最短路径算法的改进及其实现方法
Dijkstra最短路径算法的实现及优化
Ｄｉｊｋｓｔｒａ最短路径算法的实现及优化 施培港 厦门信息港建设发展股份有限公司 厦门市槟榔路１号联谊广场五层 ３６１００４ Ｅｍａｉｌ：ｓｐｇ＠ｘｍｉｎｆｏｐｏｒｔ．ｃｏｍ 摘要：最短路径算法种类繁多，比较有名的算法包括：Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法、Ｆｏｒｄ算法、Ｆｌｏｙｄ算法、Ｍｏｏｒｅ算法、Ａ＊算法、Ｋ值算法，而即使同一种算法也有多种不同的实现方式。
本文就Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法的两种实现方式做一定的分析，并采用一种新的实现方法达到对算法优化的目的。
关键字：Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法 最短路径 网络分析 地理信息系统（ＧＩＳ） １． 何谓最短路径 所谓最短路径就是网络中两点之间距离最短的路径，这里讲的距离可以是实际的距离，也可以引申为其它的度量，如时间、运费、流量等。
因此，从广义上讲，最短路径算法就是指从网络中找出两个点之间最小阻抗路径的算法。
２． Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法介绍 Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法本身是一种贪婪算法，它通过分步的方法来求最短路径。
首先，初始产生源点到它自身的路径，其长度为零，然后在贪婪算法的每一步中，产生一个到达新的目的顶点的最短路径。
其算法描述如下（算法中以有向图表示网络结构）： 对于有向图Ｇ ＝（Ｖ，Ｅ），图中有ｎ个顶点，有ｅ条弧，其中Ｖ为顶点的集合，Ｅ为弧的集合，求源点ＶＳ到终点ＶＴ的最短路径。
（１） 用带权的邻接矩阵Ｌ来表示有向图，Ｌ（Ｘ，Ｙ）表示弧＜Ｘ，Ｙ＞的权值，若弧＜Ｘ，Ｙ＞不存在，则设Ｌ（Ｘ，Ｙ）＝∞；用Ｄ（Ｘ）表示源点ＶＳ到顶点Ｘ的距离，除源点ＶＳ的值为０外，其余各点设为∞；用Ｓ表示已找到的从源点ＶＳ出发的最短路径的顶点的集合，其初始状态为空集；用Ｖ－Ｓ表示未找到最短路径的顶点的集合； （２） 选择源点ＶＳ做标记，令Ｙ ＝ ＶＳ，Ｓ ＝ Ｓ ∪ ｛ＶＳ｝； （３） 对于Ｖ－Ｓ中各顶点， 若Ｄ（Ｘ） ＞ Ｄ（Ｙ） ＋ Ｌ（Ｙ，Ｘ），则修改Ｄ（Ｘ）为 Ｄ（Ｘ） ＝ Ｄ（Ｙ） ＋ Ｌ（Ｙ，Ｘ） 其中Ｙ是己确定作标记的点； （４） 选择Ｖｊ，使得Ｄ（ｊ） ＝ ｍｉｎ｛ Ｄ（ｉ） ｜ Ｖｉ ∈ Ｖ－Ｓ ｝ 若Ｄ（ｊ）为∞，则说明ＶＳ到Ｖ－Ｓ中各顶点都没有通路，算法终止；否则，Ｖｊ就是当前求得的一条从源点ＶＳ出发的最短路径的终点，对Ｖｊ做标记，令Ｙ ＝ Ｖｊ，并把Ｖｊ放入集合Ｓ中，即令Ｓ ＝ Ｓ ∪ ｛Ｖｊ｝； （５） 如果Ｙ等于ＶＴ，则说明已经找到从ＶＳ到ＶＴ的最短路径，算法终止；否则，转到３继续执行。
智能导航系统的路径规划算法与实现教程
智能导航系统的路径规划算法与实现教程导航系统是现代生活中常用的工具之一，用于帮助人们找到目的地并提供最佳的行驶路线。
而智能导航系统通过结合人工智能技术，能够更加精准地规划出最佳路径，提供更好的导航体验。
本文将介绍智能导航系统中常用的路径规划算法及其实现教程。
一、最短路径算法最短路径算法是路径规划中最常用的算法之一，它通过计算两点之间的路程或路径权重，并选取最小值作为最优路径，以确保行驶距离最短。
最短路径算法有很多种实现方式，其中比较著名的有Dijkstra算法和A*算法。
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种广度优先搜索算法，它通过不断扩展搜索范围，逐步更新各个节点的最短路径，直到找到目标节点为止。
其基本步骤如下：- 初始化节点集合和距离数组，并设置起始节点的距离为0；- 选取距离最小的节点作为当前节点；- 更新与当前节点相邻的节点的距离，如果通过当前节点到达某个节点的路径更短，则更新该节点的距离；- 标记当前节点为已访问，并继续查找下一个距离最小的节点；- 重复上述步骤，直到找到目标节点或所有节点都被访问。
2. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，它综合考虑了节点的实际距离和启发式函数（如估计距离），以选择最优路径。
其基本步骤如下： - 初始化节点集合和距离数组，并设置起始节点的估计距离为0；- 选取估计距离最小的节点作为当前节点；- 更新与当前节点相邻的节点的估计距离和实际距离之和，并计算启发式函数的值；- 标记当前节点为已访问，并继续查找下一个估计距离最小的节点；- 重复上述步骤，直到找到目标节点或所有节点都被访问。
二、实现教程在实际的智能导航系统中，最重要的是如何将路径规划算法应用到实际场景中。
以下是一些实现教程，帮助您理解并应用智能导航系统的路径规划算法：1. 数据准备：首先，您需要准备地图数据，包括道路网络和相关节点的坐标信息。
这些数据可以通过公开的地图API或购买专业地图数据来获取。
Dijkstra最短路径算法的优化和改进
GIS中最短路径算法的改进实现
文章编号:049420911(2004)0920040203中图分类号:P208 文献标识码:BGIS 中最短路径算法的改进实现夏 松,韩用顺(武汉大学遥感与信息工程学院,湖北武汉430079)An Improved Implementation of Shortest Path Algorithm in GISXIA S ong ,HAN Y ong 2shun摘要:针对GIS 中网络拓扑图的一般特点和对网络分析实时性的要求,以Di jkstra 最短路径算法为理论基础,采用快速排序和插入排序相结合的方式,使用地址排序的方法,改进原有最短路径算法中对最小权值的顶点的搜索策略,提出一种高效的实用的Di 2jkstra 最短路径算法的实现方法。
关键词:最短路径算法;地理信息系统;快速排序;拓扑关系 收稿日期:2004204212作者简介:夏 松(19762),男,湖北武汉人,博士生,主要从事RS 和GIS 的研究与开发。
一、引 言随着计算机科学和信息科学的发展,地理信息系统(GIS )在人们生产和生活中的应用日益广泛。
最短路径分析是GIS 中空间分析的主要功能之一,广泛应用于电子导航、城市规划、管网设计、紧急疏散等方面。
GIS 中管理海量的空间数据,传统的Di 2jkstra 算法实现的单源最短路径计算的效率较低,不能满足许多对网络分析的实时性要求较高的应用系统。
基于Dijkstra 算法的理论基础,针对GIS 路径分析的特点,对该算法提出了一种高效率的改进实现方法。
二、对经典Dijkstra 算法研究状况目前提出的最短路径分析算法有很多种。
有3种效果比较好,它们分别是:TQQ (Graph Growth with Two Queues ),D KA (Dijkstra ’s Algorithm Im 2plemented with Approximate Buckets ),以及D K D (Dijkstra ’s Algorithm Implemented with Double Buckets )。
最短路径Dijkstra算法的改进
最短路径Dijkstra算法的改进Dijkstra算法是一种经典的图算法，用于找到图中两个顶点之间的最短路径。
该算法主要用于带有非负权重的有向图。
虽然Dijkstra算法在实际应用中表现良好，但是也存在一些限制，例如不能处理带有负权重的边的图。
为了解决Dijkstra算法的缺点，研究者们提出了一些改进算法，以便在更多的情况下都能找到最短路径。
本文将介绍两种Dijkstra算法的改进方法：堆优化Dijkstra算法和A*算法。
堆优化Dijkstra算法Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的顶点数量。
当图规模较大时，算法的效率会受到影响。
为了提高算法的运行效率，可以使用堆优化的方法。
堆优化Dijkstra算法使用堆数据结构来存储顶点，并根据顶点到起始点的距离构建小顶堆。
在每次选择下一个最短路径的顶点时，只需弹出堆顶元素，而不需要对整个集合进行遍历。
这样可以将算法的时间复杂度降低至O(ElogV)，其中E是图中的边数量。
A*算法A*算法是一种基于Dijkstra算法的改进算法，它在选择下一个顶点时不仅考虑当前的距离，还考虑到目标顶点的估计距离。
通过引入启发式函数（heuristic function），A*算法可以更快地收敛到最短路径。
具体来说，A*算法维护一个估计距离的优先队列，并根据当前累计距离和到目标的估计距离来选择下一个顶点。
这样可以更加智能地搜索路径，提高算法的效率。
总结通过引入堆优化和A*算法等改进方法，可以使Dijkstra算法在更多的场景下发挥作用。
在实际应用中，根据问题的特点选择合适的算法是非常重要的。
希望本文对读者对最短路径Dijkstra算法的改进有所帮助。
最短路径问题的优化算法
最短路径问题的优化算法最短路径问题是计算网络中两个节点之间最短路径的一个经典问题。
在许多实际应用中，如导航系统、交通规划和物流管理等领域，寻找最短路径是一个重要的任务。
然而，当网络规模较大时，传统的最短路径算法可能会面临计算时间长、耗费大量内存等问题。
为了解决这些问题，研究人员提出了许多优化算法，以提高最短路径问题的计算效率。
一、Dijkstra算法的优化Dijkstra算法是最短路径问题中最经典的解法之一，但当网络中的节点数量较大时，其计算时间会显著增加。
为了优化Dijkstra算法，研究者提出了以下几种改进方法：1. 堆优化Dijkstra算法中最耗时的操作是从未访问节点中选取最短路径的节点。
传统的实现方式是通过线性搜索来选择下一个节点，时间复杂度为O(N)，其中N是节点的数量。
而使用堆数据结构可以将时间复杂度降低到O(lgN)，从而提高算法的效率。
2. 双向Dijkstra算法双向Dijkstra算法是通过同时从起点和终点开始搜索，以减少搜索的范围和时间。
在搜索过程中，两个搜索方向逐渐靠近，直到找到最短路径为止。
双向Dijkstra算法相比传统的Dijkstra算法能够减少搜索空间，因此在网络规模较大时可以提供更快的计算速度。
二、A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，常用于解决最短路径问题。
与传统的Dijkstra算法不同，A*算法通过引入启发函数来优先搜索距离终点较近的节点。
启发函数的选择对算法的效率有重要影响，一般需要满足启发函数低估距离的性质。
A*算法的时间复杂度取决于启发函数，如果启发函数选择得恰当，可以在大规模网络中快速找到最短路径。
三、Contraction Hierarchies算法Contraction Hierarchies（CH）算法是近年来提出的一种高效解决最短路径问题的方法。
CH算法通过预处理网络，将网络中的节点进行合并，形成层次结构。
在查询最短路径时，只需在层次结构上进行搜索，大大减少了计算复杂度。
最短路径问题的计算机智能算法设计优化
最短路径问题的计算机智能算法设计优化在计算机科学中，最短路径问题是一个经典的计算问题，涉及到在图或网络中找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
这个问题在很多领域都有广泛的应用，比如交通网络规划、物流运输和通信网络等。
为了解决这个问题，计算机科学家们设计了多种计算机智能算法，并不断进行优化。
本文将介绍最短路径问题的计算机智能算法设计与优化。
一、最短路径问题简介最短路径问题是在图中寻找从一个起点到一个目标点所经过的边的权值之和最小的路径。
在有向图和无向图中，最短路径可以使用广度优先搜索算法（BFS）、Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法等来解决。
1. 广度优先搜索算法（BFS）广度优先搜索算法是一种基本的图搜索算法，它从起点开始逐层扩展，直到找到目标点或遍历完所有节点。
在最短路径问题中，广度优先搜索算法可以找到不考虑权值的最短路径。
2. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决最短路径问题。
它通过计算从起点到每个节点的最短距离，并逐步扩展搜索范围，直到找到目标点。
Dijkstra算法可以处理带有非负权值的有向图或无向图。
3. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决最短路径问题。
它通过对每个节点进行松弛操作，不断更新最短路径估计值。
Bellman-Ford算法可以处理带有负权值的有向图或无向图。
4. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决最短路径问题。
它通过使用一个二维数组来存储任意两点之间的最短路径长度，然后逐步更新数组中的值。
Floyd-Warshall算法可以处理带有负权值的有向图或无向图。
二、计算机智能算法设计与优化为了提高最短路径问题的计算效率和准确性，计算机科学家们设计了多种计算机智能算法，并进行了不断的优化。
1. 启发式搜索算法启发式搜索算法是一种基于问题特征的搜索方法，通过预先定义一个启发函数来引导搜索方向。
最短路径问题的迭代加深算法
最短路径问题的迭代加深算法最短路径问题是计算在给定的图中寻找从起点到终点的最短路径的问题。
在实际应用中，比如导航系统、网络路由算法等都需要考虑最短路径的计算。
这篇文章将介绍一种解决最短路径问题的迭代加深算法，并详细探讨其原理和实现。
一、引言最短路径问题经过多年的研究已经有了许多有效的算法，比如经典的Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
然而，随着图规模的增大，这些算法的时间复杂度也会急剧增加，导致计算效率低下。
为了解决这个问题，迭代加深算法应运而生。
二、迭代加深算法原理迭代加深算法是一种深度优先搜索的改进算法。
其基本原理是通过限制搜索深度来降低时间复杂度，并在每次迭代中逐渐增加深度。
算法的具体步骤如下：1. 初始化深度限制d为1，并进行下一步。
2. 从起点开始进行深度优先搜索，每次搜索的最大深度为d。
3. 如果找到了从起点到终点的路径，则输出该路径并结束算法。
4. 如果没有找到路径且搜索的深度小于d，则将d加1，返回步骤2。
5. 如果没有找到路径且搜索的深度等于d，则输出无解并结束算法。
三、迭代加深算法实现下面给出一种基于迭代加深算法的最短路径搜索函数的实现。
```function iterativeDeepening(graph, start, end, maxDepth) {for (let depth = 1; depth <= maxDepth; depth++) {const visited = new Set();const path = [];const result = depthLimitedSearch(graph, start, end, depth, visited, path);if (result) {return result;}}return "无解";}function depthLimitedSearch(graph, node, end, depth, visited, path) {visited.add(node);path.push(node);if (node === end) {return path;}if (depth === 0) {return null;}for (let adjacentNode of graph[node]) {if (!visited.has(adjacentNode)) {const result = depthLimitedSearch(graph, adjacentNode, end, depth - 1, visited, path);if (result) {return result;}}}visited.delete(node);path.pop();return null;}```以上代码通过depthLimitedSearch函数实现了迭代加深算法的核心逻辑，而iterativeDeepening函数则通过循环迭代每个深度来调用depthLimitedSearch函数。
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4) 有邻接结点矩阵和初始判断矩阵, 就可以 求网络中任意两点间的最短路径。若起点 S , 终点 为T。
第一步, 初始化标记向量 P , Pi = - 1, i = 1, 2, …, m-i N odesN um, ( m-iN odesN um 为网 络 结 点总数) :
class CRout e
{ ∥成员变量
pr ot ected: CHA IN * m-pChains; ∥网络边集指针 int m -iChainsNum; ∥边总数 int * m-pPoint s; ∥网络结点集指针 int m -iNodesN um ; ∥结点总数 int m -iNodeNumM ax; ∥最大邻接结点数 fl oat * * m-pDj; ∥判断矩阵指针 int * * m-pJ; ∥邻接结点矩阵指针 int * m-pWays; ∥最短路径经过边串指针 int m -iWayNum; ∥最短路径经过边数 fl oat m -fDist anceM in; ∥最短路径距离 BOOL m -bIsL oaded; ∥是否数据装载成功 ∥成员函数
徐立华( 1989) 提出最大相关边数的概念, 通 过定义点-边相关矩阵, 节省了存储空间, 提高了 运算速度, 为计算机解决大网络问题提供了切实 可行的算法。作者在 Dijkst ra 算法基础上, 对相关 边算法进行改进, 提出邻接结点算法, 进一步提高 运算速度。
1 邻接结点算法的基本思想 1. 1 Di jkstra 算法基本思想
传统的算法中应用关联矩阵和邻接矩阵存储 网 络数据, 会有大量的无效的 0 元素或 ∞ 元素, 占用大量存储空间。在此基础上进行矩阵运算, 必 将浪费大量运行时间。
收稿日期Байду номын сангаас 1997-10-21
1. 2 相关边算法基本思想 相关边算法的关键是提出了最大相关边数的
概念, 即一个网络中各结点的相关边数的最大值 称为网络的最大相关边数。取网络的最大相关边 数作为矩阵的列, 网络的结点数作为矩阵的行, 构 造相关矩阵 R , 表示网络结构。相关矩阵的行按结 点号从小到大顺序排列, 与结点 i 相关的边的边 号 写在矩阵的第 i 行。对照相关矩阵, 把相关矩阵 中各元素对应的边号的权值填在同一位置上, 构 造相应的初始判断矩阵 dR 。
在 m-p Dj 已标记的第 1 行、第 2 行、第 3 行、第 4 行、第 5 行和第 6 行中, dmin = 26, di = 6, dj = 3, m -f DistanceM in = 26; w = m-p J 〔6〕〔3〕 = 7, P〔7〕= 6, ri = 7, r j = 2; 将 m -p Dj 刚获得 标记的第 7 行中各元素值加上 26, m-p Dj 〔6〕〔3〕 = ∞, m-p Dj 〔7〕〔2〕= ∞;
将 m -p Dj 刚获得标记的行中各元素值均加 上 m -f DistanceM in, 并 使 m-p Dj 的 ( di , dj ) 和 ( r i, r j ) 元素为 ∞。
转第三步。 第五步, 从终点 T 开始, 由标记向量 P 的分量 循前点, 直到起 点 S , 查得 最短路 径 m -p W ay s。 m-f Di st anceMi n 即为最短路径距离。 假 设求结点 1 到结点 7 的最短路径, 过程如 下。
相关边算法用点 -边相关矩阵描述网络结 构, 大大减少无效的 0 元素和 ∞ 元素, 从而节约 存储空间, 提高运算速度。但是当网络结点数很多 时, 在 R 的其它行中寻找长值为 w 的元素的工作 量也是很大的。为了进一步提高运行速度, 可以对 相关边算法进行改进。 1. 3 邻接点算法基本思想
在 最大相关边数的启发下, 作者提出最大邻 接结点数的概念。一个网络中, 各结点的邻接结点 的最大值称为该网络的最大邻接结点数。取网络 的最大邻接结点数作为矩阵的列, 网络的结点总 数作为矩阵的行, 构造邻接结点矩阵 J 来描述网
关键词 最短路径, Dijkst ra 算法, 相关边算法, 邻接结点算法 分类号 P283. 7
最短路径分析是 GIS 最基本的网络分析功 能。在求解最短路径问题的算法中, Dijkstr a 算法 是目前国内外一致公认的较好算法〔1, 2, 3〕。现在许 多计算机实现的算法都是在 Dijkstr a 算法的基础 上, 运用关联矩阵、邻接矩阵的概念, 使得存储网 络数据和运算, 都需要定义 N × N ( N 为网络结 点数) 的矩阵。当网络的结点数较大时, 将占用大 量的存储空间, 并且运算也很浪费时间。
在 m-p Dj 已标记的第 1 行、第 2 行和第 5 行中, dmi n = 17, di = 5, dj = 2, m-f Di st anceMi n = 17; w = m -p J 〔1〕〔2〕= 6, P 〔6〕= 5, ri = 6, r j = 1; 将 m-p Dj 刚获得标记的第 6 行中各元素值 均加上 17, m-p Dj 〔5〕〔2〕= ∞, m -p Dj 〔6〕〔1〕= ∞; P〔7〕= - 1;
m-p Dj 〔4〕〔1〕= ∞; P 〔7〕= - 1; 在 m-p Dj 已标记的第 1 行、第 2 行、第 4
行、第 5 行和第6 行中, dmi n = 21, di = 2, dj = 3, m-f Di st anceMi n = 21; w = m-p J 〔2〕〔3〕= 3, P 〔3〕= 2, ri = 3, rj = 1; 将 m-p Dj 刚获得标记的 第 3 行中 各元素 值均 加上 21, m-p Dj 〔2〕〔3〕= ∞, m-p Dj 〔3〕〔1〕= ∞; P 〔7〕= - 1;
P 〔7〕= 6 → P 〔6〕= 5 → P〔5〕= 1, m-p W ay s = ( 1, 5, 6, 7) , m -f DistanceM in = 26。 2. 2 面向对象的实现方法
采 用面向对象的方法, 可以把网络的最短路 径算法生成库文件, 以软件模块的形式提供给用 户。抽象的路径类描述如下。
12 2
解放军测绘学院学报
络结构。邻接结点矩阵的行按结点号从小到大顺
序排列, 与结点 i 邻接的结点号写在矩阵的第 i 行, 如果结点 i 的邻接结点数小于最大邻接结点 数, 则以 0 填充, 直到填满矩阵。对照邻接结点矩 阵, 把邻接结点矩阵中各元素邻接关系对应的边 的权值填在同一位置上( ∞ 对应 0 元素) , 构造相 应的初始判断矩阵 dJ 。
设已知图中对总长度来说最接近于结点 S 的 m 个结点, 以及从结点 S 到这些结点中的每个结 点的最短路。对结点 S 和这 m 个结点着色, 然后最 接近于 S 的第 m + 1 个结点可这样求 对于每 个未着色的结点, 考虑所有已着色结点 x, 将弧 ( x , y ) 接在从 S 到 x 的最短路后面, 从构成的 S 到 y 的 m 条不同路中选出最短路, 就是S 到y 的最短 路。从 m = 0 开始, 将此过程重复进行, 直至求得 S 到 T 的最短路为止〔1〕。
第 15 卷第 1998 年 6
2月期 Jo ur n
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of
解放 t he PLA
军 测绘 学院 学报 Ins tit ut e of S urveyi ng
and
M apping
VJoul .n1. 51N99o8. 2
最短路径算法的改进及其实现方法
龚洁辉 白 玲 高健美
素的最小值 dmi n。若 dmi n = ∞, 说明不存在最短 路径, 则退出。否则 m-f Di st anceMin = dmin, 记 录最小值元素的行 d i、列 dj 。
然后在邻接结点矩阵 m -p J 中取( di , dj ) 元 素, 记为 w 。若第 w 行还未标记, 则将 m-p Dj 的第 w 行标记, Pw = d i; 并在 m-p J 的第 w 行寻找值为 di 的元素, 记录该元素的行 ri 、列 rj 。
邻接结点矩阵 J 和相关矩阵 R 虽然占用存储 空间相等, 但是邻接结点矩阵为在计算机实现过 程中进一步提高运算速度, 提供了更加有效的网 络结构组织方式。
11 12 ∞ ∞ ∞ 11 8 10 ∞ ∞
10 19 10 15 17 8 ∞∞∞∞ 12 5 19 30 ∞ 5 10 9 ∞ ∞ 15 9 16 7 ∞ 17 7 14 ∞ ∞ 6 16 30 ∞ ∞ 14 6 ∞ ∞ ∞
有了相关矩阵 R 和初始判断矩阵 dR , 根据 Dijkst ra 算法的着色思想, 就可以求网 络中任意 两点间的最短路径了。关键步骤是, 在 dR 已标记 的行中, 求所有元素的最小值, 并记下最小值的行 和列。然后在 R 中取相同行列的元素, 记为 w , 再 在 R 的其它行中, 寻找值为 w 的元素所在的行, 将 dR 的对应行作标记〔4〕。
初始化标记向量 P ; P 〔1〕= 0, m -f DistanceM in = 0; 在 m-p Dj 已标记的第 1 行中, dmi n = 11,
di = 1, dj = 1, m -f DistanceM in = 11; w = m-p J 〔1〕〔1〕= 2, P 〔2〕= 1, ri = 2, rj = 1; 将
第 二 步, 根 据 起点 S, 标 记 初始 判 断 矩 阵 m-p D j 的 第 S 行, P s = 0, 记 最 短 距 离
m-f Di st anceMi n = 0; 第三步, 根据终点 T , 判断 m-p Dj 的第 T 行
是否已标记, 是则转第五步, 否则继续。 第四步, 在 m-p Dj 已标记的行中, 求所有元
在 m-p Dj 已标记的第 1 行、第 2 行、第 5 行 和 第 6 行 中, dmin = 19, di = 2, dj = 2, m-f Di st anceMi n = 19; w = m-p J 〔2〕〔2〕= 4, P 〔4〕= 2, ri = 4, rj = 1; 将 m-p Dj 获得标记的第 4 行中各元素值均加上 19, m-p Dj 〔2〕〔2〕= ∞,