0 ，
a b a b 求证： b a
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手能 找到证明的途径，则用综合法，否则用分 析法. 2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条件 ，在解题表述中要注意语言的规范性和逻 辑性.
1.2
综合法和分析法
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向
演绎推理为合情推理提供了前提且对猜想作出判决和证明
猜想需要推理
否定猜想? 肯定猜想?
举反例 证明
比较法 直接证明 证明 间接证明 综合法 分析法 反证法
二.分析法 从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条 件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 A B
已知条件
a+b 分析基本不等式： 2
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证 ab 2 a + b 2 ab 只需证
只需证 只需证
a + b 2 ab 0
( a b) 0
2
因为 ( a b ) 0 成立 a+b ab 所以 成立 2
2
分析法证明的逻辑关系是：
A(已知) B1 B2 … Bn . B(结论)
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已 知” （执果索因）
a+b 分析基本不等式： 2
作业：
P12 习题1-2 第2、4 题