关于最短路问题算法的一点思考
最优算法中的最短路问题讨论
最优算法中的最短路问题讨论
最优算法是在给定的图中找到两个节点之间的最短路径的一种方法。
最短路问题是图论中的经典问题，有很多不同的算法可以解决它。
最著名且常用的最短路径算法是Dijkstra算法和A*算法。
Dijkstra算法是一种用于在带权有向图中找到从一个节点到其
他节点的最短路径的算法。
它基于贪婪算法的思想，通过不断选择当前路径中权重最小的节点来逐步构建最短路径。
Dijkstra算法适用于边权重非负的情况。
A*算法是一种更高效的最短路径算法，它结合了Dijkstra算法的贪婪策略和启发式（heuristic）函数的估计来减少搜索空间。
A*算法通过估计每个节点到目标节点的剩余距离来确定下一
步选择的节点，从而更快地找到最短路径。
A*算法适用于边
权重非负且有启发式函数可以使用的情况。
除了Dijkstra算法和A*算法之外，还有其他一些用于解决最
短路径问题的算法，如Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算
法等。
在选择最优算法时，需要考虑图的规模、边权重的分布、需求的时间和空间复杂度等因素。
不同算法在不同场景下的表现也会有所不同。
因此，选择最合适的最短路径算法需要综合考虑这些因素。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中一个经典的问题，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、网络通信、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们通常会采用不同的算法来求解，本文将介绍几种常见的最短路求解方法。
首先，我们来介绍最简单的最短路求解方法——暴力法。
暴力法的思路是枚举所有可能的路径，并找出其中的最短路。
虽然暴力法在理论上是可行的，但在实际应用中，由于其时间复杂度较高，往往不适用于大规模的图。
因此，我们需要寻找更加高效的算法来解决最短路问题。
其次，我们可以考虑使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来求解最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻居顶点的距离，来逐步求解最短路。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。
这使得它在实际应用中具有较高的效率，尤其适用于稠密图的求解。
除了迪杰斯特拉算法外，我们还可以使用弗洛伊德算法（Floydalgorithm）来解决最短路问题。
弗洛伊德算法采用动态规划的思想，通过不断更新图中任意两点之间的最短路径长度，来逐步求解整个图的最短路。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，因此在大规模图的求解中也具有较高的效率。
除了上述算法外，我们还可以考虑使用A算法、贝尔曼-福特算法等其他算法来解决最短路问题。
这些算法各有特点，适用于不同类型的图和不同的应用场景。
总的来说，最短路问题是一个重要且经典的问题，在实际应用中有着广泛的应用。
在求解最短路问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的算法来求解，以提高效率和准确性。
希望本文介绍的几种最短路求解方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）P.S.根据个⼈需要，我删改了不少问题引⼊问题：从某顶点出发，沿图的边到达另⼀顶点所经过的路径中，各边上权值之和最⼩的⼀条路径——最短路径。
解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出⼀篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。
笔者认为任意⼀个最短路算法都是基于这样⼀个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若⼲个节点到B。
⼀.Dijkstra算法该算法在《数据结构》课本⾥是以贪⼼的形式讲解的，不过在《运筹学》教材⾥被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。
(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度递增次序产⽣最短路径。
先把V分成两组：S：已求出最短路径的顶点的集合V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加⼊到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）。
(2) 求最短路径步骤1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和SPFA初始化⽅式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
2. 从T中选取⼀个其距离值为最⼩的顶点W(贪⼼体现在此处)，加⼊S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作⽤⾄关重要)，对T中顶点的距离值进⾏修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值⽐不加W的路径要短，则修改此距离值（上⾯两个并列for循环，使⽤最⼩点更新）。
3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为⽌（说明最外层是除起点外的遍历）。
最短路问题的解法探讨
个步骤 ， 分成 几个阶段 ， 每条 路所经过 的点在不 同阶段可能
１ ０ ６ Ｅ Ｅ
Ｄｔ Ｄ２
１ ０ ６
出 现 交 叉 。 于 这 类 一 般 的 最 短 路 问题 ， 图 与 网 络 的 方 法 对 用
完成 过程 分阶段。定义第一阶段是 以 Ａ点为始点，以距 离 Ａ 路 的 长度 为 １ 。 ４ 点正好一个弧远的点 （ ， ：Ｂ ， 为终点； Ｂ。Ｂ ， ，Ｂ） 第二阶段是 以与 这种方法 的解题 步骤为 ： 最后一个 阶段开始 ， 从 从终点
Ａ 点距 离 一 个 弧远 的 点 （ 。Ｂ ， ， 。为始 点 ， Ｂ ， ：Ｂ， ） Ｂ 以与 Ａ 点距 离 向始 点方 向逐阶段逆 推， 找出各 点到终点的最短 路 ， 当逆推 两个 弧远 的点 （ ， Ｃ） 终 点 ： 三 阶 段 是 以 与 Ａ点距 离 两 到 始 点 时 ， Ｃ。 ， ，为 Ｃ 第 也就 找 到 了从 始 点 到 终 点 的 全 过 程 的 最 短 路 。 它 个 弧 远 的 点 （ ， ：Ｃ ） 始 点 ， Ｃ．Ｃ ， ，为 以与 Ａ 点 距 离 三个 弧远 的点 的 最 大 特 点在 于 它 不 仅 可 求 出全 过 程 的 最 短 路 ， 可 求 出 图 还
Ｃ，
６ ｌ ７ ＋Ｉ＝ｌ １ ２
Ｂ ２
Ｂ３
４ １＝ ６ ７ ｌ＝ ８ ＋ ２ １ 十 Ｉ １
４ ２ ６ ８ １ ９ ＋１ ＝１ ＋ｌ ＝１
２ １； ３ ＋ ｌ ｌ
３ １ ４ ＋ｌ ＝１
１ ３
１ ４
ｃ 】
Ｃ ３
Ｂ－
７ ２ ９ ５ １ ６ ＋１ －１ ＋１ －１
离。在 实际工作 中， 最短路 问题很 常见。求解一般最短路 问题 ， 可用 图和 网络的方法或 动态规划 的方法 ， 但是不
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
最优算法中的最短路问题讨论
Ｔ ）＝＋∞ （ （ ｉ＝２ ７ ， ） （） ５ （） ６ （） ７ （） ８ （） ９ （ ０ １）
－
２ ）由（ ｌ ２ ， ， ） （ｌ ４ ， ） （ ｌ ３ ， ， ）边属 于 Ｅ， ２ ， 且 ，３ ４为 Ｔ标号 ， 则 Ｔ ）＝ｒ ｎ［ （２ ， ）＋ｄ２ ａ ｎ （２ ａ ｉ Ｔ ） Ｐ（ １ ｌ ］＝ｒ ［＋∞ ， ３ ３ ｉ ０＋ ］＝
（） １
１ Ｄｊｓａ算法 ｉ ｔ ｋｒ
１ １标 号 法¨ ．
采 用标 号法 ， 用两 种标 号 ： 号 与 Ｐ标 号 ， 可 Ｔ标 Ｔ标号 为试 探 性 标号 （ｅｔ ｖ ｂ１ ， 号 为永 久性 ｔｎ ｔ ｅｌ ｅ）Ｐ标 ａ ｉ ａ 标 号 （ ｅｍ ｎｎ ｂ１ ， ｐｒ ａｅｔａｅ） 给 一 个 Ｐ标 号 时 ， 示从 到 点 的最 短路权 ， 点 的标 号不 再改 变 ， ｌ 表 给 点 一
（ ５ １）
５ 比较所 有 Ｔ标 号 ， （ ）最小 ， Ｐ（， ：３ ） Ｔ 令 ）
６ 考察点 ， ） 有
Ｔ ） ＝ｒ ｎ［ （ ５ ， ）＋ｄ５ ＝ ｉ［ （５ ａ ｉ Ｔ ） Ｐ（２ ２］ ｒ ｎ ＋∞ ， ２ ５ ａ ３＋ ］＝
Ｔ ）＝ ｉ Ｔ ）Ｐ ）＋ｄ ］＝ ｉ［ ∞， ＋ ］ ７ （７ ｒｎ［ （７ ， （２ ａ ２ ７ ｒｎ ＋ ３ ４ ＝ ａ ７ 比较 所有 Ｔ标 号 ， （ ）最小 ， Ｐ（ ） ＝４ ） Ｔ 令
则
Ｔ ）＝ ｉ Ｔ ）Ｐ ）＋ｄ ］＝ ｉ［ ， ＋ ］ ３ （２ ｒｎ［ （２ ， （３ ａ ３ ２ ｒ ｎ ３２ ３ ＝ ａ
Ｔ ）＝ ｉ Ｔ ）Ｐ ）＋ｄ ］＝ ｉ［ ∞， ２ ＝ （５ ｒ ｎ［ （５ ， （３ ａ ３ ５ ｒｎ ＋ ２＋ ］ ４ ａ
最短路算法分析
最短路算法分析最短路算法分析如下图所⽰，我们把边带有权值的图称为带权图。
边的权值可以理解为两点之间的距离。
⼀张图中任意两点间会有不同的路径相连。
最短路就是指连接两点的这些路径中最短的⼀条。
对于所有求最短路的算法，都是基于⼀个最基础的思想，那就是：松弛。
什么叫松弛呢？简单的说，就是刷新最短路。
那，怎么刷新呢？我们想，能刷新最短路的有啥？就是⽤最短路（边也可能是最短路）。
要⽤魔法打败魔法以下图为例，点1到点3的距离是2，点3到点2的距离是1，⽽图中1到2的距离是6，那么，很明显点1到点3到点2⽐点1直接到点2短得多，那么，我们的最短路dis[1][2]就等于dis[1][3]+dis[3][2]。
我们可以这么理解：1到3这条边的边权已经是1到3的最短路了，同样，2到3也是，那我们就可以⽤这两条最短路来刷新1到2的最短路，这就是⽤最短路来松弛最短路了。
那么，基于松弛操作，我们就有了⾮常多种求最短路的算法，这些算法各有神通，各有缺陷，都应该熟练掌握且能在考场上准确判断该⽤那种算法。
1、Floyed:学过最短路的⼈，⼤多数都会认为：Floyed就是暴⼒，简单粗暴，简单得很。
其实，如果你仔细品读这个算法，会发现：虽然代码简单，但是其思想却⾮常的巧妙！我们来分析⼀下：我们要求最短路，我们需要通过中转点来进⾏松弛，那我们要怎么找中转点呢？显然，必须得枚举。
那，怎么枚举呢？我们⾃⼰画画图就知道，⼀些最短路可以拐来拐去，也就是中转点有很多，那我们怎么枚举？这就是Floyed的巧妙之处，它⽤到的是动态规划的思想。
对于规模很⼤的问题，我们的⼀般策略应该是：缩⼩规模。
不管它可能有多少个，我们慢慢从少往多推。
假设我们现在不允许有中转点，那么各个点之间的最短路应该是题⽬给出来的边权。
现在我们只允许通过1号节点来进⾏转移，注意是1号⽽不是1个，如果讨论个数的话其实就回到了我们上⾯的问题：“怎么枚举？”。
现在我们只需要枚举i和j，⽐较dis[i][1]+dis[1][j]和dis[i][j]的⼤⼩，如果⼩于则刷新，这就是松弛。
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关于最短路问题算法的一点思考
最短路问题，实际上是P95。
也就是我们用一个算法解决SP问题时，就是在找这个加权图G中从s到t的P（s，t）中边权之和最小的P*(s,t).
由定义就可以看出，实际生活中经常有最短路问题的例子。
例如：
实例1.某公司在六个城市s,t,a,b都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Vi到Vj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。
图+矩阵
实例2.如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道。
若有一批货物要从s号顶点运往t号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？
图+矩阵
因此怎么样快速又精确的求解一个最短路问题就显得至关重要。
下面我们来介绍几种解决SP问题的有效途径。
一、把求最短路问题转化为LP问题
P95
二、最短路问题的原始对偶算法：Dijkstra算法
Pdf最短路+课本P138
综上，即为Dijkstra算法，它的有效实施体现在：P161
对Dijkstra算法的一点思考：
1.关于Dijkstra算法，书中的例子定义了一个使用范围，即寻求有向图中，从一固定顶点到其余各点的最短路径。
那么一个简单的推广就是在于，对于无向图或者混合图的情况Dijkstra算法还能否使用？答案应该是肯定的。
也就是说，实例2中无论是单行道，双行道的情况都是可以应用Dijkstra算法进行求解的。
2. 作为学习图论的一名学生，Dijkstra算法的本质可以说就是在一个图中，进行标号,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以s为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根s 节点之间的路径皆为最短路径.
3.Dijkstra算法明确要求权（费用）非负，这无疑会限制一些是实际生活中的例子进行求解，若出现的边权为负的情况，Dijkstra算法就要进行修改。
并且，如果我们对Dijkstra算法进行编程，即使根据书中拟Algol语言的提示以我现有的水平也根本写不出Matlab的高级程序语言。
但是有另外一种算法有效的避免了这个麻烦，它的逻辑更为简单，并允许网络中的弧有负权，能探测网络中负费用圈，与一般的原始对偶算法不同。
三、Floyd-Warshall算法
P164
并且，有一点比较吸引我的地方是在于Floyd-Warshall算法的逻辑较为简单，我可以跟据课本上拟Algol语言，编写出一部分Matlab的程序，但是因为编译程序的水平的限制，每次运行的时候都会出现不同的错误。
在与计算数学的同学进行讨论的时候，因为他们偏重绘图而我们偏重优化，导致也为得出有效的解决措施。
Input：A表示图G的带弧权邻接矩阵；
Output：矩阵D, path，及i与j之间的最短距离min和最短路径path.
function [min,path]=floyd(A,start,terminal) %返回i与j之间的最短距离min和最短路径path. D=A;n=size(D,1);path=zeros(n,n); %D表示矩阵，n表示D矩阵的行数；if
min=D(start,terminal);
min(1)=start;
i=1;
i=i+1;
for i=1:n %子循环；
for j=1:n
if D(i,j)~=inf %D(i,j)不等于无穷
path(i,j)=j;
end
end
end
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) %D(i,j)表示i到j的最短距离;
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
path(i,j)=path(i,k); %path(i,j)表示i与j之间的最短路径上顶点i的后继点；
end
end
end
end
path=[ ]; % 返回矩阵D, path
end
建立m文件如下：
A= [ 0,50,inf,40,25,10;50,0,15,20,inf,25;inf,15,0,10,20,inf;…];
[D, path]=floyd(A)
运行后输出显示存在error。