平移变换及其应用
平移教案讨论：平移变换与实际生活中的应用有什么联系？
平移教案讨论：平移变换与实际生活中的应用有什么联系？在数学中，平移变换是一种基本的几何变换，在实际生活中，它也有广泛的应用。
平移变换可以定义为沿着一个方向移动任意物体，在这个过程中，物体的形状和大小不发生变化。
简单地说，平移就是将物体从一个位置移动到另一个位置。
平移变换作为一种几何变换，它在几何学、数学、物理等领域有着广泛的应用。
在实际生活中，我们可以看到许多与平移相关的应用。
1、地图平移地图平移是指地图上各个区域之间的位置关系随着时间的变化而发生变化。
在现代化的城市中，道路的交通流量和建筑物的使用频率都是随着时间而变化的，这导致城市的地图必须不断更新。
因此，地图平移技术对于城市规划和城市建设是非常重要的。
2、数码相机的平移功能许多数码相机现在都配有平移功能，这个功能可以让用户在拍摄时，将物体从一个位置平移到另一个位置。
这个功能对于摄影师来说非常有用，因为它可以让他们创造出更多不同的图像效果。
3、石英钟的平移功能石英钟的平移功能可以让使用者在不需要重新设置时钟的情况下更改时钟的时间。
这个功能可以让人们在转换地区时更方便地调整时间，或者在夏令时和冬令时的时间调整中更加方便。
4、广告牌的平移功能广告牌的平移功能非常重要，因为它可以让广告宣传者更好地展示他们的广告信息。
通过平移功能，广告牌可以更好地吸引公众的注意力，帮助商家更好地推广他们的产品和服务。
5、机场跑道的平移功能机场跑道的平移功能是为了更好地满足不同飞机的需求而设计的。
不同大小和型号的飞机需要不同的跑道长度和宽度，因此，机场跑道的平移功能可以使飞机可以在不同的地方起飞和降落，从而更好地满足不同飞机的需求。
在总体上，平移变换在实际生活中具有广泛的应用，这些应用包括地图平移、数码相机的平移功能、石英钟的平移功能、广告牌的平移功能以及机场跑道的平移功能。
这些应用中，平移变换可以从不同的方面改善我们的日常生活，提高我们的生活质量。
平面形的变换
平面形的变换平面形的变换指的是平面上的图形在经过某种操作后，发生了形状、位置或大小的变化。
这种变换可以通过旋转、平移、缩放和翻转等方式来实现。
在数学和几何学中，平面形的变换是一个重要的概念，它对于理解图形的性质和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍平面形的四种基本变换以及它们的应用。
一、平移变换平移是指将一个图形沿着平行于某个方向的路径移动，同时保持原始图形的形状和大小不变。
在平面上进行平移变换时，可以通过向量的加法来描述。
设图形上的点P(x, y)经过平移变换后得到P'(x', y')，其坐标满足如下关系：x' = x + ay' = y + b其中(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是平移后图形上的点，(a, b)是平移的向量，表示平移的方向和距离。
平移变换常用于地理学中的地图绘制、计算机图形学中的图像平移等领域。
例如，我们可以通过平移变换将一个城市的地图向东或向南移动，以便于进行地理分析或相关的规划。
二、旋转变换旋转是指将图形绕一个旋转中心按一定角度旋转，同时保持原始图形的形状和大小不变。
在平面上进行旋转变换时，可以通过旋转矩阵来描述。
设图形上的点P(x, y)经过旋转变换后得到P'(x', y')，其坐标满足如下关系：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθ其中(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是旋转后图形上的点，θ是旋转角度。
旋转变换常用于地球的自转模拟、航空导航和航天技术中的姿态控制等领域。
例如，在航空导航中，可以通过将机体坐标系与地面坐标系之间的旋转变换，来实现飞行器在空中的定位和导航。
三、缩放变换缩放是指将图形的每个点按一定的比例进行伸缩或收缩，同时保持原始图形的形状不变。
在平面上进行缩放变换时，可以通过伸缩矩阵来描述。
几何变换的性质与应用
几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。
几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。
一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。
例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。
例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。
（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。
翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。
例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。
（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。
通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。
例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。
2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。
例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。
函数的对称与平移变换
函数的对称与平移变换在数学中，函数的对称和平移变换是一种常见的数学概念。
通过对函数进行对称和平移操作，我们可以改变其形状、位置和性质，从而更好地理解和分析函数的特点。
本文将介绍函数的对称和平移变换的基本概念、性质及其在数学中的应用。
一、对称变换对称变换是指将函数绕某个轴线进行镜像翻转，使得函数在轴线两侧呈现完全对称的形状。
常见的对称轴包括x轴、y轴和原点。
1. 沿x轴对称：当函数关于x轴对称时，称之为沿x轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(x, -y)也在曲线上。
沿x轴对称的函数形状上下对称。
2. 沿y轴对称：当函数关于y轴对称时，称之为沿y轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, y)也在曲线上。
沿y轴对称的函数形状左右对称。
3. 原点对称：当函数关于原点对称时，称之为原点对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, -y)也在曲线上。
原点对称的函数形状在四个象限上对称。
对称变换不仅能够反映函数的对称性，还能够帮助我们简化函数的分析。
通过观察函数的对称轴和对称点，我们可以得到关于函数的重要信息，如函数的奇偶性、极值点和图像的对称性。
二、平移变换平移变换是指将函数沿着坐标轴的方向上平移一定的距离，从而改变函数的位置和形状。
平移变换可以是水平方向的平移（横向平移）或垂直方向的平移（纵向平移）。
1. 横向平移：当我们将函数沿着x轴的方向上移动a个单位，函数的数学表达式变为f(x-a)。
这个平移过程会改变函数图像在水平方向上的位置。
如果a为正数，函数图像会向右移动；如果a为负数，函数图像会向左移动。
2. 纵向平移：当我们将函数沿着y轴的方向上移动b个单位，函数的数学表达式变为f(x)+b。
这个平移过程会改变函数图像在垂直方向上的位置。
如果b为正数，函数图像会向上移动；如果b为负数，函数图像会向下移动。
平移变换不改变函数的形状，只是改变了函数图像在平面坐标系上的位置。
平移的认识与平移变换
平移的认识与平移变换在几何学中，平移是一种基本的几何变换，它是指将一个图形沿着直线方向保持大小和形状不变地移动。
平移变换在日常生活和数学研究中起着重要的作用。
本文将介绍平移的概念、性质以及平移变换的应用。
一、平移的概念与性质平移是指将物体沿着某一方向按照一定距离移动，而不改变其形状、大小和方向。
平移可以用一个向量来表示，这个向量称为平移向量。
在平面几何中，平移变换有以下几个性质：1. 平移变换前后图形的大小和形状保持不变；2. 平移变换前后图形的方向保持不变；3. 平移变换前后，图形上各点之间的距离保持不变；4. 平移变换是可逆的，即可以通过逆向平移变换将图形还原。
平移变换有着广泛的应用，包括数学、物理学、计算机图形学和工程等领域。
在数学中，平移变换是最基本的几何变换之一，它被广泛地运用在数学证明和问题求解中。
在计算机图形学中，平移变换是实现图像移动和动画效果的重要手段。
在工程领域中，平移变换被用于设计和模拟机械装置、移动机器人等。
二、平移变换的应用1. 图像处理平移变换在图像处理中被广泛应用。
通过对图像进行平移变换，可以实现图像的移动和定位。
例如，在数字摄影中，通过对图像进行平移变换，可以调整图像的位置和角度，使图像更加美观和合适。
此外，平移变换还可以用于图像的拼接、融合和修复等操作，提高图像处理的效果和质量。
2. 数学建模在数学建模中，平移变换是一种常用的手段。
通过平移变换，可以将数学问题转化为更简单和易解的形式。
例如，在平面几何中，通过对图形进行平移变换，可以简化图形的形状，便于研究和推导几何性质。
在数学模型中，通过平移变换可以改变坐标系的原点，使模型更加简洁和易于理解。
3. 机械设计与控制在机械设计和控制领域，平移变换被用于描述物体的运动和变换。
通过平移变换，可以确定机械装置的位置、速度和加速度等关键参数，便于设计和控制机器人和自动化装置的运动方式。
此外，平移变换还可以用于机器人视觉导航和路径规划，实现智能化和自主化的机器人系统。
平面镜变换与平移变换的比较与应用
平面镜变换与平移变换的比较与应用引言：在几何学和物理学中，平面镜变换和平移变换是两种常见的变换形式。
平面镜变换通过镜面的反射特性改变物体的位置和方向；而平移变换则是通过将物体沿着指定的方向移动一定距离来改变其位置。
本文将比较这两种变换形式，并探讨它们在实际应用中的具体使用场景。
一、平面镜变换1.1 平面镜变换原理平面镜变换是利用平面镜的反射原理进行物体位置和方向的变换。
当光线遇到平面镜时，会按照入射角等于反射角的规律发生反射，从而改变物体在镜面上的投影位置和方向。
1.2 平面镜变换的特点- 平面镜变换不改变物体的形状和大小，只改变物体在平面镜上的投影位置和方向。
- 平面镜变换具有对称性，即物体与其镜像位于同一直线上。
- 平面镜变换只涉及一个物体与其镜像之间的变换关系。
1.3 平面镜变换的应用- 平面镜变换在光学实验中得到广泛应用，如构建干涉仪、光谱仪等。
- 平面镜变换在建筑设计中用于改变空间感知，如使用镜面墙面装饰。
二、平移变换2.1 平移变换原理平移变换是通过将物体沿着指定的方向移动一定距离，从而改变物体的位置。
平移变换可分为水平平移和垂直平移。
2.2 平移变换的特点- 平移变换保持物体的形状和大小不变。
- 平移变换可以在平面上任意移动物体，改变其位置。
2.3 平移变换的应用- 平移变换在计算机图形学中用于图像处理和游戏开发，如图像平移动画效果的实现。
- 平移变换在机器人技术中用于控制机械臂和移动平台的运动。
三、平面镜变换与平移变换的比较与应用3.1 变换效果比较- 平面镜变换只改变物体在平面镜上的投影位置和方向，而平移变换可以改变物体在平面上的任意位置。
- 平面镜变换会产生物体的镜像，而平移变换不会改变物体的形状和大小。
3.2 应用场景比较- 平面镜变换适用于需要改变物体位置和方向，同时保持形状和大小不变的场景，如光学实验和建筑设计。
- 平移变换适用于需要在平面上任意移动物体的场景，如计算机图形学和机器人技术。
高二数学三角函数的平移与伸缩变换的应用
高二数学三角函数的平移与伸缩变换的应用三角函数是高中数学中重要的概念和工具，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在高二数学学习中，我们不仅仅学习了基本的正弦、余弦、正切函数，还学习了三角函数的平移与伸缩变换。
这些变换对于解决实际问题和分析函数图像都起着重要的作用。
本文将介绍三角函数平移与伸缩变换的概念和应用，并通过实例展示其在实际问题中的具体运用。
1. 三角函数的平移变换平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向的移动，使得图像的位置发生变化。
在三角函数的平移变换中，我们可以通过改变函数中的常数项来实现平移效果。
以正弦函数y = sin(x)为例，我们可以将其平移h个单位，得到新的函数y = sin(x - h)。
当h大于0时，函数图像沿x轴正方向移动；当h小于0时，函数图像沿x轴负方向移动。
平移变换可以使得函数图像在横向上发生移动，从而改变函数的相位。
平移变换在实际问题中的应用非常广泛。
比如，在物理学中，我们经常研究物体的周期性运动。
通过平移变换，我们可以调整物体的运动起始位置，从而分析其周期性变化规律。
在经济学中，平移变换可以用来分析市场需求和供给的变化，从而预测市场走势。
平移变换还可以用于图像处理、信号处理等领域，通过调整图像或信号的位置，实现目标检测、降噪、滤波等操作。
2. 三角函数的伸缩变换伸缩变换是指改变函数图像在横向和纵向上的形状和尺寸。
在三角函数的伸缩变换中，我们可以通过改变函数中的系数来实现伸缩效果。
以正弦函数y = sin(x)为例，我们可以将其在横向上压缩或拉伸a倍，得到新的函数y = sin(ax)。
当a大于1时，函数图像在横向上被压缩；当0 < a < 1时，函数图像在横向上被拉伸。
伸缩变换还可以改变函数在纵向上的振幅，从而调整函数图像的高度。
伸缩变换在实际问题中也有着重要的应用。
比如，在物理学中，我们经常研究波的传播和干涉现象。
通过伸缩变换，我们可以调整波长和振幅，从而分析波的传播规律和干涉效应。
函数的平移伸缩与翻转变换
函数的平移伸缩与翻转变换函数的平移、伸缩与翻转变换是数学中常见的概念，可以用来描述函数图像在坐标平面上的变化。
在数学和物理等领域中，函数的变换是解决问题和求解方程的重要工具。
本文将介绍函数的平移、伸缩与翻转变换的定义、原理和常见应用。
一、平移变换函数的平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴平行移动的操作。
平移变换可以使函数图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移：函数图像沿x轴的负方向移动。
设原函数为f(x)，向左平移a个单位后的新函数为f(x + a)。
2. 向右平移：函数图像沿x轴的正方向移动。
设原函数为f(x)，向右平移a个单位后的新函数为f(x - a)。
3. 向上平移：函数图像沿y轴的正方向移动。
设原函数为f(x)，向上平移b个单位后的新函数为f(x) + b。
4. 向下平移：函数图像沿y轴的负方向移动。
设原函数为f(x)，向下平移b个单位后的新函数为f(x) - b。
二、伸缩变换函数的伸缩变换是指对函数图像进行扩大或收缩的操作。
伸缩变换可以使函数图像在x轴和y轴方向上发生变化。
1. 水平伸缩：函数图像在x轴方向上进行横向拉伸或压缩。
设原函数为f(x)，横向拉伸k倍后的新函数为f(kx)。
2. 纵向伸缩：函数图像在y轴方向上进行纵向拉伸或压缩。
设原函数为f(x)，纵向拉伸k倍后的新函数为k * f(x)。
3. 水平压缩：函数图像在x轴方向上进行横向压缩。
设原函数为f(x)，横向压缩k倍后的新函数为f(x/k)。
4. 纵向压缩：函数图像在y轴方向上进行纵向压缩。
设原函数为f(x)，纵向压缩k倍后的新函数为f(x) / k。
三、翻转变换函数的翻转变换是指通过轴对称来改变函数图像的位置。
翻转变换可以使函数图像关于x轴或y轴对称。
1. 关于x轴对称：函数图像沿x轴翻转。
设原函数为f(x)，关于x 轴对称后的新函数为-f(x)。
2. 关于y轴对称：函数图像沿y轴翻转。
设原函数为f(x)，关于y 轴对称后的新函数为f(-x)。
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学生毕业论文（ 2012届）韩山师范学院教务处制诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文首先给出了初等几何的基本变换之一——平移变换的定义，接着阐述了平移变换相关定理的证明，平移变换相关公式的介绍，然后通过典型例题，探讨平移变换在中学数学解题中的重要作用。
关键词：平移变换；应用；证明；图象Abstract：This paper presents translational transformation, which is one of the basic elementary geometry transformations. Firstly, the paper describes the definition of translational transformation, and then gives the relevant proof of the theorems oftranslational transformation. What’s more,it introduces the related transformation formula of translational transformation. Through the typical examples, it emphasizes the important applications of translational transformation in the middle school mathematics.Keywords: translational transformation; applications; proof; image目录1 平移变换及相关概念 (1)1.1 平移变换的定义 (1)1.2 平移变换的相关定理及证明 (1)2 平移变换的相关公式 (3)2.1 点的平移变换公式 (3)2.2 一次函数的平移变换公式 (3)2.3 二次函数的平移变换公式 (4)2.4 三角函数的平移变换公式 (4)3 平移变换的应用 (5)3.1 证明几何中的不等问题 (6)3.2 证明几何中的相等问题 (7)3.3 求异面直线的夹角 (8)3.4 求二面角 (9)3.5 求线面角 (9)3.6 三角函数图象的平移变换 (10)3.7 二次函数图象的平移变换 (12)4 结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)平移变换及其应用1平移变换及相关概念[1]1.1 平移变换的定义设ν是平面π上的一个固定向量。
如果平面π的一个变换，使得对于平面π上的任意一点A 与其像点A ＇之间，恒有A A '=ν，则这个变换称为平面π的一个平移变换。
简称平移，记作T （ν）。
其中向量ν称为平移向量；向量ν的方向称为平移方向；向量ν的模 | ν | 称为平移距离（图1）。
A ＇νA图1通俗地讲，将平面上的所有点都按固定方向移动固定距离的变换称为平移变换。
如果平移变换的平移向量ν=0，对平面π上任意一点A ，设A −−→−)0(T A ＇，则有A A '=0，所以A ＇=A 。
由此可知，T （0）=I 是恒等变换。
这也说明恒等变换是平移变换，其平移距离为零。
因零向量没有方向，所以，恒等变换作为平移变换来说，也没有平移方向。
由平移变换的定义可知，平面上的一个向量确定一个平移变换；相等的向量确定同一个平移变换；零向量所确定的平移变换是恒等变换。
1.2 平移变换的相关定理及证明定理1.2.1 平面π的一个变换是平移变换的充分必要条件是：对平面π上的任意两点A 、B ，当A 、B −→−fA ＇、B ＇时，恒有AB B A =''。
证明：设f=T(ν)是平面π的一个平移变换，对平面π上的任意两点A 、B ，设B B A A v T v T '−−→−'−−→−)()(,，则有v B B A A ='='，于是ABB B B A A A B A B A ='-'='-'=''反之，在平面π上任取一点B ，设当B B f'−→−，令v B B ='，则ν是平面π的一个固定向量。
对平面π上任意一点A ，当A A f'−→−时，因AB B A =''，所以 v B A AB B A B A B A A A ='=-'=''-'='，由平移变换的定义即知f=T(ν)是平面π的一个平移变换。
定理1.2.2 平移变换是真正合同变换。
证明：由定理1.2.1即知平移变换是一个合同变换。
又对平移变换的任意两个对应三角形△ABC 与△C B A ''',由于定理2.1，AB B A =''，AC C A =''（图2），所以 ∠C A B '''=∠BAC 。
因而△ABC 与△C B A '''是同向的， 故平移变换是真正合同变换由于平移变换是合同变换，因而平移变换 图2具有合同变换的一切不变性质和不变量。
由定理1.2.1与定理1.2.2即知，平移变换是可逆的。
定理1.2.3 两个平移变换之积仍是一个平移变换，且积的平移向量等于两个因子的平移向量之和。
证明：设T (ν1)与T(ν2)是平面π的任意两个平移变换，对平面π上任意一点A ，设A A A v T v T ''−−→−'−−→−)()(21，则A A v T v T ''−−−→−)()(21，且21,v A A v A A ='''='，于是21v v A A A A A A +='''+'=''。
由平移变换的定义即知T(ν2)T(ν1)=T(ν1+ ν2)。
由向量加法的可交换性可知，任意两个平移变换关于变换的乘法是可交换的，即有T(ν1)T(ν2)=T(ν2)T(ν1)。
定理 1.2.4 平移变换的逆变换仍是一个平移变换，且逆变换的平移向量等于原平移向量的负向量。
证明：设T(ν)是平面π的一个平移变换，由定理1.2.2知， T(—ν)T(ν)=T(ν—ν)=T(0)=I 为恒等变换。
故[T(ν)]-1=T(ν). 平移变换T(ν)的逆变换通常记作T -1(ν),即T -1(ν)= [T(ν)]-1由定理1.2.2与定理1.2.3知，平面π上的所有平移变换构成的集合作成一个变换群（且是可交换的——元素的乘积满足交换律），这个群称为平移群。
由定理1.2.1知，平移群是运动群的一个子群。
定理 1.2.5 在平移变换下，两对应直线平行或重合；两对应线段平行且相等或共线且相等。
证明：设T(ν)是平面π的一个平移变换，ι是平面π的一条直线，l l v T '−−→−)(，在直线ι上任取两个不同的点A 、B 。
设',',)(B A B A V T −−→−，则A ＇、B ＇是直线ι＇上的两个不同的点。
由定理2.1知，AB B A =''。
故ι＇∥ι或ι＇=ι。
后一结论同样可由AB B A =''得出。
定理1.2.6 除恒等变换外，平移变换没有不动点；直线ι是平移变换T(ν)（ν≠0）的不变直线当且仅当ι∥ν。
证明： (1)设A 是平移变换T(ν)的一个不动点，则ν=0'=AA ，从而T(ν)=T(0)=I 为恒等变换。
因此，非恒等的平移变换没有不动点。
(2)在直线ι上任取一点A ，设')(A A v T −−→−，则有0'≠=v AA ，所以A A ≠'。
于是，由A ＇∥ν即知，ι是T(ν)的不变直线⇔点A ＇仍在直线ι上⇔ι∥ν。
2平移变换的相关公式2.1 点的平移变换公式[2]在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为(x ，y)，平移向量a →=（h ，k)，平移后的对应点为P ＇(x ＇，y ＇)，则有(x ，y) +（h ，k) = (x ＇，y ＇)，或表示为⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 。
可以这样理解：平移前点的坐标+平移向量的坐标=平移后点的坐标。
注：在平面直角坐标中，由⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 所确定的变换是平移变换。
2.2一次函数的平移变换公式[3] 2.2.1 一次函数的上下平移直线y=kx+b 向上平移m 个单位长度得到直线y=kx+b +m ，直线y=kx+b 向下平移m 个单位长度得到直线y=kx+b -m (m>0),即直线y=kx+b 上下平移∣m ∣个单位长度得到直线y=kx+b +m (当m ＞0时，向上平移；当m ＜0时，向下平移)，这是直线y=kx+b 上下(或沿y 轴)平移的规律． 这个规律可以简记为：⎪⎩⎪⎨⎧-+=−−−−−−−−→−+=++=−−−−−−−−→−+=>>m b kx y b kx y m b kx y b kx y m m m m 直线直线直线直线）个单位长度（向下平移）个单位长度（向上平移00 2.2.2 一次函数的左右平移直线y=kx+b 向左平移m 个单位长度得到直线y=k (x+m )+b ，直线y=kx+b 向右平移m 个单位长度得到直线y=k (x -m )+b (m>0)，即直线y=kx+b 左右平移m 个单位长度得到直线y=k (x+m )+b (当m ＞0时，向左平移；当m ＜0时，向右平移)，这是直线y=kx+b 左右(或沿x 轴)平移的规律．这个规律可以简记为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=−−−−−−−−→−+=++=−−−−−−−−→−+=>>b m x k y b kx y b m x k y b kx y m m m m )()(00直线直线直线直线）个单位长度（向右平移）个单位长度（向左平移 2.3 二次函数的平移变换公式对于形如y=ax 2＋bx+c （a≠0）的二次函数一般式的平移变换：图像向左右平移h 个单位，向上下平移k 个单位，就相当于将图像上的每一点坐标（x ，y ）作相应的变动，因此我们只要把平移后的坐标代入原函数的解析式，变形整理，即原函数图像经过平移后的函数解析式．其法则是：(1)当二次函数的图像向左或向右平移m （m ＞０）个单位时，原函数图像上任一点的横坐标x 变为x+m 或x-m ，而纵坐标不变．(2)二次函数的图像向上或向下平移n （n ＞０）个单位时，原函数图像上任一点的纵坐标y 变为y+n 或y-n ，而横坐标不变． 以上两点，可概括为：左加右减，上加下减．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0):(1)若把它沿x 轴方向向右平移h(h>0)个单位，则得到二次函数y=a(x-h)2+b(x-h)+c; (2)若把它沿x 轴方向向左平移h(h>0)个单位，则得到二次函数y=a(x+h)2+b(x+h)+c ； (3)若把它沿y 轴方向向上平移k(k>0)个单位，则得到二次函数y=(ax 2+bx+c)+k; (4)若把它沿y 轴方向向下平移k(k>0)个单位，则得到二次函数y=(ax 2+bx+c)-k 。