数学建模离散问题建模方法和案例分析

• 一.问题的提出
• 截断切割是指将物体沿某个切割平面切成两部分。
• 从一个长方体内加工出一个已知尺寸、位置预定的 长方体(两个长方体对应的平面相互平行)，通常要经 过6次切割。
• 假定切割费用与切割时扫过的面积成正比，则需要 考虑的不同切割方案的总数是多少？
记作B(k,λ; n)。
• 平衡不完全区组设计的存在性：
• 容易见到， B(k,λ; n)存在的必要条件是：
1)
； k(k1)n(n1)
2)
(k1)(n1) 。
• 有人证明了，除了少数情况，以上条件也是充分的。
回到原问题：由于董事会人数的关系，任意两位董事分在同组 的次数不可能做到完全平衡。只能力求平衡。以九名在职董事为 例 ，可以安排如下：
2) 将“唯一的”推广到大家重复λ次。
• 于是就有了平衡不完全区组设计的概念： • 设S是一个n元集合，B是由S的一些k元子集(或称k元 组) 组成的集合。如果S中的任意一对不同的元素，都
恰好同时包含在B的λ个 k 元子集中,则称（S, B）组成 一个区组长度为k, 相遇数为λ的平衡不完全区组设计。
• 2. Steiner三元系 设S是一个n元集合，B是由S的一些三元子集组成的 集合。如果S中的任意一对不同的元素，都恰好同时包
含在B的唯一的一个三元子集中, 则称( S, B )组成一个
n 阶的Steiner三元系, 记作STS(n)。 • 例如：
• (1,2,3), (1,4,5), (1,6,7), (2,4,6), (2,5,7), (3,4,7), (3,5,6) 组成一个7阶的Steiner三元系。
组别
1
2
3
4
5
6
上午第一节 15
29Βιβλιοθήκη 48367
--
上午第二节 39
68
1
--
24 57
上午第三节
4
--
27
18
35 69
组别
1
2
3
4
下午第一节 123 49 58 67
下午第二节 19 456 37 28
下午第三节 25 34 789 16
下午第四节 26 38 59 147
2.计数问题案例---- 截断切割(CMCM1997-B)
1.
3

n 2

2. 2(n1)
• 1847年，Kirkman证明了： STS(n)存在当且仅当 n6k1或者 6k3 。
Steiner三元系的图形表示：
3. Steiner三元系的推广—平衡不完全区组设计
• Steiner三元系还可以向两个方向推广： 1) 将“三元子集”推广到k元子集；
• 关于算法复杂性(complexity) • 问题—算法—结果 • An algorithm is considered “good” if the
required number of elementary computational steps is bounded by a polynomial in the size of the problem.
• (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)；(1,4,7), (2,5,8), (3,6,9)； (1,5,9), (2,6,7), (3,4,8)；(1,6,8), (2,4,9), (3,5,7)。 组成一个9阶的Steiner三元系。
• Steiner三元系的存在性：
•
容易见到：
假设A和B都是n阶拉丁方，A(aij),B(bij)。如果 n 2 个有序对 (aij , bij ) 各不相同。则称该两个拉丁方正 交。
• 正交拉丁方的存在性
• 1782年，Euler猜测，当 n2(mo4d) 时，n阶正交拉丁 方都不存在。
其中，2阶的不存在性是显然的。6阶的不存在性是 Tarry在1900年证明的。也就是说，36军官问题确实没 有解。 • 直到1960年， Euler的猜想最终被推翻。Shrikhande, Bose, Parker证明了：除了2和6两种特殊情况， n阶正交 拉丁方都存在。
为让董事们充分发表意见，应如何安排各节各组的 董事名单?
二. 分析和建模 关于组合设计
1. Euler36军官问题和正交拉丁方
设 S{a1,a2,,an}是一个n元集合。A是一个 nn阶
矩阵,它的元素为S中的元素。如果S 中的每一个元素都 恰好在A的每一行中出现一次,同时在A的每一列中出现 一次, 那么就称A为S上的一个n阶拉丁方。
排序(ordering)、选择(selection)等。
• 变量的“离散性” —对象通常是以个体形式
出现……
• 问题的“离散性” — 二分问题、七桥问题、
八后问题、二十问问题……
• 方法的“离散性” — 由问题的离散性带来
方法上的离散性。不存在统一的求解模式：常 用的有整数规划、图论、数理逻辑等方法。更 大量的则是枚举法以及所谓的启发式算法……
1. 存在性问题案例---- 董事会会议安排
Mix Well For Fruitful Discussion (MCM1997-B)
一. 问题的提出 An Tostal 公司董事会由29名董事(其中9名在职)组成。
公司要召开为期一天的董事会会议。 上午分3节(sessions), 每节分成6组(groups) 下午4 节, 每节分成4组。
---- J.Edmonds & R.M.Karp (1960) • P --- NP --- NP-C
二. 离散问题建模方法
根据许多数学家的描述，离散问题通常 以以下三种形式出现：
“ Does the arrangement exist? ” “ How many arrangements are there? ” “ What is a best arrangement? ” 这就是存在性问题、计数问题和最优性 问题。
一. 离散数学的研究对象
• 离散数学是“研究离散变量相互关 系和结构的数学理论的总称。包括集 合论、数论、有限群论、组合数学、 图论、数理逻辑、可行计算理论等。”
-----《辞海》
• 离散数学研究的对象是有限集合。 该集合的大小又是与某些参数的组合数 有关。因此，也常常被称为组合结构。
• 讨论的问题类型很多，主要有： • 安排(arrangement)、分类(grouping)、