2019_2020学年10月北京西城区北京市第十三中学高三上学期月考数学试卷

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北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（）（A ）1i 22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）（A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（）（A ）(3,1)- （B ）(1,3)-- （C ）(3,1)-- （D ）(1,3)-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（）（A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b > （D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）（A ）8 （B ）83（C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② 22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若3PA BC =，则PBBC=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=L ______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =，4B π∠=， 5sin 5C =，则c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅I ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____.（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ；（Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =L 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c ΩL . 证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n--； 13.6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan x =. ………………3分由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan x =，π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-） ………………8分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+. ………………13分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）………………3分令()0f x =，得πsin(2)3x -=. ………………4分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =. 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为1-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===；2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， ………………2分因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-u u u r ，1(2,2,1)AC =-u u u u r设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-u u u r ，1(1,0,1)DC =u u u u r. ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r . ………………12分即2112(2)12λ=-+⋅，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）因为椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分（Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kk k y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-；当0k >时，34k k+≥.所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[1212-. ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()x f x '=.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………4分① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()kk k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+---- 111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =L .由于n 为偶数，所以11(1)()nn n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i ii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =L .因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L 这2n个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=L ，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分（Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=L 即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()ii i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2ii i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=L ，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=L .所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -L 这12n -个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++L L 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+，即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e L 也成等差数列.Ω是等差数列.即1Ω成等差数列. ………………13分所以i。

北京市第十三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

北京市第十三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．定义运算，例如．若已知，则=（）A ．B ．C ．D ．2．已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．23．设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围（）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 4．经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -= 5．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（） A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈6．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（）个A.个B.个C.个D.个 7．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（） A ．1B ．2C ．3D ．48．设集合,,则( )A BCD9．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 10．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，则a =（）A ． 1±B ． ±C ．D ．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱台D ．三棱柱 12．sin 3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（） A ．sin1.5sin 3cos8.5<< B ．cos8.5sin 3sin1.5<< C.sin1.5cos8.5sin 3<<D ．cos8.5sin1.5sin 3<<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC②tanA+tanB+tanC 的最小值为3③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当tanB ﹣1=时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．14．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是． 15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。

北京市西城区13中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

北京市西城区13中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．设集合{}04A x x =≤≤，集合{}1,2,3,4B =--，则A B =（）． A ．{}1,2B ．{}2,4C ．{}1,3--D ．{}1,2,3,4-- 2．下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（）．A．y =B ．2x y x=C ．log ax y a =（0a >且1a ≠）D ．log x a y a =（0a >且1a ≠）3．给出四个函数①222y x x =--；②2log (1)y x =+；③112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭；④13y x =，那么在区间(0,)∞+上单调递增的个数是（）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（）． A ．3- B ．1- C ．1D ．3 5．函数3()log 3f x x x =-+的零点一定在区间（）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．若0.32a =，2(0.3)b =，3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）．A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．甲、乙、丙、三家超市为了促销一种定价为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客需要购买这种商品最划算应到的超市是（）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙或丙 8．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）．A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数9．二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可能是（）．A ．BCx10．已知函数1g ,010,()16,10.2x x f x x x ⎧<⎪=⎨->⎪⎩≤+若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）．A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．函数2()log (21)f x x +的定义域是__________．12．计算021.10.51g2521g2=-++__________．13．已知函数2()f x x =，()g x 为一次函数，且是增函数，若[]2()42025f g x x x =-+，()g x =__________．14．如果集合{}2210A x ax x ==++中只有一个元素，那么a 的值是___________．15．已知()y f x =是定义在{}2,1,0,1,2--上的奇函数，且(1)2f -=，(2)0f =，则(0)f =__________，()f x 的值域是__________．16．已知函数()x f x a =（01a <<的反函数是()y g x =-），对于函数()y g x =，当[]2,8x ∈时，最大值与最小值的差是2，求则a 的值为___________．17．已知当0x ≥时，函数2y x =与函数2x y =的图象如图所示，则当0x ≤时，不等式221x x ⋅≥的解集是__________．x18．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与存储温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x ⎧=⎨>⎩≤+．且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时．②当[]6,6x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少． ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内． ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论序号是__________．三、解答题（共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本小题8分）设全集U =R ，集合{}230A x x x =-<，{}242B x x x =--≥．（Ⅰ）求A B 和()U AB ð．（Ⅱ）若集合{}20C x x a =>+，满足B C B =，求实数a 的取值范围．20．（本小题8分）函数2()1ax bf x x =++是定义在(,)-∞∞+上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求实数a ，b ，并确定函数()f x 的解析式．（Ⅱ）用定义证明()f x 在(0,1)上增函数．21．（本小题8分）已知函数[]22log ,1,4()(5)1,(4,7]x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩+．（1）给定的直角坐标系内画出()f x 的图象．（2）写出()f x 的单调递增区间（不需要证明）及最小值（不需要证明）．（3）设()()g x f x a =-+1，若()g x 有3个零点，求a 得取值范围．22．（本小题12分）设a ∈R ，已知函数2()2(1)1f x x a x =---+．（1）若函数()f x 的图象恒在x 轴下方，求a 的取值范围．（2）若当[]1,3x ∈时，()f x 为单调函数，求a 的取值范围．（3）求函数()f x 在[]1,2-上的最大()g a ．23．（本小题10分）已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当a ，[]2,2b ∈-，且0a b ≠+时，有()()0f a f b a b>++．（1）比较(1)f 与(0)f 的大小．（2）若m n >，试比较()f m 与()f n 的大小．（3）若(2)1f =，2()21f x t bt -≤+，对所有[]2,2x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．北京市西城区13中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．设集合{}04A x x =≤≤，集合{}1,2,3,4B =--，则A B =（）．A ．{}1,2B ．{}2,4C ．{}1,3--D ．{}1,2,3,4--【答案】B【解析】集合{}04A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =--，∴{}2,4A B =．故选B ．2．下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（）．A ．y =B ．2x y x=C ．log ax y a =（0a >且1a ≠）D ．log x a y a =（0a >且1a ≠）【答案】D【解析】A 选项，||y x =，与y x =对应关系不同，故图象不同，A 错； B 选项，2x y x=定义域为{}0x x ≠，与y x =定义域不同，B 错；C 选项，log ax y a =定义域为{}0x x >，与y x =定义域不同，故C 错；D 选项，log xa y a =与y x =定义域相同，对应关系也相同，所以两函数图象相同，故D 正确．综上，故选D ．3．给出四个函数①222y x x =--；②2log (1)y x =+；③112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭；④13y x =，那么在区间(0,)∞+上单调递增的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①222y x x =--，在(,1)-∞上单调递减，在(1+∞）上单调递增，故①错； ②2log (1)y x =+在(1,)-+∞上单调递增，故②正确； ③112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故③错误；④12y x =在(0,)+∞上单调递增，故④正确．故选B ．4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（）．A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】A【解析】∵0x ≤时，2()2f x x x =-，∴(1)213f -=+=． ∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)3f f =--=-．故选A ．5．函数3()log 3f x x x =-+的零点一定在区间（）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】∵33(2)log 223log 210f =+-=-<，3(3)log 33310f =+-=>． ∴函数()f x 的零点一定在区间(2,3)上，故选C ．6．若0.32a =，2(0.3)b =，3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）．A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】∵0.30221a =>=，20(0.3)1b <=<，33log 0.2log 10c =<=， ∴c b a <<．故选C ．7．甲、乙、丙、三家超市为了促销一种定价为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客需要购买这种商品最划算应到的超市是（）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙或丙【答案】B【解析】降价后三家超市的售价：甲：2(120%)0.64m m -=，乙：(140%)0.6m m -=，丙：(130%)(110%)0.63m m --= ． ∵0.60.630.64m m m <<，∴此时顾客将要购买这种商品最划算应到的超市是乙．故选B ．8．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）． A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数【答案】C【解析】由奇函数的定义可知()()f x f x =--，()()g x g x =-．A 项，设()()()h x f x g x =，则()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=--=-=-， ∴()()f x g x 是奇函数，故A 错误；B 项，设()|()|()h x f x g x =，则()|()|()()()()h x f x g x f x g x h x -=--==，∴|()|()f x g x 是偶函数，故B 项错误；C 项，设()()|()|h x f x g x =，则()()|()|()|()|h x f x g x f xg x -=--=-()()()f x g x h x =-=-，∴()|()|f x g x 是奇函数，故C 项正确；D 项，设()|()()|h x f x g x =，则()|()()|()()()h x f x g x f x g x h x -=--==，∴|()()|f x g x 是偶函数，故D 项错误．综上所述，故选C ．9．二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可能是（）．A ．B．C．D．x【答案】A【解析】二次函数对称轴为2bx a=-，故排除B ，D ，又∵指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭过(0,1)，排除C ．综上，故选A ．10．已知函数1g ,010,()16,10.2x x f x x x ⎧<⎪=⎨->⎪⎩≤+若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）．A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【答案】C【解析】由分段函数可得函数的图象如下:则有lg lg a b -=，即lg 0ab =，1ab =，故abc c =，又因为当直线与函数存在三个交点时，106lg102c <-+<，解得：1012c <<，所以abc 的取值范围是(10,12)．故选C ．第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．函数2()log (21)f x x +的定义域是__________．【答案】1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，则x 需满足： 2230210x x x ⎧--+>⎨+>⎩，解得112x -<<．故函数()f x 的定义域是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．12．计算021.10.51g2521g2=-++__________．【答案】3【解析】021.10.5lg 252lg 2144lg100123-++=+-+=+=．13．已知函数2()f x x =，()g x 为一次函数，且是增函数，若[]2()42025f g x x x =-+，()g x =__________．【答案】25x -【解析】设()g x kx b =+，0k >，则：[]22222()()()242025f g x f kx b kx b k x kbx b x x =+=+=++=-+．∴24220k kb ⎧=⎨=-⎩，解得25k b =⎧⎨=-⎩．故()25g x x =-．14．如果集合{}2210A x ax x ==++中只有一个元素，那么a 的值是___________．【答案】0或1【解析】若集合{}2210A x ax x =++=中只有1个元素，则方程2210ax x ++=只有一个接=解．当0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，440a ∆=-=，1a =．综上，0a =或1．15．已知()y f x =是定义在{}2,1,0,1,2--上的奇函数，且(1)2f -=，(2)0f =，则(0)f =__________，()f x 的值域是__________．【答案】0，{}0,2,2-【解析】∵()y f x =是定义在{}2,1,0,1,2--上的奇函数． ∴(0)0f =，(1)(1)2f f =--=-，(2)(2)0f f -=-=．故()f x 的值域是{}0,2,2-．16．已知函数()x f x a =（01a <<的反函数是()y g x =-），对于函数()y g x =，当[]2,8x ∈时，最大值与最小值的差是2，求则a 的值为___________．【答案】12【解析】()x f x a =的反函数为log a y x =，∴()log a g x x =-． ∵01a <<，∴()g x 在[]2,8上单调递增．∴max min 1()(8)(2)log 8(log 2)log 8log 2log 24a a a a a g x g g g -=-=---=-+==．∴12a =．17．已知当0x ≥时，函数2y x =与函数2x y =的图象如图所示，则当0x ≤时，不等式221x x ⋅≥的解集是__________．x【答案】[]4,2--【解析】根据当0x ≥时，函数2y x =与函数2x y =的图象如图，可得当2x =或4x =时，22x x =，且在[]2,4x ∈上，22x x ≥．当0x ≤时，令x t =-，由0x ≤得0t ≥．∴不等式221x x ⋅≥，即221t t -⋅≥，即22t t ≥．由所给图象得24t ≤≤，即24x ---≤≤．故0x ≤时，不等式221x x ⋅≥的解集是[]4,2--．18．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与存储温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x ⎧=⎨>⎩≤+．且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．温度℃()已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时．②当[]6,6x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少． ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内． ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论序号是__________．【答案】①④【解析】∵食品的保鲜时间t 与储藏温度x 满足函数关系式64,0:2,0kx b x t x +⎧⎨<⎩≤，且该食品在4℃时保鲜时间是16小时．∴46216k +=，即464k +=，解得12k =-．∴16264,02,0x x t x -+⎧⎪=⎨⎪>⎩≤．①当6x =时，8t =，所以该食品在6℃的保鲜时间是8小时，故①正确；②当[6,0)x ∈-时，时间t 不变，故②错误；③由3图象可知，当到此日12小时，温度超过12度，此时的保鲜时间不超过1小时，所以到了此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误； ④由③知，④正确．综上，正确结论的序号是①④．三、解答题（共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本小题8分）设全集U =R ，集合{}230A x x x =-<，{}242B x x x =--≥．（Ⅰ）求A B 和()U A B ð．（Ⅱ）若集合{}20C x x a =>+，满足B C B =，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】（1）集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}{}2422B x x x x x =--=≥≥， ∴{}0A B x x =>，{}23A B x x =<≤，(){2C A B x x =<或3}x ≥．（2）∵B C B =,∴C B ⊆．∵{}2B x x =≥，{}202a C x x a x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩⎭， ∴22a -≥，4a -≤，故实数a 的取值范围是(,4]-∞-．20．（本小题8分）函数2()1ax b f x x =++是定义在(,)-∞∞+上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求实数a ，b ，并确定函数()f x 的解析式．（Ⅱ）用定义证明()f x 在(0,1)上增函数．【答案】【解析】（1）∵函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，∴(0)01b f ==，0b =．又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴122554a =，解得1a =，故1a =，0b =，2()1x f x x =+．（2）证明，任取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，则：221221121212222222121212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ++---=-==++++++． ∵12x x <，12(0,1)x x ∈∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，故()f x 在(0,1)上是增函数．21．（本小题8分）已知函数[]22log ,1,4()(5)1,(4,7]x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩+．（1）给定的直角坐标系内画出()f x 的图象．（2）写出()f x 的单调递增区间（不需要证明）及最小值（不需要证明）．（3）设()()g x f x a =-+1，若()g x 有3个零点，求a 得取值范围．【答案】【解析】（1）（2）()f x 的单调增区间是(1,4)和(5,7)，()=(1)0f x f =最小值．【注意有文字】（3）()()1g x f x a =-+，有3个零点，即()1f x a =-有三个根．∴112a <-<，解得23a <<．故a 的取值范围是(2,3)．22．（本小题12分）设a ∈R ，已知函数2()2(1)1f x x a x =---+．（1）若函数()f x 的图象恒在x 轴下方，求a 的取值范围．（2）若当[]1,3x ∈时，()f x 为单调函数，求a 的取值范围．（3）求函数()f x 在[]1,2-上的最大()g a ．【答案】【解析】（1）若函数()f x 的图象恒在x 轴下方，则0∆<，即24(1)40a --<，解得：02a <<，故a 的取值范围是(0,2)．（2）若[]1,3x ∈时，()f x 为单调函数，则：11a -≤或13a -≥，∴2a ≤或4a ≥ ．故a 的取值范围是(,2][4,)-∞+∞．（3）函数2()2(1)1f x x a x =-+--的对称轴为1x a =-，当11a --≤即0a ≤时，()f x 在[]1,2-上是减函数，∴max ()(1)2f x f a =-=-；当112a <-<时，即03a <<时，()f x 在(1,1)a --上是增函数，在(1,2)a -上是减函数， ∴max ()(1)2f x f a a a 2=-=-；当12a -≥即3a ≥时，()f x 在[]1,2-上是增函数，∴max ()(2)49f x f a ==-．综上所述，22,0()2,0349,3a a g a a a a a a -⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩≤≥．23．（本小题10分）已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当a ，[]2,2b ∈-，且0a b ≠+时，有()()0f a f b a b>++．（1）比较(1)f 与(0)f 的大小．（2）若m n >，试比较()f m 与()f n 的大小．（3）若(2)1f =，2()21f x t bt -≤+，对所有[]2,2x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）∵()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，∴(0)0f =． ∵()()0f a f b a b+>+，令1a =，0b =，则： (1)(0)010f f +>+，即(1)0f >． ∴(1)(0)f f >．（2）设1x ，[]22,2x ∈-，且12x x <，在()()0f a f b a b+>+中，令1a x =，2b x =-，则有： 1212()()0f x f x x x +->-． ∵12x x <，∴120x x -<．又∵()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，∴22()()f x f x -=-， ∴1212()()0f x f x x x ->-． ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．故()f x 在[]2,2-上为增函数．∵m n >，∴()()f m f n >．（3）∵(2)1f =，且()f x 在[]2,2-上为增函数，∴对所有的[]2,2x ∈-，[]1,1b ∈-总有2()21f x t bt -+≤恒成立．则应有2121t bt -+≤恒成立，即：220t bt -≥对任意[1,1]b ∈-恒成立，记2()2g b tb t =-+，若对[]1,1b ∈-恒成立，则()0g b ≥恒成立．则只需()g b 在[]1,1-上的最小值不小于0即可．①当0t =时，()0g b =，满足题意；②当0t =时，2()2g b tb t =+是减函数，故在[]1,1-上，()g b 在1b =处取得最小值． ∴2(1)20g t t =-+≥，解得2t ≥或0t ≤（舍）；③当0t <时，2()2g b tb t =-+是增函数，故在[]1,1-上，()g b 在1b =-处取得最小值．∴2(1)20g t t -=+≥，解得：2t -≤或0t ≥（舍）．综上所述，t 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞．。

北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1,2}C. {0,2}D. {−2,−1,0，1，2}2.在复平面内，复数z=2i1+i所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则c等于()A. B. C. D.4.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A. a2<abB. 1a >1bC. |a|<|b|D. (12)a<(12)b5.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. (−∞,−3]∪[1,+∞)D. [−3,1]6.设a⃗，b⃗ 是两个向量，则“|a⃗+b⃗ |>|a⃗−b⃗ |”是“a⃗⋅b⃗ >0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. B. 18π C. 6π D. 3√3π8.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D，使得f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，那么称函数f(x)为对称函数．已知函数f(x)=√2−x−k是对称函数，则实数k的取值范围是()A. [2,94)B. (−∞,94)C. (2,94)D. (−∞,94]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于______.(用数字作答)10. 已知向量a ⃗ =(4,2)，向量b ⃗ =(x,3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则|b ⃗ |=_____．11. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，同时a 9，a 1，a 5成等比数列，且a 1+3a 5+a 9=20，则a 13=______ ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是______，侧面积为______．13. 双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为____________．14. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=5.06x −0.15x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知函数f(x)=(2cos 2x −1)sin2x +12cos4x ．(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当α∈(π2,π)时，若f(α)=√22，求α的值．16.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次):老年人中年人青年人满意度乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率，求X的分布列和数学期望;(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机⋅并说明理由．17.在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．(1)若AE=2，求证：AC//平面BDE；(2)若二面角A−DE−B为60°，求AE的长；(3)在(2)的条件下，求直线CD与平面BDE所成角．18.设椭圆C：x2+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．2(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．19.已知函数．(Ⅰ)当a=2时，求曲线在y=f(x)点(1,f(1))处的切线方程：(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，求a的取值范围；(Ⅲ)求f(x)在[1,e]上的最小值．20.集合A={x|−1<x<3,x∈Z}的子集有多少个？并写出所有的子集．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交集运算，由交集的定义求解即可．解：因为A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，所以A∩B={0,2}．故选C．2.答案：A解析：解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数z所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：本题考查正弦定理的运用，属于基础题．先利用三角形内角和定理求出A，再利用正弦定理求解即可．解：在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则A=180°−75°−45°=60°，故由正弦定理可得asinA =csinC,c=asinCsinA=10×√22√32=10√63．故选D．4.答案：D解析：解：∵a >b >0， ∴(12)a <(12)b ．故选：D ．利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题，利用直线与圆相交或相切的条件求解．解：∵直线x −y +1=0与圆(x −a)2+y 2=2有公共点 ∴圆心到直线x −y +1=0的距离为√2≤√2 ∴|a +1|≤2 ∴−3≤a ≤1故选D ．6.答案：C解析：解：若|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |，则等价为|a ⃗ +b ⃗ |2>|a ⃗ −b ⃗ |2，即|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ >|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ，即4a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0成立，反之，也成立，即“|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |”是“a ⃗ ⋅b ⃗ >0”的充要条件，故选：C ．根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不向量数量积的应用是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3，所以ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果．解：设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3， ∴ℎ=√62−32=3√3，∴V 圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π．故选A ．8.答案：A解析：本题主要考查了函数的值域，单调性，f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b，即a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根．利用换元法，结合范围得出结论．解：函数f(x)=√2−x −k 在(−∞,2]上是减函数，故满足条件①．又f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，∴{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b,∴a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根．令t =√2−x ，则x =2−t 2，t ≥0，∴关于t 的方程t 2−t +k −2=0在[0,+∞)上有两个不同的实数根， ∴{1−4(k −2)>0k −2≥0，解得2≤k <94，即实数k 的取值范围是[2,94). 故选A ．9.答案：40解析：解：由于(1+2x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)r，令r=2求得x2的系数等于C52×22=40，故答案为40．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10.答案：3√5解析：本题主要考查了平面向量共线的充要条件，平面向量的坐标运算，向量的模，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．由向量的坐标，结合平行向量的条件，得到x 的值，从而得到向量的模长．解：向量a⃗=(4,2)，向量b⃗ =(x,3)，且a⃗//b⃗ ，则4×3−2x=0，解得x=6，所以b⃗ =(6,3)，所以|b⃗ |=√62+32=3√5，故答案为3√5．11.答案：28解析：本题考查等差数列的通项公式的运用、等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解：设{a n}的公差为d(d≠0)，由a9，a1，a5成等比数列，可得a12=a9a5，即a12=(a1+8d)(a1+4d)，化为3a1+8d=0①，由a1+3a5+a9=20，可得5a5=20，即有a1+4d=4②，由①②可得a1=−8，d=3，a n=a1+(n−1)d=−8+3(n−1)=3n−11，n∈N∗，a13=3×13−11=28．故答案为28．12.答案：12；27解析：解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP=12AD⋅AP=6，S△ABP=12AB⋅AP=6，S△CDP=12CD⋅PD=152，S△CBP=12BC⋅BP=152．∴四棱锥的侧面积S=6+6+152+152=27.四棱锥的体积V=13S正方形ABCD⋅PA=13×32×4=12．故答案为12，27．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算体积和四个侧面的面积．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积和体积计算，属于中档题．13.答案：y=±√2x解析：本题考查双曲线的渐近线方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．依据题意，求出a、c、b的值，再根据双曲线的焦点在x轴上，求出双曲线的渐近线方程．解：由2a=4，ca=√3，得a=2，c=2√3，b=2√2，所以渐近线方程为y=±√2x.故答案为y=±√2x.14.答案：45.6解析：先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售(15−x)辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．本题考查函数模型的构建，考查利用配方法求函数的最值，解题的关键是正确构建函数解析式．解：依题意，可设甲销售x(x≥0)辆，则乙销售(15−x)辆，∴总利润S=5.06x−0.15x2+2(15−x)=−0.15x2+3.06x+30=−0.15(x−10.2)2+45.606，根据二次函数图象和x∈N∗，可知当x=10时，获得最大利润S=−0.15×102+3.06×10+30=45.6万元．故答案为45.615.答案：解：(1)因为f(x)=(2cos2x−1)sin2x+12cos4x=1sin4x+1cos4x=√22sin(4x+π4)∴T=2π4=π2，函数的最大值为：√22．(2)∵f(x)=√22sin(4x+π4)，f(α)=√22，所以sin(4α+π4)=1，∴4α+π4=π2+2kπ，k∈Z，∴α=π16+kπ2，又∵α∈(π2, π)，∴α=916π．解析：本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．(1)利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f(x)的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；(2)通过α∈(π2, π)，且f(α)=√22，求出α的正弦值，然后求出角即可．16.答案：解：(1)设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)=19+39100=2950．(2)由题意，X 的所有可能取值为：0,1,2.因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是1575=15，所以P(X =0)=C 2×(1−15)2=1625， P(X =1)=C 21×15×(1−15)=825，P(X =2)=C 22×(15)2=125，所以随机变量X 的分布列为：故E(X)=0×1625+1×825+2×125=25． (3)答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：52×10+12×5+11×052+12+11=11615乘坐飞机的人满意度均值为：4×10+14×5+7×04+14+7=225因为11615>225，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．解析：本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．(1)根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；(2)依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是1575=15，所以X ～B(2,15)即可求出X 的分布列和数学期望；(3)可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．17.答案：(1)证明：取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，连接OM ，OD ，DN ，MN ，∵O ，M ，N 分别是BC ，AB ，BE 的中点， ∴OM//AC ，MN//AE ，MN =12AE =1， ∵BD =CD ，O 是BC 的中点，∴OD ⊥BC ， ∵平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD ∩平面ABC =BC ， ∴OD ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ， ∴OD//AE ，∵△BCD 是等腰直角三角形，BC =2，∴OD =1， ∴OD//MN ，OD =MN ，∴四边形OMND 是平行四边形，∴DN//OM ， ∴DN//AC ，又DN ⊂平面BDE ，AC ⊄平面BDE ， ∴AC//平面BDE ．(2)解：∵△ABC 是等边三角形，∴OA ⊥BC ，以O 为原点，以OB ，OA ，OD 为坐标轴建立空间坐标系O −xyz ，如图，则O(0,0，0)，D(0,0，1)，B(1,0，0)，设AE =m(m >0)，则E(0,√3,m)， ∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,m −1)，设平面BDE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0√3y +(m −1)z =0，令x =1可得m⃗⃗⃗ =(1,√3,1)，又平面ADE 的一个法向量为n ⃗ =(1,0，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√(1−m)23+2，令√(1−m)23+2=cos60°=12，解得m =1+√6． ∴AE =1+√6．(3)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，m⃗⃗⃗ =(1,−√2,1)， ∴cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√2×2=√22， ∴直线CD 与平面BDE 所成角的正弦值为√22，故直线CD 与平面BDE 所成角为45°．解析：(1)取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，证明四边形OMND 是平行四边形得出DN//OM ，又OM//AC 即可得出DN//AC ，于是AC//平面BDE ；(2)以O 为原点建立空间坐标系，设AE =m ，求出两平面的法向量，令法向量夹角余弦值的绝对值等于12计算m 的值即可；(3)计算CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BDE 的法向量的夹角余弦值得出所求的线面角．本题考查线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．18.答案：解：(1)c =√2−1=1，∴F(1,0)， ∵l 与x 轴垂直， ∴直线l 的方程为x =1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22, ∴A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2；(2)当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA =∠OMB ，当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k(x −1)，k ≠0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1<√2，x 2<√2，则k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2，由y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k ，得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1 +x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)，将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1，可得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则Δ>0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k=12k 2+1(4k 3−4k −12k 3+8k 3+4k)=0，从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA =∠OMB ，综上，∠OMA =∠OMB ．解析：本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题． (1)先得到F 的坐标，再求出点A 的坐标，即可得解；(2)分三种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．19.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，，f (1)=12，f′(x )=2x −12x 2，∴f′(1)=32，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −12=32(x −1)，即3x −2y −2=0． (Ⅱ)f′(x )=2ax−12x 2，∵f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数， ∴f′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，∴只需{2a −1≥04a −1≥0，解得a ≥12，所以，当a ≥12时，f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数． (Ⅲ)f′(x )=2ax−12x 2，①当a ≤0时，f′(x )<0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e．②当0<a ≤12e 时，12a ≥e ，f′(x )≤0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e ．③当12e <a <12时，1<12a <e ，令f′(x )<0，解得1<x <12a ，令f′(x )>0，解得12a <x <e ，∴f(x)在区间(1,12a )上单调递减函数，在区间(12a ,e)上单调递增函数，．④当a≥1时，f′(x)≥0在x∈[1,e]上恒成立，2∴f(x)在区间[1,e]上是单调递增函数，∴f(x)min=f(1)=1．2综上，．解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性最值，属于较难题．(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，即可求得切线方程;(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，则fˈ(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，解得a≥1；2(Ⅲ)对a进行分类讨论求出函数的单调区间，即可求出最值．20.答案：8；ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{1,2,3}．解析：A={0,1,2}，所以真子集共23=8个，分别是ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}．。

北京市西城区2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析

北京市西城区2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v ，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD 【答案】C【解析】【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r 表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u r Q ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.2．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解【详解】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】 {}n a Q 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>Q ，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠Q ，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．4．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（）A ．18-B ．18C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论.【详解】由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，所以，()()()3341f f f =-=-，又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()22f x x =，所以，()()()3112f f f =-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.5．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（） A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】【分析】根据题意可将1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x f x x=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．6．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 7．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（）A ．3πB ．3πC ．3πD ．243π 【答案】D 【解析】【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，34333HD BC ==，133R OH OA ==，由勾股定理：2224333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为246π，由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则126233R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==，所以三棱锥O EFG -体积为211362434433⨯⨯⨯⨯=，所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（） A ．32 B ．12 C ．78 D ．98【答案】C【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-，因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 9．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A【解析】【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =，方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰，矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.10．已知()3,0A -，()3,0B ，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r ，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥【答案】A【解析】【分析】由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===， ∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v ，则该双曲线的离心率为（） A 32 B ．23 C 30 D 5【答案】B【解析】【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴k l 222ab a b =-， ∴直线l 的方程为y 222ab a b=-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abc a b=+， ∵2AF FB =u u u r u u u r ， ∴222abc a b =+2•2223abc a b -， ∴a 3=b ，∴c ＝2b ，∴e 23c a ==．故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．12．函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项；当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项；当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>，即()()1?3f f ＞，可排除C 选项，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届北京市西城区高三上学期期末考试数学试题(解析版)

3.在中,若 ,则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角 ,再根据正弦定理即可求出边．
【详解】因为 ,所以根据正弦定理知, ,即 ,解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边,利用正弦定理解三角形,属于基础题．
4.设 ,且则下列不等式中一定成立的是（）
10.已知向量满足 ,其中 ,那么 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出 ,再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为 ,所以 ,解得．
因此．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用,属于基础题．
11.在公差为的等差数列中, ,且成等比数列,则 ______________
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知, ,即得 ,故可知是方程的两个不同非负实根,由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知, ,即可得到 ,即可知是方程的两个不同非负实根,所以 ,解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用,意在考查学生的转化能力,属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在的展开式中, 的系数为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项,赋值即可求出．
【详解】展开式通项为 ,令 ,所以的系数为．

2020北京十三中高三(上)期中数学含答案

2020北京十三中高三（上）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1．（4分）若集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣2x＝0}，则A∪B＝（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x+1 B．y＝|x﹣1| C．y＝sin x D．3．（4分）已知α∈（0，π），且cosα＝﹣，则tanα等于（）A．B．C．D．4．（4分）曲线y＝在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x+4y﹣5＝0 D．x﹣4y﹣5＝05．（4分）已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1 B．C．D．16．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝cos2xC．y＝sin（2x+）D．y＝sin（2x﹣）7．（4分）若α为任意角，则满足的一个k值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．（4分）设{a n}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为S n，则“∀n∈N*，S n+1＞S n”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（4分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）10．（4分）已知函数若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）11．（5分）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是．12．（5分）tan2010°＝．13．（5分）若x＞1，则函数f（x）＝x+的最小值为，此时x＝．14．（5分）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．15．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．16．（5分）定义在区间[a，b]上的连续函数y＝f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）＝f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）＝3x+2；②f（x）＝x2﹣x+1；③f（x）＝ln（x+1）；④f（x）＝（x﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分.）17．（13分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2+a4＝10，b2b4＝a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．18．（13分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．19．（13分）某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．20．（14分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．21．（14分）已知函数f（x）＝e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，曲线y＝x2恒在曲线y＝e x的下方；（3）讨论函数g（x）＝x2﹣ae x（a∈R）零点的个数．参考公式：a log aN＝N（a＞0，a≠1，N＞0）22．（13分）设数列A：a1，a2，…，a N（N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a k＜a n，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；（Ⅱ）证明：若数列A中存在a n使得a n＞a1，则G（A）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A满足a n﹣a n﹣1≤1（n＝2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于a N﹣a1．2020北京十三中高三（上）期中数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1．【答案】C【分析】求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，B＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，∴A∪B＝{0，1，2}．故选：C．2．【答案】D【分析】关键常见函数的单调性分别判断即可．【解答】解：对于A，函数在R递减，不合题意；对于B，函数在（0，1）递减，不合题意；对于C，函数在R无单调性，不合题意；对于D，函数在（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．3．【答案】A【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系式即可求值．【解答】解：∵α∈（0，π），且，∴tanα＝﹣＝﹣＝．故选：A．4．【答案】B【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：y＝的导数为y′＝＝﹣，可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，则所求切线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即为x+y﹣2＝0．故选：B．5．【答案】A【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．【解答】解：a，3，b，9，c成等比数列，则bc＝81，b2＝27，∴＝＝，∴log3b﹣log3c＝log3＝﹣1，故选：A．6．【答案】D【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：由图象知A＝1，T＝﹣＝，T＝π⇒ω＝2，由sin（2×+φ）＝1，|φ|＜得+φ＝⇒φ＝⇒f（x）＝sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），故选：D．7．【答案】D【分析】根据函数值相等，可得后面为2π的整数倍，即可求解结论．【解答】解：因为；∴k•＝2nπ，n∈Z；∴k＝8n；n∈Z；故选：D．8．【答案】A【分析】根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且公差d不为零，其前n项和为S n，∴由S n+1＞S n⇔（n+1）a1+d＞na1+d⇔dn+a1＞0⇔d＞0且d+a1＞0．而数列{a n}为递增数列的充要条件d＞0，则“d＞0”推不出“d＞0且d+a1＞0“．“d＞0且d+a1＞0．“⇒“d＞0“即“S n+1＞S n”⇒“{a n}为递增数列”；“{a n}为递增数列”推不出“S n+1＞S n”；S n+1＞S n”是“{a n}为递增数列”的充分不必要条件，故选：A．9．【答案】B【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．10．【答案】A【分析】由题意，存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，可知y＝e x﹣1与函数y＝﹣kx（k＜0）有交点．即可求解实数k的取值范围．【解答】解：由题意，存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，可得k＜0．转化为函数y＝e x﹣1与函数y＝﹣kx有交点．设函数y＝e x﹣1与函数y＝﹣kx有交点（x′，e x′﹣1）．其导函数y′＝e x，即切线的斜率﹣k＝e x′可得e x′﹣1＝x′•e x′，可得x′＝0，∵e x′＞﹣k∴1＞﹣k即k＜﹣1．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）11．【答案】见试题解答内容【分析】先从茎叶图中分析出甲、乙两人的成绩数据，再根据中位数和平均数的求法进行运算即得．【解答】解：由图可知，甲，乙两人共有5次测试成绩，分别是：甲：76、83、84、87、90乙：79、80、82、88、91则甲、乙两人5次体育测试成绩的中位数分别为84、82，平均数分别为＝＝84，＝＝84故乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 2．故答案为：84，2．12．【答案】见试题解答内容【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：tan2010°＝tan（11×180°+30°）＝tan30°＝．故答案为：．13．【答案】见试题解答内容【分析】可令t＝x﹣1＞0，将问题转化为研究函数y＝t+（t＞0）时的最小值问题，利用导数研究其单调性即可．【解答】解：令t＝x﹣1＞0，∵，则原函数化为：y＝，（t＞0），∵，易知t∈（0，1）时，y′＜0，函数递减；t∈（1，+∞）时，y′＞0，函数递增．所以t＝1时，y min＝3，此时x﹣1＝1，故x＝2．故答案为：3，2．14．【答案】见试题解答内容【分析】由题意得出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此能求结果．【解答】解：某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为a5＝1×24＝16，＝127，解得n＝7，∴第7+15﹣1＝21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，21．【点评】本题考查出院人数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．15．【答案】见试题解答内容【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．16．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；对于③，f（x）＝ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.）17．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1＝1，a2+a4＝10，可得：1+d+1+3d＝10，解得d＝2，所以{a n}的通项公式：a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5＝a1+4d＝9，等比数列{b n}满足b1＝1，b2b4＝9．可得b3＝3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2＝3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．b1+b3+b5+…+b2n﹣1＝＝．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．18．【答案】（Ⅰ）f（）＝1；（II）f（x）的最小正周期为π；（III）f（x）的最小值为．【分析】（Ⅰ）化f（x）为正弦型函数，再计算f（）的值；{ 或直接求f（）的值 }（II）直接计算f（x）的最小正周期；（III）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝；所以f（）＝sin（+）＝×＝1；{ 或直接求}（II）所以f（x）的最小正周期为；（III）由，得，所以；当2x+＝﹣，即x＝﹣时，f（x）取得最小值为．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）利用互斥事件的概率公式，可求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求X的分布列及其数学期望E （X）．【解答】解：（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为A i，B车在星期i出车的事件为B i，i＝1，2，3，4，5，则由已知可得P（A i）＝0.6，P（B i）＝0.5．设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C，则P（C）＝P（）＝+＝0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.6）×0.5＝0.5，∴该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝0.4×0.5×0.4＝0.08，P（X＝1）＝＝0.5×0.4+0.4×0.5×0.6＝0.32，P（X＝2）＝＝0.6×0.5×0.4+0.5×0.6＝0.42，P（X＝3）＝P（A1B1）P（A2）＝0.6×0.5×0.6＝0.18，∴X的分布列为X0123P0.080.320.420.18EX＝1×0.32+2×0.42+3×0.18＝1.7．【点评】求随机变量的分布列与期望的关键是确定变量的取值，求出随机变量取每一个值的概率值．20．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由三角函数定义，得x1＝cosα＝，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得y1＝sinα，，分别求得S1和S2的解析式，再由S1＝2S2求得cos2α＝0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1＝cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1＝sinα，．所以，．依题意S1＝2S2得，即sin2α＝﹣2[sin2αcos+cos2αsin]＝sin2α﹣cos2α，整理得cos2α＝0．因为，所以，所以，即．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．21．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用导数等于0，求出函数的极值；（2）构造函数g（x）＝e x﹣x2，求出导数，利用（1）的结论得到导函数的符号，判断g（x）的单调性，从而得出结论；（3）a＝0时，显然求出，a≠0时，问题转化为y＝e x和y＝x2的交点个数，通过讨论a的范围结合（2），求出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝e x﹣2x（x∈R），∴f′（x）＝e x﹣2；令f′（x）＝0，即e x﹣2＝0，解得x＝ln2，∴函数f（x）的极值是f（ln2）＝e ln2﹣2ln2＝2﹣2ln2；（2）证明：设函数h（x）＝e x﹣x2，∴h′（x）＝e x﹣2x；由（1）知f（x）＝e x﹣2x在x＝ln2取得极小值，∴h′（x）≥f（ln2）＝e ln2﹣ln2＝2﹣ln2＞0，∴h（x）是R上的增函数，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）＝1＞0，∴e x＞x2，即x2＜e x；∴当x＞0时，曲线y＝x2恒在曲线y＝e x的下方；（3）a＝0时，g（x）＝x2，函数g（x）有1个零点，a≠0时，论函数g（x）＝x2﹣ae x（a∈R）零点的个数，即讨论y＝e x和y＝x2的交点个数，①a＜0时，y＝x2开口向下，和y＝e x无交点，即函数g（x）无零点；②a＞0时，y＝x2开口向上，x＜0时与y＝e x1个交点，下面讨论x＞0的情况，由（2）得：≤1即a≥1时，x2＜e x；故0＜a＜1时，y＝e x和y＝x2有3个交点，g（x）有3个零点，a≥1时，y＝e x和y＝x2有1个交点，g（x）有1个零点，综上：a＜0时，函数g（x）无零点；a＝0时，函数g（x）有1个零点，0＜a＜1时，g（x）有3个零点，a≥1时，g（x）有1个零点．【点评】本题考查了导数的应用问题，也考查运算求解能力以及逻辑推理能力，考查了函数与方程思想的应用问题，是难题目．22．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）结合“G时刻”的定义进行分析；（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a1＝﹣2，a2＝2，a3＝﹣1，a4＝1，a5＝3，a1＜a2满足条件，2满足条件，a2＞a3不满足条件，3不满足条件，a2＞a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）＝{2，5}．（Ⅱ）因为存在a n＞a1，设数列A中第一个大于a1的项为a k，则a k＞a1≥a i，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i1＜i2＜…＜i k，对于第一个“G时刻”i1，有＞a1≥a i（i＝2，3，…，i1﹣1），则﹣a1≤﹣≤1．对于第二个“G时刻”i1，有＞≥a i（i＝2，3，…，i1﹣1），则﹣≤﹣≤1．类似的﹣≤1，…，﹣≤1．于是，k≥（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣a1）＝﹣a1．对于a N，若N∈G（A），则＝a N．若N∉G（A），则a N≤，否则由（2）知，，…，a N，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾．从而k≥﹣a1≥a N﹣a1．【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大．。

北京市第十三中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

北京市第十三中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题
一、单选题
1. 设集合 A．0
,
,则
中元素的个数为( )
B．2
C．3
D．4
2. 命题“
”的否定是（）
A．
B．
C．
D．
3. 下列四组函数,表示同一函数的是( )
A．
,
C．
,
B．
,
D．
,
4. 条件p:
是条件q:
A．充分不必要条件 C．充要条件
的( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知集合
,
,若
,则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
6. 设偶函数 A． C．
的定义域为，当
时
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是增函数，则
，
，
B．
D．
的大小关系是（）
7. 函数 A．0
的零点个数是( ) B．1
C．2
D．3
8. 已知函数 A．2
,若
,则等于( )
B．
C．
D．2或
9. 我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销
售100元国家要征附加税元(叫做税率 ),则每年销售量将减少万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则的
最小值为( )
②如果对任意
(b <0)，都有
，那么b的最大值是______．
四、解答题
21. 已知函数
(1)求集合 ;
(2)若全集

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2019~2020学年10月北京西城区北京市第十三中学高三上学期月考数学试卷
一、选择题
（共10题，每题5分，共50分）
1. 设集合 A.
，集合
B.
C.
，则 D.
（）．
2. 设命题
，
A.
，
B.
，则为（）．
，
C.
，
D.
，
3. 若
，则
（）．
A.
B.
C.
D.
4. 若
，则下列不等式不能成立的是（）．
，
，
．
1 ）求 2 ）求
的值．的值．
20. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否是相互独立的． 1 ）求乙答对这道题的概率． 2 ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．
A.
B.
C.
D.
5. 函数 A.
，则 B.
（）．
C.
D.
6. 如图，函数的图象为折线
，则不等式
的解集是（）．
A.
B.
C.
7. 函数称”的（）．
的图象记为曲线，则“
D.
”是“曲线关于直线
对
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 若定义在上的偶函数满足
，则
．
12. 在
的展开式中，含的项的系数是
．（用数字作答）
13. 不等式
的解集是
．
14. 已知，
，且满足
，则的最大值为
．
15. 设函数
为
．
．若
对任意实数都成立，则的最小值
16. 能说明“若个函数是
对任意的．
都成立，则在上是增函数”为假命题的一
17. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等人报名参加了，，三个项目的志愿者工作，因工作需
甲车乙车丙车
速度 A. 消耗升汽油，乙车最多可行驶千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油 D. 某城市机动车最高限速千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
二、填空题
（共8题，每题5分，共40分）
11. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且
21. 已知函数 1 ）求
．的最小正周期及单调递增区间．
2 ）求证：当
时，
．
22. 已知函数 1 ）若曲线 2 ）当
（与曲线时，求函数
），
．
在它们的交点，处具有公共切线，求的值；
的单调区间，并求其在区间
上的最大值．
23. 已知函数 1 ）若 2 ）若
．
，证明：当
时，
．
在
只有一个零点，求．
的解的个数是（）．
A.
B.
，且点 C.
时，
，则方程
D.
9. 将函数
图象上的点
向左平移
个单位长度得到点．若
位于函数
的图象上，则（）．
A.
，的最小
值为
B.
，的最
小值为
C.
，的最小
值为
D.
，的最
小值为
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）．燃油效率
要，每个项目仅需名志愿者工作，且甲不能参加，项目，乙不能参加，项目，共
有
种不同的志愿者分配方案．（用数字作答）
18. 已知函数
①
；②
其中能使
，对于
上的任意
；③
．
恒成立的条件序号是每题12分，共60分）
19. 如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，，是单位圆上的两点，是坐标原点，