积分上限函数的性质及其应用论文
关于积分上限函数所确定的复合函数若干性质与应用的探讨
关于积分上限函数所确定的复合函数若干性
质与应用的探讨
1 积分上限函数
积分上限函数是用来计算某个函数在某个无穷小点处复合函数的
值的一种数学函数。
其特点在于它将函数进行分割，然后用积分算法
来估算函数值。
它可以帮助我们估算函数的参数，即使在功能的最后
一个点，也可以很好地估算函数的值。
2 性质
积分上限函数的性质是它是连续的函数，也就是说，除了分割函
数的位置以外，函数的值在点上是连续的。
此外，积分上限函数由正
上边界和负上边界组成，正上边界指的是在某个无穷小附近，函数值
下限范围内观测不到，而负上边界表示函数值在某个无穷小点处上限。
3 应用
积分上限函数可以结合曲线拟合方法应用于数据分析，可以有效
地拟合不同尺度的数据，包括时间序列、金融学、温度等。
此外，积
分上限函数还可用来解决拖拽延迟、负载平衡以及路由延迟等企业网
络应用中的问题。
另外，积分上限函数还可以应用于服务器调度、流
量分配等方面，可大大提高企业的网络性能和服务质量。
积分上限函数的性质及其应用
证明： 因为ｆ ｘ 在［， ］ （） ａ ｂ 上可积，则ｆ ｘ 在［， 】 （） 口 ｂ 有 界。即 Ｍ ＞ ０，使得 ｌ ｘ ｌ ） ≤ ，有 ｆ（
１ 积 分上 限函数的性质
１ 单 调 性 ． １
（ ＝Ｉ （ｄ 由 ｔｔ ） ） ｆ
是周期 函数 ，或 是一线性 函数和一周期 函数之和 。
若ｆ ｘ 在【， ］ （） ａ ｂ 上可积，且厂 ≥０（ （） ） （） 厂 ≤０ ，则
积 分 上 限 函 数
证 ： ）ｆ（ｔ知 明 由（＝ ｆ）， ｔ ｄ
Ｒ ≠０，则 令
若ｆ ｘ 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数 （、
（ ． （ ｔ 【 ｔ ） ｆ） ｄ
是偶函数：若ｆ ｘ 是连续函数且为偶函数，则积分上 （１
限 函 数 ，
冈
（） （） ＝ 一Ｒ
。
收稿 日期：２ ０ 。１ ４ ０ ８０ ． ２ 作 者简 介：王少英 （ ９ ８ ） １７ 。，女 ，河 北邯郸人，邯郸学院数学系助教 ，主要从事 高等数学教学研 究工作 。
（： ｆ）￣ａ６ ｆ （ｔ ［ 】 ） ｔ ｄ ，
上 可 导 ， 并 且
若 ｆ ｘ 在【， 】 （） 口 ｂ 上可积，则积分上限函数
（＝ ｆ） ｆ（ ｔ ） ｔ 厂 ） ６ ＝ ￣， ＝ ≤≤） ｄ ，） （ 。
２ 积分上 限函数 的应 用 ２ｌ 证 明积分等式 与不等式 ，
维普资讯
第３ ０卷 第 ５期
Ｖ １ ０Ｎｏｓ ｏ． ３
唐 山 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｌ ａ ｇ ｈ ｎＴａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ ｏ ｒａ Ｔ ｎ ｓａ ｅ ｃ ｅｓ ｌ ｇ ｏ Ｃ ｅ
２ ０ 年 ９月 ０８
积分上限函数范文
积分上限函数范文
一、积分上限函数的定义
f(x)=x,当x≤a
=a,当x>a
其中，a为上限值。
二、积分上限函数的性质
1.定义域和值域：
2.连续与间断性：
3.导数与不可导性：
对于积分上限函数，当x<a时，导数存在且恒为1；当x=a时，导数不存在，函数是不可导的。
4.极值与点的性质：
5.阶梯函数：
三、积分上限函数的应用
1.信用积分：
信用积分是一种用于评估个人信用状况的指标，通常在0到100之间取值。
信用积分可以用积分上限函数来表示，例如：
f(x)=x,当x≤100
=100,当x>100
2.课程学分：
在大学教育中，学生需要修满一定数量的学分才能毕业。
课程学分可以用积分上限函数来限制，例如：
f(x)=x,当x≤160
=160,当x>160
3.游戏积分：
在电子游戏中，玩家可以通过完成任务、击败敌人等方式获得游戏积分。
游戏积分可以用积分上限函数来表示，例如：
f(x)=x,当x≤1000
=1000,当x>1000
这些只是积分上限函数的一些常见应用，实际上，积分上限函数可以应用于各种需要限定取值范围的场景中。
总结：
积分上限函数是一种能够限制变量取值范围的数学函数。
它的性质包括定义域与值域、连续与间断性、导数与不可导性、极值与点的性质等。
积分上限函数在实际生活中有许多应用，例如信用积分、课程学分、游戏积分等。
通过了解积分上限函数的定义和性质，我们能够更好地理解和应用它们。
积分上限函数的性质及其应用论文
湖北大学题目：积分上限函数的性质及其应用学院：数学与统计学院年级：研一专业方向：几何与方程作者姓名：陈勇学号：2014111104000639 出生年月：1990年05月性别男籍贯：湖南省汉寿县指导老师：陈立2015 年05月目录摘要 (II)Abstract (II)1引言 (1)2积分上限函数的性质 (1)2.1积分上限函数的初等性质 (1)2.2 积分上限函数的分析性质 (1)3积分上限函数的应用 (2)3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式 (2)3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数 (2)3.3利用积分上限函数求解函数方程 (3)3.4利用积分上限函数确定全微分 (3)3.5利用积分上限函数求解导数 (3)3.6利用积分上限函数计算重积分 (4)3.7利用积分上限函数证明中值定理 (4)3.8利用积分上限函数求函数关系式 (5)3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性 (5)4结束语 (5)致谢语 (5)参考文献 (6)积分上限函数的性质及其应用数学学院2014级2班陈勇摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,对于积分上限函数的初等性质及分析性质的研究,能够深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题.本文例举了积分上限函数的若干应用,对初学者具有指导意义.关键词：积分上限函数;初等性质;分析性质;应用The Nature and Its Application of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYongAbstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calculus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners.Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications1引言积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入了解其特性,对于证明积分等式与不等式、求幂级数的和函数、求解函数方程、确定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌握积分上限函数的性质和恰当的运用显得尤为重要. 本文通过分析积分上限函数的性质, 得到几类典型的应用.2积分上限函数的性质2.1积分上限函数的初等性质定义1 如果函数)(x f 在],[b a 上可积，那么函数⎰=xadt t f x s )()((a ≤x ≤b )称为积分上限函数. 下面讨论与之有关的性质及其应用. (1) 单调性若)(x f 在],[b a 上可积, 且)(x f ≥0 ()(x f ≤0), 则积分上限函数⎰=xa dt t f x s )()(在],[b a 上单调递增（递减). (2) 奇偶性若)(x f 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是偶函数；若)(x f 连续函数且为偶函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(奇函数.(3) 周期性若)(x f 是连续函数且周期为T , 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是周期函数, 或是一线性函数和一周期函数之和.(4) 有界性若)(x f 在],[b a 上可积，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上有界.2.2 积分上限函数的分析性质(1) 凹凸性若)(x f 在],[b a 上单调递增(递减), 则对∀),(b a c ∈, 积分上限函数⎰=xcdt t f x s )()(是凸函数(凹函数).(2) 连续性若)(x f 在],[b a 上可积, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上连续(3) 可导性若)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上可导, 并且()()()()xa d s x f t dt f x a xb dx'==≤≤⎰. (4) 可积性若函数()x f 在[]b a ,上连续,则函数()s x 在区间[]b a ,上可积.特别是,若函数()x f 连续,则有()()()⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa x dx x f x a dx dt t f 000.3积分上限函数的应用3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式例1 设()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,证明:至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f .证明 令()()()⎰⎰=bxx adt t g dt t f x F .由于()x f ,()x g 在[]b a ,上连续,所以()x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()b F a F =,由罗尔定理,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()0F ξ'=,而()()()()()b xxaF x f x g t dt g x f t dt '=-⎰⎰,从而()()()()()0b aF f g t dt g f t dt ξξξξξ'=-=⎰⎰,即()()()()⎰⎰=ξξξξab dx x f g dx x g f .例2 若()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,则()()()()⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a dx x g x f dx x g x f 222.证明 令()()()()()222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎰⎰⎰xa xa x adt t g t f dt t g dt t f x F ,则 ()()()()()()()()()22222x x xaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=++⎰⎰⎰()()()()()()()()[]⎰+⋅-=xadt x g t f t g t f x g x f t g x f 22222()()()()[]⎰≥-=xadt x g t f t g x f 02.所以()x F 在[]b a ,上单调增加,从而()()a F b F ≥.3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数例3 求和函数1(1)nn n n x ∞=+∑.解 设),1,1(,)(11-∈=∑∞=+x nxx s n n 则12111()xn n n n s x dx nxxnx∞∞+-====∑∑⎰,设,)(111∑∞=-=n n nx x s 则 ,1)(11xxnx dx x s n n x-==∑⎰∞= 求导得,)1(1)(21x x s -=,)1()()(22102x x x s x dx x s x-==⎰再求导, 得.)1(2)(2x xx s -=3.3利用积分上限函数求解函数方程例4 设)(x f 在任意有限区间上可积且满足方程)()()(y f x f y x f +=+ (1) 试证：)(x f ax =，其中)1(f a =.证明 要证)(x f ax =，当0≠x 时即要证xx f )(=常数.或∀0,≠y x ，y y f x x f )()(=, 即x y f y x f )()(=在已知方程),()()(y f t f y t f +=+ 两边对t 取积分⎰⎰+=+xxx y f dt t f dt y t f 0,)()()(但⎰⎰⎰⎰++-==+xyx yyx ydt t f dt t f du u f dt y t f 00,)()()()(故⎰⎰⎰+--=yx yxdt t f dt t f dt t f y xf 0.)()()()(此式右端，y x ,以对称的形式出现.y x ,互换知x y f y x f )()(=， 从而)(x f ax =（当0≠x 时） (2) 在(1)中令1,0==y x ,得0)0(=f .可见(2)对于0=x 也成立.最后(2)中,令1=x ,可得)1(f a =.3.4利用积分上限函数确定全微分例5 验证)()(dy dx y x f +⋅+是全微分,其中)(u f 是连续函数. 证明 令()()⎰+=y x du u f y x F 0,,由于()u f 是连续函数,故()(),x F x y f x y '=+,()(),y F x y f x y '=+,且它们都是y x ,的连续函数,因此()()(),,x y dF x F x y dx F x y dy ''=+()()dy dx y x f +⋅+=. 即证()()dy dx y x f +⋅+是全微分.3.5利用积分上限函数求解导数例6 设)(x f 在0=x 的某个领域U 内连续,验证当U x ∈时,函数⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(ϕ的各阶导数都有,且).()(x f x n =ϕ 证明 由于被积函数dt t f t x t x F n )()(),(1--=及偏导数),(t x F x '在U 上连续, 于是由定理可得 ⎰----='x n dt t f t x n n x 02)())(1()!1(1)(ϕ.)()()!2(1)()()!1(1021dt t f t x n x f x x n x n n ⎰----=--+.)()()!3(1)(03dt t f t x n x x n ⎰---=''ϕ 由此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ 特别的当1-=n k 时有 ,)()(0)1(dt t f x xn ⎰=-ϕ于是).()()(x f x n =ϕ3.6利用积分上限函数计算重积分例7 设函数)(x f 在],[b a 连续,则.])([21)()(2dx x f dy y f x f dx ba b a bx ⎰⎰⎰=证明 dy y f x f dx b ab x)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b ab axab xb xdt t f d dy y f dx dt t f x f ))(())((])()([))(())((]))()(([⎰⎰⎰⎰⎰==xab axab ax adt t f d dt t f dx dt t f x f.))((21])([2122dt t f x f b ab a x a ⎰⎰== 3.7利用积分上限函数证明中值定理例8 微分中值定理：若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,在开区间()b a ,内可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点()b c a c <<,使()()()()a b c f a f b f -=-.证明 把c 换成t ,则()()()()a b t f a f b f -=-.即()()[]()()0=---a b t f a f b f , []b a x ,∈∀,将上式两边取积分()()[]()()0=---⎰xadt a b t f a f b f ,即()()[]()()()[]()0=-----a x a f x f a x a f b f .令()()()[]()()()[]()a x a f x f a x a f b f x F -----=,显然()()0==a F b F ,且()x F 在[]b a ,内连续,在()b a ,可导,由罗尔定理,则至少存在一点()b c a c <<,使()0=x F ,而()()()[]()()a b x f a f b f x F ---=,故()()()()a b c f a f b f -=- ()b c a <<.例9 积分中值定理:若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,则在[]b a ,内至少存在一点c ,使得()()()a b c f dt t f ba-=⎰.证明 设()()⎰=xadt t f x F ,由于()x f 在闭区间[]b a ,连续,则()x F 在[]b a ,上连续,由拉格朗日中值定理,则至少存在一点()b a c ,∈,使()()()()a b c f dt t f dt t f aab a-=-⎰⎰,即()()()a b c f dt t f ba-=⎰.3.8利用积分上限函数求函数关系式例10 已知函数)(x f 当10≤≤x 时为x 2, 当12x <≤时为x +2, 求积分上限函数⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在]2,0[上的表达式.解 因为被积函数是分段函数, 所以通常计算定积分而确定)(x ϕ的表达式时也要分段考察.当10≤≤x 时,,2)()(2020x t tdt dt t f x xx x====⎰⎰ϕ 当12x <≤时,⎰⎰⎰+==11)()()()(xxdt t f dt t f dt t f x ϕ.23221)2(22101-+=++=⎰⎰x x dt t tdt x所以当10≤≤x 时为,)(2x x =ϕ 当12x <≤时为.232212-+x x3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性例11设()x f 在[]b a ,上连续,且()x f >0, 又()()()⎰⎰+=xbx a dt t f dt t f x F 1.证明:()0=x F 在[]b a ,内有且仅有一个实根.证明 因为 ()()()()()211f x F x f x f x f x +'=+=, 而 ()()x f x f 212≥+,所以 ()20F x '≥≥.故()x F 在[]b a ,内单调增加,所以()0=x F 在[]b a ,内至多有一个实根.又 ()()⎰<=a b dt t f a F 01, ()()0>=⎰ba dt t fb F ,且()x F 在[]b a ,上连续,故根据的存在定理,在[]b a ,内()0=x F 至少有一个实根. 综上所述, ()0=x F 在[]b a ,内有一个且仅有一个实根.4.结束语综上所述，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，为解决实际问题提供了更多的方法,优化了解题途径,同时也存在着局限性,对适应范围存在着各种条件,这还有待于进一步研究.致谢语感谢陈立老师在论文过程中对我的悉心指导, 也感谢曾帮助我的同学们!参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学(第5 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2] 高智民.原函数存在定理在不等式证明题中的应用[M].湖南师范大学学报,1997,16(2):14-15.[3]华东师大数学系.数学分析(第2 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[4]徐虎.积分上限函数的应用研究,内肛科技[M].中南大学学报,1997,17(2):15-16.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993 .[6]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1992.[7]高鸿.积分上限函数的主要性质及其应用[M].湖南商学院学报,2001,27(2):47-48.[8]常庚哲,史济怀.数学分析教程:下册[M].北京:高等教育出版社,2003.。
浅谈积分上限函数的性质及应用
证明： 设 ） ：Ｉ ｔ ） ｄ ｔ ， 则Ｆ （ ） 在Ｖ ａ ， ｂ ］ 上连续， 在
（ 口 ， ｂ ） 内可导 ， （ ） ） ＞ ０ ， 即Ｆ （ ） 为单调 增 函数 。设
ｆ ｃ ０ ｓ ｃ ） ＝ ｃ ０ ｓ 一 ｓ ｉ ｎ ｘ 一 １ ，
＝ ａ ｏ ＋ ａ ｌ＋… ＋ ０
，
Ｊ ｆ （ ｔ ） ｄ ｔ 在 ａ ， ｂ ］ 上单调递减。
②奇偶 性 ： 设 ） 为连续 函数 ， 若 ） 为奇 函数 ， 则
由罗 尔 定 理 知 ，存 在 ∈∈
（ ０ ， １ ） ， 使 （ ∈ ） ＝ ０ ， 而 （ 毛 ） ＝ ｎ ｏ ＋ ｏ ＋ …＋ ， 故方程 ａ ｏ ＋
ｂ ） 为积分上 限函数 。
（ 二） 性 质
例１ ． 设ｃ ｔ ｏ ， …， ％为满足 ＋ ＋ …＋
十 ｌ
＝ ０的 实
常数 ， 证 明方程 ａ ｓ ＋ ａ ｌ ｘ ＋ …
根。
＝ ０在 （ ０ ， １ ） 内至 少有 一个
①单调性 ： 设 ） 在［ ａ ， ｂ ］ 上可积 ， 若Ｉ 厂 （ ） ＞ １０ ， 则
Ｆ （ ） ＝Ｊ ｔ ） ｄ ｔ 在ａ ， ｂ ］ 上单调递增； 若 ） ≤ ０ ， 则Ｆ （ ｘ ）
＝
证明： 设Ｆ （ ） ＝ Ｊ 。 （ ａ ｏ ＋ ａ ｌ ｘ ＋ … ＋ ） ｄ ｔ ， 则Ｆ （ ） 在
［ ０ ， １ ］ 上连续 ， 在（ ０ ， １ ） 内可 导 ， 且Ｆ （ ０ ） ： Ｏ ， １ ）
期 函数之和 。
≤ 。 ， 故 ） 一 Ｆ （ － ｘ ） ＝ Ｊ ￡ ） 一０ ｆ （ ｔ ） ｄ ｔ ， 在 第 二 项中 令
积分上限函数的性质研究
讨积分上限函数的性质， 推导出几个相关定理， 指出积分上限函数的应用 . 关键词：积分上限函数； 连续； 可积； 可导 中图分类号：O 172 文献标识码：A
在微积分学中为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式， 引进了积分上限函数 . 积分上限函数是 微积分学中一类具有特殊形式的函数， 该函数的性质和应用在一般文献中涉及甚少或零星分散 . 本文从微 积分的基本问题求未知函数， 使导函数是某已知函数入手， 运用极限、 导数的定义和微分中值定理， 系统地讨 论了积分上限函数的性质， 有效地推广了积分上限函数的相关结果， 拓展了积分上限函数的应用 .
乙
x0
x
（ f t+h ） dt =
乙
x0
x+h
x0 +h x+h
（ f y ） dy = （ f y ） dy -
乙 乙
x0
x0
x0 +h x0 +h
（ f y ） dy +
f y ） dy＝ 乙（
x0
x+h
乙
于是
x x
（ f y ） dy =F （x+h ） -F （x0 +h ） ，
lim
h→0
a x
证明 用任一分法 T 把区间 ［a， b］ 分成 n 个小区间： ［x0 ， x1 ］ ， ［x1 ， x2 ］ ， …， ［xn-1 ， xn ］ ， 其中 x0 ＝a， x n ＝b . 第 K 个小区间的长度为 △xk = xk - xk-1 ， ωk 表为第 K 个小区间的振幅， 令（ l T） ＝max｛△x1 ， △x 2 ， △x 3 ， …， △xn｝ ， 由 于（ f x ） 有界， 因此埚M＞0， 使│（ f x ） │≤M . 于是对坌x1 ， x2∈ ［xk-1 ， xk ］ ， 有 ωk ＝ sup│F （x1） -F （x2） │＝ sup sup 进而
积分上限函数的研究与应用
积分上限函数的性质及应用
ｆ当 ＝ 时， Ｉ ｏｔ＝ｍ ｃ ￣ １ ３ ０ ｌ ） ｉ ｍ ｓ ｔｉ ｓ ， ｃ ￣ ｌ ｏｘ＝ ｄ
一 ０。 Ｊｕ 叶 ０— １
，‰
） ） ＝ｆ
２２积分上 限函数 的可微性 ． 定理 ３ 设函数＿ ） ｂ ｌ 厂 在［，］ 连续， 函数 中 ） ａ ６内可导， （ － 则 在 ，关键词 】 ； ； 连续 可微 不等式
１积分上限函数的定义 ．
对 于区间 ，］ 的可积 函数 ， ）设 为 ａ６上 的任 意一点 ， ６ 上 （ ， ， ］ 变
故知此时 中 ∽在［，】 ｎ６ 上严格单 调。
３积分上 限函数性质的应用 ．
３ 讨论函数 的极限与连续性 ． １
◇高 教论述◇
科技 一向导
２１ 年 ３ 期 ０１ 第 ２
积分上限函数的性质及应用
吴红春 （ 内蒙古集宁师范学院数 学系 内蒙古
乌兰察布
０２ ０ ） １ ０ ０
【 要】 摘 本文讨论 了积分上限函数的有界性 ， 连续性， 可积性， 可微性 ， 单调性 等一些基本性质， 并且运 用这些基本性质对与积分上限 函数相 关的某些函数 的微 分、 积分等作 了浅显 的讨论 ， 以及在证明积分等 式（ 不等式） 与一些中值 问 等方面也作 了一 些探 讨， 究了积分上 限函数 题 并探
上限的 积分 Ｊ（ ｔ ｔ 显然存在， 在［６ ｆ） ｄ 当 ｎ】 ，上任意变动时， 对于每 一个
取定的 值， ｆ） 就有一个对应的值， Ｉ（ ｔ ｔ ｄ 这样就在【 ｈ ｏ ｉ ． －个 ，￣定ＹＴ 新函 ＝ｆ ｔｔ 数中 ） ） ， Ａｄ （ ，） ６ 称为积分上限函 ］ 数。
）２］ｏ －（）
因此 ） ｘ ０ 在 ＝ 处不连续， 但它是右连续 的。 ３ 积分上限函数周期性的应用 ． ２
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湖北大学题目：积分上限函数的性质及其应用学院：数学与统计学院年级：研一专业方向：几何与方程作者姓名：陈勇学号：2014111104000639 出生年月：1990年05月性别男籍贯：湖南省汉寿县指导老师：陈立2015 年05月目录摘要 (II)Abstract (II)1引言 (1)2积分上限函数的性质 (1)2.1积分上限函数的初等性质 (1)2.2 积分上限函数的分析性质 (1)3积分上限函数的应用 (2)3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式 (2)3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数 (2)3.3利用积分上限函数求解函数方程 (3)3.4利用积分上限函数确定全微分 (3)3.5利用积分上限函数求解导数 (3)3.6利用积分上限函数计算重积分 (4)3.7利用积分上限函数证明中值定理 (4)3.8利用积分上限函数求函数关系式 (5)3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性 (5)4结束语 (5)致谢语 (5)参考文献 (6)积分上限函数的性质及其应用数学学院2014级2班陈勇摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,对于积分上限函数的初等性质及分析性质的研究,能够深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题.本文例举了积分上限函数的若干应用,对初学者具有指导意义.关键词：积分上限函数;初等性质;分析性质;应用The Nature and Its Application of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYongAbstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calculus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners.Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications1引言积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入了解其特性,对于证明积分等式与不等式、求幂级数的和函数、求解函数方程、确定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌握积分上限函数的性质和恰当的运用显得尤为重要. 本文通过分析积分上限函数的性质, 得到几类典型的应用.2积分上限函数的性质2.1积分上限函数的初等性质定义1 如果函数)(x f 在],[b a 上可积，那么函数⎰=xadt t f x s )()((a ≤x ≤b )称为积分上限函数. 下面讨论与之有关的性质及其应用. (1) 单调性若)(x f 在],[b a 上可积, 且)(x f ≥0 ()(x f ≤0), 则积分上限函数⎰=xa dt t f x s )()(在],[b a 上单调递增（递减). (2) 奇偶性若)(x f 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是偶函数；若)(x f 连续函数且为偶函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(奇函数.(3) 周期性若)(x f 是连续函数且周期为T , 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是周期函数, 或是一线性函数和一周期函数之和.(4) 有界性若)(x f 在],[b a 上可积，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上有界.2.2 积分上限函数的分析性质(1) 凹凸性若)(x f 在],[b a 上单调递增(递减), 则对∀),(b a c ∈, 积分上限函数⎰=xcdt t f x s )()(是凸函数(凹函数).(2) 连续性若)(x f 在],[b a 上可积, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上连续(3) 可导性若)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上可导, 并且()()()()xa d s x f t dt f x a xb dx'==≤≤⎰. (4) 可积性若函数()x f 在[]b a ,上连续,则函数()s x 在区间[]b a ,上可积.特别是,若函数()x f 连续,则有()()()⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa x dx x f x a dx dt t f 000.3积分上限函数的应用3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式例1 设()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,证明:至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f .证明 令()()()⎰⎰=bxx adt t g dt t f x F .由于()x f ,()x g 在[]b a ,上连续,所以()x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()b F a F =,由罗尔定理,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()0F ξ'=,而()()()()()b xxaF x f x g t dt g x f t dt '=-⎰⎰,从而()()()()()0b aF f g t dt g f t dt ξξξξξ'=-=⎰⎰,即()()()()⎰⎰=ξξξξab dx x f g dx x g f .例2 若()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,则()()()()⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a dx x g x f dx x g x f 222.证明 令()()()()()222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎰⎰⎰xa xa x adt t g t f dt t g dt t f x F ,则 ()()()()()()()()()22222x x xaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=++⎰⎰⎰()()()()()()()()[]⎰+⋅-=xadt x g t f t g t f x g x f t g x f 22222()()()()[]⎰≥-=xadt x g t f t g x f 02.所以()x F 在[]b a ,上单调增加,从而()()a F b F ≥.3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数例3 求和函数1(1)nn n n x ∞=+∑.解 设),1,1(,)(11-∈=∑∞=+x nxx s n n 则12111()xn n n n s x dx nxxnx∞∞+-====∑∑⎰,设,)(111∑∞=-=n n nx x s 则 ,1)(11xxnx dx x s n n x-==∑⎰∞= 求导得,)1(1)(21x x s -=,)1()()(22102x x x s x dx x s x-==⎰再求导, 得.)1(2)(2x xx s -=3.3利用积分上限函数求解函数方程例4 设)(x f 在任意有限区间上可积且满足方程)()()(y f x f y x f +=+ (1) 试证：)(x f ax =，其中)1(f a =.证明 要证)(x f ax =，当0≠x 时即要证xx f )(=常数.或∀0,≠y x ，y y f x x f )()(=, 即x y f y x f )()(=在已知方程),()()(y f t f y t f +=+ 两边对t 取积分⎰⎰+=+xxx y f dt t f dt y t f 0,)()()(但⎰⎰⎰⎰++-==+xyx yyx ydt t f dt t f du u f dt y t f 00,)()()()(故⎰⎰⎰+--=yx yxdt t f dt t f dt t f y xf 0.)()()()(此式右端，y x ,以对称的形式出现.y x ,互换知x y f y x f )()(=， 从而)(x f ax =（当0≠x 时） (2) 在(1)中令1,0==y x ,得0)0(=f .可见(2)对于0=x 也成立.最后(2)中,令1=x ,可得)1(f a =.3.4利用积分上限函数确定全微分例5 验证)()(dy dx y x f +⋅+是全微分,其中)(u f 是连续函数. 证明 令()()⎰+=y x du u f y x F 0,,由于()u f 是连续函数,故()(),x F x y f x y '=+,()(),y F x y f x y '=+,且它们都是y x ,的连续函数,因此()()(),,x y dF x F x y dx F x y dy ''=+()()dy dx y x f +⋅+=. 即证()()dy dx y x f +⋅+是全微分.3.5利用积分上限函数求解导数例6 设)(x f 在0=x 的某个领域U 内连续,验证当U x ∈时,函数⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(ϕ的各阶导数都有,且).()(x f x n =ϕ 证明 由于被积函数dt t f t x t x F n )()(),(1--=及偏导数),(t x F x '在U 上连续, 于是由定理可得 ⎰----='x n dt t f t x n n x 02)())(1()!1(1)(ϕ.)()()!2(1)()()!1(1021dt t f t x n x f x x n x n n ⎰----=--+.)()()!3(1)(03dt t f t x n x x n ⎰---=''ϕ 由此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ 特别的当1-=n k 时有 ,)()(0)1(dt t f x xn ⎰=-ϕ于是).()()(x f x n =ϕ3.6利用积分上限函数计算重积分例7 设函数)(x f 在],[b a 连续,则.])([21)()(2dx x f dy y f x f dx ba b a bx ⎰⎰⎰=证明 dy y f x f dx b ab x)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b ab axab xb xdt t f d dy y f dx dt t f x f ))(())((])()([))(())((]))()(([⎰⎰⎰⎰⎰==xab axab ax adt t f d dt t f dx dt t f x f.))((21])([2122dt t f x f b ab a x a ⎰⎰== 3.7利用积分上限函数证明中值定理例8 微分中值定理：若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,在开区间()b a ,内可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点()b c a c <<,使()()()()a b c f a f b f -=-.证明 把c 换成t ,则()()()()a b t f a f b f -=-.即()()[]()()0=---a b t f a f b f , []b a x ,∈∀,将上式两边取积分()()[]()()0=---⎰xadt a b t f a f b f ,即()()[]()()()[]()0=-----a x a f x f a x a f b f .令()()()[]()()()[]()a x a f x f a x a f b f x F -----=,显然()()0==a F b F ,且()x F 在[]b a ,内连续,在()b a ,可导,由罗尔定理,则至少存在一点()b c a c <<,使()0=x F ,而()()()[]()()a b x f a f b f x F ---=,故()()()()a b c f a f b f -=- ()b c a <<.例9 积分中值定理:若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,则在[]b a ,内至少存在一点c ,使得()()()a b c f dt t f ba-=⎰.证明 设()()⎰=xadt t f x F ,由于()x f 在闭区间[]b a ,连续,则()x F 在[]b a ,上连续,由拉格朗日中值定理,则至少存在一点()b a c ,∈,使()()()()a b c f dt t f dt t f aab a-=-⎰⎰,即()()()a b c f dt t f ba-=⎰.3.8利用积分上限函数求函数关系式例10 已知函数)(x f 当10≤≤x 时为x 2, 当12x <≤时为x +2, 求积分上限函数⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在]2,0[上的表达式.解 因为被积函数是分段函数, 所以通常计算定积分而确定)(x ϕ的表达式时也要分段考察.当10≤≤x 时,,2)()(2020x t tdt dt t f x xx x====⎰⎰ϕ 当12x <≤时,⎰⎰⎰+==11)()()()(xxdt t f dt t f dt t f x ϕ.23221)2(22101-+=++=⎰⎰x x dt t tdt x所以当10≤≤x 时为,)(2x x =ϕ 当12x <≤时为.232212-+x x3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性例11设()x f 在[]b a ,上连续,且()x f >0, 又()()()⎰⎰+=xbx a dt t f dt t f x F 1.证明:()0=x F 在[]b a ,内有且仅有一个实根.证明 因为 ()()()()()211f x F x f x f x f x +'=+=, 而 ()()x f x f 212≥+,所以 ()20F x '≥≥.故()x F 在[]b a ,内单调增加,所以()0=x F 在[]b a ,内至多有一个实根.又 ()()⎰<=a b dt t f a F 01, ()()0>=⎰ba dt t fb F ,且()x F 在[]b a ,上连续,故根据的存在定理,在[]b a ,内()0=x F 至少有一个实根. 综上所述, ()0=x F 在[]b a ,内有一个且仅有一个实根.4.结束语综上所述，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，为解决实际问题提供了更多的方法,优化了解题途径,同时也存在着局限性,对适应范围存在着各种条件,这还有待于进一步研究.致谢语感谢陈立老师在论文过程中对我的悉心指导, 也感谢曾帮助我的同学们!参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学(第5 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2] 高智民.原函数存在定理在不等式证明题中的应用[M].湖南师范大学学报,1997,16(2):14-15.[3]华东师大数学系.数学分析(第2 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[4]徐虎.积分上限函数的应用研究,内肛科技[M].中南大学学报,1997,17(2):15-16.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993 .[6]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1992.[7]高鸿.积分上限函数的主要性质及其应用[M].湖南商学院学报,2001,27(2):47-48.[8]常庚哲,史济怀.数学分析教程:下册[M].北京:高等教育出版社,2003.。