数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命

问题：

目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换?

分析：

分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。

产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。

弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。

自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。

这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。

最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。

案例分析2：城市商业中心最优位置分析

问题：

城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。

某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。

分析：

首先，应对居民到商业中心“最方便”这句话有个正确的理解。“最方便”是居民到中心的总路程最短呢，还是途经的总时间最短?或者是两者都要考虑?也就是怎样衡量“方便”程度。这主要凭个人的理解和根据具体情况采确定。我个人认为用途经时间的长短来衡量方便程度比较好。因为居民出行有步行、自行车；汽车等多种方式，仅用总路程还不足以表述方便程度。以下也以总时间最少为例来说明怎样分析问题。

下一步很容易想到问题的实质是找一个点，使去商业中心的居民到此点所用的总时间最短。这样我们便对所需解决的问题有了大概轮廓，即求点(x，y)，使总时间的目标函数T(x，y)最小。

然后着手分析一下求T(x，y)所需要的数据和条件。显然T(x，y)和每天(或一段时间)到商业中心的人次及各人的途经时间有关。而一居民到商业中心的时间又和他的出行方式及距离有关。

关于人次的信息可以从调查每天到老商业中心的居民估算。但每个居民到商业中心的时间却很不好求。因为居民的住址各不相同且居民数量很大，而且出行方式也不一样。作为一个建模者，需找个方法以获取必要的数据和信息。

我们抽样调查一些居民到商业中心所用的时间来近似获取全市居民到商业中心的平均时间。也可以将城区划分成若干个小区，每个小区用一点来表示。将该小区内居民到市中心等价于从表示该小区的那点出发。再调查每个小区的人数、出行频率及出行方式所占比例，最后得到我们的目标函数。总之，解题的方法不只一种，应视所具备的条件而定。

如以长远的眼光对商业中心进行选址，还应和城市规划结合起来。对未来城市的人口分布、人口密度、居民出行方式、频率和道路的建设做出预测，结合前面的方法来选择最优的商业中心位置。这虽然较为复杂，但决不是可望而不可及的，这里就不再详述了。

按理分析3：不同管理模式的最佳选用

问题：

不同的历史时期，在不同国家出现过不同的管理模式。如：

“金字塔式”——从一般员工到最高决策层中间还有许多层次，由下到上各层人数递减，下层绝对服从其上层。

“矩阵式”——以总经理和管理委员会统领全局，各生产线设一名经理，全权负责生产、销售和市场，每个员工只有总经理和经理两个上司，各生产线间的配合，由相关经理协调。

“实验室式”——由一名主任总体协调，但没有绝对决定权，公司决策由集体投票表决，成员活动不完全受集体限制。

请建立模型分析各管理模式的适用范围，评价其优缺点，并预测每种管理模式的发展前景。

分析：

这是一个经济管理方面的问题，涉及比较广阔的时空领域。经济管理是目前广泛存在的一种社会现象。评价某种管理模式的优劣有许多指标。如何客观准确地加以评价，并讨论每种模式的应用范围，预测其发展前景，都是模型应涉及的方面。如何从定性化到定量化便是本模型的关键所在。

首先，我们可作出适当的假设，分别讨论在不同社会制度、区域经济下的管理模式。

经实际调查和分析提炼，我们可考虑以下评价指标：

1．整个管理系统工作的秩序性。

2．管理系统决策的灵活性。

3．管理系统决策和实施的快捷性和准确性。

4．系统盈利及职工工资福利等。

5．系统的发展前景。

根据这些指标，可找出实际管理行为中影响这些因素的条件。诸如：

(1)公司的规模。

(2)生产产品更新速度。

(3)市场灵敏程度。

(4)市场导向程度和对生产方向准确性要求程度等等。

我们应抓住关键因素，着重分析其在评价模型中所占的比重。为此，我们可从两方面入手：

(I)建立一有关管理模式的评价函数。可结合诸如层次分析法等方法确定各因素所占比重。

这是将抽象的经济政策归结为具有一定规律的数学公式的思维方法。用定量指标来描述管理模式的优劣性。

(II）可利用实际数据建立专家系统，构成神经网格模型，并将模型用于实际，考察实际条件，来选择恰当的管理模式。

此外，还应分析模型的灵敏度，讨论其在实际生活中的应用，进—步预测其发展前景。

案例分析4：轮胎生产方案

问题：

某汽车轮胎公司能够生产尼龙和玻璃纤维两种轮胎，在未来的三个月中将要交付的轮胎数量如下，

适的模子。在未来的三个月内，这两台机器可供使用的生产小时数如下：

每台机器生产每种轮胎的效率以每只轮胎需要多少小时表示如下：

5美元，每只轮胎每个月的存储费用0.1美元，每只尼龙轮胎和玻璃纤维轮胎的材料费用分别为3.10美元和3.90美元，每只

轮胎的装配、包装和运输费用是0.23美元，每只尼龙轮胎的价格是7.00美元，每只玻璃纤维的价格是9.00美元。

该公司管理人员提出以下问题：

1)为了以最小的成本来满足交货需要，应该怎样安排生产?

2)从这一最优的生产安排中所得到的总收益是多少?

3)一台新的惠林硫化机预定在九月初到达。如果支付200美元的小费，就可以提前在八月二日到达，这样八月份就可增加172小时的机器工作时间。这台硫化机到底要不要提前到达?

4)两台机器每年一次的维修检查安排在何时为宜？

分析：

通过粗略估算，每只轮胎的成本总是低于售价：所以一般来说，厂家生产越多，获利越大。但受机器可提供的生产时间和市场需求量等条件的限制，厂家要达到最小成本并满足定货需求的目标，必须制定出合理的生产计划。那么哪些因素对轮胎成本有影响呢／显然库存总费用和材料总费用是关系成本的直接因素，另外，机器的生产时间越长所花费的生产费用也越多，还会抬高成本。关于生产计划的安排，我们可以提出以下疑问：

(1)制约条件

本月机器可供使用的生产时能满足月末的供货需求吗?

(2)制约条件和生产计划的关系问题

①若(1)不能满足，是否应在前一个月或前两个月多生产一些轮胎呢?

②考虑存储费用和轮胎生产费用，假如要多生产，应多生产多少呢?

(3)生产计划

两台机器的生产效率有差异，应该怎样分配每月它们生产的轮胎数量和种类呢?(生产率越高，生产相同数目的轮胎所需工作时间越少，轮胎生产的总生产费用减少从而使成本降低)。

读者还能提出哪些与生产计划有关的问题呢?通过解决这些疑问，我们的生产计划也就逐渐形成了。

管理人员提出的第二个问题与第一个问题紧密相关。因为：

总收益=轮胎总售价-轮胎总成本

轮胎总售价＝轮胎数量轮胎价格。背景材料给出了诸多费用和定货量的值，可以算出总售价，由先前的生产计划可得到总成本，因而总收益可求。

至于第三个问题，我们可不可以看作模型灵敏度问题呢?在所给条件发生变化的情况下，原来的生产计划模型是否仍适用?或者，能用相似的建模方法、原则作出一个新的生产计划吗?假如上述两种方案都不能采用，我们应着手寻找新的途径。如果所给条件是机器提前到达，那么若在此条件下的最小成本(再附加200美元)比第一个问题中的最小成本高，则可认为不必要提前到达。作进一步的思考，现有的两台机器能否满足生产需求，有没有必要增加一台机器?如果所给条件是定货量变化，又会怎样呢?

而对于第四个问题，背景材料只给出了六、七和八三个月份的资料，是不是已知条件不足?假如仅就这些材料作检修安排，我们需不需要做出假设，比如一年中轮胎需求量、机器可供使用的工作时间的变化规律等。在合理的假设下，作适当的维修检查安排。

案例分析5：血型分布规律的探讨

问题：

在A、B、O血型系统中各个民族的血型分布情况极不相同。例如：我国汉族B型血所占的比例大约是欧洲人的三倍。那么，血型分布有何规律。各个国家、地区、民族的极不相同的血型分布情况又为何能长期稳定存在?

血型遗传的简单常识：

在A、B、O血型系统中有三种血型基因——A、B、O基因。每个人都具有两个血型基因，分别取自父母双亲。当然每个人都把自身上的血型基因遗传给子女。如果某人两个基因全是O型，则血型为O型。如果两个基因全A(或全B)或一个A(或B)另一个O，则为A(或B)型。如果两个基因为一个A，一个B，则血型为AB型。下面是北京红十字中心血站提供的数据，试用此组数据验证你的模型的正确性。

表1 各民族的血型分布

分析：

建立此模型的目标是说明为什么“极不相同的血型分布情况能够长期稳定存在”。显然，这是一个用模型验证解释客观情况的例子。在建立模型之前，读者应准确把握原题的含义。“极不相同”、“长期稳定”分别是什么意义?读者可将前者理解为不同地区、国家、民族的不同血型人口所占总人口比例不同。“长期稳定”则存在多种可能理解：是前后两代的稳定，还是呈现循环式稳定，抑或有其它意义的稳定。

再来谈谈应考虑的因素。我们会想到血型遗传规律、目前血型分布状况、婚配情况、人口迁移、以及血型及恋爱择偶的相关性等多方面因素对血型分布的影响。这也许还没有考虑到所有的因素，但至少包括了我们以为最重要的因素。现在我们将面临的下一个问题是，如何合理地取舍、描述这些因素，并在简化的因素下建立初步的模型。你可以定性地对这些因素对整个问题的影响程度做出判断，并依据这种判断建立一个简化的、但基本反映实际情况本质的模型。笔者特别推荐的简化是假设单民族(国家、地区)的封闭系统，且血型与婚配无关系，即不论血型，任何两人结合可能性相同。

案例分析6：证券投资专家系统

问题：

证券投资作为一种金融技术，还没有形成一套完整的理论体系。请读者设计一个证券投资的专家系统，要求该专家系统能根据所提供的影响证券投资的特征因素，输出尽量优化的投资方案。

分析：

设计该专家系统模型至少要达到以下两个目标：

一、该专家系统能根据提供的专家经验进行自我学习。

二、该专家系统能根据所提供的特征因素，输出尽量优化的、投资方案。

模型可以建立以下三个基本结构：

1．知识获取部件

2．知识库部件

3．推理机部件

3个部件的相互关系见下图：

输入：专家经验投资方案

分析： (注：箭头表示数据流方向)

具体分析如下：

一、知识获取部件：该部件的功能是根据专家经验(输入)，调整知识库部件中的决策规则。这是一种在原有决策规划的基础上自我学习并逐步调整、优化决策规则的过程。

二、知识库部件：该部件的功能是贮存当前决策规则作为推理机的工作基础，同时又支持知识获取部件的学习过程，并接受知识获取部件对当前决策规则的调整。我们可以把知识库部件看成“硬结构”，知识获取部件看成“软结构”，“软结构”可以加工调整“硬结构”，但不能一下子全盘改造“硬结构”。

三、推理机部件：作为输入的影响证券投资的各特征因素应当从实际投资活动中抽取，证券在市场上所表现的价格受经济、政治、心理等各方面因素影响，我们将其具体化为三方面：宏观经济、行业部门经济、企业经营。

宏观经济

GNP增率

社会零售商品总额增率工资总额增率

物价指数增率

货币发行量增率

行业部门经济

固定资产增率

流动资金余额

提取的折旧基金

利润总额增率

企业留利增率

企业经营

总边际率

<纯边际率/big>

资产交易量总

总收益

债务率

速兑比率

户接受交易量帐

推理机的输出是投资者所需要的投资方案。推理机推理所依据的规则由知识库部件提供。

人工神经网络是目前解决专家系统的方法之一，读者还可试探其它方法建立本模型。

为了使本专家系统具有更广泛的实用性，还需要精心地设计输入和输出变量，优化人机界面。在推理机部件输入端增设控制信号，使我们可以选择所需要的结果作为输出。