水箱水流量问题-第二十章建立数学建模案例分析
水箱的水流量估计【范本模板】
水箱的水流量估计摘要本文主要讨论了水箱在任意时刻流量随时间的变化问题。
对于问题一,应用EXCEL公式将所给的原始数据化为标准形式得到时间中点与平均流量值，用matlab软件的三次样条插值函数计算出水泵工作时空缺的流量值，做出时间-流量散点图，观察点的分布特征,考虑其最佳的拟合函数形式，最后通过matlab曲线拟合得到在一天内时间与流量的函数关系式：f(x)=97566−16.8x3+0.013x5−83143cos(0.1x)−27478sin(0.1x)在该模型中应用曲线插值和曲线拟合得到时间与流量的关系式,最后利用水泵泵水速度为常数这一原理来检验模型的拟合程度，操作简单结果真实.关键字：时间中点平均流量曲线插值多项式拟合一、问题重述准确地对短时段水塔水流量的预测在良好的用水管理机构中越来越成为至关紧要的一个步骤,对各个城镇的发展也具有重要的意义。
许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，只能测量水箱中的水位，试通过测得的某时刻水箱中的水位的数据，估计在任意时刻t流出水箱的流量f(t)。
二、模型假设2)；1、忽略水位高度对流量的影响（根据托里拆利定律V=√2gH2、影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；3、水泵泵水速度为常数；4、从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；5、流量与水泵是否工作无关。
三、符号说明t: 时间V：水箱的水量V t: t时刻水箱的水量f(t)：任意t时刻流出水箱的流量P:水泵的泵水速度四、模型建立与求解4。
1模型分析问题要求是分析水箱流量与时间的关系，因此我们需要得到具体时间点所对应的流量数据,由于原始数据中只有一个时间段所对应的水量变化值，于是我们用一个时间段的平均流量作为该时间段时间中点所对应的流量值，然后再通过曲线插值拟合得出时间和流量的函数关系式。
4。
2数据处理首先我们要将表中数据换算为标准单位制，其中:时间用小时（h）、水箱水量用加仑（G）换算公式有:1E=0.3024m ， 1m3=1000L, 1L=7.481G用EXCEL公式进行换算，结果如表一:平均流量v̅：v̅=(区间左端水量−区间右端水量)÷时间间隔用EXCEL公式进行计算，计算结果为表二:4。
第十一讲估计水箱水流量模型
6．水箱的流水速度可用光滑曲线来近似。每个用户的 用水需求量与整个区的用水需求量相比微不足道，而且 它与整个社区需求量的增减情况是不相似的。
四、分析与建模
引入如下记号： V、Vi — 水的容积，时刻ti水的容积G）； ti — 时刻（h）； p — 水泵的灌水速度（G/h）; T0 — 初始数据的当天测量时间; T — 当天的时间（以24小时制）; f(t) — 流出水箱的流速是时间的函数（G/h）;
18.49 14.0
2.369 10.0 10.94
/
19.50 16.0
3.411
9.6
11.49 18.6 20.40 15.0
4.425
9.6
12.49 20.0 21.43
/
5.439
8.9
13.42 19.0 22.49
/
6.45
9.6
14.43 16.0 23.42
/
7.468
8.9
15.44
0
606.1 9.981
/ 19.038 542.6
0.921 593.7 10.926
/
19.959 528.2
1.843 583.0 10.954 677.7 20.839 514.8
2.950 571.6 12.033 657.7 22.015
/
3.871 562.6 12.954 639.5 22.958
本问题中使用的长度单位为E(=30.24cm）;容积单位 为G(=3.785L(升))。水箱为圆柱体，其直径为57E.
二维水箱流场问题
二维水箱的流场情况一、实验目的一个其右上角有一平板堵截的二维矩形水箱，堵截的平板与Ox 轴成45度，水箱底面有一个入流孔和一个出流孔，当理想不可压流体以流量1从入流孔流入，而从出流孔流出，作定常流动时，计算水箱内的流场。
设流函数为ψ，水箱底面AB 为零流线，在其上ψ=0，在其余水箱壁上ψ=1，即满足：02222=∂∂+∂∂yx ψψ ψ=0， 在AB 上ψ=1， 在其余箱壁上Figure 1.1 水箱示意图二、实验要求1. 使用不同方法对实验问题进行求解；2. 对不同方法求出的数值解进行比较；三、实验步骤（一）以0.25×0.25为尺寸的正方形网格进行网格划分，划分出25×17个网格，再分开计算区域（红色）与非计算区域（蓝色）；Figure 3.1 水箱网格划分图（二）使用SOR 方法（超松弛迭代法）进行求解1.差分方程：Ψi,j k+1=ω4(Ψi−1,j k+1+Ψi,j−1k+1+Ψi+1,j k +Ψi,j+1k )+(1−ω)Ψi,j k其中k 为迭代次数，ω为超松弛因子。
一般超松弛因子ω为1<ω<2。
当超松弛因子选择恰当，会大大加快迭代收敛的速度。
而对于边长为1的正方形区域第一边值问题，采用等步长正方形网格的研究表明，它的最佳松弛因子为：{ω最佳=2μ=12(cos πN +cos πM )N ×M 为网格数量。
因此：μ=12(cos π25+cos π17)≈0.9875ω最佳=21+√1−0.98752≈1.72772.用fortran 编程（附件1）进行计算，求出数值解（更改ω和允许误差的值进行不同计算）；再用matlab 程序进行绘图（附件3），进行比较。
（三）使用ADI 方法（交替方向隐格式）进行求解 1.差分方程Ψi,j k+12=Ψi,j k +∆t 2(∆x )2(Ψi−1,j k+12−2Ψi,j k+12+Ψi+1,j k+12)+∆t 2(∆y )2(Ψi,j−1k −2Ψi,j k +Ψi,j+1k ) Ψi,jk+1=Ψi,jk+12+∆t 2(∆x )2(Ψi−1,j k+12−2Ψi,j k+12+Ψi+1,j k+12)+∆t 2(∆y )2(Ψi−1,j k+1−2Ψi,j k+1+Ψi+1,j k+1) 2.用fortran 编程（附件2）进行计算，求出数值解（更改∆t 和允许误差的值进行不同计算）；再用matlab 程序进行绘图（附件3），进行比较。
数学建模案例分析
数学建模案例分析数学建模是将现实问题转化为数学模型，并利用数学方法对模型进行求解的过程。
它是数学与实际问题结合的重要手段，能够帮助人们深入理解问题的本质，提供科学的决策依据。
以下是一个数学建模案例分析。
市有4个城区，现准备改造城市供水系统，以满足未来的供水需求。
根据过往的数据分析，每个城区的用水量与其人口数量、平均收入以及大型工厂的数量有关。
现在的问题是如何设计供水系统，使得满足各城区的用水需求，并且降低总成本。
为了解决这个问题，我们需要进行数学建模。
首先，我们需要确定影响用水量的因素。
1.人口数量：根据过往数据，我们可以得到人口数量与用水量之间的关系。
假设每增加1个人口，用水量增加A升，其中A为一个常数。
2.平均收入：平均收入的提高可能会促使人们增加用水量。
假设平均收入每提高1个单位，用水量增加B升，其中B为一个常数。
3.大型工厂数量：大型工厂对水的需求较大，可能对城区的用水量产生较大的影响。
假设每增加1个大型工厂，用水量增加C升，其中C为一个常数。
通过对过往数据的分析和回归分析，我们可以得到A、B和C的具体数值。
然后，我们可以建立供水系统的数学模型：设城区1、城区2、城区3和城区4的人口分别为x1、x2、x3和x4，平均收入分别为y1、y2、y3和y4，大型工厂数量分别为z1、z2、z3和z4设城区1、城区2、城区3和城区4的用水量分别为w1、w2、w3和w4根据前述的假设，我们可以得到数学模型：w1=A*x1+B*y1+C*z1w2=A*x2+B*y2+C*z2w3=A*x3+B*y3+C*z3w4=A*x4+B*y4+C*z4此外，由于我们希望降低总成本，我们还需要引入成本模型。
假设供水系统的建设成本与每个城区的用水量成正比，并且平均每增加1升用水量，建设成本增加D元，其中D为一个常数。
设城区1、城区2、城区3和城区4的建设成本分别为cost1、cost2、cost3和cost4根据成本因素，我们可以得到成本模型：cost1 = D * w1cost2 = D * w2cost3 = D * w3cost4 = D * w4接下来，我们需要优化这个数学模型。
水流问题数学建模
估计水塔的水流量1问题提出某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10．8米时，水泵停止工作．可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位作功率．2问题分析与数据处理由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t)在若干个点的函数值，则f(t)的计算问题就可以转化为插值问题．1．假设1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响．2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时3）水塔为标准圆柱体．考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．839，22．958］．2．体积计算 水塔是一个圆柱体，体积为h D V 24π=．其中D 为底面直径，h 为水位高度。
水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即i i v t f 2)(-∇=具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商．中心差商公式模型及计算结果问题已经转变为根据流速f(t)的一个函数值表，产生函数f(t)在整个区间（二十四小时）上的函数或函数值，插值和拟合是两种最常用的方法．如果建立拟合模型，需要根据散点图的趋势，选择适当的拟合函数形式．如果采用插值模型，可以考虑分段线性插值。
水箱流量
这里我们取级数前5项进行近似（如果想要更
精确可以取更多项）对上式进行积分得：
H （t ）
其中：
令
，
是常数 ， ，
，
我们就得到了一个多元线性回归方程：
6vt 6vt
2.下面把加水过程也考虑在内 因为假设了加水速度是均匀的，所以我们设第一次 加水和第二次加水过程中由于加水使得水位上升的速 度分别是 v(t),和u(t)。第一次加水可以表示成在水位 表达式中加上一个 β6v(t)，第二次加水是在水位表达 式中加上一个 β7u(t)。 当水箱的水容量达到514 g（27E）时开始泵水，达 到677.6 g（35.50E）时停止泵水。所以无法准确知 道泵水时间，但是可以知道是在 [32284,39435]和 [75021,85968]这两个时间段内，不妨假设水泵就是 在这两个时间段内泵水的。
D2 d
用MATLAB做出的f（t）图像如图所示：
水箱水流量问题
模型假设
（1）影响水箱流量的唯一因素是该区公众对
水的普通需要； （2）水泵的灌水速度为常数； （3）从水箱中流出水的最大流速小于水泵的 灌水速度； （4）每天的用水量分布都是相似的； （5）水箱的流速可用光滑曲线来近似； （6）当水箱的水容量达到 开始泵水；达到 停 止泵水。
模型建立与求解
1. 先不考虑泵水过程，设在t时刻水箱中水位 （单位E）为：H=H（t） 则水箱的水的体积（单位，E3）为： 其中，D=47E为水塔直径 则在t时刻流出水塔的水流量为： 反过来有：
由于假设小镇中每天的86400s为周期的周 期函数，任何以时间T为周期的函数都可以展开 为下列的傅里叶函数：
f (t ) H (t ) 4 dt ^ ^ ^ 2 D2 ^ T 2 t ^ 2 t 4 t 4 t cos sin 2 cos 2 1 2 4 5 sin 3 2T 2 T T T T
水箱水流量问题
水箱水流量问题班级：计算122姓名：***学号：*********1水箱的水流量问题（一）问题的提出：许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。
试着通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水时间）t流出水箱的流量f(t)。
假设：(1)影响水箱流量的唯一因素是该区域公众对水的普通需要。
(2)水泵的灌水速度为常数。
(3)从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度。
(4)每天的用水量分布都是相似的。
(5)水箱的流水速度可用光滑曲线来近似。
(6)当水箱的水容量达到514.8g时，开始泵水；达到677.6时，便停止泵水。
给出下面原始数据表，其中长度单位为E（1E=30.24cm）。
水箱为圆柱体，其直径为57E。
23（二）关键字 水箱 ，水流量，水箱容积 ，时间。
（三）问题分析与建立模型 引入如下记号： V ——水的容积； V i ——时刻t i （h ）水的容积（单位G ，1G=3.785L （升）；f （t ）——时刻t i 流出水箱的水的流速，它是时间的函数（G/h ）；p ——水泵的灌水速度（G/h ）。
根据要求先将上表中的数据做变换，时间单位用小时（h ），水位高转换成水的体积（V =πR 2h ），得下表。
32284 35932 39332 39435 433182697 泵水 泵水 3550 344579254 82649 85968 89953 93270泵水 泵水 3475 3397 33402由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度：平均流速=（区间左端点的水量―区间右端点的水量）/区间中点值得下表：410.45/10.94/11.4918.612.4920.013.4219.014.4316.015.4416.016.3716.017.3814.018.4914.019.5016.020.4015.021.43/22.49/23.42/24.4314.025.4512.0做出散点图如图15-1:图15-1 散点图从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟5合的最小二乘法。
数学建模之水厂供水的优化问题
数学建模在实际中的应用水厂供水的优化问题学号姓名专业选址是生活中经常遇到的问题，如向居民输送自来水等都是实际需要考虑的问题，在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将居民区简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。
本模型正是研究了一个向六个居民区输水的A、B水厂的选址问题，本模型把其定义为双选址问题，首先对六个居民点，分成两个区域，然后分别求解。
为了简单易求，也可以首先选择重心法，对其求解，但通过对其结果的分析，发现重心法存在着缺点。
所以采取对模型进行重建的方法，列出了一个二元方程，然后对其最小值进行求解。
一、问题描述（优化选址问题）某城市拟建A、B两个水厂。
水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨，A、B两个水厂日进水量总和不超过80万吨。
A、B两个水厂共同担负供应六个居民区（由表一给出坐标）用水任务，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。
表1：各居民区的位置和拥有的家庭户数表一问题：若A、B两个水厂的位置尚未确定，请确定它们的位置及供水方案使总成本最低。
二、模型假设1.假设水厂与居民点的距离为直线距离，即忽略掉输水管道的路线问题。
2.假设水厂与居民点之间的供水费用仅与供水长度有关，和输水量无关。
3.假设水厂的建设资金是确定的，不会因规模的大小而改变。
成本仅为供水成本。
4.假设水厂和居民区都是理性化的质点。
5.假设居民的用水量就为人均用水量乘上人口数。
而且，长期不变。
三、符号表示四、问题分析通过简单的分析可以的知，总的用水量为74吨，而A、B两厂的总进水量为80吨，所以B两厂的规模只能为（30，50）、（40，40）、（50，30）三种方式。
对于问题一，是典型的线性最优化问题，我们分三种方式对其求解。
而对于问题二，我们则是采用将完全不同的模型：首先，利用聚类算法思想，把六个居民点化分成为两个区域，然后利用重心选址法初步判断和偏微分法求解地方法，分别对A、B两个水厂的位置进行确定。
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综合实验
[学习目的]
1．学习对数学知识的综合运用；
2．学习数学建模——数学应用的全过程；
3．培养实际应用所需要的双向翻译能力。
工科数学而言，学习数学的最终目的应落实在数学的实际应用上，尽管数学也应将训练学生的抽象思维能力为目的，但这也许作为课堂教学的重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学的应用能力——数学建模能力的培养、注意科学研究方法上的培养。
§15.1水箱水流量问题
[学习目标]
1.能表述水箱水流量问题的分析过程；
2.能表述模型的建立方法；
3.会利用曲线拟合计算水箱的水流量；
4.会利用Mathematica进行数据拟合、作图和进行误差估计。
5．水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；
6．当水箱的水容量达到×103g时，开始泵水；达到×103g时，便停止泵水。
二、问题分析与建立模型
1.引入如下记号：
1．算法：
第1步输入数据{x i，y i}；
第2步进行拟合；
第3步作出散点图；
第4步作出拟合函数图；
第5步进行误差估算。
2．实现
在算法步2中使用Fit[ ]函数，步3、步4使用Plot[ ]，步5选用Integrate[ ]函数。
3．误差估计：
来进行检验。
第一段：
对应于t始=（h），t末=（h）
水量分别为v始=514800（G），v末=677600（G）
（1）任意时刻从水箱中流出的水速都可通过该模型计算出来；
（2）可推测几天的流速；
（3）可以将该建模过程推广到用电及用气的估算上。
2．缺点：
（1）如能知道水泵的抽水速度，就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速；（2）通过考虑体积测量的差异建模，该作法包含着某种不准确性。
源程序：
L={{，}，{，}，{，}，{，}，
{，}，{，}，{，}，{，}，
{，}，{，}，{，}，{，}，
{，}，{，}，{，}，{，}，
{，}，{，}，{，}，{，}，
{，}}
fx=Fit[L，{1，x^3，x^5，Sin[]，Cos[]}，x]
graph1=ListPlot[L，DisplayFunction→Identity]
graph2=ListPlot[fx，{x，，}，DisplayFunction→Identity]；
Show[graph1，graph2，DisplayFunction→$DisplayFunction，
PlotRange→All]
图15-2 水箱水流量拟合图
v1=677600-514800；
t2=；
m1=v1/t1；
v2=677600-514800；
t1=；
m2=v2/t2；
p1=m1+Integrate[fx，{x，，}]/t1
p2=m2+Integrate[fx，{x，，}]/t2
%=（p1-p2）p2
运行结果为：
（1）挖土机的利用率；
（2）每小时的平均挖土量；
（3）挖土机空闲和汽车等待时每天平均的损失费。
3．某杂货店只有一个收款台，顾客到达收款台的间隔是服从均值为的负指数分布，每个顾客的服务时间服从均值为标准差的正态分布。
这里时间的单位是分钟，且服务时间不取负值。
对100个顾客去收款台缴款的排队过程进行仿真。