灰色系统理论建模全教程
基于灰色系统理论的建模方法介绍PPT课件
2.2 灰色生成
将原始数据列中的数据，按某种要求作数据处理称为生成。 对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在 规律。
令x(0)为原原始始数序列列：,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)], 特点：杂乱无章
记生成数为x(1) , x(1) [ x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)], 如果
公理2、解的非唯一性原理。 信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际
问题所遵循的基本法则。 公理3、最少信息原理 灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。 信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。 新信息对认知的作用大于老信息。 公理6、灰性不灭原理 “信息不完全”是绝对的。
A
不确定的简单问题
半确定的简单问题
A——简单事物 B——复杂事物 C——确定性事物 D——不确定性事物
4
自组织理论 B
系统科学
非线性科学
C 运筹学
D 灰色理论
数学
概论统计
A
模糊数学
逻辑与直觉思维
5
树高在20米至30米
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
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灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。 差异即信息，凡信息必有差异。
k为介于［0，1］区间上的灰数
△ij(t)=｜xi(t)-xj(t)｜
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例.给出下列数列
x0=﹙20，22，40﹚ x1=﹙30，35，55﹚ x2=﹙40，45，43﹚
试求两级最小差与两级最 大差。
解：先求两级最小差 对于i=1时 t=1， ｜x0(1)-x1(1)｜= ｜20-30｜=10 t=2， ｜x0(2)-x1(2)｜= ｜22-35｜=13 t=3， ｜x0(3)-x1(3)｜= ｜40-55｜=15 min ｜x0(k)-x1(k)｜= min（10，13，15）=10 对于i=2时， t=1， ｜x0(1)-x2(1)｜= ｜20-40｜=20 t=2， ｜x0(2)-x2(2)｜= ｜22-45｜=23 t=3， ｜x0(3)-x2(3)｜= ｜40-43｜=3 min ｜x0(k)-x2(k)｜= min（20，23，3）=3 minmin ｜x0(k)-xi(k)｜= min（10，3）=3
灰色系统理论-3
~ ~
~
1 2
而得到的白化值称为等权均值白化。 等权均值白化。 等权均值白化 (a<b,c<d)
当 α = β 时称 ⊗1与⊗2 取数一致 取数一致；当 α ≠ β 时，称为取数不一致 取数不一致。 取数不一致 定义1.1.10：如果用f(x)表示灰数⊗(x)上不同x的数，则称f(x)为 ： 定义 ⊗(x)的白化函数或白化权函数 白化函数或白化权函数。 白化函数或白化权函数
⊗(A(⊗) B(⊗))=(⊗A(⊗)) B(⊗) = A(⊗))(⊗B(⊗) )
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命题1.3.4 灰矩阵A(⊗)的幂运算 幂运算规则： 命题 幂运算 Ak(⊗) Al(⊗) ＝ Ak+l(⊗)
1.3 灰矩阵
(Ak(⊗))l =Akl(⊗)，其中为k，l为正整数
⊗ ⊗ 注：灰矩阵乘法不满足交换律，所以当A(⊗), B(⊗)∈Gn×n, 一般地， ( A(⊗) B(⊗)) k≠ Ak(⊗)Bk (⊗) 。 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
1.3 灰矩阵
⊗ 22 ⋱ ⊗ nn
的灰矩阵称为对角灰阵 对角灰阵，其中未标出的元素全为零，对角灰阵记 对角灰阵 为diag[⊗11, ⊗22,, ⋯, ⊗nn] 。 ⊗ 命题1.3.6 对角灰阵有以下运算性质 命题 对角灰阵 运算性质： 运算性质
同阶对角灰阵的和、差仍为对角灰阵。 灰数与对角灰阵的数量乘积仍为对角灰阵。 同阶对角灰阵的乘积仍是对角灰阵，且乘法可交换。 对角灰与其转置灰阵相等。
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定理1.1.1：区间灰数不能相消、相约。 ： 定理 例：设⊗∈[1, 2], 则 ⊗-⊗＝ ＝0， 取数一致； ∈[-1, 1]，取数不一致. ⊗/⊗＝ ＝1， 取数一致； ∈[1/2, 2]，取数不一致.
灰色模型GM1-N及其应用ppt课件
dX
(1) 1
dt
aX
(1) 1
b1
X
(1) 2
b2
X
(1) 3
bN
1
X
(1) N
这个微分方程模型记为 GM（1,N）。
（1）
方程（1）的参数列记为 (a,b1,b2 ,bN1)T ，
再设 YN
，将方程（1）
(
X
( 1
0)
(2),
X
(0) 1
(3),,
X
(0 1
)
(n)) T
按差分法离散，可得到线性方程组，形如
YN Bˆ
按照最小二乘法，有
（2）
ˆ (BT B)1 BT YN
（3）
其中，利用两点滑动平均的思想，最终 可得矩阵
B
1 2
(
X
(1) 1
(1)
X (1) 1
(2))
1 2
(
X
(1) 1
(2)
X (1) 1
(3))
X
(1) 2
(2)
X
(1) N
(2)
X
(1) 2
(3)
X
(1) N
(3)
§3 灰色模型 GM(1,N)及其应用
客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般 都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成 数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系 统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机 性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以 对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方 程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系 数。
来发展趋势减弱的子因素加以较大的权，对
有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做
第六章：灰色系统建模
xˆ(1) (k 1) (x(0) (1) b )eak b ; k 1, 2, , n
a
a
4、还原值
x(0) (k 1) (1) x(1) (k 1) x(1) (k 1) xˆ(1) (k)
定义 6.3.5 称GM（1，1）模型中的参数 a 为发展系数， b 为灰色作用量。
应用灰色系统理论建立ＧＭ(1,1)灰 色动态模型,对西藏红豆杉小枝叶量 与胸径之间的关系进行研究,在此基 础上,对西藏红豆杉小枝叶蕴藏量及 可采量进行估测
☆我国铁路货车需求量预测
要对货车的需求量直接进行 预测是比较困难的,所以选择 对货物的周转量进行预测,然 后根据周转量与货车数的对 应关系预测货车的需求量。 根据铁路货物周转量预测的 特点,结合收集的相关资料,在 对各种预测方法进行分析比 选的基础上,我们选择先用灰 色预测ＧＭ(1,1)进行货物周 转量预测。
其中 z(1) (k) 0.5x(1) (k) 0.5x(1) (k 1); k 2, 3, , n
若 aˆ (a, b)T 为参数列，且
x(0) (2)
z(1) (2) 1
Y
x(
0)
(3)
,
B
z
(1)
(3)
1
x(0)
(n)
时，则称背景取值与导数成分满足平射关系。 定理 6.2.1 微分方程构成的条件有以下三条： 1、信息浓度无限大； 2、背景值是灰数； 3、导数与背景值满足平射关系；
6.3 GM（1，1）模型
定义 6.3.1 称 d (i) (ki ) ax(1) (ki ) b 为灰色微分方程。
《数学建模灰色模型》PPT课件
第一步：级比检验，建模可行性分析。 第二步：数据变换处理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型检验。
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灰建模实例： 北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号 年份
Leq 序号
年份
Leq
1
1986
71.1 5
1990
71.4
2
1987
72.4 6
1991
72.0
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2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
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Байду номын сангаас
树高在20米至30米
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表1.1 三种不确定性方法的比较
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求
侧重 目标 特色
灰色系统
概率统计
模糊数学
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
灰色朦胧集 康托集
模糊集
信息覆盖
映射
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二、灰色系统模型
通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分 预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描 述，是模糊预测领域中理论、方法较为完善的预 测学分支之一。
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定 幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机 过程看成灰色过程。
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灰色模型的优点:
映射
灰序列生成 频率分布
截集
任意分布
典型分布
隶属度可知
内涵
内涵
外延
现实规律
历史统计规律 认知表达
小样本
大样本
凭借经验
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系统建模灰箱方法优秀PPT
2.2 一般最小二乘法原理及算法
ZmHmVm
最小二乘估计虽然不能满
ˆ(H m TH m)1H m TZm 足式 Zm Hm Vm 中的每一个
z
方程，使每个方程都有偏差，但
它使所有方程偏差的平方和达
到最小，兼顾了所有方程的近似
f (t)
程度，使整体误差达到最小，这
对抑制测量误差 v(i)(i 1,, m)
tN
R2
RN 1
RN
Rabt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
yi Ri vi 或 yi a bt vi
v iy i R i或 v i＝ y i a bi t
2.1 利用最小二乘法求模型参数
根据最小二乘的准则有
N
N
Jmi n vi2 [Ri (abi)t2 ]
(H m TH m ) 1H m TE (V m ) 0
如果由测量噪声及模型误差等引起的误差V 的均值为0，且
V与输入矢量Hm是统计独立，最小二乘的估计值是无偏的。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
(2) 最小二乘估计为有效估计。
E ( ~ ~ T ) ( H m T H m ) 1 H m T R m ( H m T H H m ) 1
Input
t(℃) 20 32 51 73 88 95
Process
Rab tv
a, b
Output
R(Ω) 765 826 873 942 1010 1032
1、问题的提出
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意 义下，估计模型的未知参数。
Input
Process
Output
基于灰色系统理论的建模方法介绍PPT课件
3
确定的复杂问题
半确定的复杂问题
B
不确定的复杂问题
确定的半复杂问题 C
D 不确定的半复杂问题
确定的简单问题
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例：某地区1998—2004年总收入，工业收入，农业收入
年份 1998 总收入 18 工业收入 10 农业收入 3
1999 20 15 2
2000 22 16 5
2001 40 24 10
2002 44 28 12
（单位：亿元）
2003 2004
48
60
40
50
8
10
15
70
60
50
40
30
累加生成 (1)与x(0)之间满足如生下成关方系式: 累减生成
映射生成
令x(0)为原始序列,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)],
记生成生数成为数x列(1)：, x(1) [ x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)], 如特果点：规律性强
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
总收入 工业收入 农业收入
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3.1 数据列的表示方式
作关联分析首先要指定参考数据列，参考数据列
常用x0表示。不同时刻数据表示为：
xo=( x0 (1) , x0 (2) , … , x0 (n) )
序号
1
2
3
4
灰色模型原理
灰色系统理论是由我国学者邓聚龙教授于1982年创立的一门横断面大、渗透性强、应用面极广的边缘学科。
它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和有效控制。
如人口系统涉及因素太多，具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律。
下面以灰色模型中应用广泛的GM(l ，l)模型为例，介绍灰色建模方法设)0(X = [)0(x (1), )0(x (2), …, )0(x (n)]为系统输出的非负原始数据序列，对序列)0(X 进行一阶累加生成，得生成序列)1(X ，即)()1(k x =)(1)0(i x ki ∑= (k = 1, 2, …, n)GM(1, 1)预测模型是一阶单变量的灰色微分方程动态模型)()0(k x + )()1(k az = b (k = 1, 2, …, n) (1)其中)()1(k z 为)()1(k x 的紧邻均值生成，即)()1(k z = 0.5[)()1(k x +)1()1(-k x ]，式(1)白化方程形式为:b ax dtdx =+)1()1( 其中a ,b 为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作用量,a 的有效区间是(-2, 2)。
应用最小二乘法可经下式求得：aˆ = T b a ),(= n T T Y B B B ⋅⋅-1)( 其中 B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-111)),()1((2/1)),3()2((2/1 )),2()1((2/1)1()1()1()1()1()1( n x n x x x x x n Y = [)0(x (2), )0(x (3), …, )0(x (n)] 方程的解即时间响应函数为⎪⎩⎪⎨⎧-+=++⋅-=+-)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ))1(()1(ˆ)1()1()0()0()1(k x k x k xa b e a b x k x ak模型检验为确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测实践，可用残差进行检验：(1) 求出)()0(k x 与)(ˆ)0(k x之残差)(k e 、相对误差k ∆和平均相对误差∆： )(ˆ)()()0()0(k x k x k e -=， %100)()()0(⨯=∆k x k e k ， ∑=∆=∆n k k n 11 (2) 求出原始数据平均值x ，残差平均值e ：x = ∑=n k x n 1)0(1(k), e = )(112)0(∑=-n k k e n (3) 求出原始数据方差21s 与残差方差22s 的均方差比值C 和小误差概率P ：21s = ∑=-n k x k x n 12)0(])([1， 22)0(22])([11e k e n s n k --=∑= C =2s /1s , p = P{e k e -)()0( < 0.67451s }通常)(k e 、k ∆、C 值越小，p 值越大，则模型精度越好。