绵阳南山中学2020届高考适应性考试模拟理科数学试题(含答案)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{0}B.{1}C.{0, 1}D.{−1, 0}2.若sinα=13，则cos2α()A.−79B.−29C.29D.793.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.4B.7C.8D.144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32B.−20C.25D.427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−198.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.29.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n −2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则1m +9n 的最小值为（ ） A.145 B.114C.83D.10310.设函数f(x)＝ae x −2sinx ，x ∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ） A.√2e π4B.√2e−π4C.√2e π2D.√2e−π211.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x <2时，f(x)=2x −x 2：当x ≥2时，f(x)=3f(x −2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，⋯，a n ，⋯，并记相应的极大值为b 1，b 2，⋯，b n ，⋯，则a 1b 1+a 2b 2+⋯+a 20b 20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+112.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上13.已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________．14.函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．15.在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y ＝e x−2和x 2＝2py 都相切，则实数p 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知asin A+C 2=bsinA ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．18.函数f(x)＝Asin 2(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<φ<π2)，且y ＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)． （1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．19.设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．20.已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．21.已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ． （1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t（t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．23.已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．24.设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M ＝{−1, 0, 1}，N ＝{x|x −1<0}，则M ∩N ＝（ ） A.{0} B.{1} C.{0, 1} D.{−1, 0}【解答】由题得N ＝{x|x <1}，所以M ∩N ＝{−1, 0}． 2.若sinα=13，则cos2α() A.−79 B.−29C.29D.79【解答】 ∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝28，则a 4＝（ ） A.4 B.7 C.8 D.14【解答】因为数列{a n }是等差数列，S 7＝28=a 1+a 72×7=2a 42×7=7a 4，所以a 4＝4．4.若a ，b 均为不等于1的正实数，则“a >b >1”是“log b 2>log a 2”的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件【解答】a ，b 均为不等于1的正实数，当若“a >b >1”时，由对数函数的性质可得：log 2a >log 2b >0， 可得log b 2>log a 2成立． 当若：“log b 2>log a 2”有①若a ，b 均大于1，由log b 2>log a 2，知log 2a >log 2b >0，必有a >b >1； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，0>log 2a >log 2b ，必有0<b <a <1； ③若log a 2<0<log b 2，则必有0<a <1<b ； 故：“log b 2>log a 2”不能推出a >b >1；综上所述由充要条件的定义知，a>b>1”是“log b2>log a2”的充分不必要条件．5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则：2T+3T4<2π，整理得：114⋅2πω<2π，解得：ω>114，6.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32 B.−20 C.25 D.42【解答】因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，所以a＝5．由题得f′(x)＝3x2+(b+4)，∴k＝f′(3)＝b+31，因为切线与直线y=16x+3垂直，所以b+31＝−6，所以b＝−37．所以a+b＝−32．7.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−19【解答】先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A(0, 3)，B(2, 0)，C(0, −3)，D(−2, 0)，当直线z＝7x+3y−1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y−1最小是：−15，8.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】由函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，9.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.145B.114C.83D.103【解答】S n＝2a n−2，可得a1＝S1＝2a1−2，即a1＝2，n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，又S n＝2a n−2，相减可得a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，即a n＝2a n−1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m⋅2n＝64，得m+n＝6，所以1m +9n=16(m+n)(1m+9n)=16(10+nm+9mn)≥16(10+2√9)=83，当且仅当nm =9mn时取等号，即为m=32，n=92．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m +9n>83，验证可得，当m＝2，n＝4时，1m +9n取得最小值为114．10.设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2e π4 B.√2e−π4 C.√2eπ2 D.√2e−π2【解答】函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe x，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，11.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2：当x≥2时，f(x)=3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，⋯，a n，⋯，并记相应的极大值为b1，b2，⋯，b n，⋯，则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+1【解答】解：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2=1−(x−1)2，可得f(x)的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x<4，即有0≤x−2<2，可得f(x)=3f(x−2)=3[1−(x−3)2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x<6，即有0≤x−4<2，可得f(x)=9f(x−4)=9[1−(x−5)2]，可得a3=5，b3=9，⋯即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+⋯+a20b20=1×1+3×3+5×9+⋯+39×319，3S20=1×3+3×9+5×27+⋯+39×320，相减可得−2S20=1+2(3+9+27+⋯+319)−39×320=1+2×3(1−319)1−3−39×320，化简可得S20=1+19×320.故选A.12.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)【解答】作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 的图象， 存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)， 可得−log 2x 1＝log 2x 2，即有x 1x 2＝1，且x 3+x 4＝2×6＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)＝(x 3−2)(10−x 3)＝−(x 3−6)2+36， 可得在(2, 4)递增， 即所求范围为(0, 12)．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________． 【解答】向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)， 则a →+2b →=(0, 2λ−1)， 2a →−b →=(−5, −λ−1)， 又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0， 解得实数λ=12．函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．【解答】根据函数的图象：A ＝1， 由于T4=5π12−π4=π6，整理得T =2π3，所以ω=2π2π3=3，当x =π4时，3⋅π4+φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ−3π4(k ∈Z)，由于|ϕ|<π2，当k ＝1时φ=π4． 所以f(x)＝sin(3x +π4)，所以为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位即可．在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________． 【解答】取AC 的中点D ，因为AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)， 所以AO →=xAB →+2YAD →， 又因为x +2y ＝1， 所以B ，O ，D 三点共线， 因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD=2所以S△ABC=12⋅2m⋅√16−m2=√m2(16−m2)≤√(m2+16−m22)2=8，当且仅当m＝2√2时取等号．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．【解答】恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x 2e x−2，设f(x)=x2e x−2，f′(x)=x(2−x)e x−2，可得0<x<2时，f(x)递减；x>2或x<0时，f(x)递增，即有f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4，则0<2p<4，可得0<p<2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC =sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √3 2).函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．【解答】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，所以1−cos(π2+2φ)＝2，求得cos(π2+2φ)＝−1，所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k ∈Z ， 又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y ＝f(x)＝1−cos(π2x +π2)＝1+sin π2x ； 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4， 又y ＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3， 所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2k n k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：(1)定义域为(0, +∞)，f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，得x=e．f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)．f(x)的极大值为f(e)=lnee =1e，无极小值．(2)∵x>0，lnxx≤kx，∴k≥lnxx2，令ℎ(x)=lnxx2，又ℎ′(x)=1−2lnxx3，令ℎ′(x)=0，解得x=√e，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)．当x=√e时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e，所以k≥12e．已知函数f(x)＝alnx(a≠0)，g(x)＝x−1x．（1）当a＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x＝1是函数F(x)的极大值点，求a的取值范围．【解答】a＝2时，设G(x)＝2xlnx−x2+1，G(1)＝0．则x>0，G′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x＝1时，函数u(x)取得极大值，∴u(x)≤u(1)＝0．∴G′(x)＝2(1+lnx−x)≤0，∴G(x)是(0, +∞)上的减函数，∴0<x<1，G(x)<0，即2xlnx<x2−1，∴2lnx<x−1x．x＝1时，可得2lnx＝x−1x．x>1时，2lnx>x−1x．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x−√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1x．∵1是函数F(x)的极大值点，∴x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x<0.0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0．①x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．化为：12a2<x2−1xlnx，令ℎ(x)=x 2−1xlnx，x>1．ℎ′(x)=x2lnx+lnx−x2+1(xlnx)2，令u(x)＝x2lnx+lnx−x2+1，u′(x)＝2xlnx−x+1x=v(x)，v′(x)＝2lnx+1−1x2>0．∴u′(x)>v(1)＝0．∴u(x)>u(1)＝0．∴ℎ′(x)>0．∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增．∴x→1时，x 2−1xlnx →2xlnx+1=2，∴12a2≤2，可得a2≤4．②0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2≥0．同理可得：a2≤4综上可得：a2≤4，解得−2≤a≤2．∴a的取值范围是[−2, 2]．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3ty=−√3t（t为参数），曲线C1的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ= 2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6． 所以：θ=5π6，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2＝4． 转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ， 转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得：x 2+y 2−2√3x +2y =0， 线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 则：{θ=5π6ρ=4cosθ，解得：A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点 则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围． 【解答】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解；当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}． (2)由题设可得f(x)={ −x +1−a ，x <a,−3x +1+a ，a ≤x ≤12,x −1+a ，x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12，a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3； 当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得a ≤1； 当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6． 综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．。
绵阳南山中学2020届高三数学仿真模拟热身考试试题二理含解析
【答案】(1） ；（2）（i） ；（ii）应该对余下的产品作检验.
A. B. C。 D。
【答案】C
【解析】
此题为几何概型．数对 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为 ，所以 ．故选C．
10. 的展开式的各项系数和是（ )
A。 B。 C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
根据赋值法，令 ，求展开式的各项系数和。
【详解】令 ，则展开式的各项系数和是 。
5。一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）
A. B. C. D。
【答案】A
【解析】
分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体,它由一个棱柱与二分之一圆柱组成，根据三视图中数据，利用柱体的体积公式可得结果。
详解：由三视图可知,该几何体是一个组合体，它由一个棱柱与二分之一圆柱组成，棱柱底面是矩形，矩形长宽分别为 与 ，高为 ,体积为 ，圆柱底面半径为为 ，高为 , 几何体体积为 ,故选A。
（2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2) 。
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直 性质定理可得出 平面 ，可得出 ，由等腰三角形三线合一的性质可得出 ，由此可得出 平面 ，进而得出 ；
（2)设 ，可得出 ， ，由(1)可知， 与平面 所成的角为 ，可得 ，进而以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角 的大小.
所以: ，
在 中，设外接圆的直径为 ，
则： ,
所以：外接球的半径 ，
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学四诊试卷(理科)(含答案解析)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学四诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则集合A. B. 2， C. 1， D.2.已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为A. B. C. D.3.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为A. B.C. D.4.展开式的常数项为A. 120B. 160C. 200D. 2405.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为A. B. C. D.6.下列说法正确的是A. 命题“，”的否定是“，”B. 命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题C. “在上恒成立”“在上恒成立”D. 命题“已知x，，若，则或”的逆否命题是真命题7.如图，在平行四边形ABCD中，，，，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中，则的取值范围是A. B. C. D.8.已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则A. 3B. 2C.D.9.若，且，则下列不等式成立的是A. B.C. D.10.已知数列与的前n项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则k的最小值是A. B. 49 C. D.11.四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A. B. C. D.12.若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a是实数，i是虚数单位，若是纯虚数，则______．14.设是等差数列的前n项和，若，，则数列中的最大项是第______项．15.已知函数满足对任意的都有成立，则______．16.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且为坐标原点，若与的面积分别为和，则最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设．求函数的单调区间；在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值．18.在某外国语学校举行的高中生数学建模大赛中，参与大赛的女生与男生人数之比为1：3，且成绩分布在，分数在80以上含的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．Ⅰ求a的值，并计算所抽取样木的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；Ⅱ填写下面的列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．女生男生总计获奖5不获奖总计200附表及公式：其中，．19.如图，已知长方形ABCD中，，，M为DC的中点，将沿AM折起，使得平面平面ABCM．求证：；若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为．20.设椭圆的离心率，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有．求椭圆的方程；设直线l：上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异于点，直线BQ与x轴相交于点若的面积为，求直线AP的方程．21.已知函数，，a，．当时，求函数的单调区间．若曲线在点处的切线l与曲线切于点，求a，b，c的值．若恒成立，求的最大值．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．写出曲线，的普通方程；过曲线的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线于A，B两点，求．23.已知函数．当时，解不等式；若存在满足，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】先分别求出集合A和B，从而得到，由此能求出集合．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．【解答】解：集合2，，或，，集合．故选：A．2.答案：C解析：解：p：，化为：，，，解得：．q ：，解得．若p是q的充分不必要条件，则，解得．实数a的取值范围为．故选：C．p：，化为：，化为，，解得x范围．q：，解得根据p是q的充分不必要条件，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于中档题．由于当时，函数始终满足，利用指数函数的图象和性质可得先画出函数的图象，此函数是偶函数，当时，即为，而函数，即可得出图象．【解答】解：当时，函数始终满足．因此，必有．先画出函数的图象：红颜色的图象．而函数，其图象如黑颜色的图象．故选：B．4.答案：B解析：解：，的展开式中的通项公式为，，1，，6，，所以展开式的常数项为160．故选：B．先对进行变形，再利用二项式定理中的展开式的通项公式求得结果．本题主要考查对式子的合理变形及二项式定理中的通项公式的应用，属于基础题．5.答案：C解析：解：由题意得到每次生成每个实数都大于的概率为，用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为：；故选：C．由题意得到每次生成每个实数都大于的概率为，三次独立事件的重复发生的概率即为所求．本题考查了几何概型的概率以及独立重复试验的概率求法；属于基础题．6.答案：D解析：解：选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；选项B，命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为“若函数只有一个零点，则”，当时，，显然只有一个零点；当时，要使只有一个零点，则，即，所以或，即B错误；选项C，“在上恒成立”“在上恒成立”，即C错误；选项D，原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，即D正确．故选：D．A，根据全称命题的否定形式可判断；B，先写出原命题的逆命题为“若函数只有一个零点，则”，然后对函数的最高次项系数是否为0进行分类讨论，求出a的取值即可；C，“在上恒成立”“在上恒成立”；D，根据原命题与逆否命题同真同假进行判断．本题考查命题的真假判断，包含全称命题的否定、四种命题的改写与真假关系、函数的恒成立问题等知识点，考查学生的推理论证能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，即；，即所以．因为，二次函数的对称轴为：，故当时，．故选：C．画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．则，，若过A时取得最大值为4，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若过B时取得最大值为4，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故．故选B．9.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．，且，可取，代入计算即可得出大小关系．【解答】解：采用特殊值法，，且，可取，．则，，，．故选：B．10.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的判断，裂项法数列求和，属于中档题．根据递推公式求出的通项公式，利用裂项法求，从而得出k的最小值．【解答】解：，，，，，，又，，．是以3为首项，以3为公差的等差数列，，，．．故选：C．11.答案：A解析：解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是，得，所以正方体棱长中，，，即外接球半径，得外接球表面积为．故选：A．将三视图还原为直观图，得四棱锥的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题．12.答案：D解析：解：当时，函数，时，，时，，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当时，，，时，恒成立，函数是增函数，，所以时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能力．13.答案：1解析：解：是纯虚数，，解得．故答案为：1．由已知条件可得，求解即可得答案．本题考查了复数的基本概念，是基础题．14.答案：13解析：解：，，，，且，故的最大值为，满足的最大的，故中的最大项是第13项．故答案为：13．先由，且，数列是单调递减数列，前13项是正数，从第14项开始为负数，再研究数列中的最大项即可．本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：7解析：解：设所以可得因为函数满足对任意的都有成立所以即所以故答案为：7．由题意得两个式子相加可得，因为所以本题考查了利用函数的对称性求和，解决本题的关键是发现函数与和式的对称性，利用倒叙相加法求和．此法在数列部分常见，也是一种求和的重要方法．16.答案：6解析：解：抛物线的焦点为，设，，，，即为，解得，即，则，，则，当且仅当，即时，上式取得等号．则的最小值为6．故答案为：6．求得抛物线的焦点，设，，，，运用向量的数量积的坐标表示，可得，运用三角形的面积公式和向量的数量积和性质，可得，，再由基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用向量的数量积的形式表示三角形的面积，考查基本不等式的运用，主要考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：解：由题意可知，，由，，得，，由，，得，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是；由，可得，由题意知A为锐角，所以，由余弦定理，可得，即，当且仅当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．解析：本题主要考查了正弦函数的图象和性质、余弦定理、基本不等式的应用，三角形的面积公式，属于中档题，由三角函数恒等变换化简解析式可得，由，可解得的单调递增区间，由，可解得单调递减区间；由，可得sin A，cos A，由余弦定理并结合基本不等式可得，当时等号成立，从而可求，从而得解，18.答案：解：Ⅰ，．Ⅱ由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，列联表如下：女生男生总计获奖53540不获奖45115160总计50150200因为，所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生，男生有关．”解析：Ⅰ根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；Ⅱ由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，从而可得列联表，再计算出，与临界值比较可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：证明：长方形ABCD中，，，M为DC的中点，，则，平面平面ABCM，平面平面，平面ABCM，平面ADM，平面ADM，．取M中点O，连接DO，则平面ABCM，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为1，，设，，0，．设平面AME的一个法向量为y，，则取，得1，二面角的余弦值为．由，解得．为BD上靠近D点的处．解析：本题考查线线垂直的证明，考查点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．在长方形ABCD中，，，M为DC的中点，可得，则，由线面垂直的判定可得平面ADM，则；取M中点O，连接DO，则平面ABCM，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求得值，即可得E的位置．20.答案：解：设，，，又由，得，且，解得，因此椭圆的方程为：．设直线AP的方程为，与直线l的方程联立，可得点，故将与联立，消去x，整理得，解得，或．由点B异于点A，可得点由，可得直线BQ的方程为，令，解得，故D．又的面积为，故，整理得，解得，．直线AP的方程为，或．解析：本题考查椭圆方程的性质，直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是较难题．由离心率可得a与c的关系，再由，得，又，可得椭圆方程；设直线AP的方程为，与直线l的方程联立，可得点P的坐标，进一步得到Q 的坐标．联立直线方程与椭圆方程，求得B点坐标，则BQ所在直线方程可求，取，求得D的坐标．得到，结合的面积为，即可列式求得m值，则直线AP的方程可求．21.答案：解：Ⅰ，则．令，得，所以在上单调递增．令，得，所以在上单调递减．分Ⅱ因为，所以，所以l的方程为．依题意，，．于是l与抛物线切于点，由得．所以，，分Ⅲ设，则恒成立．易得．当时，因为，所以此时在上单调递增．若，则当时满足条件，此时；若，取且，此时，所以不恒成立．不满足条件；当时，令，得由，得；由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．要使得“恒成立”，必须有：“当时，”成立．所以则．令，，则．令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，．从而，当，时，的最大值为．综上，的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；Ⅱ求出函数的导数，根据切线方程求出a，b，c的值即可；Ⅲ设，求出函数的导数，通过讨论a的范围，问题转化为，得到，令，，根据函数的单调性求出的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：即的普通方程为，，，可化为，即曲线左焦点为，直线l的倾斜角为，，所以直线l的参数方程为：为参数，将其代入曲线整理可得：，所以．设A，B对应的参数分别为，，则．所以．解析：本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线，的普通方程；直线l的参数方程为：为参数，将其代入曲线整理可得：，利用参数的几何运用求．23.答案：解：当时，，当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即．综上所述，原不等式的解集为或；由，即，得，又，，即，解得．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及绝对值的性质，是一道中档题．将a的值带入，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；根据绝对值的性质求出，即，求出a的范围即可．。
2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科数学试卷(5月)-学生用卷
2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科数学试卷（5月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第1题5分已知集合A={x|0<x⩽3,x∈N}，B={x|y=√x2−9}，则集合A∩(∁R B)=（）．A. {1,2}B. {1,2,3}C. {0,1,2}D. (0,1)2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第2题5分⩾1，q:(x−a)2<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）．已知p:1x−2A. (−∞,3]B. [2,3]C. (2,3]D. (2,3)3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第3题5分2015~2016学年高一单元测试2020~2021学年江西南昌高一上学期期中（六校联考）第11题5分2015~2016学年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高一上学期期末|的图象大致为（）．若当x∈R时，函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|⩽1，则函数y=log a|1xA.B.C.D.4、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第4题5分(1 x2+4x2+4)3展开式中的常数项为（）．A. 120B. 160C. 200D. 2405、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第5题5分用电脑每次可以自动生成一个属于区间(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（）．A. 127B. 23C. 827D. 496、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第6题5分下列说法正确的是（ ）．A. 命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0>0”B. 命题“若a =−1，则函数f(x)=ax 2+2x −1只有一个零点”的逆命题为真命题C. “x 2+2x ⩾ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2+2x )min ⩾(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立”D. 命题“已知x ，y ∈R ，若x +y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是真命题7、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第7题5分2016~2017学年天津和平区高三上学期期末理科第7题5分如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，AB =2，AD =1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM BC =NC DC =λ，其中λ∈[0,1]，则AM →⋅AN →的取值范围是（ ）．A. [0,3]B. [1,4]C. [2,5]D. [1,7]8、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第8题5分2017~2018学年山东临沂兰山区高二上学期期中文科第9题3分2017~2018学年广西桂林秀峰区桂林市桂林中学高二上学期期中理科第9题5分2017~2018学年内蒙古包头东河区包头市第一中学高三上学期期中文科第11题5分2017~2018学年广西桂林秀峰区桂林市桂林中学高二上学期期中文科第10题5分已知x ，y 满足约束条件{x −y ⩾0x +y ⩽2y ⩾0，若z =ax +y 的最大值为4，则a =（ ）．A. 3B. 2C. −2D. −39、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第9题5分2018~2019学年福建厦门思明区福建省厦门双十中学高一上学期期中第10题5分2017~2018学年福建泉州泉港区泉港区第一中学高一下学期期末第5题5分2019~2020学年北京海淀区北京市第五十七中学高二下学期期末第4题若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是()A. a+1b <b2a<log2(a+b)B. b2a <log2(a+b)<a+1bC. a+1b <log2(a+b)<b2aD. log2(a+b)<a+1b <b2a10、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第10题5分2019~2020学年9月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第12题已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n>0，6S n=a n2+3a n，n∈N∗，b n=2a n(2a n−1)(2a n+1−1)，若∀n∈N∗，k>T n恒成立，则k的最小值是（）．A. 17B. 149C. 49D. 844111、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第11题5分2018~2019学年2月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三下学期月考文科第11题5分2017~2018学年6月河北唐山路北区河北省唐山市开滦第二中学高二下学期月考文科第11题5分2017~2018学年6月河北唐山路北区河北省唐山市开滦第二中学高二下学期月考理科第11题5分2016~2017学年3月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三下学期月考文科第10题5分四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，四棱锥P−ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2√2，则该球表面积为（）．A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π12、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第12题5分2020年江西高三一模理科第12题5分2020~2021学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末理科第12题5分2019~2020学年12月广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三上学期月考文科第12题5分2019年广东深圳高三二模文科第12题5分若函数f(x)=x−√x−alnx在区间(1,+∞)上存在零点，则实数a的取值范围为（）．)A. (0,12,e)B. (12C. (0,+∞),+∞)D. (12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第13题5分2018年北京高二高考模拟已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2−1+(a+1)i是纯虚数，则a=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第14题5分设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S25>0，S26<0，则数列{S n an}(n∈N+,n⩽25)中的最大项是第项．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第15题5分2018~2019学年10月江苏南京鼓楼区南京市宁海中学高一上学期月考第10题5分2017~2018学年福建泉州洛江区泉州市马甲中学高一上学期期中第16题5分已知函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(12+x)+f(12−x)=2成立，则f(18)+f(28)+⋯+f(78)=．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第16题5分2018年江西高三高考模拟已知F为抛物线y2=x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且OA→⋅OB→=6(O为坐标原点)，若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1+4S2最小值是．三、解答题（本大题共5小题）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第17题2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳市香港马会第五中学高二上学期期中2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳市香港马会第五中学高三上学期期中设f(x)=sinxcosx−cos2(x+π4)．(1) 求f(x)的单调区间．(2) 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若f(A2)=0，a=1，求△ABC面积的最大值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第18题2019年陕西西安莲湖区西安远东教育集团第一中学高三一模文科第20题12分2017~2018学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高二上学期期末文科第19题12分2018~2019学年3月重庆合川区合川中学高三下学期周测C卷文科第18题12分在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1) 求a的值，并计算所抽取样本的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．(2) 填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文，理科有关”？附表及公式：K2=n(ad−bc)2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第19题2021年陕西咸阳武功县高三一模理科第18题12分如图，已知长方形ABCD中，AB=2√2，AD=√2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．(1) 求证：AD⊥BM．(2) 若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E−AM−D的余弦值为2√55．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第20题2018~2019学年4月贵州遵义汇川区遵义航天高级中学高三下学期月考文科第20题2018年四川遂宁高三一模理科第20题12分设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=32．(1) 求椭圆的方程．(2) 设直线l:x=−1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为√62，求直线AP的方程．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第21题已知函数f(x)=e x+x2−x，g(x)=x2+ax+b，a，b∈R．(1) 当a=1时，求函数F(x)=f(x)−g(x)的单调区间．(2) 若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c)，求a，b，c的值．(3) 若f(x)⩾g(x)恒成立，求a+b的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1小题）【选修4-4：参数方程与极坐标】22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第22题2018~2019学年10月四川成都青羊区成都市树德中学高三上学期月考理科第22题10分2017~2018学年广西南宁兴宁区广西南宁市第三中学高二下学期期末理科第22题10分2019~2020学年四川成都青羊区成都市树德中学（宁夏街校区）高二下学期期中文科第18题12分2017~2018学年6月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高二下学期月考理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2√5cosαy=2sinα（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ2+4ρcosθ−2ρsinθ+4=0．(1) 写出曲线C1，C2的普通方程．(2) 过曲线C1的左焦点且倾斜角为π4的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第23题2019~2020学年7月陕西西安雁塔区唐南中学高三下学期月考文科（十七模）第23题10分2017~2018学年10月广东广州越秀区广州市铁一中学高三上学期月考理科第23题10分已知函数f(x)=|x−2|+|3x+a|．(1) 当a=1时，解不等式f(x)⩾5．(2) 若存在x0满足f(x0)+2|x0−2|<3，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】1;14 、【答案】13;15 、【答案】7;16 、【答案】6;17 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;18 、【答案】 (1) a=0.025，x=69．;(2)有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) E为BD上靠近D点的15处．;20 、【答案】 (1) x2+4y23=1．;(2) 3x−√6y−3=0或3x−√6y−3=0．;21 、【答案】 (1) F(x)在(ln2,+∞)上单调递增，在(−∞,ln2)上单调递减．;(2) a=−2，b=2，c=1．;(3) e−1．;22 、【答案】 (1) x220+y24=1，(x+2)2+(y−1)2=1．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) (−∞,−1]∪[1,+∞)．;(2) (−9,−3)．;第11页，共11页。
2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模模拟理科数学试卷-学生用卷
2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模模拟理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第1题5分集合A={x∣x(x−2)>0}，B={x∣x−1>0}，则A∩B=（）．A. {x∣x>2}B. {x∣1<x<2}C. {x∣x<0或x>1}D. {x∣x>1}2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第2题5分若复数z满足z−√3(1+z)i=1，复数z的共轭复数是z，则z+z=（）．A. 1B. 0C. −1D. −12+√32i3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第3题5分在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，∠C=120°，则c=（）．A. 37B. 13C. √13D. √374、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第4题5分直线ax+by+√2ab=0(ab>0)与圆x2+y2=1的位置关系是（）．A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切5、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第5题5分在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE→=2EO→，则ED→=（）．A. 23AD→−13AB→B. 23AD→+13AB→C. 13AD→−23AB→D. 13AD→+23AB→6、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第6题5分若a∈[1,6]，则函数y=x 2+ax在区间[2,+∞)上单调递增的概率是（）．A. 15B. 25C. 35D. 457、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第7题5分2020年安徽合肥高三零模理科第10题5分函数f(x)=lnx⋅(e x−1)e x+1的图象大致为（）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第8题5分一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）．A. 24πB. 8√6πC. 4√33πD. 12π9、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第9题5分(x−1x +1)5展开项中的常数项为（）．A. 1B. 11C. −19D. 5110、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第10题5分△ABC中，lgcosA=lgsinC−lgsinB=−lg2，则△ABC的形状是（）．A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形11、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第11题5分 点A ，B ，C 是单位圆O 上的不同三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若OC →=mOA →+nOB →（m >0，n >0），m +n =2，则∠AOB 的最小值为（ ）．A. π6B. π3C. π2D. 2π312、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第12题5分 直线y =kx +1与抛物线C ：x 2=4y 交于A ，B 两点，直线l//AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记△PAB 的面积为S ，则S −|AB|的最小值为（ ）．A. −94B. −274C. −3227D. −6427二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第13题5分已知f(x)=sin[π3(x+1)]−√3cos[π3(x+1)]，则f(1)+f(2)+⋯+f(2020)=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第14题5分已知x，y满足{x⩾1 x+y⩽4ax+by+c⩽0，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca=．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第15题5分若f(x)=13kx3+(k−2)x2−5k+7在(0,2)上单调递减，则k的取值范围是．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第16题5分2020年安徽合肥高三零模理科第15题5分若函数f(x)=2|x−2a|−4|x+a|在区间(−2,+∞)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第17题12分a n+1，n∈N∗．在数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12(1) 求数列{a n}的通项a n．(2) 若存在n∈N∗，使得a n⩽(n+1)λ成立，求实数λ的最小值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第18题12分绵阳市为了激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如下表所示．(1) 根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210)，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P(36<Z⩽79.5)．(2) 在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：(i)得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会．(ii)每次抽奖所获奖券和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式，√210≈14.5．若X∼N(μ,σ2)，则①P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6827；②P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9973．19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第19题12分如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．(1) 求证：AB 1⊥CC 1．(2) 若AB 1=√6，求平面A 1B 1C 1和平面ACB 1所成锐二面角的余弦值．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第20题12分 2020年安徽合肥高三零模理科第22题12分已知f (x )=e x −mx ．(1) 若曲线y =lnx 在点(e 2,2)处的切线也与曲线y =f (x )相切，求实数m 的值．(2) 试讨论函数f (x )零点的个数．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第21题12分已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P (1,32)在椭圆C 上，满足PF 1→⋅PF 2→=94．(1) 求椭圆C 的标准方程．(2) 直线l 1过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线l 2与l 1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点M ，N ，与直线x =1交于点K （K 介于M ，N 两点之间）．① 求证：|PM |⋅|KN |=|PN |⋅|KM |．②是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l2的方程，若不能，请说明理由．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第22题10分2017~2018学年4月四川成都双流区高三下学期月考理科第22题10分2018年四川宜宾高三二模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=2sinα(α为参数)．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ=√3．(1) 求曲线C1的极坐标方程．(2) 设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第23题10分已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x．(1) 解关于x的不等式g(x)⩾f(x)−|x−1|．(2) 如果对任意的x∈R，不等式g(x)+c⩽f(x)−|x−1|恒成立，求实数c的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 D;13 、【答案】√3;14 、【答案】−2;15 、【答案】(−∞,1];16 、【答案】a=0或a⩾12;17 、【答案】 (1) a n={1,(n=1)2n×3n−2,(n⩾2)．;(2) 13．;18 、【答案】 (1) 0.8186．;(2)EX=36．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 35．;20 、【答案】 (1) m=1−e−2．;(2) 0⩽m<e时，f(x)无零点；m<0或m=e时，f(x)有一个零点；m>e时，f(x)有两个零点．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2)①证明见解析．②不存在直线l2,证明见解析．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．;(2) △ABO的面积为√3．;23 、【答案】 (1) [−1,12]．;(2) (−∞,−98]．;。
【精准解析】四川省绵阳南山中学2020届高三下学期第四次诊断模拟考试数学(理)试题
绵阳南山中学2020年绵阳高考适应性考试模拟数学试题（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}03,A x x x N =<<∈，{}29B x y x ==-，则集合()R AC B =（ ）A. {1，2}B. {1，2，3}C. {0，1，2}D. （0，1）【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A ，B ，再利用补集的定义求得R C B ，然后利用交集的定义求解. 【详解】因为集合{}{}03,1,2A x x x N =<<∈=，{}{29|3B x y x x x ==-=≥或}3x ≤-，所以{}|33R C B x x =-<<， 所以(){}1,2R A C B =.故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知1:12p x ≥-，()2:1q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A. (-∞，3] B. [2，3] C. (2，3] D. （2，3）【答案】C 【解析】 【分析】求出p 与q ，然后利用p 是q 的充分不必要条件，列出关系式求解即可． 【详解】解：由1:12p x -，所以23x <， 又()2:1q x a -<，11a x a -<<+， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以3112a a <+⎧⎨-⎩，解得23a <≤即(]2,3a ∈．故选：C ．【点睛】本题考查充要条件的应用，分式不等式与一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．3.若当x ∈R 时，函数()xf x a =始终满足0|()|1f x <≤，则函数1log ay x=的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】当x ∈R 时，函数||()x f x a =满足0()1f x <≤，得01a <<，画出log ||a y x =，再根据对称性可得结果.【详解】当x ∈R 时，函数||()x f x a =满足0()1f x <≤，得01a <<，画出函数log ||a y x =的图象，如图中黑色的图象，函数1log log ||aa y x x==-与log ||a y x =的图象关于x 轴对称， 得到红色颜色的图象，故答案为B ．【点睛】两个函数图象的对称性：（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于x 轴对称；（2）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称；（3）函数()y f x =的图象与()y f x =--的图象关于原点对称.4.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为（ ） A. 120 B. 160 C. 200 D. 240【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则求解．【详解】由题意常数项为11332444160C C ⨯⨯+=．故选：B ．【点睛】本题考查三项式展开式中的项，解题时可用二项式定理，也可结合多项式乘法法则求解．5.用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A.127B.23C. 827D.49【答案】C 【解析】 由题意可得： 每个实数都大于13的概率为12133p =-=， 则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭.本题选择C 选项.6.下列说法正确的是（ ）A. 命题“x R ∀∈，0x e >”的否定是“0x R ∃∈，00x e >”B. 命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题C. “22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“()()2max min2x xax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”D. 命题“已知x ，R y ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】由否定的定义判断A 选项；举反例判断B ，C 选项；写出逆否命题即可判断D 选项. 【详解】对A 项，命题“x R ∀∈，0x e >”的否定是“0x R ∃∈，00x e ≤”，故A 错误； 对B 项，命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为假命题，因为0a =时，()21f x x =-也只有一个零点，故B 错误； 对C 项，当2a =时，不等式222x x x +≥在[]1,2x ∈上恒成立，此时()()2max min2324xx x +=<=，故C 错误；对D 项，逆否命题为“已知x ，R y ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”，显然，逆否命题为真命题，故D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了写出原命题的逆否命题并判断真假，写出全称命题的否定，属于中档题.7.如图，在平行四边形ABCD 中，π3BAD ∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NCBC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅的取值范围是A. []0,3B. []1,4C. []2,5 D. []1,7【答案】C 【解析】 因为BM NCBC DCλ==,所以BM BC λ=,NC DC λ=， 所以AM AN ⋅=()()AB BC AD DN λ+⋅+=()()AB BC AD AB DC λλ+⋅+-=()()1AB AD AD AB λλ⎡⎤+⋅+-⎣⎦=()()411AB AD AB AD λλλλ⋅+-++-⋅=()()1411λλλλ+-++-=225λλ--+. 当0λ=时,AM AN ⋅取得最大值5; 当1λ=时,AM AN ⋅取得最小值2,AM AN ⋅的取值范围是[]2,5.本题选择C 选项.8.已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ ( )A. 3B. 2C. －2D. －3【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A 时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A 时截距最大，此时z 的最大值为4，符合题意．若过点B 时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A 时截距最大，此时z 的最大值为6，不符合题意．．考点：简单的线性规划．【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．9.若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. 21log ()2a ba ab b +<<+ B.21log ()2a b a b a b<+<+ C. 21log ()2a ba ab b +<+<D. 21log ()2a ba b a b +<+<【答案】B 【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 21,2a ba b a b ab ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.10.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，则k 的最小值为（ ） A.17B.149C. 49D.8441【答案】B 【解析】 【分析】先求得n a 的通项公式，化简n b 的表达式，利用裂项求和法求得n T ，由此求得k 的最小值.【详解】当1n =时，211163a a a =+，解得13a =.当1n ≥时，由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a ---=+，两式相减并化简得()()1130n n n n a a a a --+--=，由于0n a >，所以1130,3n n n n a a a a ----=-=，故n a 是首项为3，公差为3的等差数列，所以3n a n =.则()()112111781812121nn n a n n n a a b ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，故12n n T b b b =+++223111111117818181818181n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11117781n +⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦()11149781n +=--，由于n T 是单调递增数列，1111498149n +-<-，149k ≥. 故k 的最小值为149，故选B. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题. 11.四棱锥PABCD 的三视图如图所示，四棱锥PABCD 的五个顶点都在一个球面上， E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22 ，则该球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【答案】A【解析】四棱锥PABCD 中PA ⊥面ABCD ，且ABCD 为正方形，球心为PC 中点，因为,2PA AB a PC R ====，所以2222222234122a R R R S R ππ⎛⎫=+⇒=+⇒=∴== ⎪⎝⎭，选A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．12.若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()0,∞+D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当12a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数， 且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a >时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围.【详解】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '=-=令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0>g x ，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0<g x ，当0(,)x x ∈+∞时，()0>g x ；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 二.填空题13.已知a 是实数，i 是虚数单位，若21(1)z a a i =-++是纯虚数，则a =__________．【答案】1 【解析】由题意得21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =．答案：114.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S ，260S ，则数列(),25n n S n N n a +⎧⎫∈≤⎨⎬⎩⎭中的最大项是第______项.【答案】13 【解析】 【分析】由已知可得数列{}n a 是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列25121225,,,S S S a a a …从第14项起为负值，而13121213,,,S S Sa a a ⋯为递增数列，则答案可求．【详解】解：在等差数列{}n a 中，由250S ，260S ，得125126()2502()2602a a a a +⨯⎧>⎪⎪⎨+⨯⎪<⎪⎩，∴1313140a a a >⎧⎨+<⎩，则数列{}n a 是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，数列25121225,,,S S S a a a …从第14项起为负值， 而13121213,,,S S S a a a ⋯为递增数列， ∴数列25121225,,,S S S a a a …的最大项是第13项． 故答案为：13．【点睛】本题考查数列的函数特性，考查等差数列前n 项和的应用，属于中档题． 15.已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】 【详解】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.16.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且6OA OB ⋅=（O 为坐标原点），若ABO 与AFO 的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是______ 【答案】6 【解析】 【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及6OA OB ⋅=消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题. 【详解】解：设直线AB 的方程为x ty m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ， 直线AB 与x 轴交点为()0,M m ．∴联立2x ty m y x=+⎧⎨=⎩，可得2y ty m =+，根据韦达定理得12y y m ⋅=-， ∵6OA OB ⋅=∴12126x x y y +=，即()2121260y y y y ⋅+⋅-=， ∵A ，B 位于x 轴的两侧，∴123y y ⋅=-∴3m =设点A 在x 轴的上方，则10y >∵1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴()12121111434224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11111331926222y y y y y ⎛⎫=++=+≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号． 故答案为：6【点睛】求解本题时，应考虑以下几个点：1、联立直线与抛物线方程，消x 或y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意"一正，二定，三相等"． 三.解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间； （Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫=⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A = 由题意知A为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤+当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24+ 考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.18.在某外国语学校举行的HIMCM (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求a 的值,并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅱ)填写下面的22⨯列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”． 女生男生 总计 获奖 5不获奖总计 200附表及公式：()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++．【答案】（Ⅰ）0.025a =，69x =；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得22⨯列联表,再计算出2K ,与临界值比较可得．【详解】解：(Ⅰ)110a =⨯[1(0.010.0150.03-+++0.0150.005)10]0.025+⨯=, 450.1550.1565x =⨯+⨯+0.25750.3850.15950.0569⨯+⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,22⨯列联表如下：女生男生 总计获奖 5 3540不获奖 45 115 160总计 50150200因为22200(51153545)40160150K ⨯⨯-⨯=⨯⨯ 4.167 3.841≈>,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型. 19.如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为25. 【答案】（1）见解析；（2）E 为BD 上靠近D 点的15处【解析】【分析】（1）在长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，可得2AM BM ==，则AM BM ⊥，由线面垂直的判定可得BM ⊥平面ADM ，则AD BM ⊥；（2）取M 中点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABCM ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求得λ值可得E 的位置．【详解】（1）证明：∵长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，∴2AM BM ==，则AM BM ⊥. ∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，BM ⊂平面ABCM ，∴BM ⊥平面ADM ，∵AD ⊂平面ADM ，∴AD BM ⊥； （2）取M 中点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABCM ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM 的一个法向量为()0,1,0m =， 设DE DB λ=，()1,2,1ME MD DB λλλλ=+=--，()2,0,0AM =-.设平面AME 的一个法向量为(),,n x y z =，则()20210n AM x n ME y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得20,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由25cos ,5m n m n m n ⋅==，解得15λ=.∴E 为BD 上靠近D 点的15处.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．20.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线交椭圆于,E H 两点，若直线EH 垂直于x 轴时，有32EH = （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：1x =-上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD ，求直线AP 的方程.【答案】（1）22413y x +=；（2）330x -=或330x -=. 【解析】试题分析：（1）由离心率可得,a c 的关系，再由32FH =，结合隐含条件，求得22,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程联立，可得点P 的坐标，进一步得到Q 的坐标，联立直线与椭圆的方程，求得B 的坐标，则BQ 所在的直线方程可求，取0y =，求得D 的坐标，得到AD ，结合APD ∆的面积为2，即可求解实数m 的值，得到直线方程. 试题解析：（1）设(),0(0)F c c ->，因为12e =所以有2a c =，又由32EH =得2232b a =，且222a b c =+，得231,4a b ==，因此椭圆的方程为：22413y x +=.（2）设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理()223460m y my ++=， 解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ， 可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为 ()222623*********mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为2，故221622322m m m ⨯⨯=+，整理得2320m m -+=，解得3m =3m =±.所以，直线AP 的方程为330x +-=或330x --=.点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质性质、直线与圆锥曲线的位置关系及直线方程的求解,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数()2x x x e f x =+-，()2g x x ax b =++，,a b ∈R .（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点()0,1处的切线l 与曲线()y g x =切于点()1,c ，求,,a b c 的值； （Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求+a b 的最大值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,2, 1.a b c =-==（Ⅲ）1e - 【解析】【详解】（Ⅰ） ()2xF x e x b =--，则()2xF x e '=-.令()20,xF x e '=->得ln2x >，所以()F x 在()ln2,+∞上单调递增.令()20,xF x e '=-<得ln2x <，所以()F x 在(),ln2-∞上单调递减.（Ⅱ）因为()21xf x e x '=+-，所以()00f '=，所以l方程为1y =.依题意， 12a-=， 1c =. 于是l 与抛物线()22g x x x b =-+切于点()1,1， 由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== -（Ⅲ）设()()()()1xh x f x g x e a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()()1.xh x e a ='-+（1）当10a +≤时， 因()0h x '>，所以此时()h x 在(),-∞+∞上单调递增.①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01bx ,a 1-<+ 此时()()()000111101xbh x e a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件； （2）当10a +>时，令()0h x '=，得()ln 1.x a =+由()0h x '>，得()ln 1x a >+； 由()0h x '<，得()ln 1.x a <+所以()h x 在()(),ln 1a -∞+上单调递减，在()()ln 1,a ++∞上单调递增.要使得“()()10xh x e a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当()ln 1x a =+时， ()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥”成立.所以()()()11ln 1b a a a ≤+-++.则()()()211ln 1 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x =-' 令()0G x '=，得.x e =由()0G x '>，得0x e <<；由()0G x '<，得.x e >所以()G x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减, 所以，当x e =时， ()max 1.G x e =-从而，当1,0a e b =-=时， +a b 的最大值为1e -.- 【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=.（Ⅰ）写出曲线1C ，2C 的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，求AB . 【答案】（1）221204x y +=,222:(2)(1)1C x y ++-=（2【解析】分析：（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程为422x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线2C整理可得：240t -+=，利用参数的几何运用求AB ．详解:（Ⅰ）2222cos sin 122y x y sin αααα⎧=⎪⎛⎫⇒+=+=⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎩ 即曲线1C 的普通方程为221204x y +=∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρ=曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= 即()()222:211C x y ++-=.（Ⅱ）曲线1C 左焦点为()4,0-直线l 的倾斜角为4πα=，sin cos αα==所以直线l的参数方程为42x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）将其代入曲线2C整理可得240t -+=，所以(24420∆=--⨯=>.设,A B 对应的参数分别为12,t t则所以12t t +=，124t t =. 所以12AB t t =-===点睛: 本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题． 23.已知函数()f x x 23x a =-++．（1）当a 1=时，解不等式()f x 5≥；（2）若存在0x 满足()00f x 2x 23+-<，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{x |x 1≤-或x 1}≥；（2）93a -<<-【解析】【分析】（1）以1,23-为分界点分段讨论解不等式．（2）原不等式可化为003x 23x a 3-++<，由绝对值不等式求得003x 23x a -++的最小值小于3，解得参数a .【详解】()1当a 1=时，()f x x 23x 1=-++， ①当x 2≥时，不等式等价于x 23x 15-++≥，解得3x 2≥，即x 2≥； ②当1x 23-<<时，不等式等价于2x 3x 15-++≥，解得x 1≥，即1x 2≤<； ③当1x 3≤-时，不等式等价于2x 3x 15---≥，解得x 1≤-，即x 1≤-． 综上所述，原不等式的解集为{x |x 1≤-或x 1}≥． ()2由()00f x 2x 23+-<，即003x 23x a 3-++<，得003x 63x a 3-++<， 又()()00003x 63x a 3x 63x a 6a -++≥--+=+，()00min (f x 2x 2)3∴+-<，即a 63+<，解得9a 3-<<-．所以(9,3)a ∈--．【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算．。
2020年四川省绵阳市南山中学高考(理科)数学三诊试卷 含解析
2020届绵阳南山中学高考（理科）数学三诊模拟试卷一、选择题（共12小题）1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．5110．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜0，或x＞2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|x＞2}．故选：C．2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由，得z＝＝，∴，则z+＝﹣1．故选：C．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．【分析】由已知结合余弦定理即可求解．解：因为a＝3，b＝4，∠C＝120°，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝9＝37．故c＝．故选：D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【分析】根据点到直线的距离得到d＝，结合基本不等式a2+b2≥2ab（ab＞0），可得d的取值范围，即可得到与原的位置关系．解：圆心（0，0）到直线的距离d＝，因为a2+b2≥2ab（ab＞0），代入可得d≤1，故选：D．5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：＝＝﹣＝（）＝，得解解：＝＝﹣＝（）＝，故选：C．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．解：∵函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增，∴y′＝1﹣＝≥0，在[2，+∞）恒成立，∴a≤x2在[2，+∞）恒成立，∴a≤4∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增的概率是＝，故选：C．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣x）＝ln＝＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；对于f（x）＝，设t＝，则y＝lnt；在（0，+∞）上，t＝＝x（1﹣），易得t在（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝在（0，+∞）为增函数，排除C；故选：B．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π【分析】由四面体A﹣BCD所有棱长都为4，求出边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB 在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，由此求出球O的半径r，由此能求出球的表面积．解：∵四面体A﹣BCD所有棱长都为4，如图，∴边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，设OA＝OB＝r，则r2＝（﹣r）2+（）2，解得r＝，∴球的表面积S球＝4πr2＝24π．故选：A．9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．51【分析】类比二项展开式的通项处理即可．解：依题意，（x﹣+1）5展开式中r个因式选择x，s个因式选择﹣，则展开项为：T＝＝，要使该项为常数，则r＝1，①当r＝s＝0时，对应常数为1；②当r＝s＝1时，对应常数为＝﹣20；③当r＝s＝2时，对应常数为＝30；所以展开式的常数项为1﹣20+30＝11．故选：B．10．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2可得结合0＜A＜π 可求，，代入sin C＝sin B＝＝，从而可求C，B，进而可判断解：由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2∴∵0＜A＜π∴，∴sin C＝sin B＝＝∴tan C＝，C＝，B＝故选：B．11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设圆O的半径为1，对＝m+n，两边平方可得1＝m2+2mn cos∠AOB+n2，根据已知条件可知m，n∈（0，2），所以将m＝2﹣n带入上式并求出cos∠AOB的表达式，进而得到答案．解：由已知条件知，m，n∈（0，2），设圆O的半径为1；2＝（m+n）2；∴1＝m2+2mn cos∠AOB+n2；将m＝2﹣n带入并整理得﹣2n2+4n﹣3＝（﹣2n2+4n）cos∠AOB；∴cos∠AOB＝1+；∵n∈（0，2）时，2n2﹣4n＜0；且n＝1时，2n2﹣4n取最小值﹣2，1+取最大值﹣；此时，∠AOB＝，即为最小值．故选：A．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出A，B的坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到△PAB的面积为S，作差后利用导数求最值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，．则|AB|＝．由x2＝4y，得，，设P（x0，y0），则，x0＝2k，．则点P到直线y＝kx+1的距离d＝，从而S＝．S﹣|AB|＝（d≥1）．令f（x）＝2x3﹣4x2，f′（x）＝6x2﹣8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S﹣|AB|的最小值为．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝2sin，分析可得其周期，进而可得f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin，进而计算可得答案．解：根据题意，＝2[sin（+）﹣cos （+）]＝2sin，其周期T＝＝6，f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin＝；故答案为：．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝﹣2．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则＝﹣2．故填：﹣2．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减⇔f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，分①当k＜0，②当k＝0，③当k＞0时，三类讨论，利用对应的函数的性质分析解决即可．解：∵f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，∴f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，①当k＜0，f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x的图象开口向下，对称轴方程为x＝﹣＝﹣1+＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0恒成立，故f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，满足题意；②当k＝0时，f（x）＝﹣2x2+7的图象开口向下，在（0，2）上单调递减，满足题意；③当k＞0时，由f′（x）≤0对∀x∈（0，2）恒成立得：，解得0＜k≤1；综上所述，k∈（﹣∞，1]故答案为：（﹣∞，1]．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是a ＝0或a≥【分析】利用转化思想，将函数的零点转化为y＝2|x﹣2a，y＝22|x+a|图象的交点．解：若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，令g（x）＝2|x﹣2a|，h（x）＝4|x+a|＝22|x+a|，即g（x）与h（x）图象在（﹣2，+∞）有且只有一个交点．∵g（x），h（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，所以①2（x+a）＝x﹣2a在（﹣2，+∞）恒成立，即a≥；②2（x+a）＝﹣（x﹣2a）在（﹣2，+∞）恒成立，即a＝0．故a的取值范围是a＝0或a≥．故答案为：a＝0或a≥．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．【分析】（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式相减可得＝，求得a2＝1，累乘化简可得数列{a n}的通项a n．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．解：（1）当n≥2时，由a1＝1 及①可得②．两式相减可得na n＝﹣，化简可得＝，∴a2＝1．∴••…＝＝×××…×＝＝．综上可得，．…（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P （36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．【分析】（1）由题意求出Ez＝65，从而μ＝65，进而P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．由此能求出p（36＜Z≤79.5）．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）由题意得Ez＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝65．∴μ＝65，∵＝14.5，∴P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．∴p（36＜Z≤50.5）≈＝0.1359，综上，p（36＜Z≤79.5）＝p（36＜Z≤50.5）+p（50.5＜Z≤79.5）≈0.1359+0.6287＝0.8186．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．P（X＝20）＝，P（X＝40）＝＝，P（X＝60）＝＝，P（X＝80）＝＝．∴X的分布列为：X20 40 60 80P∴EX＝+＝36．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【分析】（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，推导出CC1⊥OA，CC1⊥OB1，从而CC1⊥平面AOB1，由此能证明AB1⊥CC1．（II）以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用同量法能求出平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，．解：（II）由（I）及AC＝2知，，又∴AO⊥OB1，∴以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，C1（0，1，0），，，C（0，﹣1，0）∴，，，，设平面A1B1C1的法向量为＝（a1，b1，c1），平面ACB1的法向量为＝（a2，b2，c2），则，取＝（1，，﹣1）＝（﹣1，，﹣1），设平面A1B1C1与平面ACB1所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值为．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．【分析】（Ⅰ）求得y＝lnx的导数，可得切线的斜率和方程，求y＝f（x）的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，可得m的方程，解方程，结合构造函数，即可得到所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论m＜0，m＝0，m＝e，0＜m＜e，m＞e，判断f（x）的单调性和函数值的变化，以及最值的符号，可得所求零点个数．解：（Ⅰ）y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线斜率为e﹣2，切线方程为y﹣2＝e﹣2（x﹣e2），f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，设与曲线y＝f（x）相切的切点为（s，t），可得切线的斜率为e s﹣m，则e s﹣m＝e﹣2，t＝e s﹣ms＝2+se﹣2﹣1，化为e s﹣se s＝1，设y＝e x﹣xe x，可得y′＝﹣xe x，当x＞0时函数y递减，x＜0时函数y递增，可得x＝0处函数y取得最大值1，解得s＝0，m＝1﹣e﹣2；（Ⅱ）f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，当m≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，当m＝0时，f（x）＝e x无零点；当m＜0时，x→﹣∞，f（x）→﹣∞，可得f（x）有一个零点；当m＞0时，由x＞lnm，f′（x）＞0，f（x）递增，由x＜lnm，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝lnm处取得极小值，且为最小值m﹣mlnm，当m﹣mlnm＞0，即0＜m＜e时，f（x）无零点；当m﹣mlnm＝0，即m＝e时，f（x）有一个零点；当m﹣mlnm＜0即m＞e时，f（x）有两个零点．综上可得，0≤m＜e时，f（x）无零点；m＜0或m＝e时，f（x）有一个零点；m＞e时，f（x）有两个零点．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则有•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c ﹣1，﹣），解可得题意可得c的值，进而由椭圆的定义可得a的值，计算可得b的值，将a、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（Ⅱ）（ⅰ）设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，可得关于x的一元二次方程，令△＝0解可得k的值，结合题意可以设直线l2方程，联立两直线方程，整理可得x2+tx+t2﹣3＝0，由根与系数的关系分析可得PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，进而由正弦定理分析可得，即可得证明；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0），由等比数列的性质分析可得q＝﹣1，进而分析可得结论．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c﹣1，﹣）＝1﹣c2+，所以c＝1，因为2a＝|PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，又由c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆C的标准方程为＝1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，消y得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（3﹣2k）2﹣12＝0由题意知△＝0，解得k＝﹣，因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是．设直线l2方程：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得x2+tx+t2﹣3＝0，由△＞0，得t2＜4，x1+x2＝﹣t，x1•x2＝t2﹣3；直线PM、PN的斜率之和k PM+k PN＝＝＝＝0所以PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，在△PMK和△PNK中，由正弦定理得，，又因为∠MPK＝∠NPK，∠PKM+∠PKN＝180°所以故|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|成立；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0）若﹣，﹣k，k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q＝﹣1或q2＝﹣1或q3＝﹣1．所以q＝﹣1，则k＝，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符，故不存在直线l2，满足题意．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组求出交点坐标，进一步求出三角形面积．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数的C1的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2＝0．所以：C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ（2）解方程组，得到：4sinθcosθ＝．所以：，则：（k∈Z）．当（k∈Z）时，，当（k∈Z）时，ρ＝2．所以：C1和C2的交点极坐标为：A（），B（）．所以：．故△ABO的面积为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x），∴g（x）＝﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．作出函数F（x）＝2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．。
四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟(一)数学(理)试题 Word版含答案 (1)
2020年6月绵阳南山中学2020年高考仿真模拟考试（一）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间为120分钟． 考生作答时，须将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，已知点(1,1)A 所对应的复数为z ，则||z 为（ ）A ．1BC ．2D ．02．已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（ ） A ．{1,2} B ．{0,1,2,3} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2}3．已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b << 4．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）A ．4950B ．5151C ．0D ．5050 5．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3520a a +=，()4353S S S -=，则数列{}n a 公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．87．已知圆C 与直线20x y ++=和圆221212540x y x y ++++=都相切，则半径最小的圆C 的标准方程为（ ）A ．22(2)(2)2x y +++=B ．22(2)(2)2x y -+-=C ．22(4)(4)4x y -+-=D ．22(4)(4)4x y +++=8．从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为（ ） A ．45 B ．25 C ．425 D ．8259．已知3cos cos()35παπα⎛⎫+=--⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725-B ．725C ．5725D ．5725-10．如图，圆O 是直角ABC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AD 的延长线于点B ，M 为线段BC 上的动点，连接AM 交CD 于N ，6,:1:3BC AD DB ==，则AC AM AB AN ⋅+⋅=（ ）A ．24B ．C ．39D ．1811．已知A ，B ，C 为抛物线24x y =上不同的三点，焦点F 为ABC 的重心，则直线AB 与y 轴的交点的纵坐标t 的取值范围是（ ）A ．13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．13,1,22⎛⎫⎡⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ C ．13,11,22⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦12．若不等式2sin 12cos 2x x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对(0,]x π∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．1,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．n的展开式的第五项为358，则展开式的第六项的二项式系数为_________． 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =_____m ．15．已知双曲线与y x =-直线有公共点，与直线2y x =-没有公共点，则双曲线离心率取值范围是_______．16．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C ，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，1A E 与平面ABCD 所成角为α，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．①一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -的最大值为3； ③点M的轨迹是圆的一部分，且||MB =；④一定存在某个位置，使1DE AC ⊥；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知一个公比q 不为1的等比数列{}n a 和一个公差也为q 的等差数列{}n b ，且132322,,a a a 成等差数列． （1）求q 的值；（2）若数列{}n b 前n 项和为n T ，12b =，试比较2n ≥时，n b 与n T 的大小．18．为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？19．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为,AM MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点G ，H ．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小． 20．已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合； （2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a+<． 21．如图，椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过焦点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点（异于长轴端点），(2,)Q t 是直线2x =上的动点．（1）若直线OQ 平分线段MN ，求证：43OQ k k ⋅=-．（2）若直线l 的斜率1,12k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，求实数t 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]直线l 的极坐标方程为sin 8cos ρθρθ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）（1）写出C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=与C 和l 的交点分别为M ，N ，射线23πθ=与C 和l 的交点分别为A 、B ，求四边形ABNM的面积．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知正实数x ，y ，z ，求证：（1）()2()4x y xy zxyz ++≥；（2）3x y z ++=≤．绵阳南山中学2020年高考仿真模拟考试（一）数学（理工类）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共小4题，每小题5分，共20分．13．56 14．300+ 15． 16．①②③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．解：（1）由已知可得211123a a q a q +=， 2分∵{}n a 是等比数列，10a ≠∴23210q q --=．解得1q =或13q =-． ∵1q ≠，∴13q =-4分 （2）由（1）知等差数列{}n b 的公差为13-， ∴172(1)33n nb n -⎛⎫=+--=⎪⎝⎭， 21132(1)236n n n nT n n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭， 7分(1)(14)6n n n n T b ---=-，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >． 综上，当214n ≤<时，n n T b >； 当14n =时，n n T b =；当14n >时，n n T b <． 12分18．解：（1）∵调查的500位被隔离者中有403070+=位需要社区非医护人员提供帮助， ∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为14%=． 4分 （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，29.967K =． 8分 ∵9.967 6.635>，∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 12分 19．解：（1）证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点， 所以//AB DE ． 2分又因为AB ⊄平面,PDE DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE ． 4分 因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ⋂平面PDE FG =， 所以//AB FG ． 6分 （2）因为PA ⊥底面ABCDE ， 所以,PA AB PA AE ⊥⊥． 如图建立空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,0,2),(0,1,1),(1,1,0)A B C P F BC =． 8分设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =， 则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉==．10分因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π． 12分20．解：（1）没公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=， 2分将它与ln ()a x f x x +=联立，整理得21ln a x x e=-． 令21()ln m x x x e=-，对之求导得：22()x e m x ex -'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，因此．故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 6分（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点． 7分 对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x =．当x >时，()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =时，()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >在使得二次函数2001()02u x ax x =-+>，即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点． 10分 练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上． 下面证明12111x x a+<． 由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>则12211111x x x +=+<+，下面证明11a +<即可．令1()1v a a =-，对之求导得21()0v a a '=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，即11a +<． 12分 21．解：（1）设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点()00,P x y由点差法得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，12120121203344y y x x x k x x y y y -+==-=--+，00OQ y k x = 3分 所以34OQ k k ⋅=-，故43OQ k k ⋅=- 5分 由(1,0)F ，所以设直线1:1,[1,2]l x my m k=+=∈ ∵()2222134690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩∵0∆>恒成立，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++ 7分 因为直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，所以2MQ O NQ Q k k k =+12122222y t y t tx x --+=⋅--， 8分 ∴()()()()()()1221212222y t x y t x t x x --+--=-- ∴()()()()()()1221211111y t my y t my t my my --+--=--()()()22121222952,23434mtmm y y y y t tm m t m m ---++=-+=++()2313mm +=，∴2331313m t m m m==++，∴33,164t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 12分 22．解：（1）22:16C x y +=，所以C 的极坐标方程为：4ρ= 4分（2）sin12N ρ=，sin 12B ρ=6分 由1sin602OBNB N Sρρ︒=与144sin 602OAMS ︒=⨯⨯∴ABNM OBNOAMS SS=-= 10分23．解：证明：（1）要证()2()4x y xy z xyz ++≥，可证222240x y xz xy yz xyz +++-≥，需证()()2222220ac ac b a c b bc +-++-≥，()()2222220y x z xz x z y yz +-++-≥即证，22()()0y x z x z y -+-≥当且仅当x y z ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故原不等式成立． 5分 （2）因为x ，y ，z 均为正实数， 由不等式的性质知，12322x x +++≤=当且仅当12x +=时取等12322y y +++≤=当且仅当12y +=时取等12322z z +++≤=当且仅当12z +=时取等 因为3x y x ++=，以上三式相加即证 10分。
2020届四川省绵阳南山中学高三高考仿真模拟(一)数学(理)试题(解析版)
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形重心的性质，结合题意，求得结果.
【详解】
设 ，由抛物线 的焦点 的坐标为 ，
焦点F为 的重心，
所以 ，
显然直线 斜率存在，设为 ，则直线 方程为 ，
联立 ，消去 得： ，
所以 ，即 ①，且 ，
所以 ，
【详解】
解：（1）∵调查的500位被隔离者中有 位
需要社区非医护人员提供帮助，
∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为
；
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，
．
∵ ，
∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关．
三、解答题
17．已知一个公比q不为1的等比数列 和一个公差也为q的等差数列 ，且 成等差数列．
（1）求q的值；
（2）若数列 前n项和为 ， ，试比较 时， 与 的大小．
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，见解析.
【解析】（1）根据等比数列的通项公式及等差中项列出方程即可求出 ；
（2）计算出等差数列的通项公式，利用求和公式得 ，做差 ，分类讨论即可.
2020届四川省绵阳南山中学高三高考仿真模拟（一）数学（理）试题
一、单选题
1．在复平面内，已知点 所对应的复数为z，则 为（）
A．1B． C．2D．0
【答案】B
【解析】由题意可得 ，从而可求得其模.
【详解】
解：因为在复平面内点 所对应的复数为z，
所以 ，所以 ，
故选：B
【点睛】
此题考查复数的几何意义，复数的模，属于基础题.
【详解】
四川省绵阳南山中学2020届高三下学期第四次诊断模拟数学(理科)试题 (解析版)
2020年绵阳市南山中学高考数学四诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |0＜x ≤3，x ∈N}，B ＝{x |y =√x 2−9}，则集合A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{1，2} B ．{1，2，3} C ．{0，1，2} D ．（0，1）2．已知p ：1x−2≥1，q ：（x ﹣a ）2＜1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，3]B ．[2，3]C ．（2，3]D ．（2，3）3．若当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，则函数y ＝log a |1x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（1x 2+4x 2+4）3展开式的常数项为（ ）A ．120B ．160C ．200D ．2405．用电脑每次可以从区间（0，1）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ）A ．127B ．23C ．827D ．496．下列说法正确的是（ ）A ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0＞0”B ．命题“若a ＝﹣1，则函数f （x ）＝ax 2+2x ﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题C ．“x 2+2x ≥ax 在x ∈[1，2]上恒成立”⇔“（x 2+2x ）min ≥（ax ）max 在x ∈[1，2]上恒成立”D ．命题“已知x ，y ∈R ，若x +y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是真命题7．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，AB ＝2，AD ＝1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM BC=NC DC=λ，其中λ∈[0，1]，则AM →⋅AN →的取值范围是（ ）A ．[0，3]B ．[1，4]C ．[2，5]D ．[1，7]8．已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z ＝ax +y 的最大值为4，则a ＝（ ）A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣39．若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +1b＜ba ＜log 2（a +b ）） B ．b 2＜log 2（a +b ）＜a +1bC ．a +1b ＜log 2（a +b ）＜b2a D ．log 2（a +b ））＜a +1b＜b2a 10．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n ＞0，6S n ＝a n 2+3a n ，n ∈N*，b n =2an(2a n −1)(2an+1−1)，若∀n ∈N*，k ＞T n 恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．17B ．49C ．149D ．844111．四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为2√2，则该球表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π12．若函数f （x ）＝x −√x −alnx 在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，12） B ．（12，e ） C ．（0，+∞） D ．（12，+∞）二、填空题（每小题5分，满分20分．）13．已知a 是实数，i 是虚数单位，若z ＝a 2﹣1+（a +1）i 是纯虚数，则a ＝ ． 14．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 25＞0，S 26＜0，则数列{S na n}（n ∈N *，n ≤25）中的最大项是第 项．15．已知函数f （x ）满足对任意的x ∈R 都有f(12+x)+f(12−x)=2成立，则f(18)+f(28)+⋯+f(78)= ．16．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且OA →•OB →=6（O 为坐标原点），若△ABO 与△AFO 的面积分别为S 1和S 2，则S 1+4S 2最小值是 ． 三、解答题：（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设f （x ）＝sin x cos x ﹣cos 2（x +π4）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A 2）＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．18．在某外国语学校举行的HIMCM （高中生数学建模大赛）中，参与大赛的女生与男生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a 的值，并计算所抽取样木的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．女生 男生 总计 获奖 5 不获奖 总计200附表及公式： P （K 2≥k 0）0.100.050.025 0.010 0.0050.001k 02.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝2√2，AD =√2，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD ⊥BM ；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为2√55．20．设椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率e =12，左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线交椭圆于E ，H 两点，若直线EH 垂直于x 轴时，有|EH |=32（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：x ＝﹣1上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若△APD 的面积为√62，求直线AP 的方程．21．已知函数f （x ）＝e x +x 2﹣x ，g （x ）＝x 2+ax +b ，a ，b ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的单调区间；（2）若曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线l 与曲线y ＝g （x ）切于点（1，c ），求a ，b ，c 的值；（3）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求a +b 的最大值．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：参数方程与极坐标]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2√5cosαy =2sinα（α为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ2+4ρcosθ−2ρsinθ+4=0． （Ⅰ）写出曲线C 1，C 2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 1的左焦点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 2于A ，B 两点，求|AB |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|3x +a |． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）≥5；（2）若存在x 0满足f （x 0）+2|x 0﹣2|＜3，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。