高中数学必修4第二章平面向量课件_向量的概念及表示_人教A版
8
说明3： 说明 ：两个特殊向量
1、零向量 零向量 的向量。 ：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量 ：长度为 1 个单位长度的向量。 单位向量 个单位长度的向量 的向量。 向量大小为0 0 向量大小为0，方向 不确定的。 不确定的。可以是任意方向 单位向量大小为1 单位向量大小为1，方向 大小为 不一定相同。 不一定相同。 所以 0 向量只有一个， 而单位向量可以有无数个 单位向量可以有无数个
23
练习: 练习
1.设 为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 的中心 AO,BO,CO ( B ) A.相等向量 A.相等向量 C.共线向量 C.共线向量 C A O B B.模相等的向量 B.模相等的向量 D.共起点的向量 D.共起点的向量
31
课后作业： 课后作业： 1、 P57 1、3
32
33
有向线段：有固定起点、大小、 有向线段 有固定起点、大小、方向 有固定起点 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、 向量 可选任意点作为向量的起点、有大小、有 可选任意点作为向量的起点 方向。 方向。
B D B
D
A
C
A
C
有向线段AB、CD是 AB、 同一个向量。 有向线段AB、CD是不 向量 AB、CD 是同一个向量。 AB 同的。 同的。
（ AB 除外）
B
→
→
(1)共有 7 个向量与 AB相等
A
(2)共有15个向量与 AB共线
14
合作探究： 合作探究：
1×1 如 图 ： 以 1×1 方 格 纸 中 的 格 点 为 起 点 和 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？有多少种不同的向量？
共有2种不同的模 共有 种不同的模 种不同的
B DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC
E
F
D
C
（3）与向量DE相等的向量有__个, 与向量DE相等的向量有__个 DE相等的向量有__ CF, FA 分别是___________ ___________。 分别是___________。
BACK
28
如图,D、 如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是 ,D 分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是 各边上的中点 BCMF 平行四边形，请分别写出： 平行四边形，请分别写出： （1）与ED相等的向量； ED相等的向量； 相等的向量 （2）与ED共线的向量； ED共线的向量； 共线的向量 （3）与FE相等的向量； FE相等的向量； 相等的向量 （4）与FE共线的向量。 FE共线的向量。 共线的向量
a
b
c e
a 记 做 ： // b // c
f
那 么 e与 f 之 间 是 什 么 关 系 ？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？ 两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？ 与平面几何里两线段的平行有什么区别
10
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量 4.相等向量的定义： 相等向量的定义
a b c
a // b// c
a ,b ,c为 共 线 向 量
bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？ 两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？ 与平面几何里两线段的共线是否一样
为什么？ 为什么？
说明：在平行向量、共线向量、 说明：在平行向量、共线向量、相等向量 的概念中应注意零向量的 零向量的特殊性 的概念中应注意零向量的特殊性
A
B
（2） = FE BC
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|， 但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
OA = − BC
13
例2：在图中的 ×5方格纸中有一个向量 ：在图中的4× 方格纸中有一个向量
→
AB ，
→
分别以图中的格点为起点和终点作向量， 分别以图中的格点为起点和终点作向量， 相等的向量有多少个？ （1）其中与 AB 相等的向量有多少个？ ） 长度相等的共线向量有多少个？ （2）与 AB 长度相等的共线向量有多少个？ ）
1
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以 金钱豹以 的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗 逃跑的小狗…… 的速度追赶一只以 逃跑的小狗
请问： 能追上小狗吗 为什么？ 小狗吗？ 请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
2
由于大陆和台湾没有直航，因此 年春节探亲， 由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲， 年春节探亲 乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海， 乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发 生了两次位移。 生了两次位移。
分别是______________________； 分别是______________________； ______________________ （2）与向量DF的模一定相等的向 与向量DF的模一定相等的向 DF
FD,EB,BE,EA,AE 5个,分别是_________________； 量有__ __个 分别是_________________ _________________； 量有__ 2
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？ 、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
19
练习 1、与零向量相等的向量一定是什么向量？ 与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？ 与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
BACK
20
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个 若两个向量在同一直线上， 向量是什么向量？ 向量是什么向量？
共有8种不同的向量 共有 种不同的向量
15
若改为1 若改为1×2的方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中， 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？多少种不同的向量呢？ 的模？多少种不同的向量呢？ 共有4种不同的模 共有 种不同的模 种不同的
共有14种不同的向量 共有 种不同的向量
16
欢迎来到： 欢迎来到： 过关竞技场
5
一、向量的定义
既有大小又有方向的量 既有大小又有方向的量 大小又有方向
向量的长度
向量的模
二、向量的表示方法
向量常用有向线段表示 ①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 几何表示 向量常用有向线段表示： 长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示 向量的大小， 方向表示向量的方 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 为起点、 为终点的向量记为 ＡＢ。 为终点的向量记为： 向。以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ 为起点 大小记着： 大小记着：│AB│
A a Ｂ
②也可以表示： a 也可以表示：
b
c
d ….
大小记为┃a┃ 大小记为
6
说明1： 说明 ：
我们现在研究的向量， 起点无关， 我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表 向量 示向量时，起点可以取任意位置。 示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向 量也叫 自由向量 如图： 如图：他们都表示 同一个向量。 同一个向量。
位移和距离 这两个量有 什么不同？ 什么不同？
上海 台北 香港
3
合作探究： 合作探究：
观察下述三个量有什么区别？ 观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
）（3）都是有大小和方 大小和方向 （2）（ ）都是有大小和方向的量 ）（
4
江苏省板浦高级中学
2011年12月19日星期一 时54分41秒 年 月 日星期一 日星期一11时 分 秒
共线向量 或者说平行向量 平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
BACK
21
练习： 练习： 在质量、重力、速度、加速度、 在质量、重力、速度、加速度、身 面积、体积这些量中， 高、面积、体积这些量中，哪些是 数量？哪些是向量？ 数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、 向量有：重力、速度、加速度
24
练习: 练习
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定成 命题： 成立， 成立 一定成 立
×
BACK
25
练习： 练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且 存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
0 c =____
BACK
26
练习： 练习：
1.与非零向量 a 平行的向量中，
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点的轨迹是什么图形？ 它们的终点的轨迹是什么图形？
9
三：向量之间的关系
3.平行向量的定义： 3.平行向量的定义： 平行向量的定义 非零向量叫做平行向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 我们规定零向量 零向量与任一向量平行 我们规定零向量与任一向量平行
BACK
22
在下列结论中，哪些是正确的？ 在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终 如果两个向量相等， 点分别重合； 点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； 模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； 如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。 两个相等向量的模相等。 正确的有： ） 正确的有：（4）
A B D
记作： = DC AB
C
说明3： 说明 ：两个特殊向量
1、零向量 零向量 的向量。 ：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量 ：长度为 1 个单位长度的向量。 单位向量 个单位长度的向量 的向量。 向量大小为0 0 向量大小为0，方向 不确定的。 不确定的。可以是任意方向 单位向量大小为1 单位向量大小为1，方向 大小为 不一定相同。 不一定相同。 所以 0 向量只有一个， 而单位向量可以有无数个 单位向量可以有无数个
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练习: 练习
1.设 为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 的中心 AO,BO,CO ( B ) A.相等向量 A.相等向量 C.共线向量 C.共线向量 C A O B B.模相等的向量 B.模相等的向量 D.共起点的向量 D.共起点的向量
31
课后作业： 课后作业： 1、 P57 1、3
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有向线段：有固定起点、大小、 有向线段 有固定起点、大小、方向 有固定起点 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、 向量 可选任意点作为向量的起点、有大小、有 可选任意点作为向量的起点 方向。 方向。
B D B
D
A
C
A
C
有向线段AB、CD是 AB、 同一个向量。 有向线段AB、CD是不 向量 AB、CD 是同一个向量。 AB 同的。 同的。
（ AB 除外）
B
→
→
(1)共有 7 个向量与 AB相等
A
(2)共有15个向量与 AB共线
14
合作探究： 合作探究：
1×1 如 图 ： 以 1×1 方 格 纸 中 的 格 点 为 起 点 和 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？有多少种不同的向量？
共有2种不同的模 共有 种不同的模 种不同的
B DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC
E
F
D
C
（3）与向量DE相等的向量有__个, 与向量DE相等的向量有__个 DE相等的向量有__ CF, FA 分别是___________ ___________。 分别是___________。
BACK
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如图,D、 如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是 ,D 分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是 各边上的中点 BCMF 平行四边形，请分别写出： 平行四边形，请分别写出： （1）与ED相等的向量； ED相等的向量； 相等的向量 （2）与ED共线的向量； ED共线的向量； 共线的向量 （3）与FE相等的向量； FE相等的向量； 相等的向量 （4）与FE共线的向量。 FE共线的向量。 共线的向量
a
b
c e
a 记 做 ： // b // c
f
那 么 e与 f 之 间 是 什 么 关 系 ？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？ 两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？ 与平面几何里两线段的平行有什么区别
10
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量 4.相等向量的定义： 相等向量的定义
a b c
a // b// c
a ,b ,c为 共 线 向 量
bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？ 两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？ 与平面几何里两线段的共线是否一样
为什么？ 为什么？
说明：在平行向量、共线向量、 说明：在平行向量、共线向量、相等向量 的概念中应注意零向量的 零向量的特殊性 的概念中应注意零向量的特殊性
A
B
（2） = FE BC
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|， 但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
OA = − BC
13
例2：在图中的 ×5方格纸中有一个向量 ：在图中的4× 方格纸中有一个向量
→
AB ，
→
分别以图中的格点为起点和终点作向量， 分别以图中的格点为起点和终点作向量， 相等的向量有多少个？ （1）其中与 AB 相等的向量有多少个？ ） 长度相等的共线向量有多少个？ （2）与 AB 长度相等的共线向量有多少个？ ）
1
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以 金钱豹以 的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗 逃跑的小狗…… 的速度追赶一只以 逃跑的小狗
请问： 能追上小狗吗 为什么？ 小狗吗？ 请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
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由于大陆和台湾没有直航，因此 年春节探亲， 由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲， 年春节探亲 乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海， 乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发 生了两次位移。 生了两次位移。
分别是______________________； 分别是______________________； ______________________ （2）与向量DF的模一定相等的向 与向量DF的模一定相等的向 DF
FD,EB,BE,EA,AE 5个,分别是_________________； 量有__ __个 分别是_________________ _________________； 量有__ 2
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？ 、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
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练习 1、与零向量相等的向量一定是什么向量？ 与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？ 与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
BACK
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练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个 若两个向量在同一直线上， 向量是什么向量？ 向量是什么向量？
共有8种不同的向量 共有 种不同的向量
15
若改为1 若改为1×2的方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中， 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？多少种不同的向量呢？ 的模？多少种不同的向量呢？ 共有4种不同的模 共有 种不同的模 种不同的
共有14种不同的向量 共有 种不同的向量
16
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5
一、向量的定义
既有大小又有方向的量 既有大小又有方向的量 大小又有方向
向量的长度
向量的模
二、向量的表示方法
向量常用有向线段表示 ①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 几何表示 向量常用有向线段表示： 长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示 向量的大小， 方向表示向量的方 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 为起点、 为终点的向量记为 ＡＢ。 为终点的向量记为： 向。以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ 为起点 大小记着： 大小记着：│AB│
A a Ｂ
②也可以表示： a 也可以表示：
b
c
d ….
大小记为┃a┃ 大小记为
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说明1： 说明 ：
我们现在研究的向量， 起点无关， 我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表 向量 示向量时，起点可以取任意位置。 示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向 量也叫 自由向量 如图： 如图：他们都表示 同一个向量。 同一个向量。
位移和距离 这两个量有 什么不同？ 什么不同？
上海 台北 香港
3
合作探究： 合作探究：
观察下述三个量有什么区别？ 观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
）（3）都是有大小和方 大小和方向 （2）（ ）都是有大小和方向的量 ）（
4
江苏省板浦高级中学
2011年12月19日星期一 时54分41秒 年 月 日星期一 日星期一11时 分 秒
共线向量 或者说平行向量 平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
BACK
21
练习： 练习： 在质量、重力、速度、加速度、 在质量、重力、速度、加速度、身 面积、体积这些量中， 高、面积、体积这些量中，哪些是 数量？哪些是向量？ 数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、 向量有：重力、速度、加速度
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练习: 练习
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定成 命题： 成立， 成立 一定成 立
×
BACK
25
练习： 练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且 存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
0 c =____
BACK
26
练习： 练习：
1.与非零向量 a 平行的向量中，
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点的轨迹是什么图形？ 它们的终点的轨迹是什么图形？
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三：向量之间的关系
3.平行向量的定义： 3.平行向量的定义： 平行向量的定义 非零向量叫做平行向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 我们规定零向量 零向量与任一向量平行 我们规定零向量与任一向量平行
BACK
22
在下列结论中，哪些是正确的？ 在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终 如果两个向量相等， 点分别重合； 点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； 模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； 如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。 两个相等向量的模相等。 正确的有： ） 正确的有：（4）
A B D
记作： = DC AB
C
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人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件
a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表 示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
•
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
第三十三页，共59页。
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时， 则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
新课标人教版课件系列
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
新课标人教版课件系列
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
2014年人教A版必修四课件 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1. 设非零向量 a, b, c, 满足 |a||b||c|, abc, 则 a 与 b 的夹角等于 ( B ) (A) 150 (B) 120 (C) 60 (D) 30
解: 由三角形法则作 abc,
由 |a||b||c| 得三角形是等边三角形. 得 a 与 b 的夹角应是 120.
练习: (补充) 1. 如图, 已知向量 e1、e2, 求作下列向量: (1) 3e12e2; (2) 4e1-e2; e1 e2 (3) - 2e1 1 e2 . 2
习题 2.3 B组 第 3 题.
练习: (补充) 1. 如图, 已知向量 e1、e2, 求作下列向量: (1) 3e12e2; (2) 4e1-e2; e1 e2 1 2 e e2 . (3) 1 2
问题2: 下面标注的角中, 哪些角等于向量 a 与 b 的夹角? a a b a a b a b b b b b b b a ① ② ③ ④ ⑤ 标注的角等于向量 a 与 b 的夹角的有 ① ④ ②③⑤中, 标注的角与向量 a 与 b 的夹角互补.
问题3. 在等边三角形ABC中, D是BC的中点. (1) 向量 AB与 AC 的夹角是多少? 60 (2) 向量 AB与 AD的夹角是多少? 30 (3) 向量 AD与 BC 的夹角是多少? 90 (4) 向量 AB与 BC 的夹角是多少? 120
A a (1) 作OA a, O E e (2) 作OB e1 , 2 C e1 (3) 作CA e2 , B (4) 作 EA 2CA 2e2 , 使点E在OB上, (5) 取一个实数1, 使 OE 1OB 1e1, 则 a OE EA 1e1 2e2 .
(二) 向量的夹角
设两非零向量 OA a, OB b , 则∠AOBq 叫向量 a 与 b 的夹角.