第五讲波动理论
物理波动理论
物理波动理论物理波动理论是关于波动现象的一个重要领域，它涉及到光、声、电磁波等各种波动现象的研究。
本文将介绍物理波动理论的基本概念及其应用。
一、波动理论基础1. 波的定义波是一种能量或物质传递的方式，它通过振动在介质中传播。
波有许多种类，包括机械波、电磁波等。
2. 波动现象的特点波动现象具有波长、频率、波速等特征。
其中，频率是波动的振动次数，波速是波动在介质中传播的速度。
3. 波的传播方式波的传播可以通过介质传递，也可以通过真空中的电磁场传递。
不同类型的波有不同的传播方式。
二、光波动理论1. 光的波动性质光是一种电磁波，在特定条件下表现出波动现象。
光波动理论解释了光的干涉、衍射等现象。
2. 光的干涉与衍射光的干涉是指两束或多束光波相遇产生互相干涉而形成明暗相间的干涉条纹。
光的衍射是指光波通过细缝或障碍物后的扩散现象。
3. 光的偏振光的偏振是指光波中的电矢量只在某一平面上振动的现象。
这种现象可以通过偏振片实现。
三、声波动理论1. 声的波动性质声是一种机械波，是由物体振动引起的气体、固体、液体等介质中的压缩与稀疏传递而产生的波动。
声波动理论解释了声音的传播和共鸣现象。
2. 声音的传播声音通过介质中的分子振动传播，不同介质的声速不同。
声音在固体中传播最快，在气体中传播最慢。
3. 声音的共鸣共鸣是指当一个物体的固有频率与外部声波的频率相同时，物体容易发生共振现象，产生较大的幅度。
四、波动理论的应用1. 波动理论在医学中的应用波动理论在医学成像技术中得到广泛应用，如超声波成像、核磁共振成像等。
2. 波动理论在通信中的应用光纤通信是利用光的波动传播特性实现的高速数据传输技术。
3. 波动理论在工程领域的应用波动理论在声学工程、地震勘探等领域中起到重要作用，如声波检测、地震波传播等。
结语物理波动理论是研究波动现象的重要理论体系，涉及到光、声、电磁波等各种波动现象的研究。
对于理解和应用波动现象具有重要意义，对于推动科学技术的发展也起到了至关重要的作用。
第5章波动学基础
x y = Acos[ω(t − ) + ϕ0 ] u + ∆t x+u∆t )+ϕo] = Acos[ω(t
u
上式表明， 时刻x点的振动状态 点的振动状态， 上式表明，t 时刻 点的振动状态，经时间∆t后传播到了 后传播到了 x+u∆t 处。即经时间∆t波沿 轴正方向传播了距离 ∆t，如图所 波沿x轴正方向传播了距离 波沿 轴正方向传播了距离u ， 示。 y
总之, 波动(或行波 是振动状态的传播，是能量的传播， 或行波)是振动状态的传播 总之 波动 或行波 是振动状态的传播，是能量的传播， 而不是质点的传播。 而不是质点的传播。 2 . 纵波和横波 横波——振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 横波 振动方向与传播方向垂直 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。 纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。 振动方向与传播方向相同，如声波。 纵波 振动方向与传播方向相同 纵波可在固体、液体、气体中传播。 纵波可在固体、液体、气体中传播。纵波的特征是有稀密相 间的介质区域。 间的介质区域。
λ y = Acos(ωt kx + ϕo )
) + ϕ0 ]
λ
的传播方向一致。 的传播方向一致。
13
2.平面简谐波运动学方程的物理意义 平面简谐波运动学方程的物理意义
x y = Acos[ω(t − ) + ϕ0 ] u
运动学方程中含有两个变量x和 ， 运动学方程中含有两个变量 和t，它即反映了媒质中各质点 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。 (1)当x=xo(确定值 时，位移 只是时间 的余弦函数 当 确定值)时 位移y只是时间 的余弦函数: 只是时间t的余弦函数 确定值
波动理论
波面 波 线
平面波
球面波
●在 固体中
G－介质切变模量 Y－介质杨氏模量
4.波长和频率 ● 一个完整波的长度,称为波长.
● 波传过一个波长的时间,叫作波的周期 ● 周期的倒数称为频率.
● 正常人耳的听觉范围： 20 < ν < 20000 Hz I下 < I < I上
人的耳朵对空气中 1 kHz 的声音：
声阈
------闻阈 ------痛阈
3. 声强级(sound intensity level) 由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强级来描述声强的强弱。规定声强 I0=10-12 瓦/米 2 作为测定声强的标准
一维驻
二维驻
· 驻波的特点
①振幅：各处不等大，出现了波腹（振幅最大处）和波节（振幅最小处）。相邻波节间距 λ/2，测波节间距可得行 波波长。
波腹的位置：
波节的位置为： ②相位：相位中没有 x 坐标，故没有了相位的传播。驻波是分段的振动。相邻段振动相位相反
· 驻波的能量
讨论：· 在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。
· 当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。 · 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。它是媒质的一种特殊的运动状态， 稳定态。
8 多普勒效应（Doppler effect）
观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。
约定：
(1)波源不动,观察者以速度相对于介质运动
vS = 0 ， vR ≠ 0，
第5章-波动
x 可理解为 x 点振动相位比 y = Acos ω t − + ϕ 原点振动相位落后 / u 原点振动相位落后 ωx/u
沿 –x 方向传播的平面简谐波的波函数为
x 可理解为 x 点振动相位比 y = Acos ω t + + ϕ 原点振动相位超前 / u 原点振动相位超前 ωx/u
传播） （沿 –x 传播）
2. 惠更斯原理 (Huygens’ principle) (1) 波线和波面 (wave line and surface) 波传播方向的直线形象地称为波线。 波传播方向的直线形象地称为波线。 波传播过程中相位相同的点组成的平面叫波面。 波传播过程中相位相同的点组成的平面叫波面。 波传播时最前面的波面称为波阵面或波前。 波传播时最前面的波面称为波阵面或波前。 一般情况下，波线垂直于波面。 一般情况下，波线垂直于波面。 u 波面是平面的波叫做平面波。 波面是平面的波叫做平面波。 波面是球面的波叫做球面波。 波面是球面的波叫做球面波。 S2 S1 r1 O r2 波面 波线 波线 S1 S2 波面
例3 平面简谐波以 u = 20m/s 向右传播，已知点 A 振动 / 向右传播， y = 3cos(4πt – π) m，已知 D 在 A 右 9m 处，分别对以 π ， 下两种情况写出波函数和 D 点振动函数：(1) x 轴向左, 点振动函数： 轴向左 A 为原点；(2) x 轴向右，以 A 左方 5m 处 O 点为原点 为原点； 轴向右， x 0 –9 0 5 14 x u x x O A A D D 解：(1) x 点相位比 A 点领先 (2) x 点相位比 A 点落后 x x π x−5 π ω ω = 4π = x = ( x − 5) u 20 5 u 5 所以 x 点振动函数即波函数为 y = 3cos [4πt − π( x − 5) 5 − π] π π y = 3cos4πt + x − π (m) = 3cos4πt − x (m) 5 5 4 D 点振 yD = 3cos 4πt − π (m) yD = 3cos 4πt − 4 π (m) 动函数 5 5
浅谈物理学中的波动理论
浅谈物理学中的波动理论波动理论是物理学中的重要学科之一，它以分析波动现象的本质和特征为主，常被应用于声波、光波、电磁波和海浪等领域。
波动现象在自然界中十分广泛，任何物质都有可能发生波动。
本文将从波的基本概念、波的分类、波的传播特性以及波的应用等方面进行详细讨论，以便更好地了解物理学中的波动理论。
一、波的基本概念波是由连续的物理量在空间中逐点地传播而产生的现象。
波动通常与某种运动或振动相联系，如弹性波和电磁波等。
波动需要介质的存在，介质可以是空气、水、固体等，介质是波传播的载体。
波的特点是具有波动性、传播性和干涉性。
波动的本质是连续物理量的传递，它的传递过程是以能量的形式进行的。
波的传播速度与介质有关，如空气中的声速、铜中的电流速度等。
波还具有相位差的概念，即在空间一点上同一时刻内的同一物理量的变化量不同。
二、波的分类波可以分为机械波和电磁波两大类。
机械波需要介质的存在，包括横波和纵波。
横波垂直于波传播方向振动的波，如水波。
纵波平行于波传播方向振动的波，如声波。
而电磁波不需要介质，以电磁场的形式传播，是由振荡电荷和振荡电流产生的波动，如光波、无线电波等。
波的分类还可以细分为长波、中波、短波等等，其区间的划分依据于波的频率及波长。
三、波的传播特性波的传播特性主要涉及干涉、衍射、共振、反射等。
干涉是指两个或多个波在空间中和谐共处，产生相互作用的现象，会出现消长、反馈、共振等现象。
例如光的干涉在实际中应用非常广泛，如干涉仪、双缝干涉等。
衍射是指波产生阻碍物等障碍物时，波可以往后辐射的现象。
衍射的大小与波长相比与障碍物大小的比值有关。
衍射在光学领域也有很多应用，如杨氏双缝干涉、衍射仪等。
共振是指某个物体受外力作用而发生振动时，如果外力的频率与该物体本身的谐振频率相等，就会产生共振现象。
共振的基本原理应用于许多科学技术领域，如桥的结构设计、发动机的振动控制等。
反射是指波遇到障碍物时，部分能量被反射回去，受到影响发生波动的物质的信号可以通过反射波对信号进行采集和定位。
波动理论
其他分析方法
（1）用两种指数来确定整体走势
著名的道琼斯混合指数是由20种铁路，30种工业和15种公共事业三部分组成的。据历史的经验，其中工业和 铁路两种分类指数数据有代表性。因此，在判断走势时，道氏理论更注重于分析铁路和工业两种指数的变动。其 中任何单纯一种指数所显示的变动都不能作为断定趋势上有效反转的信号。
（1）多头市场,也称之为主要上升趋势。它可以分为三个阶段，第一个阶段是进货期。在这个阶段中，一些 有远见的投资人觉察到虽然是处于不景气的阶段，但却即将会有所转变。因此，买进那些没有信心，不顾血本抛 售的股票，然后，在卖出数量减少时逐渐地提高买进的价格。事实上，此时市场氛围通常是悲观的。一般的群众 非常憎恨股票市场以至于完全离开了股票市场。此时，交易数量是适度的。但是在弹升时短期变动便开始增大了。 第二个阶段是十分稳定的上升和增多的交易量，此时企业景气的趋势上升和公司盈余的增加吸引了大众的注意。 在这个阶段，使用技术性分析的交易通常能够获得最大的利润。最后，第三个阶段出现了。此时，整个交易沸腾 了。
（2）据成交量判断趋势的变化
成交量会随着主要的趋势而变化。因此，据成交量也可以对主要趋势做出一个判断。通常，在多头市场，价 位上升，成交量增加；价位下跌，成交量减少。在空头市场，当价格滑落时，成交量增加；在反弹时，成交量减 少。当然，这条规则有时也有例外。因此正确的结论只据几天的成交量是很难下的，只有在持续一段时间的整个 交易的分析中才能够做出。在道氏理论中，为了判定市场的趋势，最终结论性信号只由价位的变动产生。成产量 仅仅是在一些有疑问的情况下提供解释的参考。
（2）波动理论每次都要两种指数互相确认，这样做已经慢了半拍，走失了最好的入货和出货机会。
（3）波动理论对选股没有帮助。
第五章波动-精品
T 1 0.2s
5
1m
3
u 1.67ms-1 T
（2）波谷经过原点的时刻
(y ,t) 0 .0 c2 1 o t 0 s 6 ( y )
u t = 0 Tu
Y
0
k
2
(0,0)0.02
再过T/2 = 0.1 s 第一个波谷经过原点， 以后每过T=0.2s 时间波谷经过原点。
F
* 震中
五、 流体中的声波 u B
0
B-体变弹性模量, 0-无声波时的流体密度
p
理想气体: u RT
= Cp /Cv , 摩尔质量 p
V0+ V
p
声压： p B V
V0
p 容变
5.3 波的能量 波的强度
一、传播介质的能量
振动动能 + 形变势能 = 波的能量 1.弹性波的能量密度 (以细长棒为例)
波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是 质点的传播。
2. 横波和纵波
横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。 纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。
波谷
振动方向
传播方向 波密
波峰 波疏
注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。
结论：
1）质元并未“随波逐流”： 波的传播不是介质质元的传播
y峰 （ 6 ） kk 3 m （ k0， 1 ， 2 ， ）
例题 已知：平面简谐波波函数
yx,tAco s tu x 3
求：原点和 x 处质点的振动表达式， 并画出振动曲线 。
4
解： 1）原点y：(0 x,＝t)0，该A处c的o振 s动t( 表达式)为：
波动理论与波动现象
波动理论与波动现象波动无处不在，在我们的日常生活中，我们可以观察到许多波动现象，如水波的涟漪、光波的折射和声波的传播。
这些波动现象在物理学中有着重要的意义，而波动理论正是研究和解释这些现象的理论基础。
波动理论最早起源于17世纪的荷兰科学家惠更斯和法国物理学家弗朗索瓦·阿拉戈的研究。
他们通过实验证实，波动是由能量的传播引起的。
根据波动理论，能量以波动的形式在介质中传播，介质的分子或粒子并不会移动，只是负责传递能量。
这一理论有助于我们理解光、声、水波等各种波动现象的本质。
在波动理论的发展过程中，有两个重要的成果值得一提。
一个是光的波动性，即光既可以被看作是粒子（光子）也可以被看作是波动形式传播。
这一理论由英国物理学家牛顿提出，并由法国物理学家亚当·夫歇证实。
通过干涉和衍射实验证明了光的波动性，这一发现对光学的发展产生了巨大的影响。
另一个是薛定谔方程的提出，这是关于波动方程的基本方程，适用于微观粒子如电子等的波动性研究。
薛定谔方程表达了粒子的波函数的演化规律，即描述了粒子的波动性质。
薛定谔方程的提出开创了量子力学的基础，深刻改变了人们对微观世界的认识。
除了理论上的突破，波动的实际应用也是非常广泛的。
其中一个应用是声波的成像技术，如超声波检测。
超声波将声波的波动性质应用于医学领域，通过声波的反射和衍射，可以得到人体内部的影像，从而实现对疾病和异常的检测。
这一技术在医学影像学中起到了重要的作用。
另一个应用是地震波的探测技术，即地震勘探。
地震勘探利用地震波在地下传播的特性，通过检测地震波的反射和折射，可以推断出地下的地质结构和资源分布情况。
这种技术在石油勘探和地质灾害预警中有着重要的应用。
此外，波动理论还被广泛应用于光学和电磁学领域。
通过对光波和电磁波的研究，我们可以实现无线通信、光纤通信和光学存储等技术。
这些应用都离不开波动理论的研究和理解。
总的来说，波动理论是理解和解释波动现象的基础。
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1
一 平面波的基本概念
频散关系 相速度和群速度 频散波和非频散波
Re0 ei (kxlyt ) Re0 ei ( )
2
频散关系
频散关系是指波动的频率和波数之间的关系， 它代表了某种波动的特征，任何一种特定的 波动都有其特定的频散关系，因而频散关系 也是确定波动性质的非常有效的工具。
y
26
位涡方程变形为
f0 q f0 y 2 ( y h0 ) LD D
2
U f 0 q x 0, q y y yU 2 , q t 0 LD D
q
2
L2 D
( t U x )q x 0 i .e.( t U x )(
47
共振的发生
m
2 m2 L D
0
此时发生共振，一般情况下共振的发生都是 在外强迫的频率和系统Normal Mode的频率 一致时发生的。
48
四 斜压Rossby波的初步知识
垂直方向的层结，相当于增加了垂直方向的 边界，因而斜压Rossby波实际上就是垂直方 向的边界产生的Normal Mode波动，因而也 将斜压Rossby波的各个模态称为Baroclinic Mode。
33
6 长波的非多普勒效应
k L
2 2 D
f0 D cU 2 U 2 2 2 K LD LD LD
f0 U q y yyU 2 LD D
长Rossby波的一个特殊性质就是非多普勒效 应，产生这个情况的原因是平流的多普勒效 应和平流产生的环境位涡梯度效应相互抵消， 因而长Rossby波的波速是不变的，假定不考 2 c L 虑地形效应，长Rossby波的波速为 x D
11
2 f=0（无旋转）下平面无限等深 流体内的波动
tt c 2 xx 0,
c gH
c c0
c 0 K
浅水重力波是二列方向相反，频率大小相同 的波动 ，这是一种非频散波。
12
浅水重力波
x 0 t=0
t=t1
t=t2
Cot
u=(g/H)1/2 =0
13
浅水重力波
x
0
t=0
0/2 t=t1
0/2 t=t2
t=t3
u=0, =0
wave wake
wave front
14
3 f=C（f平面）下平面无限等深流 体内的波动
{ f c K }
2 2 0 2 1 2
无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同 的波动。在海洋上这种长波称为邦加莱波 （Poincare）。在气象上，这种长波称为惯性重力 波，即在地球旋转影响下的重力波。旋转（地转） 使波速增大。频率大于f，周期小于地转周期的一 半。即频率大大地超过大尺度大气海洋缓慢地运 15 动频率。
2
L
2 D
) x 0
27
定常情况
J ( , Q ) 0
有地形存在而不存在行星涡度梯度下，流动 沿等深线；不存在地形而存在行星涡度梯度 下，流动沿纬线。
28
非定常情况——Rossby波
此时可以发现地形、海面起伏（环境涡度梯 度）和科氏参数变化（行星涡度梯度）是等 价的，即如果只存在地形的话就可以产生地 形Rossby波；只存在行星涡度梯度的话也可 以产生Rossby波。
19
Kelvin波
c0 k
波动传播的x方向满足地转平衡，由于y方向存在边 界限制，波动在y方向不满足地转平衡，整个波动是 非地转的。由于y方向存在边界限制，只有y方向上 有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减 。开尔 文波的传播方向和边界位置有关，对于一个面向波 转播方向的观察者来说，在北半球，边界位于其右 侧，而在南半球，边界位于其左侧。
2 c0 gH0
9
定常运动
g u f y g v f x
如果运动为定常的浅水小振幅运动即为 地转流
10
非定常运动——波动
对波动而言波动的主控动力学方程是相同的， 不同主要是边界条件的不同，不同的边界条 件（强迫）决定了不同的波动的频散关系 （频散关系即频率和波数之间的关系，它决 定波动的特性），也就决定了不同性质的波 动．下面我们就在不同的边界条件下讨论不 同性质的波动
34
观测到的长Rossby波波速
35
7 Rossby波的能量传播图
2 F L D
k 0 2 2 2 [k ] l F 2 2 4
k2 l2 F
波矢必须位于k-l平面的一个圆上 ,0) 圆心：(
2
2 ( 2 F )1 2 半径： 4
Rossby波的产生和位涡密切相关，位涡梯度 的存在是Rossby波的恢复机制。
25
考虑基本流和地形作用
f0 q f 0 y 2 hB LD D
2
LD
2
gH 2 f
q q q'
U( y )dy U0 y
hB y h0
30
3 Rossby波的形成机制
y westward f, so
x
位涡守恒和位涡梯度的存在是Rossby波形成 的机制。
31
4 Rossby波的相速度和群速度
c
k
2 K 2 L D
c gx
2 (k 2 l 2 L D) 2 2 ( K 2 L D )
43
44
45
46
9 强迫Rossby波
t (
2
L2 D
) x Foei(mx t )
0ei(mx t )
0
2 i( (m2 L D ) m)
F0
与自由波不同，强迫波的波数和频率已经由 外强迫所确定，振幅未知。 所得的解一般不满足初始条件。
36
能量传播图
l
K
Cg
k
(a, 0)
[/(-2), 0]
Where a=/(-2)-[(/(-2))2-LD-2]1/2
37
8 有界区域中的Rossby波反射、 Rossby波的Normal Mode
由于边界的存在，波动的波数不再是连续的 了，与前述离散的邦加莱波类似，此时的 Rossby波的波数也只能取离散的特定值。
Re ( y)e
i ( kxt )
考虑一个平行于x轴的宽度为L的通道。 引入边界条件：y=0，l时，v=0 ，代入动力 方程。
17
频散关系
离散的邦加莱波 Kelvin波 惯性震荡 地转流
18
离散的邦加莱波
n 2 2 1 2 n { f c0 (k 2 )} L
邦加莱波特点
其中R为Rossby变形半径=C0/f RK RK 1 短波： f 旋转的影响相对于重力的影响是次要的 长波： RK 1 f 惯性振荡，重力的影响是次要的
( )2 1 R2 K 2 f
16
4 f=C（f平面）下水平有界等深流 体内的波动
k1
2 1 2 1
A2e il2 Y A1 eil1 Y 0
2 D
k l L
1 2
k1
2 2 2 k1 l2 L D
l2 l1 0
l2 l1 0
1 1 1
A2 A1e 2 il1Y
1
2 Re{ A1ei ( k x l y t ) e 2il Y }
2 2 2
此波特点是类似于无限平面等深浅水中的平面波， 亦是向正，反两个方向传播的，不同之处在于y方向 的波数l只是特定的值，l不可能任意取值，这恰恰 是由边界条件的特性决定波动的特性，只有特定频 率的波才满足一定的边界条件。此波也是Poincare 波，是一种特定条件下离散的Poincare波。
20
特殊的Kelvin波——赤道Kelvin波
Kelvin波作为一种边界波，需要边界的存在。 科氏参数f在赤道为0，形成了一种特殊的边 界，产生了赤道Kelvin波。
21
惯性振荡 和地转流
f
0
惯性震荡的解代入原式求解，解也为开尔文 波。 等深渠道中波解的完全谱包括Poincare波， kelvin波，地转流 。
24
1 Rossby波的动力方程——准地 转位涡方程
2 f02 f f 2 2 0 0 ( ) 0 y hB t Hg H Hg x y y x 2 f f g y 2 0 hB 0 H Hg g J ( , g ) 0 t
38
反射的示意图
39
在能量图中的表现
40
反射波形成的Normal Mode
Incident wave K1 Cg Cg reflected wave K2向Normal Mode的推导
1 Re{ A1ei ( k x l y t ) }
x 1 1
1 2 | y Y 0
7
1 运动方程
u fv g t x
v fu g t y (uH0 ) (vH 0 ) 0 t x y
浅水中的线性化方程，非线性平流项已经去 掉，由上述方程组消去u，v，就可以得到水 位方程
8
水位方程
2 2 [( 2 f 2 ) (c0 )] gfJ ( H 0 , ) 0 t t