数学核心素养之数学建模教学案例
基于核心素养的数学建模课程的案例研究——以奶制品的生产与销售模型为例
基于核心素养的数学建模课程的案例研究*———以奶制品的生产与销售模型为例王天松俞芳（昌吉学院数学系新疆昌吉831100）摘要：数学建模课程是高校数学专业的基础课程之一，本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学案例，最后针对案例给出相应的案例反思。
关键词：数学建模；教学案例；模型；反思中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1672-1578（2021)01-0001-03随着我国教育改革的不断发展，核心素养理念在高校教育改革中的地位愈显突出，逐渐成为目前高校教育改革的一项新的要求。
《数学建模》课程的开设和数学建模竞赛的开展促进了高校数学的教学教改，对学生综合素质的提高起到了积极、有效的作用[1-2]。
本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学设计，最后针对案例给出相应的案例反思[3-5]。
1奶制品的生产与销售模型的教学设计1.1教材分析数学建模是高校数学专业重要的一门专业课程，通过这门课程的学习，应使学生获得数学建模的系统知识、数学思想与思维方法。
对于数学专业学生深刻理解和灵活使用数学知识解决实际问题至关重要，其内容是初步进行科学研究的重要工具，在金融、经济、社会科学等方面有着广泛的应用。
事实上，本课程是学生进行毕业论文写作及科研的阶梯，也为深入理解高等数学打下必要的基础。
本节内容选自姜启源版《数学模型》第四章第一节奶制品的生产与销售，是数学规划模型章节中的第一讲，主要是通过分析两个实际问题讲解线性规划模型（简称LP模型）的建模方法和利用LINGO的求解方法。
这节内容将为后面的模型探索打下坚实的基础，同时为了解LINGO软件的使用提供很好的平台，因此本节内容在该章节中具有重要的地位。
1.2学情分析数学系大四的学生具有一定的数学理论基础，而且具备一定的思维能力、逻辑能力以及综合运用知识的能力。
高中数学建模素养培育的教学案例研究
探索篇•教学研究高中数学建模素养培育的教学案例研究方晓英（福建省龙海市榜山中学，福建龙海）摘要：以高中数学为例，分析探究了学生建模素养的培育。
以实际案例为研究细点，分析出通过“创设问题情境，启发建模意识；结合生活问题，深化建模思维”两种培育路径，引导学生学会数学建模的思想，将难以理解的数学问题转化为形象问题，锻炼学生的数学建模思维，增强学生分析和解决问题的能力，从而不断加强对学生数学建模素养的培养，充分激发学生学习数学的兴趣和内在动机，促使学生的数学核心素养和综合能力得到提升。
关键词：高中数学；建模；案例教学数学能力培养原来是培养学生的逻辑能力、计算能力、空间能力等，现在主要是培养学生提出、分析、解决问题的各种综合能力，让学生的创新、应用意识得以提升，帮助他们发展数学建模、探究等能力，并且转化成为实践学习能力。
所以高中数学教学中，培养学生的数学建模能力非常有意义。
高中数学教学中，需要让学生掌握数学的基础知识，同时也需要重视核心素养的培养。
其中，数学建模素养就是学生必备的核心素养之一。
可以说，面对高中抽象复杂的数学知识，如果学生学会数学建模的思想，将难以理解的数学问题转化为形象问题，就可以直观地看到问题和条件之间的联系，有助于找到解题的思路，能够更为轻松地解决实际问题，从而不仅帮助学生积累了丰富的数学知识经验，还增强了学生对数学学习的兴趣和动力，促使学生的数学水平和综合能力得到提升。
一、创设问题情境，启发建模意识高中数学的建模活动，通常情况下都是以小组的形式进行。
因此，在高中数学建模素养的培育阶段，需要学生具备良好的建模意识，能够在小组内合理分工，共同探讨并解决问题。
所以，数学教师可以根据具体的教学内容，为学生设置合理的问题，创设问题的情境，引导学生去探究和学习，帮助学生探寻到学习数学的趣味，能够从数学问题中逐渐抽象出数学模型[1]，让学生可以全身心感悟建模的全过程，达到培养建模素养的目的。
例如，在学习“三角函数模型的简单应用”（人教版）内容时，教师首先让学生学会从图像求解析式的各种方法，了解函数的周期性变化规律，以此更好地了解其中的数学建模思想，让学生的抽象概括、建模能力得到培养，让学生在学习过程中可以更好地感悟数学的建模过程。
211272509_从核心素养的视角_再谈高中数学建模——以“三角函数的应用”教学片段为例
从核心素养的视角㊀再谈高中数学建模以 三角函数的应用 教学片段为例徐德云(江苏省南菁高级中学ꎬ江苏江阴２１４４３７)摘㊀要:数学建模要立足于学生已有的知识与能力ꎬ以学生为本ꎬ以核心素养的培养为目标组织和实施课堂教学.要引导学生积极参与ꎬ通过观察分析ꎬ主动发现情景的本质属性和规律ꎬ要在模型的分析与建立ꎬ以及模型的应用与反思的教学过程中ꎬ引导学生会用数学的眼光观察和发现问题ꎬ会用数学的思维思考和分析问题ꎬ会用数学的语言表达和解决问题.关键词:数学核心素养ꎻ数学建模ꎻ三角函数的应用ꎻ教学设计中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０９－０００２－０３收稿日期:２０２２－１２－２５作者简介:徐德云(１９８８－)ꎬ女ꎬ江苏省连云港人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀数学建模一般包括问题分析㊁模型假设㊁模型建立㊁模型求解㊁模型分析㊁模型检验㊁模型应用七个步骤.数学建模的教学能更好地发挥数学的育人功能ꎬ在引导和培养 学生会用数学的眼光观察世界㊁会用数学的思维思考世界㊁会用数学的语言表达世界 上意义更加深远.本文拟结合高中数学(人教Ａ版)第一册第五章中的«三角函数的应用»的几个教学片断和大家交流这方面的实践与思考ꎬ不当之处还请批评指正[１].１模型的分析与建立首先从学生生活中熟悉的情景出发ꎬ引出要解决的问题ꎬ引导学生观察思考ꎬ教师结合前面学习过的三角函数知识来揭示探究的方向.教学片断１师:生活处处皆数学ꎬ数学无处不生活.正如法国著名的雕刻家奥古斯特罗丹所说: 生活中从不缺少美ꎬ而是缺少发现美的眼睛ꎬ数学亦是如此. 在我们的生活中有许多这样的现象:日出日落㊁春夏秋冬㊁潮汐潮落㊁天体运动等等ꎬ这些现象的共性是都具有周期性ꎬ我们已经知道三角函数是刻画周期性现象的一个重要模型ꎬ这不由得让我们产生这样的思考:可否借助于三角函数去研究这些周期现象ꎬ并进一步对现实中的一些实际问题做出决策㊁给出有参考价值的建议.师:同学们先来看一个动画(课件演示弹簧振子的运动).暂停动画后ꎬ大家想想ꎬ现在开始计时ꎬ怎样可以得出１０秒后弹簧振子离开平衡位置的距离?师:开始动画演示ꎬ继续观察一下这个弹簧振子的运动ꎬ发现有什么特点?生１:来回摆动.师:对ꎬ经过一段时间振子又回到原来的位置了ꎬ这种运动的特点是循环往复ꎬ具有周期性特征.师:既然这样ꎬ我们要解决刚刚提出的问题ꎬ同学们说说看要先解决什么问题?生２:先求出振子离开平衡位置与时间的关系式就好了.师:很好ꎬ我们要抓住其运动规律ꎬ也就是 函数关系式 ꎬ利用其规律来解决问题.师:(追问)你能求出这个函数关系式吗?还记２得函数的表示方法有哪些吗?生２:可以从演示开始ꎬ先采集一些数据ꎬ然后列表㊁描点ꎬ连线ꎬ师:好ꎬ我们一起来采集一些数据(呈现教材中提供的数据ꎬ如表１).表１大家观察一下ꎬ这些数据的变化有什么特征?生３:有正有负ꎬ先是随时间变化变大(增)ꎬ然后再变小(减)ꎬ再变大ꎬ生４:数据会重复的出现ꎬｔ＝０时位移是－２０ꎬｔ＝０.６秒时又变成－２０了ꎬ还有ｔ＝０.１５和ｔ＝０.４５的位移也是一样的ꎬ师:很好ꎬ接下来我们借助计算机ꎬ将其对应的散点图绘制出来.(师演示绘制散点图)师:通过散点图ꎬ我们能较为直观地感受到其运动变化的特点ꎬ现在把这些散点用线连起来ꎬ大家有什么发现?生５:与我们前面学习的三角函数图像 雷同 !师:散点图可以让我们直观地感知到位移和时间的变化特点ꎬ将这些点连线后可以观察到质点运动的一般规律ꎬ从而便于找到合适的模型来解决问题.设计意图㊀立足核心素养的培养目标ꎬ引导学生观察生活现象ꎬ观察数据㊁表格ꎬ观察散点图ꎬ让学生在观察中思考ꎬ在思考中观察ꎬ运用所学的知识去分析问题ꎬ运用所学的方法去探究问题.教学片断２师:实际上ꎬ这个运动在物理中叫简谐运动ꎬ我们来看一下物理中简谐运动的原理.教师播放动画 简谐运动的运动原理 和 单摆沙漏 .师:这些弹簧振动ꎬ单摆沙漏都是简谐运动ꎬ根据我们所学的物理知识ꎬ我们正是用三角函数来刻画其运动的位移和时间的关系.设计意图㊀借助情境中相关的物理知识ꎬ从理论和运动图像上简短地加以说明和验证用三角函数模型刻画周期性现象的可行性ꎬ从而验证了数学思维的正确性.师:物理中也给出其位移和时间的关系式是ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)ꎬ这里我们要做一点说明ꎬ在数学中ꎬ三角函数更一般地形式是ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)＋ｂꎬ因为我们这里的ｘ轴就是平衡位置ꎬ所以ｂ＝０ꎬ那么如何根据我们的数据来确定另外三个待定的系数呢?生６:观察知ꎬ最大的位移是２０ꎬ所以Ａ＝２０.师:那ω呢?求ω就要先求什么?生７:周期.师:对!那周期是多少呢?你是怎么得到的?生８:周期等于０.６ꎬ相邻两个最小值之间就是一个周期ꎬ所以ω＝１０３π.师:好ꎬ到这里就得到了解析式ｙ＝２０ｓｉｎ(１０３πｔ＋φ)ꎬ现在还有一个φ没有确定ꎬ同学们有办法吗?生９:选择一个点的坐标代入解析式.师:这样可以得到一个关于φ的三角方程ꎬ再通过解方程就可以求出φꎬ那么你选择了哪个点呢?生９:ｔ＝０时ｙ＝－２０.师:(板书过程)化简得ｓｉｎφ＝－１.我们知道这样的φ有很多个ꎬ可以统一表示为φ＝２ｋπ＋３２π(ｋɪＺ).为方便起见ꎬ我们可以在前面引入三角函数模型的时候ꎬ对其中的系数进行适当的规定ꎬ如｜φ｜<π.这里我们要做两点说明:第一点ｔ>０ꎬ因为我们是用函数模型去刻画实际问题ꎬ所以函数模型的定义域要受到实际问题限制ꎻ第二点求φ时ꎬ是将初始位置的数据代入得到的ꎬ这个点是函数的最小值点.㊀师:根据上述求解过程ꎬ你能总结一下由函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)的图像求解析式的基本思路吗?学生尝试总结后ꎬ教师总结基本思路:先观察得Ａꎻ再由周期得ωꎻ最后代入初始位置解三角方程得φ.师:现在再请同学们思考一个问题ꎬ能不能用ｙ＝Ａｃｏｓ(ωｔ＋φ)表示位移和时间的关系式?生１０:可以.师:为什么呢?３生１０:因为余弦函数和正弦函数的图像变化规律是一样的ꎬ它可以由ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)经过左㊁右平移得到.设计意图㊀立足核心素养:用数学的语言去表达世界.培养学生对已有知识和方法的运用能力ꎬ提升学生的数据分析与数学运算能力[２].２模型的应用与反思教学片断３师:(面向全体学生)现在同学们能不能回答本节课开始提出的问题?学生齐声回答可以.师:根据我们得到的位移和时间的变化关系ꎬ代入时间ｔ就可求解出相应的位移ꎬ即可以得到任何一个时刻的物体的近似位移.为什么说得到的是近似位移呢?请同学们思考ꎬ然后分组交流㊁讨论.教师可加入学生小组ꎬ聆听学生的讨论ꎬ根据讨论情况对预设的教学过程做出调整.师:(小结学生的发言)因为我们得到的函数模型是在遵循其特征的前提下的 理想模型 ꎬ由于受到诸多因素(如重力作用㊁数据采集误差)的影响ꎬ两者之间通常还有一定的误差ꎬ所以我们即使选择合适的㊁正确的数学模型ꎬ也只能近似地刻画实际问题ꎬ并不是完全地吻合ꎬ同学们会不会有这样的想法:这样的结果有实际应用价值吗?下一节课的学习会帮大家找到答案.师:一旦确定好适合的函数模型ꎬ我们就可以将问题放大ꎬ解决任何一个时刻的位移.这就是我们数学工具的作用ꎬ来源于生活ꎬ又回归应用于生活.师:大家来回忆一下我们解决这个周期性现象ꎬ经历了怎样的过程?学生齐声回答:观察ꎬ描点ꎬ画图ꎬ计算.师:一个物理运动ꎬ动态感知ꎬ收集数据ꎬ绘制图像ꎬ函数模型ꎬ解决实际.设计意图㊀数学建模的意义不仅仅是要让学生应用所学的数学知识和方法去刻画和解决生活中的实际问题ꎬ也不仅仅是要让学生感受数学来源于生活ꎬ又服务于生活的学科价值.我认为更重要的是将新课标的 三会 落实到我们的课堂中ꎬ这样才能更好地激发学生学习的潜能ꎬ才能让学生更爱数学ꎬ学好数学.师:三角函数模型中的系数实际上都有一定的物理意义.我们一起来看一下:Ａ就是这个简谐运动的振幅ꎬ它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离ꎻ这个简谐运动的周期是Ｔ＝２πωꎬ它是做简谐运功的物体往复运动一次所需要的时间ꎻ这个简谐运动的频率由公式ｆ＝１Ｔ＝ω２π给出ꎬ它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数ꎻωｘ＋φ称为相位ꎬｘ＝０的相位φ称为初相.师:了解了三角函数模型系数的相关物理意义之后我们就可以把它用于处理物理相关问题了.给出实例:交变电流问题.师:你们能不能解决这个问题呢?(让学生自己组织研究ꎬ并将解答的过程在黑板上呈现)设计意图㊀凸显应用问题来源于实际ꎬ最后回归于实际ꎬ真正体会建模的价值.从上面教学的过程中我们不难发现ꎬ在新课程标准明确要求转变教育理念ꎬ培养学生核心素养为教育目标的指引下ꎬ做为数学核心素养之一的数学建模ꎬ能够引导学生在实际情境中从数学的视角提出问题ꎬ用数学的思维思考分析问题ꎬ用数学的语言揭示表达问题ꎬ从而有效地培养和发展了学生的核心素养[３].参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１８.[２]徐梦园ꎬ初晓琳ꎬ赵宝江.浅谈中学生数学建模核心素养的培养[Ｊ].中外企业家ꎬ２０１９(１３):１８６－１８７.[３]陈凯.培养学生建模思想发展数学核心素养摭探[Ｊ].成才之路ꎬ２０１９(０６):４１.[责任编辑:李㊀璟]４。
数学核心素养之数学建模教学案例
数学核心素养之数学建模教学案例1引言: 新修订的高中数学课程提出, 数学核心素养是数学课程目标的集中体现, 是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。
高中数学核心素养主要包括: 数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
其中, 对于数学建模, 详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象, 用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。
主要包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题, 分析问题、构建模型, 求解结论, 验证结果并改进模型, 最终解决实际问题。
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁, 是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段, 也是推动数学发展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中, 积累用数学解决实际问题的经验。
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型, 并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力, 增强创新意识。
特级教师张思明提出“我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境, 为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。
近年来, 数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加, 可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念, 旨在引导学生关心社会、关心未来, 实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。
2.中学数学模型的教学2.1中学数学中常见的数学模型分类:（1）与函数的最值相关问题。
工程中的用料最省、利润最大, 列出所求量的函数解析式, 利用代数工具解函数最大值。
（2）线性回归直线、非线性回归直线；如中学生身高和体重的关系, 红铃虫产卵数与温度的关系。
（3）与周期有关的三角函数模型建立。
电路信号, 音频震动, 潮水涨落周期。
（4）线性规划问题。
关于求解含有多个约束条件的, 目标函数的最有解问题。
高中生核心素养之“数学建模”能力的培养与思考——以“建立数列模型解决实际问题”教学为例
2019年第2期（下)中学数学研究31高中生核心素养之“数学建模”能力的培养与思考一以“建立数列模型解决实际问题”教学为例广东省广州市番禺区石楼中学（511447) 梁振强数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达 问题、用数学方法构建模型、用数学知识解决问题的素养，是 学生高中阶段必备的数学核心素养之一.《普通高中数学课 程标准P017年版）》明确指出：“数学核心素养是数学课程 目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.高中 阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直 观想象、数学运算和数学分析.”其中,更是强化了数学建模 思想的核心地位,并以主题的形式要求学生参与数学建模活 动与数学探究活动的全过程，使学生认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用,提升实践能力、增强创新意 识和科学精神.笔者认为，要想提高学生核心素养，首先要提高学生数 学建模能力.如何在高中数学课堂教学中渗透数学模型核心 素养能力的培养，值得一线数学教师实践与思考.下面以“建 立数列模型解决实际问题”的教学为依托，浅谈一下学生核 心素养的根植与培养•一、教学内容与目标1.教材和学情分析本节课是对普通高中新课程标准实验教科书《数学5》(人教A版)第二章《数列》中2.2节一2.5节内容进行整合而 形成的一节实际应用课,主要内容是通过对日常生活中的两 个实例分析，得到等差、等比两种数列模型以及建立数列模 型的具体步骤.数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律 的基本数学模型，等差、等比数列又是数列中最特殊的两种 数列，在日常生活中有着广泛的应用.本节课是关于等差、等 比数列及其求和公式实际应用的一节整合课,是本章内容的 升华，目的是让学生感受这两种数列模型应用的广泛性，并 能够利用它们解决生活中的实际问题.学习本节课之前，学生已经对等差、等比数列的概念及 其前n项和公式有了较深的认识，这对建立这两种数列模型 做好了知识储备.从认知结构方面，大量的数学思维方法如 类比思想、归纳思想、数形结合思想、方程思想等已为学生所 习知.但在分析问题的实际背景、明确问题的复杂条件等方 面还有一定的困难，尤其是用函数的背景和研究方法来认识、研究数列,还没有形成思维习惯，所以“建模”和“解模”两步对学生来说还是个难点.2.教学目标要解决日常生活中有关数列的问题，必须从实际情境中抽象出相应的数列模型，进而转化成数学问题求解.基于以上学情分析，本节课的教学目标如下：(1)学会解决有关等差数列模型的实际问题.⑶学会解决有关等比数列模型的实际问题.(3)明确建立数列模型的步骤.教学重点:建立数列模型的步骤，解决有关等差、等比数列模型的实际问题.教学难点：从生活背景中提炼出相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造等差、等比数列模型，并加以解决.二、主体教学过程设计(—)回顾旧知问题1等差、等比数列相关知识的复习.问题2解决应用问题的思路.教师活动:提问与引导；设计意图让学生更加熟悉数列建模的必备知识并憧得数学知识的系统性与关联性.(二）实例情境1假设某市2013年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1) 该市历年所建中低价房的累计面积(以2〇13为累计 第一年)将首次不少于4750万平方米？(2) 当年建造的中低价房的面积占建造住房面积的比例 首次大于85%?设计意图以实际生活实例让学生感受建立两种特殊数列模型的方法和步骤.问题1描述中低价房的关键信息是什么？它的数学实质是什么？如何把第（1)问转化为数学问题？32教师活动：多重设问引导学生提炼关键信息，板书建模 解模步骤；设计意图使学生很自然地从实际情境中抽象出等差数 列模型并明确“建模”步骤:设—建—解—答.问题2描述新建住房的关键信息是什么？它的数学实 质是什么？如何把第(2)问转化为数学问题？教师活动:提问并组织学生交流解题过程；设计意图培养学生从实际情境中抽象出等比数列模型 醜力.问题3解模中的不等式“n+ 4 > 6.8 x 1.08"-1”能否 用数形结合的方法？教师活动:用几何画板演示.设计意图通过数形结合的方法使学生进一步理解数列 是一种特殊函数.问题4 “每年新建住房面积平均比上一年增长8%”和 “中低价房的面积比上一年增加50万平方米”的数学实质是 什么？设计意图强化学生“识模”B U“抓关键信息”的能九总结建模的步骤:识模—建模—解模—答模，从而突出重点.(三） 实例情境2某家庭打算在2013年的年底花40万购一套商品房，为 此，计划从2007年初开始,每年初存入一笔购房专用款，使 这笔款到2013年底连本带息共有40万元.如果每年的存款 数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存人多少 钱？（1.027«1.1487)设计意图实践建模方法过程.问题5题目中的关键信息是什么？它的数学实质又是 什么？设计意图训练学生抓关键信息、分析关键信息的能力.问题6从2007年到2013年共存了几次钱？每次存的 万元到2013年底的本利和分别是多少？如何把这一问题 转化为数学问题？设计意图明确数列中的计数问题，亲历建立等比数列 模型的方法,重视解模答模的过程，从而突破难点.(四） 目标检测目标检测题1某市一家商场的新年最高促销奖设立了 两种领奖方式，获奖者可以选择2000元的奖金,或者从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天 领取的奖品的价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加 10元，哪种领奖方式获奖者受益更多？你会选择哪种方式？目标检测题2 —名体育爱好者为了观看2016年里约热 内卢奥运会，从2010年起,每年的5月1日到银行存人a元 一年期定期储蓄，假定年利率为P(利息税已扣除)且保持不2019年第2期（下）变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2016年5月1日将所有存款和利息全部取出，则可取出的钱的总数是（）A.-(1+p)7B.®[(l+p)6-(l+p)]P PC.^[(l+p)7-(l+p)]D.^(1+p)6设计1图了解建立等差数列、#比数列模型的达成情况.三、 教学思考数学建模素养作为主要的核心素养，加强其在平常教学中的渗透尤为重要.教师要善于发挥教学的主导和引领作用,促进数学建模素养的落实.新颁布的高中数学课程标准修订稿将数学建模素养划分为三个水平，并且有十分详细的描述,如了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义;能够在熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用;能够在综合的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题等.教师的教学活动应基于数学核心素养而进行，特别是针对三个水平展开对学生数学建模素养的培养•(一） 丰富课堂阅读材料，为学生的数学建模思想应用奠 基.教师应为学生提供丰富的阅读材料，让学生多接触实际生活中的数学问题，了解所熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，从而为学生用数学模型解决现实问题积累经验.(二） 组织学生开展数学建模活动，培养学生的数学能 力.通过开展数学建模活动，可以让学生经历发现问题、解决问题的过程，进而体会数学建模的思想和方法.在数学建模活动中，通过讨论式的教学方法，让学生参与到教学环节中，充分发挥学生的主体作用.(三：）从日常教学抓起,促进学生的综合发展.在教学中不断引导学生会学习、会思考、会应用,能够用数学的思维方式去观察、分析和表示实际问题中的各种度量关系和位置关系，从纷繁复杂的具体问题中抽象出数学信息并建立数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题和解决问题的习惯,在数学教学中进行主题式教学设计和实施，让数学建模素养真正落地.四、 结语重视培养学生数学建模的能力已成为数学教育界的共识，在新课程改革的稳步推进中，数学建模将逐步成为数学教育者关注的重点议题.通过数学模型教学案例探析教学活动，学生的数学运算、逻辑思维能力、数学分析等几个核心素养在模型建构中也会有充分的体现，应用数学的意识肯定能得到逐步增强•可以说六大核心素养是蕴含（下接第15页）中学数学研究中学数学研究15 2019年第2期（下）—、几点感悟1. 关注概念的获得过程.心理学研究成果表明，概念获得方式主要有两种：概念 的同化、概念的形成.数学概念的教学要经历“具体^象体”的认识过程，B卩“概念的外延分类念内涵的归纳、概括-«念的外延辨析”的认识过程，教学设计中要从具体的 角的分类和辨析，归纳得到圆周角的内涵，再通过具体圆周 角的辨析，完成概念的同化和形成过程.于本节课而言，明确 圆周角从那里来尤为重要.章建跃博士指出，“明数学之道，方能优教学之术圆周角首先是一个角，它有一个顶点、两条射线.圆周角,顾名思 义，自然与圆有关，与圆有怎样的关联呢？我们在引导的时候 要强调或解释的内容要点有：圆周角的顶点一定在圆上、并 且两边一定要截一段弧;在圆上，一个圆周角对应圆上一条 弧，圆上一条弧对应着无数个圆周角.圆周角不是来自于圆 心角，但它的两边在圆上所夹的一段弧与所对的圆心角有联 系，因此圆周角与它所对的弧有关，是圆上的一条“弧”维系 着圆心角的“一”与圆周角的“多可以说，圆周角、圆心角 都与它们所对的弧有联系，圆周角因圆而产生，它来源于圆 中的“弧在课堂中，教师利用几何画板，让图形由原来的“不动”变成了“多动”，学生真真实实地经历了观察、猜测、推理、验 证等活动.弥补了传统教学中获得方式的不足，极大地丰富 了学生获取知识的途径.2. 突出图形性质探究中的思维过程.几何探究的核心价值的实现需要通过具体问题的探究 任务来引导学生的探究活动，并使学生的几何直观和推理 能力（数学思维)得到发展.在圆周角性质的探究过程中，通 过从特殊到一般的过程获得性质，再通过演绎推理证明性 质,培养学生直觉思维和逻辑思维能力，符合几何学习的一 般规律,突出思维过程.在教学中，教师利用几何画板度量 ZAOS,得到ZAOS=80°,由此可验证同学们的猜想.并将 其从特殊到一般，在几何画板中改变弧A B的大小，然后再度 量乙40S与角乙4CB,我们同样得到= •乙40S,由此进一步验证同学们的猜想.3. 数学思想的渗透要符合学生的认知生成过程.在图形性质的探究过程中，渗透特殊到一般、分类讨论、化归等基本数学思想，要让学生在具体的探究活动中体验和 反思，形成自觉运用这些思想方法的习惯和能力，要符合学 生的认识规律，不能将思想方法的运用直接抛给学生，而忽 视学生的认知过程.在圆周角性质的探究中，若直接告知学 生分成三种类型，学生不理解要为什么要如此分？为什么首 先研究最特殊的情形？用思维的结果代替思维过程，不符合 学生的认知过程;通过对各种图形进行分析，自主选择研究 (当然也可以首先研究最特殊情形)，反思研究的几种类型，学生感悟到分成三种类型是必要的，明确分类的标准和方法, 完成性质定理的探究和证明，符合学生的“认知生成过程”.本课中，教师利用几何画板，当移动圆周角的顶点时,就出现 了圆心与圆周角的三种位置关系一圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部.较好地突破将 无数个圆周解分成三种位置类型这一难点，为证明作好铺垫.4.几何画板辅助教学要找准切入点，切忌花俏.“教之道在于度，学之道在于悟几何画板的辅助教学如何引导，何时介入，介入多少，这里便有个“度”的问题，要 处理好这个“度”的问题关键是找准切人点.几何画板与数学 课程的整合应整合在关键处,如难点的突破、认知的冲突、规 律的生成以及数学思想方法的呈现等.同时，在课件的设计上切忌花俏,几何画板辅助教学不 是功能展示课,课件的制作过于华丽、花俏，容易分散学生的 课堂注意力，几何画板的辅助教学应在是否体现新的教学思 想;是否体现新的数学思想;是否更简单直接突破教学的重、难点上下功夫.另外要注意的是在教学中,能用黑板或其它教具讲清楚 的问题，不一定要用多媒体，特别是例题或习题讲解时，切忌 用多媒体，要注意黑板的板书,因为板书是把思维过程呈现 给学生的一个重要载体.参考文献[1]胡滨.“圆周角”教学设计应特别关注的三个环节[J].中学数学月刊,2014(7).[2]张爱平.几何课程中体现“过程”的教学策略妨探[J].初中数学教与学，2〇13(1).[3]佘飞.有效设问激活数学课堂的活力[J].教师通讯，2015(2).(上接第32页）在模型建构教学的整个过程中的，因此应当重 视学生的数学建模能力，发展学生的应用意识，从而将学生 的数学核心素养落实到位.参考文献[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准(2017年版）[M]，人民教育出版社，2018.[2]牛伟强，张倜，熊斌，中国中小学数学建模研究的回顾与反思[J],数学教育学报，2017,（5): 66-70.[3]彭慧，高中数学核心素养之建模能力的培养[J],数学教学通讯，2017 (2) : 62-63.。
基于数学核心素养的数学建模教学实践
2020年第8期 福建中学数学 45（2）如图17，//AB x 轴，点A 在函数2y x=上，点B 在函数8y x=上，则AOB ∆的面积是 ． 图本探究过程开门见山，让学生从问题情境中探究一个数学模型．教学中，通过设计有效的“问题串”，将教材中的“静态内容”激活，借助函数图象先从感性认识开始，设置研究模型的一个个小目标，通过计算让学生体会坐标与线段长的关系、比例系数k 与矩形面积S 的关系．学生能比较轻松的获得目标，再通过对比、归纳、猜想，抽象出结论，最后验证结论，实现从感性认识上升到理性认识的认知过程．整个教学过程引导学生，如何将数学问题与数学模型相结合，有利于他们用建模思想解决问题，不仅提升模型意识，也初步体验了数学建模的过程．4 在教学反思中，聚焦模型导学，把握建模悟教4.1 初中学生建模活动——心中有“向”数学模型思想的教学实践过程中，学生在教师的引导下，亲身经历了将实际问题转化成数学模型，计算结果，检验结果，改善方法等数学活动过程，在获得数学理解的同时，也为高中数学的学习奠定了经验基础．学生在遇到问题后，心中有方向，知道从何思考，如何解决，树立了数学学习自信心，在学习主动性、思维能力、数学核心素养等多方面得到进步和发展．4.2 初中教师建模教学——手中有“法”教师的教学不仅要将实际问题转化为数学问题，更要注重方法的提炼，强调用不同的数学模型解决同一实际问题、用同一数学模型解决不同的实际问题．为培养学生的学习兴趣，初中阶段可进行数学建模比赛或数学实验比赛，适时地鼓励学生进行自主探究，培养学生的自主学习能力，帮助他们将知识应用到实践过程中，提升学生的分析问题和解决问题的能力．4.3 初中建模课堂教学——实施有“度”数学建模的过程一般需要学生整合多门课程的知识，需要同伴的合作意识，需要查阅文献资料、收集信息、咨询专家等等．数学建模课堂教学要渗透“思维的灵活性、容错性和广泛性”，但对初中学生教学不能花太多时间，不能对全部学生作为普及性要求，防止把模型思想的教学与数学建模活动的教学要求一样，过于拔高初中学生对数学学习的要求，从而影响初中学生学习数学的信心和积极性．总之，在初中数学教学中应不断渗透模型思想，引导、帮助初中学生提高建模意识，逐步体会建立数学模型、参与模型的应用过程，这既有利于提升学生的数学思维，更能够促进他们分析问题和解决问题能力的提升，为今后高中学习数学建模及数学建模活动奠定基础．参考文献[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012 [2]黄英芬，颜宝平，龙红兰．从应用题到建模问题的回译 [J]．数学通报，2019，58（9）：34-37[3]王志俊，周圣武，韩苗，邵虎．高中数学建模能力训练 [J]．数学通报，2019，58（9）：38-42[4]邱宗如．高中数学微型探究教学的几点思考[J]．数学通报，2017，56（11）：29-36(本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《借助“互联网+”培养中学生数学建模能力的实践研究》（立项批准号：FJJKXB18-544）、福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《新高考背景下高中生学业成绩分化的归因研究》（立项批准号：FJJKXB18-508）的研究成果）基于数学核心素养的数学建模教学实践李子谦 福建省福州第一中学（350001）数学建模是连接现实世界与数学世界的桥梁，是数学应用的重要形式．《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）将数学建模作为6个数学学科核心素养之一，同时将数学建模活动与数学探究活动列入必修课程，作为必修课程的一个单元．数学建模越来越多地走入中学数学教师和中学生的视野．如何在现有学情、考情的情况下，开展数学建模教学，促进学生数学建模素养的形成与46 福建中学数学 2020年第8期发展，是我们必须面对与解决的问题．1 数学建模素养高中数学现有的学情与考情指向的侧重点在于考查学生在有限的时间内对于数学知识掌握的程度和解题过程中运用的熟练程度以及思维的严谨性，试题或问题的答案与解题方向指向性也比较明确，且大都具有唯一性，封闭性较强．虽然近年来增加了不少来源于现实世界的应用性问题，对学生的阅读理解能力也提出了较高的要求，但鉴于目前考试的特点以及条件的限制，此类问题更多关注的是学生解决模型的能力，其本质是考查学生的解决模型的能力，而不是真正意义上的数学建模能力．真正的数学建模问题是开放的，常常不具有唯一甚至正确的答案．正如统计学家George Box在《实验统计学》中关于工业实验设计经常被引用的观点：“我们从任何一个模型中最可期待的就是它可以为现实世界提供一个有用的近似值；所有的模型都是错的；但有些模型是有用的．”数学建模要解决的问题通常是现实问题，由于现实问题的缤纷复杂性，导致仅具备对数学知识的熟练运用是不足的，还需要具备能够将所学知识、方法整合、统筹的能力，具备将现实问题转化为数学问题的能力，即必须具有一定的建模素养．《课标》对数学建模素养的描述为：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”．同时《课标》指出：“数学建模过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”．《课标》既指出了数学建模素养的内涵，也为开展数学建模教学提供了路径．2 建模案例及分析2.1 传染病传播问题案例1 2020年甫一开始，新型冠状病毒肺炎疫情肆虐神州大地．试建立一个传染病传播模型以做相关的流行病学研究．诊断分析流行病学中的传染病传播模型有一些经典的模型，本案例适合直接讲解并引起学生的建模兴趣．流行病学模型中最简单的一种情况叫做SI模型．模型中人群分为两类，一是易感染者（Susceptible）也就是可能被感染的健康人，人数为S，二是感染者（Infected），也就是患者，人数为i．假设一个区域内总人口为N，这i个感染者每天走来走去，每个人会碰到r个人，其中易感者的比例是SN，有概率β把病毒传染给接触到的人，那么这几个量乘在一起就是每天新增的感染病例ddi r ist Nβ=．在SI模型中，没有考虑治愈问题，如果时间足够长，所有人都将被传染，全部变为感染者．如果加入了治愈条件，这就是在SI模型的基础上变为了SIS模型，每个人都会在感染者和易感染者之间反复，感染了会治好，治好了还会感染．假设感染者恢复健康的概率为γ，那要在刚才的方程里加上一项γi，每天增加的患者数要减掉这个量，ddi r isit Nβγ=−．现实生活中很多疾病，人在康复之后会产生抗体，就不会再得这个病了，他们康复后即不是易感者，也不是感染者，比如天花，流感等疾病，他们在治愈后就退出了感染系统，所以引入一个康复者（Removed）变量．这个模型称为SIR模型．易感者会不断被传染为感染者，而感染者又会不断治愈变成移出者并不再被感染，同样假设康复的概率是γ，dditr isiNβγ−，ddritγ=．新冠病毒更加复杂，易感者在感染后会先经历潜伏期，一段时间之后才会发病，这时候就又要向模型中引入潜伏期者（Exposed）．这个模型就叫做SEIR模型．潜伏期者以概率a转化为感染者，在实际意义中我们可以把他理解成潜伏期，可得方程deedr isat Nβ=−，d edia itγ=−，ddritγ=．解出以上微分方程就可以得到相应的感染人数与时间t的关系以做相关的流行病学研究．小结本案例由于切合热点，较容易激发学生兴趣．SI，SIS，SIR，SEIR都是流行病学模型中的经典模型．虽然限于微分方程的求解超出高中范围的要求，但仍不失为一个好的起始案例．初始的分析清晰易懂，假设的变量与列式合乎常规思路．并且在讲解过程中能够体会每一个模型的不完善性，可以亲身体会模型一步步完善的过程．在具体实践中，由于各种参数的具体数据缺乏，显然数据的收集、统计、整理必不可少，且可通过讲解后展示其函数解或图象解，来抓住学生的兴趣点，认识数学建模与现实的关系．2020年第8期 福建中学数学 47 2.2 汽车加油问题案例2 某人每天开车沿固定路线去上班，从家到公司的路线上，有几个加油站．不幸的是，在上班的固定路线上油价比较高．一位朋友告诉他，在距离常规路线几公里外的加油站加油，油价更便宜．那么，为了更便宜的油价而行驶额外的距离更合算吗？诊断分析 该问题是数学建模中的决策问题．首先需要确定，解决这个问题需要进行哪些量的比较．很明显，因为前往较远加油站加油存在路程油量的额外消耗，所以学生最容易想到的是对额外消耗的油的总价值与节约下来的花费进行比较．要计算这两个量，需要对相关数据进行收集、整理，然后构造出这两个量的计算公式，再进行大小比较，从而得出结果．其中，显而易见需要收集的数据有：油箱的容积、每公里耗油量、油站的距离、不同加油站的价格．以字母表示变量如下：p 表示常规加油站的价格；P 表示较远的加油站的价格；D 表示偏离常规路线的距离（往返需要2D ）； M 表示每公里的耗油量；T 表示购买的油量（因为不能保证每次加油油箱剩余油量为0，简化假设该值比油箱容积小5升）．从加满油箱的成本比较，2C TP DMP =+，这里所有的量非负，且常规加油站意味着0D =，此时最小化C 是我们的目标．具体应用时计算出不同变量的情况下C 的具体值，然后取C 最小的情况做决策．换一个角度，我们定义一个“可用汽油”的概念． 在常规加油站加油，因为日常会经过它，所以所有的汽油都是“可用”的；而较远的加油站加油并不都是“可用汽油”，整个油箱中扣除加油路上的消耗，剩下的部分才是“可用汽油”，比较“可用汽油”的价格，也可以作为决策的依据．满箱汽油的成本是TP ，其中“可用汽油”的量为2T DM −．所以“可用汽油”的单位成本为：2TPT DM−，那么我们得到了一个用来做决策的公式，当2TPp T DM<−的时候，我们去较远的加油站购买汽油．两个角度事实上建立了两个不同的模型，代入这样一组具体的数值，9p =，8.5P =，7D =，M = 0.1，25T =分别用两个模型计算．模型1中，C =224.4低于925225×=；在模型2中，“可用汽油”的成本为9.004高于常规油站的成本9元/升，也就是说，同一组数据在不同的模型中会得出不同的答案．因为在第二个模型中，可用的汽油随着额外的里程数增加而减少，但是在第一个模型中并不介意额外的里程数有多少．考虑一个极端的情况，加满油只够前往较远的加油站并返回，甚至加满油还不够往返，这种情况下，不论较远加油站的油有多便宜，也不应该去加油，因为加的油根本没有实际作用，甚至不够加油路上的消耗．而在第一个模型中，只要油足够便宜，计算出来的C 就会比常规油站加油计算出来的C 小，会得出一个不符合实际的结论．而第二个模型中，里程增加会导致“可用汽油”的减少，从而使结论更具有科学性．小结 决策问题常常需要对某些量进行比较，为了得出这些量也离不开数据的收集、整理、分析．分析中建立的两个模型都不够完善，因为还有时间成本等因素为考虑．而时间成本等因素不像价格这样有明显的量化指标，就需要对这些指标进行加权综合，如运用层次分析、综合评分等方法主观赋权或运用线性回归、主成分分析等方法客观赋权．本案例可以让学生经历较为系统的建模过程，理解类似问题的建模思路．这样，学生通过数据认识事物的思维品质得以形成，基于应用统计表达现实问题的意识得以加强，数据分析的核心素养得以提升．数学建模这一已经发展多年的数学活动，由于数学学科核心素养的提出，在中等教育的数学领域内被提到了一个前所未有的高度，然而由于传统思想和考试形式的制约，对于数学建模的教学方式与意义，相当多的同仁都有着各种各样的困惑．笔者认为，由于终身教育的存在，未来数学教育必然离不开数学建模．现今社会上充斥着数学无用论，而数学建模可以清晰的展示出数学在现实生活中的作用，学生学好数学建模，将终身受益．参考文献[1]陈德燕．中学数学建模教学行为探究[J]．福建中学数学，2019（12）：14-16[2]梁贯成，赖明治，乔中华，陈艳萍．数学建模教学与评估指南[M]．上海：上海大学出版社，2016[3]冷东梅，付文洁，陈璐，洪小娟．基于传染病模型的热点舆情事件情感迁移研究[J]．中国集体经济，2019（33）：69-71（本文系福建省中小学名师工作室专项课题《中学数学建模教学的理论与实践的研究》（项目编号：GZS191011）的阶段性研究成果）。
基于数学核心素养的中学“数学建模活动”教学设计
三、基于数学核心素养的高中数 学建模活动实施策略
三、基于数学核心素养的高中数学建模活动实施策略
1、创设情境，引入课题：教师可以通过实际问题或生活案例等手段，创设情 境引入课题，激发学生的学习兴趣和积极性。
三、基于数学核心素养的高中数学建模活动实施策略
2、分组合作，建立模型：将学生分成小组，让他们通过讨论和分析，建立合 适的数学模型。这个过程中，教师应该积极引导和鼓励学生，帮助他们形成正确 的数学思维和方法。
一、数学核心素养与数学建模
一、数学核心素养与数学建模
数学核心素养是指学生在掌握数学知识的基础上，运用数学思维和方法分析 问题、解决问题的能力。数学建模是数学核心素养的重要组成部分，它是一种将 实际问题转化为数学模型，通过数学计算和分析，得出结论并应用于实际问题的 过程。
一、数学核心素养与数学建模
在数学建模活动中，学生需要运用数学知识、数学思维和方法，通过观察、 分析、综合、归纳等步骤，将实际问题转化为数学模型，并进行求解和分析。这 种过程不仅可以帮助学生掌握数学知识，更可以培养他们的数学核心素养，提高 他们的创新思维和解决问题的能力。
二、基于数学核心素养的高中数 学建模活动设学建模活动的教学设计实例
1、创设情境：通过实际问题（如：某城市的房价与地段的关系、股票价格的 波动等）引导学生思考函数关系。
三、高中数学建模活动的教学设计实例
2、定义变量：引导学生明确问题中的变量（自变量和因变量），并建立函数 关系式。
3、模型建立：让学生根据函数关系式，尝试绘制函数图像，并解释图像的意 义（如：斜率、截距等）。
二、数学核心素养与数学建模
二、数学核心素养与数学建模
数学核心素养是指学生在数学学习过程中所应具备的素质和能力，包括数学 抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析等方面。其中，数 学建模是指运用数学语言、符号、公式等对现实问题进行抽象、简化，从而建立 数学模型的过程。在中学阶段，开展数学建模活动能够帮助学生更好地理解数学 知识的应用价值，提升学生解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力。
数学核心素养的教学案例
数学核心素养的教学案例在教育领域，核心素养的培养已成为全球教育的重要目标。
其中，数学核心素养作为核心素养的重要组成部分，对于学生的全面发展具有重要意义。
本文将通过一个教学案例，探讨如何在数学教学中培养学生的核心素养。
案例描述：本案例以初中数学中的“一元二次方程”为例，通过以下四个方面来培养学生的数学核心素养：1、数学抽象能力：通过实际问题引出一元二次方程的概念，引导学生从实际问题中抽象出数学模型。
2、逻辑推理能力：通过例题的讲解和学生的自主探究，让学生掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特点进行分类讨论。
3、数学建模能力：将一元二次方程与实际生活相，让学生能够利用一元二次方程解决实际问题。
4、数学运算能力：通过练习和考试，让学生熟练掌握一元二次方程的运算技巧和方法。
具体实施过程：1、导入新课：通过实际问题“如何计算一个正方形面积的平方根？”引出一元二次方程的概念。
引导学生抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题。
2、讲解例题：通过例题的讲解，让学生掌握一元二次方程的解法。
同时，引导学生自主探究方程的特点和分类讨论的方法。
3、实际：将一元二次方程与实际生活相，如计算房屋价格、解决工程问题等。
让学生能够利用一元二次方程解决实际问题。
4、练习与考试：通过练习和考试，让学生熟练掌握一元二次方程的运算技巧和方法。
同时，引导学生进行自我评估和反思，提高其自主学习能力。
案例分析：本案例通过“一元二次方程”这一知识点，成功地培养了学生的数学核心素养。
具体表现在以下几个方面：1、数学抽象能力：学生能够从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学符号和语言进行表述。
这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2、逻辑推理能力：学生通过自主探究和例题讲解，学会了分类讨论的方法和逻辑推理的步骤。
这有助于培养学生的逻辑推理能力和自主探究能力。
3、数学建模能力：学生能够将一元二次方程与实际生活相，并运用方程解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学核心素养之数学建模教学案例1引言：新修订的高中数学课程提出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。
高中数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
其中，对于数学建模，详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。
特级教师张思明提出“我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。
近年来，数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加，可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念，旨在引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。
2.中学数学模型的教学2.1中学数学中常见的数学模型分类：（1）与函数的最值相关问题。
工程中的用料最省、利润最大，列出所求量的函数解析式，利用代数工具解函数最大值。
（2）线性回归直线、非线性回归直线；如中学生身高和体重的关系，红铃虫产卵数与温度的关系。
（3）与周期有关的三角函数模型建立。
电路信号，音频震动，潮水涨落周期。
（4）线性规划问题。
关于求解含有多个约束条件的，目标函数的最有解问题。
（5）抽样统计调查类，独立性假设检验。
2.2数学建模的课堂陷入几个误区。
（1）数学建模课堂，教师陷入了对数学建模理论的讲解，而数学建模的基本步骤是什么，介绍集中常见的数学建模工具，里面有大量的数学公式推到，学生对数学建模的思想领会很少。
（2）数学建模能力的评价中，教师“编好”试验中的数据，或者抽样统计好的数据，学生只需分析问题，套用计算。
而没有让学生经历发现问题，3．数学建模案例教学设计本人从学生的实际认知特点出发，探索出基于案例教学的数学建模能力培养的一种教学模式。
我们在课堂上重现一些现实生活中的一些场景，学生把自己投入到案例场景，通过讨论研究，改进自己处理问题的各个步骤，最终达到增强能力的效果。
生活背景：新学期，学校教务处又到了采购粉笔的时候了，教务处工作人员在网上浏览，发现新上市了一种正六棱柱的粉笔，价格和以往采购的传统的圆柱形粉笔价格相同。
请尝试建立数学模型，给教务处工作人员粉笔购买的建议。
模型的分析和建立的过程。
师：你站在学校教务处的角度想想，在购买粉笔的时候，最应该考虑的问题是什么呢？生：粉笔的质量，比如粉笔是不是容易断，粉笔写起来是否流畅，粉笔对人是否更环保，对人更少的伤害。
师：很好，这个同学从粉笔的质量谈了很多自己的想法。
除了质量之外，作为一个学校大批量采购粉笔的用户，我们还考虑什么？生：价格。
师：我们肯定都是希望，用最少的钱，办最大的事。
我们都感觉到这个问题非常的困难了啊，所以，我们要要在建立基本的数学模型之前，做一些基本的假设。
生：感觉考虑的因素太多了。
师：我们想想，粉笔是否易断，能够很快做出评价吗？让你比较两支粉笔，那个书写起来更流畅，采用什么方法进行比较呢？生：我们采用随即抽样的方法试试，让学校书法社团的人同一个人在一个黑板上书写，也许可以大概估计，哪种粉笔质量更好。
师：每个人都开动脑经，找到了自己的方法，但是，让人去判断，主观性还是很大的。
生：可是每个人感觉是否流畅和是否这段，也跟每个人的书写习惯有关吧。
教室陷入了激烈的讨论中。
师：那我们能否可以假设两种粉笔出自同一条生产线，质量水平近乎相似，只是形状的差别。
生：那我们只需要对每盒粉笔的价格分析就可以了。
师：可是现在，我们两盒粉笔的价格是相同的啊，怎么办呢？生：那我们可以看看，同样是画直线，看哪一盒粉笔画的长，那么谁的性价比就高？师：这个同学提的这个思路非常正确，假设，一盒粉笔，总是不会被折断，一根全部用完之后，再用下一根。
那么一盒粉笔的书写长度主要跟谁有关呢？生：应该是跟一盒粉笔的总体积有很大的关系吧。
师：我们再假设，装粉笔的盒子都是边长为20cm的正方体，那么装满两个盒子的粉笔，那个盒子中粉笔的总体积多呢？生：我们可以看图片发现，正六棱柱的粉笔，紧紧的靠在一起，没有任何的缝隙。
而圆柱形的粉笔相对而言有较大的空隙，所以，我们断定，同等价格下，正六棱柱的粉笔的体积最多。
师：分析的非常到位，那么现在问题来了，如果一盒圆柱形粉笔，定价5元，为了保证两种粉笔有相同的性价比，请问正六棱柱粉笔的价格应该定为多少呢？生：性价比相同，每立方厘米的粉笔，所对应的价格要相同。
师：那我们应该怎么去判断呢？生：我们只需让总价格/总体积都相同，从而我们可以给另外一盒粉笔合理的定价了。
师：那么现在当务之急是干什么呢？生：我们需要计算两种规格的各种粉笔的总体积，师：那么我们按照一个怎样的流程去计算呢？生：先构建一个边长为20cm的正方形，圆柱的半径是1cm，正六棱柱的地面正六边形，外接圆恰好是半径为1cm的圆，看一个正方形内，最多可以放多少个这样的圆和多少个这样的正六边形，从而再计算相应的空间的利用率，从而得出，谁的体积更大一些。
模型建立：根据以上所有的基本假设，画出粉笔盒中的俯视图，如图建立坐标系我们根据两圆外切的性质，建立层数与圆心所在直线的方程关系。
层数圆心所在直线1 Y=12 Y=1+33 Y=1+23……n Y=1+(n-1)3又由于，边长为20cm的限制，而且最高层必须为完整的一层，我们确定3=18.32。
所以，在圆柱形粉笔盒内有11层，我们再来观察第一层和第二层，第一层有10个圆柱之后，第二层有9个。
第二种粉笔盒我们首先建立奇数列，正六边形中心所在直线方程。
层数中心所在直线1 Y=12 Y=1+33 Y=1+23……n Y=1+(n-1)3则奇数列可以放11层，我们再看偶数列中心所在直线方程 n =11时，y =19.1865，再加上/2=0.866 为20.05,考虑到边界，偶数列也可以放11层。
我们纵向来看。
则n =13时，x =19,考虑到边界总共可以放13列。
模型计算：（1）圆柱粉笔计算总体积：21r s r ππ===，，总共所有的圆柱数目为10695105⨯+⨯=，粉笔总共的体积为105105329.85S H H H π⨯⨯== （2）六棱柱粉笔计算总体积：边长1a =，1611 2.59802S =⨯⨯⨯= 总共的正六棱柱的数目为1311143⨯=总共的粉笔的体积为：2.5980143371.524H H ⨯= 模型的结论与推广：通过计算发现，生产正六棱柱的粉笔盒内的粉笔总体积：生产圆柱粉笔盒内的粉笔总体积=371:329，所以一盒普通的圆柱形粉笔卖5元话的，为了保证性价比的同意，正六棱柱的粉笔，可以卖5.63元。
师：模型中还有哪些重大问题，没有考虑呢？生：我们精确的测量数据，粉笔盒的实际长度，与粉笔实际半径，已经市面上销售的正六棱柱的粉笔，他们的边长，跟我们假设的数据，有很大的出入，尺寸的不同，是否会影响我们的计算结果呢？师：这个同学提的问题非常的好，那么下来之后，我们同学在网上购买相同规格粉笔盒的两盒不同的粉笔，测量实际的数据，用我们同样的方法评价粉笔的性价比。
师：我们能否把我们的研究结果推广到其他的地方？生：我们可以把我们的计算结果，推广到，用卡车装圆柱形的钢管数目的多少，香烟盒怎么设计，可以装三层香烟。
师：我们能够对我们研究的问题，你还能提出，与我们所研究问题类似的问题呢？生：如果我们还是用硬纸板制作一个粉笔盒，单位面积的硬纸板，制作成圆柱形的好还是正方体好呢？师：这个同学很快把我们研究的问题就可以迁移出去，研究的方法，最终都会规则到平面几何的方法中去。
4．案例教学的说明与启示：在整个教学活动中，引导学生的思维，经历发现问题，分析问题，基本假设，模型建立，模型求解，模型结论，模型推广的全过程。
特别是分析问题的过程，一定要让学生积极的参与进来，找准角度建立尽可能简单的数学模型；在基本假设的探究过程中，根据我们建立的简单数学模型，基本假设，需要调动所有学生的积极性，引导学生尽可能全面的考虑问题，将复杂情况简单化；模型建立的过程中，指导学生用超级画板将所研究的问题，图形化，再引导学生用函数思想求解问题，模型求解阶段，先提前给出简单的数据，帮助学生求解，再引导学生去实际测量生活中的数据，带入我们建立的模型求解。
模型推广中，让学生发散思维，让学生回顾我们所遇到的问题，在工程和社会生活中还有哪些可以迁移的地方，比如烟盒的设计与制作，货车运输钢管的模型，改进封闭的包装盒等等，体会数学中模型话解决问题的价值。
5.数学模型案例教学的价值：高中课堂中渗透数学建模案例教学，应该引导学生，引导学生积极的解答。
鼓励学生独立思考。
传统的教学只告诉学生怎么去做，怎么去记忆一些程序性的知识，不能够极大的调动学生的学习热情。
案例教学没人会告诉你应该怎么办，而是要自己去思考、去创造，使得数学建模的过程变得生动活泼，每个人都可以对老师提出的问题发表自己的看法。
中学数学建模案例教学正是为此而生并在实践的过程中不断发展的完善的。
传统的教学方法是老师讲、学生听，学到的都是死知识。
而在案例教学中，学生拿到案例后，先要进行消化，然后查阅必要的理论知识，经过缜密地思考，提出解决问题的方案。
同时他的方案随时需要教师加以指导，这也促使教师加深思考，根据不同学生的不用方案，不断的去某一特殊案例的教学设计，优化问题流程，使教学进入良性的循环之中。
参考文献[1]叶其孝.中学数学建模[M].长沙：湖南教育出版社，1998:1-31.[2]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京教育出版社，1998:75-87.[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].人民教育出版社，2003:1-3,98-104.[4]冯永明，张启凡.对“中学数学建模教学”的探讨[J].数学教育学报，2000,9（2）：84-88[5]李延林.数学建模引导高中学生进入用数学的新阶段[J].数学通报，2005,44(10)：21-23。