控制系统数字仿真 四阶龙格库塔法

控制系统数字仿真
1.实验目的
1.掌握利用四阶龙格-库塔（Runge-Kutta）法进行控制系统数字仿真的方
法。

2.学习分析高阶系统动态性能的方法。

3.学习系统参数改变对系统性能的影响。

二、实验内容
已知系统结构如下图
若输入为单位阶跃函数，计算当超调量分别为5%，25%，和50%时K的取值（用主导极点方法估算），并根据确定的K值在计算机上进行数字仿真。

三、实验过程
1.计算K值
二阶系统单位阶跃响应的超调量
%100%
=⨯
1.当σ%=5%时
解得 ζ=0.690
设主导极点
=ζa + a=0.69a+j0.72a
代入D （s ）= 32
1025s s s K +++=0中， 32(0.690.72)10(0.690.72)25(0.690.72)0
a j a a j a a j a K ++++++=解得K=31.3，a=-2.10
即1,2
1.45 1.52s j =-±
2. 当σ%=25%时
解得 ζ=0.403
设主导极点
=ζa + a=0.403a+j0.915a
代入D （s ）= 321025s s s K +++=0中， 32(0.4030.915)10(0.4030.915)25(0.4030.915)0
a j a a j a a j a K ++++++=解得K=59.5，a=-2.75
即1,2
1.11
2.53s j =-±
3. 当σ%=50%时
解得 ζ=0.215
设主导极点
=ζa + a=0.215a+j0.977a
代入D （s ）= 321025s s s K +++=0中， 32(0.2150.977)10(0.2150.977)25(0.2150.977)0
a j a a j a a j a K ++++++=解得K=103，a=-3.48
即1,2
0.75 3.4s j =-±
1. 计算调节时间和超调量 将不同K 值带入到程序中，利用四阶龙格-库塔法得到如下结果：
1.
K=31.3时， Ts=0.7550S, σ%=4.70% 2.
K=59.5时， Ts=1.4100S ，σ%=23.28% 3.
K=103时， Ts=1.9700S, σ%=45.49% 1. 用MATLAB 绘制2()(5)
K G S S S =+的根轨迹图如下
2. 绘制降阶系统跃响应曲线
对原系统进行降阶处理，所得闭环传递函数为
2()()1025C S K R S S S K
=++, 利用四阶龙格-库塔法绘制阶跃响应曲线如下： -25-20-15-10
-50510-15-10
-5
5
10
15
Root Locus
Real Axis I m a g i n a r y A x i s
2.K=59.5
1.验证精确K值
通过程序验证得到的精确K值分别为：K=31.76(σ%=5%);
K=62.48(σ%=25%); K=113.82(σ%=50%)
四、实验结论
1.将系统传递函数化成时域形式，可以得到一组微分方程，利用四阶龙格-库塔法，就可以计算得到系统的响应。

当然，这是一种近似解。

2.利用主导极点法，可以将高阶系统进行降阶，用二阶系统近似来分析。

3.开环系统的参数对闭环系统动态性能造成影响：当开环比例系数适当，系统动态性能较好的情况下，用主导极点的方法，不至于造成较大的误差；当开环比例系数较大，系统动态性能较差时，采取同样的方法，产生了较大的误差。

程序清单
A=[0 1 0;0 0 1;-k -25 -10];
b=[0 0 1]';
c=[k 0 0];
X=zeros(3,1);
t=0:0.01:10;
n=length(t);
h=0.01;
for i=1:n
K1=A*X+b;
K2=A*(X+(h/2)*K1)+b;
K3=A*(X+(h/2)*K2)+b;
K4=A*(X+h*K3)+b;
X=X+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
y(i)=c*X;
end
plot(y);
s=1001;while y(s)>0.95&y(s)<1.05;s=s-1;end;
t=(s-1)*0.005；max(y)-1。