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高中数学《数列》练习题(含答案解析)

高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++，故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分；数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要；故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确；对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确，所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列，所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减所以当2t =即3n =时，y 取得最大值，所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =，所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列，有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；（2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==，因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯．故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩，因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正，所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-．故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-，（2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++，所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式（2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列，所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18，即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n n n T =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅，所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。

高中数学选择性必修二 4 1 数列的概念(精练)(含答案)

4.1 数列的概念1．（2020·宜宾市南溪区第二中学校高一月考）已知数列28n na n =+，则数列{}n a 的第4项为（） A ．110B ．16C ．14 D ．13【答案】B【解析】依题意4244148246a ===+.故选：B. 2．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）已知数列的通项公式是()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，则23⋅a a 等于（） A ．70 B ．28C ．20D ．8【答案】C【解析】因为()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，所以，所以23⋅a a =20.故选C.3．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列的一个通项公式为()11312n n n n a +-+=-，则5a = （） A ．12B ．12-C ．932D ．932-【答案】A 【解析】()11312n n n n a +-+=-，则()51551531122a +-+=-=.故选：A. 4．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列2,5,22,11…，则25是这个数列的（） A ．第六项 B ．第七项C ．第八项D ．第九项【答案】B题组一根据通项求项【解析】由数列前几项归纳可知通项公式为n a =,=时,7n =,为数列第七项，故选B.5．（2020·浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知数列{}n a 的通项公式为22n a n n =+，则10(a = )A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】C【解析】数列{}n a 的通项公式为22n a n n =+，则21010210120a =+⨯=.故选：C.6．（2020·四川高一期中）已知数列{}n a 的通项公式是1(2)2n a n n =+，则220是这个数列的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项【答案】B【解析】由题意，令1(2)2202n n +=，则(2)440n n +=，解得20n =或22n =-；因为*n N ∈，所以20n =，即220是这个数列的第20项.故选：B.7．（2020·四川省苍溪实验中学校高一期中）已知数列2，4，……，则8是该数列的第________项【答案】118=，解得11n =，所以8是该数列的第11项，故答案为：11.8．（2020·上海高二课时练习）在数列{}n a 中，已知()*cos2n n a n N π=∈，则{}n a 的前6项分别为______. 【答案】0,1,0,1,0,1--【解析】易得1cos02a π==，2cos 1a π==-，33cos02a π==，4cos 21a π==，55cos 02a π==，66cos12a π==-.故答案为：0,1,0,1,0,1-- 9．（2020·上海高二课时练习）已知数列{}n a 的通项公式为1(2)n a n n =+，那么199是这数列的第_____项.【答案】9【解析】令11(2)99n n =+，即22990n n +-=，解得9n =或11-(舍去)，则199是这数列的第9项，故答案为: 9. 10．（2020·上海高二课时练习）数列{}n a 中，1003n a n =-（*n N ∈），该数列从第_____项开始每项均为负值. 【答案】34【解析】令10030n a n =-<，解不等式得：1003n >，由于*n N ∈，故34n =.故答案为：34.1．（2020·江西高一月考）数列3579,,,24816--，…的一个通项公式为（） A ．()n n n n21a 12+=-⋅ B ．()nn n 2n 1a 12+=-⋅C ．()n n 1n n 21a 12++=-⋅ D ．()n 1n n2n 1a 12++=-⋅【答案】D【解析】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，()12112n n nn a ++=-⋅.故选D. 题组二根据项写通项2．（2020·四川双流·艺体中学）数列2，43，85，167，329…的一个通项公式a n 等于（） A ．221nn -B ．2n nC ．221nn -D ．221nn +【答案】C【解析】数列2，43，85，167，329… 可写成：12211⨯-，22221⨯-，32231⨯-，42241⨯-，52251⨯-… 所以通项公式a n 2=21nn -.故选C. 3．（2020·上海市杨浦高级中学）已知数列1、0、1、0、，可猜想此数列的通项公式是（）.A ．()()1*11n n a n N -⎡⎤=+-∈⎣⎦B ．()()*1112nn a n N ⎡⎤=+-∈⎣⎦C ．()()()()1*111122n n a n n n N +⎡⎤=+-+--∈⎣⎦ D ．()()*11cos 2n a n n N π=-∈【答案】D【解析】对于A 选项，()011121a =+-=≠，不合乎题意；对于B 选项，()1111012a =⨯-=≠，不合乎题意；对于C 选项，()4311121312a ⎡⎤=⨯+-+⨯=≠⎣⎦，不合乎题意；对于D 选项，当n 为奇数时，cos 1n π=-，此时()11112n a =⨯+=，当n 为偶数时，cos 1n π=，此时()11102n a =⨯-=，合乎题意. 故选：D.4．（2018·吉林宽城·长春市养正高中高一期中）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式n a =__________．【答案】54n -【解析】第一图点数是1；第二图点数6=1+5 ;第三图是11=1+25 ；第四图是16=1+35 则第n 个图点数=1+(n-1)554n a n 故答案为：54n -5．（2019·山东东营·）已知数列{}n a 的前4项依次为23，45-，67，89-，试写出数列{}n a 的一个通项公式n a =______.【答案】12(1)21n nn +-+ 【解析】2，4，6，8，的通项公式为2n ，3，5，7，9，的通项公式为21n ，正负交替的通项公式为1(1)n +-，所以数列{}n a 的通项公式12(1)21n n n a n +=-+.故答案为：12(1)21n n n +-+ 6．（2020·全国高一课时练习）写出下列各数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）5784,,2,,,245--⋯（2）246810,,,,,315356399（3）5,55,555,5555,（4）2,0,2,0,2,0,【答案】（1）()131n n n a n ++=-；（2）()2221n n a n =-；（3）()51019n na =-；（4）()111n n a -=+- 【解析】解（1）考虑到第2，4项的分母恰好是所在项的序号，于是这个数列的前4项可以改写成4567,,,1234--，这4项的分母都与项的序号相同，分子都恰好是序号加3，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为()131n n n a n++=-. （2）考虑到分子2,4,6,8,10恰好是序号的2倍，所以分子应为2n .分母22222321,1541,3561,6381,99101=-=-=-=-=-都为分子的平方数减去1，因此它的一个通项公式为()2221n na n =-.（3）这个数列的第n 项可以是n 个5组成的n 位数555n n a ↑=，用代数式替代省略号，可考虑前4项改写成55559,99,999,99999999⨯⨯⨯⨯，其中9999999999，，，又可表示成1234101,101,101,101----，这里的10的正整数次幂的指数恰好与数列中项的序号相等，所以它的一个通项公式为()51019n n a =-. （4）211,011=+=-，考虑到其每一项与序号的关系将前几项分别写成：()()()()012311,11,11,11+-+-+-+-，因此它的一个通项公式为()111n n a -=+-.1．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（）A ．4-B ．5-C ．4D ．5【答案】B【解析】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B2．（2020·自贡市第十四中学校高一期中）数列3,7,11,15,的一个通项公式是（）A ．41n a n =+B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．21n a n =-【答案】C【解析】因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，故数列3，7，11，15，⋯的一个通项公式是41n a n =-，故选：C ． 3．（2019·河北廊坊·高一期末）数列{}n a 的前几项为11121,3,,8,222，则此数列的通项可能是（）A ．542n n a -=B ．322n n a -=C ．652n n a -=D ．1092n n a -=【答案】A题组三根据递推公式求项【解析】数列为16111621,,,,22222其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等比数列，故通项公式为542n n a -=. 4．（2020·安徽黄山·高一期末）数列1111,,,,...24816--的一个通项公式是（） A ．1(1)2+-n nB ．(1)2-n nC ．sin 2nn πD ．cos(1)2nn π+【答案】B 【解析】()111122-=-⨯，()2211142=-⨯，()3311182-=-⨯，()44111162=-⨯ 所以其通项公式是：(1)2-nn 故选：B5．（2020·武汉外国语学校高一月考）数列4，6，10，18，34，……的通项公式n a 等于（） A ．12n + B ．21n + C ．22n + D ．22n +【答案】C【解析】234521134522,22,22,22,22a a a a a =+=+=+=+=+22n n a ∴=+故选：C6．（2020·浙江越城·绍兴一中期中）在数列{}n a 中，()1111,1(2)nnn a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53C ．85D ．23【答案】D【解析】已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D7．（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学高一期中）数列12-，2，92-，8，252-，…它的一个通项公式可以是（）A ．()212nn n a =-B ．()2112n n n a +=- C ．22n n a =D ．1n n a n =-+ 【答案】A【解析】将1n =代入四个选项可得A 为12-,B 为12,C 为12,D 为12-.所以排除B 、C 选项. 将2n =代入A 、D,得A 为2,D 为23-,所以排除D 综上可知,A 可以是一个通项公式故选：A 8．（2019·息县第一高级中学高二月考（文））数列1-，3，7-，15，…的一个通项公式可以是（） A ．()(1)21nnn a =-⋅- B ．(1)(21)nn a n =-⋅- C ．()1(1)21n n n a +=-⋅-D ．1(1)(21)n n a n +=-⋅-【答案】A【解析】将1n =代入四个选项，可知C 中11,a =D 中11,a =所以排除C 、D.当3n =，代入B 可得35,a =-所以排除B ，即A 正确，故选：A.9．（2018·安徽六安一中高一期末（文））已知*n N ∈，给出4个表达式：①0,1,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，②1(1)2n n a +-=，③1cos 2n n a π+=，④sin 2n n a π=.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（） A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A【解析】①②③逐一写出为010101，，，，，可以，④逐一写出为1010101，，，，，，不满足，故选A ．10．（2020·湖北十堰·高一期末）数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（） A ．1(1)23n n --+B ．(1)32nn -+C ．1(1)32n n --+D ．(1)23nn -+【答案】D【解析】由115a =-，排除A ，C ，由217a =，排除B.故选：D.11.（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（）A ．21n a n =-B ．(1)(12)nn a n =-- C ．(1)(21)nn a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--【答案】C【解析】∵数列{a n }各项值为1-，3，5-，7，9-，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|a n |＝2n ﹣1 又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴a n ＝（﹣1）n （2n ﹣1）．故选C ．1．（2019·云南东川明月中学高一期中）数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【解析】当1n =时,113a S ==；题组四公式法求通项当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩2．（2019·湖南岳阳）已知数列{}n a ，若1222n a a na n +++=，则数列{}1n n a a +的前n 项和为__________．【答案】41n n + 【解析】因为122++2n a a na n +⋯=所以1212++12n 1n a a n a （）（）-+⋯-=- 两式相减得2n na =所以2n a n=设数列{}1n n a a +的前n 项和为S n 则1223342111n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---+=+++⋅⋅⋅++2222222222221223342111n n n n n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+⨯---+ 1111111111141223342111n n n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅-+-+- ⎪---+⎝⎭ 144111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭3．（2020·上海市金山中学期中）已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =__________．【答案】0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时，110a S ==当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得212(1)3(1)1n S n n -=---+，两式相减，145n n n a S S n -=-=-，将1n =代入上式，110a =-≠，∴通项公式为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 4．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校期中）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且2n S n =，则n a =_______【答案】21n -.【解析】当1n =时，111a S ==当2n ≥且*n N ∈时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-综上所述：21n a n =-，*n N ∈本题正确结果：21n -5．（2020·河北石家庄·辛集中学）在数列{}n a 中，已知其前n 项和为23n n S =+，则n a =__________．【答案】15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】当2n ≥时，111(23)(23)2n n n n n n a S S ---=-=+-+=；当1n =时，11235a S ==+=，不满足上式。

高中数学试题含答案-课时规范练28 数列的概念

课时规范练28数列的概念基础巩固组1.已知数列√5,√11,√17,√23,√29,…,则5√5是它的()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项2.记S n为数列{a n}的前n项和.“任意正整数n,均有a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(多选)已知数列{a n}满足a n+1=1-1a n(n∈N*),且a1=2,则()A.a3=-1B.a2 019=12C.S6=3D.2S2 019=2 0194.(2020河北保定高三期末)在数列{a n}中,若a1=1,a2=3,a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则该数列的前100项之和是() A.18 B.8 C.5 D.25.(多选)已知数列{a n}:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,若b n=1a n·a n+1,设数列{b n}的前n项和为S n,则()A.a n=n2B.a n=nC.S n=4nn+1D.S n=5nn+16.(2020湖南益阳高三期末)已知{a n}是等差数列,且满足:对∀n∈N*,a n+a n+1=2n,则数列{a n}的通项公式a n=() A.n B.n-1C.n-12D.n+127.已知数列{a n}的首项a1=21,且满足(2n-5)a n+1=(2n-3)a n+4n2-16n+15,则数列{a n}的最小的一项是()A.a5B.a6C.a7D.a88.已知每项均大于零的数列{a n},首项a1=1且前n项和S n满足S n√S n-1-S n-1√S n=2√S n S n-1(n∈N*且n≥2),则a81=()A.638B.639C.640D.6419.设S n为数列{a n}的前n项和,且a1=4,a n+1=S n,n∈N*,则S4=.10.在数列{a n}中,a1=2,a n+1n+1=a nn+ln1+1n,则a n=.11.已知数列{a n}的通项公式为a n=n+13n-16(n∈N*),则数列{a n}的最小项是第项.12.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=4a n+3.(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{a n}的通项公式;公众号：一枚试卷君(2)证明:a n+1+1a n+1=4.综合提升组13.(2020广东中山期末)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,{S n+na n}为常数列,则a n=()A.13n-1B.2 n(n+1)C.1(n+1)(n+2)D.5-2n314.(2020安徽江淮十校第三次联考)已知数列{a n}满足a n+1-a nn =2,a1=20,则a nn的最小值为()A.4√5B.4√5-1C.8D.915.(多选)(2020江西赣州教育发展联盟2月联考)已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+4S n-1S n=0(n≥2),a1=14,则下列说法正确的是()A.数列{a n}的前n项和为S n=14nB.数列{a n}的通项公式为a n=14n(n+1)C.数列{a n}为递增数列D.数列1S n为递增数列创新应用组16.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=a,a n+1=S n+3n,若a n+1≥a n对∀n∈N*成立,则实数a的取值范围是.17.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{a n}的前n项和S n=f(n)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设c n=1-4a n (n∈N*),定义所有满足c m·c m+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{c n}的变号数,求数列{c n}的变号数.参考答案课时规范练28 数列的概念1.C 数列√5,√11,√17,√23,√29,…,中的各项可变形为√5,√5+6,√5+2×6,√5+3×6,√5+4×6,…,所以通项公式为a n =√5+6(n -1)=√6n -1,令√6n -1=5√5,得n=21.2.A ∵a n >0,∴数列{S n }是递增数列,∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件.如数列{a n }为-1,1,3,5,7,9,…,显然数列{S n }是递增数列,但是a n 不一定大于零,还有可能小于零, ∴数列{S n }是递增数列不能推出a n >0.∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的不必要条件. ∴“任意正整数n ,均有a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分不必要条件.3.ACD 数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1-1a n(n ∈N *),可得a 2=12,a 3=-1,a 4=2,a 5=12,…,所以a n+3=a n ,数列的周期为3,a 2 019=a 672×3+3=a 3=-1,S 6=3,S 2 019=2 0192. 4.C ∵a 1=1,a 2=3,a n +2=a n +1-a n (n ∈N *),∴a 3=3-1=2, a 4=2-3=-1, a 5=-1-2=-3, a 6=-3+1=-2, a 7=-2+3=1, a 8=1+2=3, a 9=3-1=2, …∴{a n }是周期为6的周期数列,∴S 100=S 16×6+4=16×(1+3+2-1-3-2)+(1+3+2-1)=5.故选C. 5.AC 由题意得a n =1n+1+2n+1+…+nn+1=1+2+3+…+nn+1=n2,∴b n =1n 2·n+12=4n (n+1)=41n −1n+1,∴数列{b n }的前n 项和S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =41-12+12−13+13−14+…+1n −1n+1=41-1n+1=4nn+1.故选AC.6.C 由a n +a n+1=2n ,得a n+1+a n+2=2n+2,两式相减得a n+2-a n =2=2d ,∴d=1,又a n +a n +d=2n ,∴a n =n-12.故选C .7.A ∵4n 2-16n+15=(2n-3)(2n-5),∴(2n-5)a n+1=(2n-3)a n +(2n-3)(2n-5), 等式两边同时除以(2n-3)(2n-5),可得a n+12n -3=a n2n -5+1, 可设b n =a n 2n -5,则b n+1=an+12n -3, ∴b n+1=b n +1,即b n+1-b n =1.∵b 1=a 12×1-5=21-3=-7, ∴数列{b n }是以-7为首项,1为公差的等差数列. ∴b n =-7+(n-1)×1=n-8,n ∈N *.∴a n =(n-8)(2n-5)=2n 2-21n+40.可把a n 看成关于n 的二次函数,则根据二次函数的性质,可知其对称轴n=10.52=5.25. ∴当n=5时,a n 取得最小值.故选A .8.C 已知S n √S n -1-S n-1√S n =2√S n S n -1,数列{a n }的每项均大于零,故等号两边同时除以√S n S n -1,可得√S n −√S n -1=2,∴{√S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故√S n =2n-1,S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640.故选C .9.32 因为S n 为数列{a n }的前n 项和,且a 1=4,a n+1=S n ,n ∈N *, ① 则当n ≥2时,a n =S n-1, ②由①-②得a n+1-a n =a n ,∴an+1a n=2,则数列{a n }是从第二项起,公比为2的等比数列,又a 2=S 1=4,∴a n =4·2n-2=2n (n ≥2),故a n ={4(n =1),2n (n ≥2).所以S 4=a 5=25=32.10.2n+n ln n 由题意得a n+1n+1−a n n =ln(n+1)-ln n ,a n n −an -1n -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). ∴a 22−a 11=ln 2-ln 1,a 33−a22=ln 3-ln 2,…,a n n−an -1n -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). 累加得a n n −a 11=ln n ,又a 1=2,∴a nn =2+ln n (n ≥2),当n=1时,a 1=2,上式成立,故a n =2n+n ln n. 11.5 a n =n+13n -16=131+193n -16.当n>5时,a n >0,且单调递减, 当n ≤5时,a n <0,且单调递减. ∴当n=5时,a n 最小.12.(1)解 a 1=3,a 2=15,a 3=63,a 4=255.因为a 1=41-1,a 2=42-1,a 3=43-1,a 4=44-1,…, 所以归纳得a n =4n -1. (2)证明因为a n +1=4a n +3,所以a n+1+1a n +1=4a n +3+1a n +1=4(a n +1)a n +1=4. 13.B ∵数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,∴S 1+1×a 1=1+1=2.∵{S n +na n }为常数列,∴S n +na n =2.当n ≥2时,S n-1+(n-1)a n-1=2,∴(n+1)a n =(n-1)a n-1,从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=13·24·35·…·n -1n+1,∴a n =2n (n+1)(n ≥2),当n=1时上式成立,∴a n =2n (n+1).故选B . 14.C 由a n +1-a n =2n ,知a 2-a 1=2×1,a 3-a 2=2×2,…,a n -a n -1=2(n-1),n ≥2.以上各式相加得a n -a 1=n 2-n ,n ≥2,所以a n =n 2-n+20,n ≥2, 当n=1时,a 1=20符合上式,所以a n n =n+20n-1,n ∈N *, 所以当n ≤4时,a n n单调递减,当n ≥5时,a n n单调递增.因为a 44=a55=8,所以ann 的最小值为8.故选C .15.AD 由题意,可知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0),且满足a n +4S n-1S n =0(n ≥2),则S n -S n-1=-4S n-1S n (n ≥2),即1S n−1S n -1=4(n ≥2).又因为a 1=14,所以1S 1=4,所以数列1S n是以4为首项,4为公差的等差数列,所以数列1S n为递增数列,且1S n=4+(n-1)×4=4n ,则S n =14n .又因为当n ≥2时,a n =S n -S n-1=14n −14(n -1)=-14n (n -1),a 1=14,所以数列{a n }的通项公式为a n ={14,n =1,-14n (n -1),n ≥2.故选AD. 16.[-9,+∞) 据题意,得a n+1=S n+1-S n =S n +3n ,∴S n+1=2S n +3n ,∴S n+1-3n+1=2(S n -3n ).又S 1-31=a-3,∴数列{S n -3n }是以a-3为首项,2为公比的等比数列,∴S n -3n =(a-3)·2n-1即S n =3n +(a-3)·2n-1.当n=1时,a 1=a ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n +(a-3)×2n-1-3n-1-(a-3)×2n-2=2×3n-1+(a-3)×2n-2,∴a n+1-a n =4×3n-1+(a-3)×2n-2.又当n ≥2时,a n+1≥a n 恒成立,∴a ≥3-12×(32)n -2对∀n ∈N *,且n ≥2成立,∴a ≥-9.又a 2=a 1+3,∴a 2≥a 1成立.综上,所求实数a 的取值范围是[-9,+∞).17.解 (1)依题意,得Δ=a 2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f (x )=x 2-4x+4. 所以S n =n 2-4n+4. 当n=1时,a 1=S 1=1-4+4=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n-5.所以数列{a n }的通项公式为a n ={1,n =1,2n -5,n ≥2.(2)由题意得c n ={-3,n =1,1-42n -5,n ≥2.由c n =1-42n -5可知,当n ≥5时,恒有c n >0. 又因为c 1=-3,c 2=5,c 3=-3, c 4=-13,c 5=15,即c 1·c 2<0,c 2·c 3<0,c 4·c 5<0, 所以数列{c n }的变号数为3.。

数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修 5 习题第二章数列1． { a n } 是首项 a 1＝ 1，公差为 d ＝3 的等差数列，如果 a n ＝ 2 005，则序号 n 等于 () ．A ．667B ． 668C ． 669D ． 6702．在各项都为正数的等比数列 { a n } 中，首项 a 1＝ 3，前三项和为 21，则 a 3＋ a 4＋ a 5＝ () ．A ．33B ． 72C ． 84D ． 1893．如果 a 1 ，a 2，⋯， a 8 为各项都大于零的等差数列，公差 d ≠0，则 () ．A ． a 1 a 8 ＞ a 4 a 5B ． a 1a 8＜ a 4a 5C ． a 1＋ a 8 ＜a 4＋ a 5D ． a 1a 8＝ a 4a 54．已知方程 ( x 2－ 2x ＋m)( x 2－2x ＋ n) ＝ 0 的四个根组成一个首项为1的等差数列，则4｜ m － n ｜等于 () ．A ． 1B ．3C ．1D ． 34285．等比数列 { a n } 中， a 2＝ 9， a 5＝ 243，则 { a n } 的前 4 项和为 ( ).A ．81B ．120C ． 168D ． 1926．若数列 { a n } 是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋ a 2 004＞ 0，a 2 003·a 2 004＜ 0，则使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数 n是 () ．A ．4 005B ． 4 006C ． 4 007D ． 4 0087．已知等差数列 { a n } 的公差为 2，若 a 1， a 3， a 4 成等比数列 , 则 a 2 ＝( ) ．A ．－ 4B ．－ 6C ．－ 8D ．－108．设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若a 5＝5 ，则S 9 ＝ () ．a 3 9 S 5A ． 1B ．－ 1C ． 2D ．129．已知数列－ 1，a 1， a 2，－ 4 成等差数列，－ 1， b 1，b 2 ，b 3，－ 4 成等比数列，则 a 2 a 1的值是 () ．b 2 A ．1B ．－1C ．－1或1D ．1222 2 4A．38B． 20C． 10D． 9二、填空题11．设 f( x) ＝1，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得 f( － 5)＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0)＋⋯＋ f( 5)2 x2＋ f( 6) 的值为.12．已知等比数列 { a n} 中，( 1) 若 a3· a4·a5＝8，则 a2·a3·a4· a5· a6＝．( 2) 若 a1＋ a2＝324， a3＋ a4＝ 36，则 a5＋ a6＝．( 3) 若 S4＝ 2， S8＝ 6，则 a17＋a18＋ a19＋ a20＝.13．在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．3214．在等差数列 { a n} 中， 3( a3＋ a5) ＋2( a7＋ a10＋ a13) ＝ 24，则此数列前13 项之和为.15．在等差数列 { a n} 中， a5＝ 3， a6＝－ 2，则 a4＋a5＋⋯＋ a10＝.16．设平面内有 n 条直线 ( n≥ 3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f( n) 表示这 n 条直线交点的个数，则f( 4) ＝；当 n＞ 4 时， f( n) ＝．三、解答题17． ( 1) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n＝ 3n2－ 2n，求证数列 { a n} 成等差数列 .( 2) 已知1，1，1成等差数列，求证b c ，c a，a b也成等差数列.a b c a b c18．设 { a n } 是公比为q 的等比数列，且a1， a3， a2成等差数列．( 1) 求 q 的值；( 2) 设 { b n} 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前n 项和为 S n，当 n≥ 2 时，比较S n与 b n的大小，并说明理由．19．数列 { a n} 的前 n 项和记为 S n，已知 a1＝ 1，a n＋1＝n2S n( n＝1， 2， 3⋯ ) ．n求证：数列 { Sn } 是等比数列．n20．已知数列 { a n} 是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列， S n为其前 n 项和， a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6， S12－ S6成等比数列 .第二章数列参考答案一、选择题1． C解析：由题设，代入通项公式a n＝ a1＋ ( n－ 1) d，即 2 005＝ 1＋3( n－ 1) ，∴ n＝ 699．2． C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列 { a n} 的公比为q( q＞0) ，由题意得a1＋ a2＋ a3＝ 21，即a1( 1＋ q＋q2) ＝ 21，又 a1＝ 3，∴ 1＋ q＋ q2＝ 7．解得 q＝2 或 q＝－ 3( 不合题意，舍去 ) ，∴ a3＋ a4＋ a5＝ a1q2( 1＋q＋ q2) ＝ 3× 22× 7＝ 84．3． B．解析：由 a1＋ a8＝ a4＋ a5，∴排除C．又a1· a8＝ a1( a1＋ 7d) ＝ a12＋ 7a1d，∴a4· a5＝ ( a1＋ 3d)( a1＋ 4d) ＝a12＋ 7a1d ＋ 12d2＞ a1· a8．4． C 解析：解法 1：设 a1＝1，a2＝1＋d， a3＝1＋ 2d， a4＝1＋ 3d，而方程 x2－2x＋ m＝ 0 中两根之和为2， x2－2x＋ n＝ 0 中4444两根之和也为2，∴a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 1＋ 6d＝ 4，∴ d＝1， a ＝1， a ＝7是一个方程的两个根， a ＝3，a ＝5是另一个方程的两个根．144132444∴7，15分别为 m 或 n，16 16∴｜ m－ n｜＝1，故选 C．2由等差数列的性质：若＋ s ＝ p ＋ q ，则 a ＋ a s ＝ a p ＋ a q ，若设 x 1 为第一项， x 2 必为第四项，则 x 2＝ 7，于是可得等差4数列为 1， 3， 5， 7，4 4 4 4∴ m ＝ 7 ，n ＝15 ，1616∴｜ m － n ｜＝ 1．25． B解析：∵ a 2＝ 9， a 5＝ 243， a 5＝ q 3＝243＝ 27，a 2 9∴ q ＝ 3， a 1 q ＝9， a 1＝ 3，5∴S 4＝3－3＝240＝ 120．1－326． B解析：解法 1：由 a 2 003＋ a 2 004＞ 0，a 2 003·a 2 004＜ 0，知 a 2 003 和 a 2 004 两项中有一正数一负数，又a 1＞ 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞ a 2 004，即 a 2 003＞ 0， a 2 004＜ 0.∴ S 4 006＝4 006( a 1＋ a)4 006( a ＋ a)4 006＝2 0032 004＞ 0，22∴ S 4 007＝4 007· ( a 1＋a 4 007) ＝4 007· 2a 2 004＜ 0，22故 4 006 为 S n ＞ 0 的最大自然数 . 选 B ．解法 2：由 a 1＞ 0，a 2 003＋ a 2 004＞ 0， a 2 003·a 2 004＜0，同解法 1 的分析得 a 2 003＞ 0，a 2 004＜ 0，∴ S 2 003 为 S n 中的最大值．∵ S n 是关于 n 的二次函数，如草图所示，∴ 2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小，∴4 007在对称轴的右侧．( 第 6 题 )2根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧零点 B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧， S n ＞ 0 的最大自然数是 4 006．解析：∵ { a n} 是等差数列，∴a3＝a1＋ 4， a4＝ a1＋ 6，又由 a1， a3， a4成等比数列，∴( a1＋ 4) 2＝ a1( a1＋ 6) ，解得 a1＝－ 8，∴a2＝－ 8＋2＝－ 6．8． A解析：∵ S99(a1a9 )＝2＝ 9 a5＝9·5＝1，∴选 A．S55(a1a5 ) 5 a35929． A解析：设 d 和 q 分别为公差和公比，则－4＝－ 1＋ 3d 且－ 4＝ ( －1) q 4，∴ d＝－ 1， q2＝ 2，∴ a2 a1＝d2＝1．b2q210． C解析：∵ { a n} 为等差数列，∴an2＝ a n－1＋ a n＋1，∴ a n2＝2a n，又 a n≠ 0，∴ a n＝ 2， { a n} 为常数数列，而a n＝S2 n 1，即 2n－ 1＝38＝ 19，2n 12∴n＝ 10．二、填空题11．3 2．解析：∵ f( x) ＝1，x221x12x∴ f( 1－ x) ＝ 2 ＝22221 x 2 2x＝22 x，112x112x1( 2 2 x)2∴ f( x) ＋ f( 1－ x) ＝＋2＝2＝2＝．x2 2 x 2 2x22 2 2 2 x设S＝ f( － 5) ＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( 5) ＋ f( 6) ，则 S＝ f( 6) ＋ f( 5) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( － 4) ＋ f( － 5) ，.∴ 2S＝ [ f( 6)＋ f( － 5)] ＋ [ f( 5) ＋f( － 4)] ＋⋯＋ [ f(－ 5) ＋ f( 6)] ＝ 6 2 ，∴ S＝ f( － 5)＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( 5) ＋ f( 6)＝3 2．12．（ 1）32；（ 2）4；（ 3）32．解析：（ 1）由 a3· a5＝ a42，得 a4＝2，∴a2· a3· a4· a5· a6＝ a45＝ 32．a1a2 324 1 ，（ 2）q 2( a1a2 )q2 369∴ a5＋ a6＝ ( a1＋ a2 ) q4＝4．S4＝a1＋ a2＋a3＋ a4＝2q 4＝2 ，（ 3）S8＝ a1＋ a2＋＋a8＝S4＋S4q4∴ a17＋ a18＋a19＋a20＝ S4q16＝ 32．13． 216．解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与中间数为827＝6，插入的三个数之积为8×27×6＝ 216．3232 14． 26．解析：∵ a3＋ a5＝ 2a4， a7＋ a13＝ 2a10，∴6( a4＋ a10) ＝ 24， a4＋ a10＝ 4，∴S＝13( a1＋a13)＝ 13( a4＋a10 ) ＝ 134＝26．1322215．－ 49．解析：∵ d＝ a6－ a5＝－ 5，∴a4＋ a5＋⋯＋ a10＝7( a4＋a10)2＝7( a5－ d＋a5＋5d )2＝7( a5＋ 2d)8，27同号，由等比中项的3 2.＝－ 49．116． 5， ( n ＋ 1)( n － 2) ．解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴ f( k) ＝ f( k－ 1) ＋ ( k － 1) ．由 f( 3) ＝ 2，f( 4) ＝ f( 3) ＋ 3＝2＋ 3＝ 5，f( 5) ＝ f( 4) ＋ 4＝2＋ 3＋ 4＝9，⋯⋯f( n) ＝ f( n － 1) ＋( n － 1) ，相加得 f( n) ＝ 2＋ 3＋ 4＋⋯＋ ( n －1) ＝ 1( n ＋ 1)( n － 2) ．2三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2 项开始每项与其前一项差为常数．证明：（ 1） n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝ 3－ 2＝ 1，当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1＝ 3n 2－ 2n －[ 3( n － 1) 2－2( n － 1)] ＝ 6n － 5，n ＝ 1 时，亦满足，∴ a n ＝ 6n － 5( n ∈ N* ) ．首项 a 1＝ 1，a n － a n － 1＝ 6n － 5－ [ 6( n － 1) －5] ＝ 6( 常数 )( n ∈N* ) ，∴数列 { a n } 成等差数列且 a 1＝ 1，公差为 6．111（ 2）∵ ，，成等差数列，∴ 2 ＝ 1 ＋ 1化简得 2ac ＝ b( a ＋ c) ． b a cb ＋c ＋ a ＋b ＝ bc ＋ c 2＋ a 2＋ ab ＝ b( a ＋ c)＋ a 2＋ c 2＝ ( a ＋ c) 2 ＝ ( a ＋ c)2＝ 2·a ＋c，acac acacb( a ＋c)b2∴b ＋c，c ＋a，a ＋b也成等差数列．abc18．解：（ 1）由题设 2a 3＝ a 1＋ a 2，即 2a 1q 2＝ a 1＋ a 1q ，∵ a 1≠ 0，∴ 2q 2－ q － 1＝0，∴ q ＝ 1 或－1..2（ 2）若 q ＝ 1，则 S n ＝ 2n ＋n( n －1)＝ n＋3n．22当 n ≥ 2 时， S n －b n ＝ S n － 1＝( n －1)( n ＋2)＞ 0，故 S n＞b n ． 22若 q ＝－ 1 ，则 S n ＝ 2n ＋n( n －1)( － 1) ＝－ n ＋9n．222 4当 n ≥ 2 时， S n －b n ＝ S n － 1＝( n －1)( 10－n)，4故对于 n ∈ N +，当 2≤ n ≤ 9 时， S n ＞ b n ；当 n ＝ 10 时， S n ＝ b n ；当 n ≥ 11 时， S n ＜ b n ．n ＋2n∴ ( n ＋ 2) S n ＝ n( S n ＋ 1－S n ) ，整理得 nS n ＋ 1＝ 2( n ＋ 1) S n ，所以Sn ＋1＝2Sn．n ＋1 n故 {S n} 是以 2 为公比的等比数列． n20．证明：由 a 1， 2a 7， 3a 4 成等差数列，得 4a 7＝ a 1＋ 3a 4，即 4 a 1q 6＝ a 1＋ 3a 1q 3，变形得 ( 4q 3＋ 1)( q 3－ 1) ＝ 0，∴ q 3＝－ 1或 q 3＝1( 舍) ． 4a 1(1 q 6) 1 q3S 6＝1 q＝ 1；由 312＝ 1612S 3 12a 1 (1 q )1 qa 1 (1 12q)S12S 6＝ S12－ 1＝1 q－ 6－1＝1 ； S 6S 6 a 1 (1 61＝ 1＋q 16q )1 q S 6 ＝ S 12 S 6．得S 612S 3∴ 12S 3， S 6， S 12－ S 6 成等比数列．。

数列的概念与简单表示练习题

数列的概念与简单表示[A 级基础题——基稳才能楼高]1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 4的值为( ) A ．31 B ．30 C ．15D ．63解析：选C 由题意，得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，故选C. 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 019＝( ) A ．－1 B ．12C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 018＝a 3×672＋3＝a 3＝－1.3．数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n 2B ．a n ＝(－1)n ·n 2C ．a n ＝(－1)n ＋1·n 2D ．a n ＝(－1)n ·(n ＋1)2解析：选B 易知数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·n 2，故选B.4．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)，所以b <2n ＋1(n ∈N *)，所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.－1n ＋1n ＋1B ．－1nn ＋1C.－1nnD ．－1n －1n解析：选A 由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＋1，故此数列的一个通项公式为－1n ＋1n ＋1.故选A.2．(2019·沈阳模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n －1 B ．⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．nD ．n 2解析：选C 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 为常数列，即a n n ＝a 11＝1，故a n ＝n .故选C.3．(2019·北京西城区模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1，则a 3＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－4D ．－8解析：选D ∵数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1，∴a 3＝S 3－S 2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.4．(2019·桂林四地六校联考)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100项是( ) A ．10 B ．12 C ．13D ．14解析：选D 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，由12n (n ＋1)≤100，得n 的最大值为13，易知最后一个13是已知数列的第91项，又已知数列中14共有14项，所以第100项应为14.故选D.5．(2019·兖州质检)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎨⎧a n －2，n <4，6－a n －a ，n ≥4，若对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,4)B ．(2,5)C ．(1,6)D ．(4,6)解析：选A 因为对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，所以数列{a n }是递增数列，因此⎩⎨⎧1<a ，6－a >0，a <6－a×4－a ，解得1<a <4，故选A.6．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( )A ．8B ．2C ．3D ．7解析：选D 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，{a n }中的整数项为4，9，49，64，144，169，…，∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2 019＝4×504＋3，故b 2 019的末位数字为7.故选D.7．(2018·长沙调研)已知数列{a n }，则“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题意，若“数列{a n }为递增数列”，则a n ＋1>a n >a n －1，但a n ＋1>a n －1不能推出a n ＋1>a n ，如a n ＝1，a n ＋1＝1，{a n }为常数列，则不能推出“数列{a n }为递增数列”，所以“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n 等于( )A.13n －1B ．2nn ＋1C.6n ＋1n ＋2D ．5－2n3解析：选 B 由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n ＝2n n ＋1，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n n ＋1.9．(2019·兰州诊断)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1nn ＋1，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 501＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n ，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ，又b 1＝0，所以b n ＝n －1n ，所以b 501＝500501. 答案：50050110．(2019·河南八市重点高中测评)已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，∴两边同除以a n ·a n＋1，得21－a n ＋1a n ＋1－21－a na n＝1a n ＋1－1a n ＋1，整理，得1a n ＋1－1a n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以3为首项，1为公差的等差数列，∴1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2.答案：1n ＋211．(2019·宝鸡质检)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn＝________.解析：由题意得当n ≥2时，a n ＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，∴a n ＝4n 2.又n ＝1，a 1＝2，∴a 1＝4，∴a n n ＝4n ，∴a 1＋a 22＋…＋a n n ＝12n (4＋4n )＝2n 2＋2n .答案：2n 2＋2n12．(2019·深圳期中)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n (n ∈N *)知，当n ≥2时，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1n －12＝a n －1，∴a n n 2＝a n －a n －1，即n ＋1n a n ＝n n －1a n －1，∴n ＋1n a n ＝…＝2a 1＝2，∴a n ＝2nn ＋1. 答案：2n n ＋113．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4. 解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4a n ＋1a n ＋1＝4. 14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．15．(2019·武汉调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }中，b n ＝2a n ＋1，且其前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)∵a 1＝S 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝1，1nn ≥2.(2)由题意得c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2<0，∴c n ＋1<c n ，∴数列{c n }为递减数列.。

4.3.1 等比数列的概念(第二课时)(同步练习)(附答案)

4.3.1 等比数列的概念（第二课时）（同步练习）一、选择题1.在等比数列{a n}中，已知a1a38a15＝243，则a39a11的值为()A.3B.9C.27D.812.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A.100B.－100C.10 000D.－10 0003.若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值等于()A.－12 B.12 C.±12 D.144.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，则2003年价格为8 100元的计算机到2018年时的价格应为()A.900元B.2 200元C.2 400元D.3 600元5.数列{a n}是等比数列，对任意n∈N*，都有a n＞0.若a3(a3＋a5)＋a4(a4＋a6)＝25，则a3＋a5＝()A.5B.10C.15D.206.已知{a n}为等比数列，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则a2a16a9的值为()A.－2＋22 B.－ 2C. 2D.－2或 27.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a2·a6·a10＝33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan b2＋b101－a3·a9的值是()A.－22 B.22C. 1D.－ 38.(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1＋a5＝1a1＋1a5＝52，则下列结论正确的是()A.a2a4＝1B.a2＋a4＝32 2C.q＝2或12 D.a1＝2或12二、填空题9.若数列{a n}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________10.在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6成等比数列，则此未知数是________11.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x ＋y＋z的值为________12.各项均为正数的等比数列{a n}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{a n}的通项公式a n＝________三、解答题13.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．14.为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(参考数据：lg 2≈0.3)15.已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，由{a n}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，ab n，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{b n}的通项公式．16.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，公比是q，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求a n与b n；(2)设c n＝3b n－λ·na32，若数列{c n}是递增数列，求实数λ的取值范围．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1a 38a 15＝243，a 1a 15＝a 28，∴a 8＝3，∴a 39a 11＝a 38q 3a 8q3＝a 28＝9. 2.C 解析：∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.3.A 解析：∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1. 又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 4.C 解析：8 100×323（）＝2 400.故选C.5.A 解析：由等比数列的性质及a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 4＋a 6)＝25，得a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 3q ＋a 5q)＝25. ∴(a 3＋a 5)(a 3＋a 4q)＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25.∵对任意n ∈N *，都有a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5.6.D 解析：由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2＋a 16＝－6，a 2a 16＝2，显然两根同为负值，所以a 9＝± a 2a 16＝±2，所以a 2a 16a 9＝±2.7.D 解析：因为{a n }是等比数列，所以a 2·a 6·a 10＝a 36＝33，所以a 6＝ 3.因为{b n }是等差数列，所以b 1＋b 6＋b 11＝3b 6＝7π，所以b 6＝7π3.所以tan b 2＋b 101－a 3·a 9＝tan 2b 61－a 26＝tan 14π31－3＝－tan 7π3＝－ 3.故选D. 8.ABD 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＋a 5＝1a 1＋1a 5＝52，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝52，a 1a 5＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 5＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，a 5＝2，即2×q 4＝12或12×q 4＝2，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q 2＝2，所以选项C 错误，选项D 正确；因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 2a 4＝a 1a 5＝1，选项A 正确；a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝322，选项B 正确．故选ABD ．二、填空题 9.答案：256解析：∵{a n }是等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，a 9＋a 10为等比数列，∴a 9＋a 10＝1×44＝256. 10.答案：3或27解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.11.答案：2解析：∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为52，3.∴y ＝5·312（），z ＝6·412（）.∴x ＋y ＋z ＝1＋5·312（）＋6·412（）＝3216＝2.12.答案：2n －1解析：设等比数列的公比为q(q>0)．由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，q ≠1，所以a 1＝1q －1. a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q>0)，而－1q 2＋1q＝－⎝⎛⎭⎫1q －122＋14≤14，当且仅当q ＝2时取等号，所以当q ＝2时，a 3有最小值4.此时a 1＝1q －1＝12－1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.三、解答题13.解法一：设前三个数为a q ，a ，aq ，则a q ·a·aq ＝216，所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q ，6,6q.由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.解法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d)2，由题意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.14.解：设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2019年年底绿洲面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2019年年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积a n 减去被侵蚀的部分，即a n －8%·a n ；另一部分是新绿化的绿洲面积，即12%·b n . ∴a n ＋1＝a n －8%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45⎝⎛⎭⎫a n －35. 又a 1－35＝－15，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15×n 45（）由a n ＋1＞50%，得35－15×n 45（）＞12，∴n 45（）＜12，∴n ＞log 4512＝lg 21－3lg 2≈3. 则当n ≥4时，不等式n 45（）＜12恒成立．∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.15.解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.16.解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，整理得q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·n a 32＝3n －λ·2n .由题意知c n ＋1＞c n 对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1＞3n －λ·2n 恒成立，即λ·2n ＜2·3n 恒成立，即λ＜2·n32（）恒成立．因为函数y ＝x 32（）是增函数，所以n min 3]2[2（）＝2×32＝3，故λ＜3，即实数λ的取值范围为(－∞，3)．。

完整版)数列典型例题(含答案)

完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。

因此，前项和为。

⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。

解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。

根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。

数学数列的概念与表示(有答案)

2014年12月27日高中数学数列的概念一．选择题（共15小题）．．cos cos cos4．数列、、、、、、、、、…依次排列到第a2010项属于的范围是（）．C．C D．{10．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…的通项公式是a n=；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，﹣1，1，﹣1，…与数列﹣1，1，﹣1，1，…是同一数列．其中正确命题的个数是（）11．已知数列{a n}的通项公式是a n=，则220是这个数列的（）12．在数列{a n}中，a1=0，，则a2013=（）．C．13．数列{a n}满足，若，则数列的第2013项为（）．C D．14．已知a1=1，a2=﹣，a3=﹣，…，a n+1=﹣，…．那么a2014=（）15．已知数列{a n}的通项公式，在它的前12项中最大的项是（）二．填空题（共7小题）16．（2013•广元二模）数列5，55，555，5555，…的一个通项公式为a n=_________．17．（2014•蚌埠三模）已知数列{a n}满足：a1为正整数，a n+1=，如果a1=1，则a1+a2+…+a2004= _________．18．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…的第1000项是_________．19．数列，，，，…中，有序数对（a，b）可以是_________．20．数列{a n}满足a n+1=若a1=，则a2=_________，a24=_________．21．已知数列{a n}的前n项和，则a5+a6的值为_________．22．某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为_________．三．解答题（共8小题）23．已知数列{a n}前n项和S n=n2﹣9n，（1）求其通项a n；（2）若它的第k项满足5＜a k＜8，求k的值．24．已知数列{a n}的前n项和，求a n．25．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2﹣3n+2，求通项公式a n．26．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N+），试写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式，并给以证明．27．已知数列{a n}满足a n=n2﹣5n﹣6，n∈N*．（1）数列中有哪些项是负数？（2）当n为何值时，a n取得最小值？并求出此最小值．28．已知数列a n的通项公式a n=，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f （1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）的值．29．数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣7n+6．（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项开始各项都是正数？30．一数列{a n}的前n项的平均数为n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，证明数列{b n}是递增数列；（3）设，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）．．cos cos cos=1coscos4．数列、、、、、、、、、…依次排列到第a2010项属于的范围是（）．C、、、、、…行最后的一个数为，前个数，然后以判断出第、、、、、…行最后的一个数为个数，行第一个数为，接下来是，，，个数是∈．C D．数列，的第三项可写成，∴{{项为=1+，故10．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…的通项公式是a n=；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，﹣1，1，﹣1，…与数列﹣1，1，﹣1，1，…是同一数列．由数列的前几项为，，，=11．已知数列{a n}的通项公式是a n=，则220是这个数列的（），要判断是数列中的哪一项，只需令，解出解：∵，12．在数列{a n}中，a1=0，，则a2013=（）．C．，∴，=．13．数列{a n}满足，若，则数列的第2013项为（）．C D．，×﹣，×=×=×﹣，，14．已知a1=1，a2=﹣，a3=﹣，…，a n+1=﹣，…．那么a2014=（）=﹣15．已知数列{a n}的通项公式，在它的前12项中最大的项是（）解：∵二．填空题（共7小题）16．（2013•广元二模）数列5，55，555，5555，…的一个通项公式为a n=．解：∵，，故答案为：17．（2014•蚌埠三模）已知数列{a n}满足：a1为正整数，a n+1=，如果a1=1，则a1+a2+…+a2004= 4676．，，=118．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…的第1000项是45．19．数列，，，，…中，有序数对（a，b）可以是（，﹣）．从上面的规律可以看出，解上式得，﹣）20．数列{a n}满足a n+1=若a1=，则a2=，a24=．解：∵，∴=．∴∴∴，．21．已知数列{a n}的前n项和，则a5+a6的值为152．22．某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为（n﹣1）2．三．解答题（共8小题）23．已知数列{a n}前n项和S n=n2﹣9n，（1）求其通项a n；（2）若它的第k项满足5＜a k＜8，求k的值．24．已知数列{a n}的前n项和，求a n．利用公式∴25．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2﹣3n+2，求通项公式a n．∴．26．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N+），试写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式，并给以证明．=，==，==，，=1成立，=27．已知数列{a n}满足a n=n2﹣5n﹣6，n∈N*．（1）数列中有哪些项是负数？（2）当n为何值时，a n取得最小值？并求出此最小值．6=，∴28．已知数列a n的通项公式a n=，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f （1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）的值．．（6分）29．数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣7n+6．（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项开始各项都是正数？∴=30．一数列{a n}的前n项的平均数为n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，证明数列{b n}是递增数列；（3）设，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．）因此有最小值解出）由题意可得，∴=）∵有最小值，∴．。

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一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．(),3-∞B ．(),2-∞C ．(),1-∞D ．(),0-∞2．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（）A ．135B ．141C ．149D ．1553．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（）A ．63243a a a ≤-B ．2736+a a a a ≤+C ．7662)4(a a a a ≥--D ．2367a a a a +≥+4．已知数列,21,n -21是这个数列的（）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项5．数列{}n a 满足111n na a +=-，12a =，则2a 的值为（） A ．1B ．-1C ．13D ．13-6．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（）A ．4-B ．5-C ．4D ．57．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53 C ．85D ．238．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=9．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2018a =（）. A ．2B ．12 C ．1-D ．12-10．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()*11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，22017a =，则100S =（）A ．2016B ．2017C ．2018D ．201911．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（） A ．2B ．1C ．0D ．1-12．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（）A ．210B ．211C ．224D ．22513．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．174B ．184C ．188D ．16014．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．184B ．174C ．188D ．16015．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．180B ．160C ．150D ．14016．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（） A ．4B ．6C ．8D ．1017．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a18．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（）A ．81B ．243C ．324D ．21620．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对二、多选题21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=22．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 23．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．224．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．6525．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦26．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =27．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =28．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥29．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值30．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <31．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅32．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+33．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-34．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于λ的不等式，解之可得λ的取值范围.【详解】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立，所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=，所以3λ<，故选：A. 【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.2．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-，然后可得3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-，即可推出选项C 正确.【详解】因为*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，所以12133n n n n S S S S -+-≤--，所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-，所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选：C 【点睛】本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系，解答的关键是由条件得到11n n n n a a a a -+-≤-，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.5．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】因为111n n a a +=-，12a =，所以21111112a a ===---，故选：B. 【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据已知递推条件()*21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5a【详解】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B 【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题7．D解析：D 【解析】分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．详解：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D 点睛：对于含有()1n-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．8．C【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确；对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.9．B解析：B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】在数列{}n a 中，111n na a +=-，且12a =， 211112a a ∴=-=， 3211121a a =-=-=- ， ()41311112a a a =-=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201867232=⨯+，2018212a a ∴==.故选：B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.10．A【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案．【详解】解：因为12018a =，22017a =，()*11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-， 543(2018)(1)2017a a a =-=---=-， 654(2017)(2018)1a a a =-=---=， 76511(2017)2018a a a a =-=--==，8762201812017a a a a =-=-==，…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6，因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++12342016a a a a =+++=．故选：A ．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．11．A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===，故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．13．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.14．B解析：B 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.15．B解析：B 【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】由n a 为421167n n +的个位数，可得n a 为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期，即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期，第38项至第69项共32项，共8个周期，所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B16．C解析：C 【分析】利用443a S S =-计算．由已知22443(44)(33)8a S S =-=+-+=．故选：C ．17．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=，，121n n b b n --=-，所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===，所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ，即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.18．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.19．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.20．A解析：A 【分析】根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值【详解】由114a =-，111(1)n n a n a -=->知21115a a =-= 321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴2019345a a == 故选：A 【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题二、多选题【分析】根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，，，故A 不正确；对B ，，故B 正确；对C ，由，，解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.22．ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-，则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=，所以()112f x << ，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.23．ABC【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：恒成立，由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立，由12n -第增，且31222n ≤-<，所以32a <，综上可得：322a -≤<，故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.24．ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.25．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然，，，，，所以且，即B 满足条件；由，所以所以数列解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项，12+为公比的等比数列，所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=++，令1nn n F b-=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-，所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+，所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；即C 满足条件；故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．26．ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得，故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确；该数解析：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-，故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确；该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误；由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确，故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.27．AD 【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和，进而可得，由此可知，故不正确；对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.28．AB 【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果. 【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB 正确，C 错误；因为，故D 错误，故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.29．ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB 正确；，所以，故C 不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确.故选：AB解析：ABD【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确； ()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.30．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.31．ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A 正确；，B 正确；，C 正确；，所以，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．32．AC【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差，所以，.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-. 故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 33．AC【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．等差数列的前项和为．，，，解得，，．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．34．ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，n nS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：n nS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，n nS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．35．ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确.【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >， ∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >，181919S S a ∴=-，1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。