2020年高考数学真题汇编 7：立体几何 理
2020高考真题分类汇编：立体几何
一、选择题
1.【2020高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18
【答案】B
2.【2020高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
【答案】C
3.【2020高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） ()A 26 ()B 3()C 23 ()D 22
【答案】A
4.【2020高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】C
5.【2020高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45o
角的平面与半球面相交，
所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=o ，则A 、P
两点间的球面距离为（ ）αC A O D B P
A 、2arccos
4R B
、4R π C 、3arccos 3R D 、3
R π 【答案】A 6.【2020高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）
A. 55
B.53
C. 255
D. 35
【答案】A.
7.【2020高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
【答案】D
8.【2020高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．8π
3
B．3π
C．10π
3
D．6π
【答案】B
9.【2020高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为
A．12π B.45π C.57π D.81π
【答案】C
10.【2020高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是
A.球
B.三棱柱
C.正方形
D.圆柱
【答案】D.
11.【2020高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，12和a，且长为a
2的棱异面，则a的取值范围是
（A ）
(0,2) （B
）(0,3) （C ）(1,2) （D ）(1,3)
【答案】A
12.【2020高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125
【答案】B
13.【2020高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为
A 2
B 3
C 2
D 1
【答案】D
二、填空题
14.【2020高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3
.
【答案】1
15.【2020高考真题四川理14】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、
1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
N M B 1A 1
C 1
D 1
B D C
【答案】2
π 【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成
角的求法.
16.【2020高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。
【答案】38
【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。
17.【2020高考真题山东理14】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________.
【答案】6
1 18.【2020高考真题辽宁理16】已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 3上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。 3 【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱
19.【2020高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的
体积为 。 【答案】π3
3 20.【2020高考真题上海理14】如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最
大值是 。
【答案】13
222--c a c 。 21.【2020高考江苏7】（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3
．
【答案】6。
22.【2020高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____．
【答案】92
【命题立意】本题考查空间几何体的三视图以及表面积的求法。
23.【2020高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体
积为_________m3.
3
1
3
6
3
2
2
3
【答案】π9
18+
24.【2020高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.
【答案】
3
6
三、解答题
25.【2020高考真题广东理18】（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；
【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.
26.【2020高考真题辽宁理18】(本小题满分12分)
如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=o ，
/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;
(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。
【答案】
【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、
运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。
27.【2020高考真题湖北理19】（本小题满分12分）
如图1，45ACB ∠=o ，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=o （如图2所示）．
（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；
（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在 棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．
第19题图 【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．
由AD BC ⊥，45ACB ∠=o 知，△ADC 为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知，折起后（如图2），AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D =I ，
所以AD ⊥平面BCD ．又90BDC ∠=o ，所以11(3)22
BCD S BD CD x x ?=?=-．于是 1111(3)(3)2(3)(3)33212
A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=?-- 3
12(3)(3)21233x x x +-+-??≤=????， 当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，
故当1x =，即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大．
解法2：
同解法1，得321111(3)(3)(69)3326
A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=-+． 令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02
f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =． 当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<．
所以当1x =时，()f x 取得最大值．
故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大．
（Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．
由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==．
于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1(,1,0)2E ， 且(1,1,1)BM =-u u u u r ．
D A B C A C D B 图2
图1
M E . ·
设(0,,0)N λ，则1(,1,0)2
EN λ=--u u u r . 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ?=u u u r u u u u r ，即 11(,1,0)(1,1,1)1022
λλ--?-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N . 所以当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥． 设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,,
BN BM ?⊥??⊥??u u u r u u u u r n n 及1(1,,0)2BN =-u u u r ， 得2,.y x z x =??=-? 可取(1,2,1)=-n ． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =--u u u r ，(1,2,1)=-n ，可得
1|1|sin cos(90)||||EN EN θθ--?=-===?o u u u r u u u r n n 60θ=o ． 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.o
解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==． 如图b ，取CD 的中点F ，连结MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD .
由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .
如图c ，延长FE 至P 点使得FP DB =，连BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ，连结EN ，又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ，
所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ，又EN ?面BCD ，所以MF EN ⊥.
又MF BF F =I ，所以EN ⊥面BMF . 又BM ?面BMF ，所以EN BM ⊥.
因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的. 即当12
DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点），EN BM ⊥．
图a 图b C A
D B
E
F M
N 图c B D P C F
N E G M
N H 图d
第19题解答图
连接MN ，ME ，由计算得5NB NM EB EM ====
， 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，
如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，
则BM ⊥平面EGN ．在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H ，
则EH ⊥平面BMN ．故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角． 在△EGN 中，易得2EG GN NE ===，所以△EGN 是正三角形， 故60ENH ∠=o ，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60.o
28.【2020高考真题新课标理19】（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112
AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD
DC ⊥1
（1）证明：BC DC ⊥1
（2）求二面角11C BD A --的大小.
【答案】（1）在Rt DAC ?中，AD AC =
得：45ADC ?∠=
同理：1114590A DC CDC ??∠=?∠= 得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥
（2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥
取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H
1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD
1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合
且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角
设AC a =，则12a C O =，1112230C D a C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?
29.【2020高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；
（2）直线1//A F 平面ADE ．
【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。
又∵AD ?平面ABC ，∴1CC AD ⊥。
又∵1AD DE CC DE ⊥?，
，平面111BCC B CC DE E =I ，，∴AD ⊥平面11BCC B 。
又∵AD ?平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。
（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。
又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ?平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。
又∵111 CC B C ?，平面11BCC B ，1111CC B C C =I ，∴1A F ⊥平面111A B C 。
由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。
又∵AD ?平面1, ADE A F ?平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE
【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。
【解析】（1）要证平面ADE ⊥平面11BCC B ，只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可。
它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得。
（2）要证直线1//A F 平面ADE ，只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可。
30.【2020高考真题四川理19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=o ，60PAB ∠=o ，AB BC CA ==，平面PAB ⊥平面ABC 。
（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。
【答案】本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.
31.【2020高考真题福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点. （Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求
AP的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长.
【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.
32.【2020高考真题北京理16】（本小题共14分）
如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2.
(I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；
(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
(III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由
【答案】解：（1）Q CD DE ⊥，1A E DE ⊥
∴DE ⊥平面1
ACD ， 又Q 1A C ?平面1
ACD ， ∴1A C ⊥DE
又1
AC CD ⊥， ∴1A C ⊥平面BCDE 。
（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，
，(00A ，，，()030B ，
，，()220E -，，
∴(103A B =-u u u r ，，,()1210A E =--u u u u r ，， 设平面1A BE 法向量为()n x y z =r ，，
则1100A B n A E n ??=???=??u u u r r u u u u r r
∴3020y x y ?-=??--=??
∴2
z y y x ?=????=-??
∴(12n =-r ，
又∵(10M -，
∴(10CM =-u u u u r ，
∴cos ||||CM n CM n θ?====?u u u u r r u u u u r r ，
∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45?。
（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，
则(10A P a =-u u u r ，，，()20DP a =u u u r ，， 设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =u u r ，，，
则1111020ay x ay ?-=??+=??
∴111112
z x ay ?=????=-??
∴()
136n a =-u u r ，。 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，
则10n n ?=u u r r ，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-，
∵03a <<，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直。
33.【2020高考真题浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是
y
C
边长为23的菱形，且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．
(Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；
(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值．
【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
【答案】(Ⅰ)如图连接BD ．
∵M ，N 分别为PB ，PD 的中点，
∴在?PBD 中，MN ∥BD ．
又MN ?平面ABCD ，
∴MN ∥平面ABCD ；
(Ⅱ)如图建系：
A (0，0，0)，P (0，0，26，M (3，32，0)， N (30，0)，C 33，0)． 设Q (x ，y ，z )，则(33)(3326)CQ x y z CP =-=--u u u r u u u r
，，，，
． ∵(3326)CQ CP λλλλ==-u u u r u u u r ，，∴(333326)Q λλλ-，． 由0OQ CP
OQ CP ⊥??=u u u r u u u r u u u r u u u r ，得：13λ=． 即：2326(2Q ，． 对于平面AMN ：设其法向量为()n a b c =r ，，．
∵33(0)=(300)2
AM AN =u u u u r u u u r ，，，，，．
则
3
33
001
2
3
300
a
AM n a b
b
AN n
a c
?
=
?
?
?
??=-+=?
??
??=
??
?=
???
?=
?=
?
?
?
u u u u r r
u u u r r．
∴
31
(0)
3
n=
r
，，．
同理对于平面AMN得其法向量为(316)
v=-
r
，，．
记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为θ，
则
10
cos
n v
n v
θ
?
==
?
r r
r r．
∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为
10
．
34.【2020高考真题重庆理19】（本小题满分12分如图，在直三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面
1
1
ABB
A的距离;
（Ⅱ）若
11
AB A C
⊥求二面角的平面角的余弦值.
【答案】
【命题立意】本题考查立体几何的相关知识，考查线面垂直关系、二面角的求法以及空间向量在立体几何中的应用.