MATLAB_简介(5)MATLAB数值积分与微分
Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程
Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程在数学领域中，微积分和微分方程是基础且广泛应用的概念。
而随着科学技术的不断发展，分数阶微积分和分数阶微分方程也逐渐引起了人们的关注。
Matlab作为一个功能强大的计算工具，可以方便地进行分数阶微积分与分数阶微分方程的研究和计算。
一、分数阶微积分传统的微积分是指整数阶的微分和积分运算，而分数阶微积分则是对于非整数阶的微分和积分运算的研究。
与整数阶微分相比，分数阶微分具有非局部性和非线性等特点。
在Matlab中，有多种方法可以实现分数阶微积分的计算。
其中之一是使用分数阶积分算子进行计算，该算子可以通过Matlab的Symbolic Math Toolbox进行定义和操作。
另一种方法是使用分数阶微分和积分的数值逼近方法，例如Riemann-Liouville和Caputo等方法。
这些方法的选择取决于具体问题的要求和计算的精度。
二、分数阶微分方程分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的方程。
与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程具有更广泛的应用领域和更复杂的数学性质。
解析求解分数阶微分方程往往困难，因此数值方法成为研究和求解的重要手段。
在Matlab中，可以使用多种数值方法求解分数阶微分方程。
例如，可以使用分步法（如Euler方法和Runge-Kutta方法）进行数值求解，也可以使用有限差分法和有限元法等传统的数值方法进行近似计算。
此外，还可以使用Matlab的Fractional Calculus Toolbox等工具箱进行计算和分析。
分数阶微分方程的求解不仅仅包括初值问题，还包括边值问题和参数估计问题。
初值问题是指在一定的初始条件下，求解微分方程的解；边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程的解；参数估计问题是指在给定部分信息的情况下，估计微分方程中的未知参数。
对于不同类型的问题，需要选择合适的数值方法和工具进行求解。
三、应用案例分数阶微积分与分数阶微分方程在许多领域都具有广泛的应用。
matlab微分与积分
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是用高
阶自适应递推法，该函数可以更精确地求 出定积分的值，且一般情况下函数调用的 步数明显小于quad函数，从而保证能以更 高的效率求出所需的定积分值。
(3) fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩 阵而言的函数调用格式，前者的功能与 FFT(X)基本相同，而后者则与FFT(X,N) 基本相同。只是当参数dim=1时，该函数 作用于X的每一列；当dim=2时，则作用于 X的每一行。
数值微积分以及数值分析
2020/5/17
1
数值微分
数值微分的实现 两种方式计算函数f(x)在给定点的数值导数：1.用多项式或
者样条函数 2. 利用数据的有限差分
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计 算向前差分的函数diff，其调用格式为：
DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)， i=1,2,…,n-1。
I=
2.4674
2020/5/17
8
3．Trapz : 计算梯形面积的和来计算定积分 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分
问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系 Y=f(X)。
例 用trapz函数计算定积分。 命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =
• Help dell2
2020/5/17
3
数值积分
数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－ 柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用 的方法。它们的基本思想都是将整个积分 区i积=1间分,2[问,a…,题b,n]分就，成分其n解中个为x子1=求区a和，间问x[nx+题1i,=x。bi+。1]，这样求定
第7章 MATLAB数值积分与数值微分PPT教学课件
MATLAB数值积分 MATLAB数值微分
2020/12/10
1
7.1 数值积分
7.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单方法：
梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯 (Newton-Cotes)法等方法。它们的基本思想都是 将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]， i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。求定积分问题就分 解为求和问题。
其中，fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，默认时取trace=0。返回参数I即 定积分值，n为被积函数的调用次数。
2020/12/10
3
例7-1 求定积分。
2020/12/10
10
例7-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =
0.2858
2020/12/10
Байду номын сангаас11
7.1.3 多重定积分的数值求解
MATLAB提供的dblquad函数用于求二重积分的数值 解，triplequad函数用于求三重积分的数值解。函 数的调用格式为
2020/12/10
2
7.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数和 quadl函数来求定积分。函数的调用格式为：
[I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace)
MATLAB_简介(5)MATLAB数值积分与微分
二重积分dblquad()与三重积分
0
2
[ y sin(x ) x cos(y )]dxdy
fun=inline('y*sin(x)+x*cos(y)')
Q=dblquad(fun,pi,2*pi,0,pi) Q = -9.8698 [x,y]=meshgrid(pi:.1:2*pi,0:.1:pi); z=fun(x,y); mesh(x,y,z)
>> plot(x,y,'o',x,y)
>> title('y(x) data plot') >> ylabel('y(x)'), xlabel('x') >> dy=diff(y)./diff(x); >> xd=x(1:length(x)-1); >> plot(xd,dy) >> title('Approximate derivative using diff') >> ylabel('dy/dx'), xlabel('x')
注意二者皆以后向差分计算且数据点只剩 4 个 而不是5个。而 dy/dx 的 数值微分则为 dy/dx=diff(y)./diff(x)。 因此要计算下列多项式在 [-4, 5] 区间的微分
>> x=linspace(-4,5); % 产生100个x的离散点
>> p=[1 -3 -11 27 10 -24]; %被积函数各项的系数
%函数计算的次数n
q= -0.4605 n= 53
再来看一个积分式
matlab数值积分
Matlab数值积分引言数值积分是一种计算近似定积分的方法，通过将积分区间划分成若干小区间并计算每个小区间上的函数面积之和来逼近定积分的值。
Matlab提供了多种数值积分的方法，使得用户能够方便地进行数值积分计算。
本文将介绍Matlab中常用的数值积分函数和方法，并通过示例演示其具体用法。
数值积分函数在Matlab中，常用的数值积分函数有： - quad：用于一维定积分的自适应数值积分函数。
- dblquad：用于二维定积分的自适应数值积分函数。
- triplequad：用于三维定积分的自适应数值积分函数。
- quad2d：用于二维定积分的数值积分函数（不支持自适应）。
- integral：用于一维定积分的自适应数值积分函数（推荐使用quad替代）。
接下来将分别介绍这些函数的用法。
一维定积分quad函数quad函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数。
其语法如下：[q,err] = quad(fun,a,b)[q,err] = quad(fun,a,b,tol)[q,err] = quad(fun,a,b,tol,[],p1,p2,...)•fun是用于计算被积函数的句柄或函数名称。
•a和b是积分区间的上下限。
•tol是计算精度（可选参数，默认值为1e-6）。
•p1,p2,...是传递给函数fun的额外参数（可选参数）。
quad函数将返回两个值： - q是定积分的近似值。
- err 是估计的误差。
下面是一个使用quad函数计算一维定积分的示例：fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数a = 0; % 积分下限b = 1; % 积分上限[q,err] = quad(fun,a,b); % 计算积分disp(['定积分的近似值：', num2str(q)]);disp(['估计的误差：', num2str(err)]);integral函数integral函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数，与quad函数功能类似。
数值积分与数值微分matlab
2 数值微分
2.1 数值差分与差商
任意函数f(x)在x点的导数是通过极限定义的：
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h f ( x ) f ( x h) f ( x) lim h 0 h f ( x h / 2) f ( x h / 2) f ( x) lim h 0 h
( x2k , f 2k ), ( x2k 1, f 2k 1 ), ( x2k 2 , f 2k 2 ) k 0,1, , m 1
数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad 函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fun',a,b,tol,trace) 其中fun是被积函数名。a和b分别是定积分 的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺 省时取tol=10-6。返回参数I即定积分值，n为被积函数
1
2
x2 / x
sin( x y)dxdy
2
clear • f=@(x,y)(exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)); • I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I= 1.5745
1 2
I
1 2
e
x2 / x
sin( x y)dxdy
2
例6 计算三重定积分 命令如下： fxyz=@(x,y,z)(4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x)); triplequad(fxyz,0,pi,0,pi,0,1,1e-7) ans= 1.7328
数值积分
• • • •
z1=trapz(x,y1); z2=trapz(x,y2); z=z2-z1; area=(z/(18*18))*40*40
matlab 微分积分
matlab 微分积分Matlab是一种功能强大的数学软件，广泛用于解决各种科学和工程问题。
其中一个常见的应用领域是微分积分。
在本文中，我们将深入探讨Matlab在微分积分方面的应用，并提供一些对这一主题的观点和理解。
首先，让我们从微分开始。
微分在数学中是一个重要的概念，也是Matlab中的一个核心功能。
通过Matlab，我们可以计算函数的导数、局部斜率以及函数图形的曲线特性。
例如，我们可以使用Matlab计算函数f(x) = x^2的导数。
下面是一段Matlab代码示例：```matlabsyms xf = x^2;df = diff(f, x);```在这个例子中，我们使用了Matlab的Symbolic Math工具箱（Symbolic Math Toolbox）来定义符号变量x和函数f，并使用diff 函数计算函数f的导数，存储在df变量中。
通过这样的方式，我们可以轻松地计算复杂函数的导数。
接下来，让我们转向积分。
积分在数学中也是一个重要的概念，用于求解函数的面积、曲线的长度和求解一些实际问题。
Matlab提供了多种方法来进行数值积分和符号积分。
对于简单的积分问题，可以使用Matlab的int函数进行符号积分计算。
例如，对于函数f(x) = x^2的定积分，我们可以使用以下代码：```matlabsyms xf = x^2;integral = int(f, x, 0, 1);```在这个例子中，我们使用了Matlab的int函数来计算函数f在区间[0, 1]上的定积分，结果存储在integral变量中。
这样，我们就可以得到函数f在指定区间上的面积。
除了符号积分，Matlab还提供了一些数值积分方法，例如梯形法则、辛普森法则和高斯积分法。
这些方法适用于更复杂的积分问题，可以通过Matlab的integral函数进行计算。
例如，我们可以使用Matlab 计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, pi]上的数值积分，如下所示：```matlabf = @(x) sin(x);integral = integral(f, 0, pi);```在这个例子中，我们使用了Matlab的函数句柄（function handle）来定义函数f，然后使用integral函数计算函数f在指定区间上的数值积分。
(整理)Matlab积分.
一.数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MA TLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例8-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S = 0.9008n = 772．牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MA TLAB给出了quad8函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。
•该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)I = 2.4674分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。
调用函数quad求定积分：format long;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254766n = 65调用函数quad8求定积分：format long;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254754n = 333．被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。
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和 trapz比较，quad, quad8不同之处在于这二
者类似解析式的积分式，只须设定上下限及
定义要积分 的函数；而 trapz则是针对离散点
型态的数据做积分。
我们看一简单积分式 以下为 MATLAB 的程式
>> a=0; b=0.5;
>> kq=quad('sqrt',a,b)
kq =
0.2357
4 0 1 x 2 dx 3.14159
1Leabharlann 3. 分别利用Matlab命令行和M文件形式计算以下 函数的一阶导数（分别利用后向差分和中央差 分）: exp(x)
>> f=polyval(p,x);
>> plot(x,f) % 将多项式函数绘图
>> title('Fifth-deg. equation')
>> dfb=diff(f)./diff(x); % 注意要分别计算diff(f)和diff(x) >> xd=x(2:length(x)); % 注意只有99个df值，而且是对
MATLAB_简介(4) MATLAB数值积分与微分
Matlab数值积分 MATLAB提供最简单的积分函数是梯形法
trapz，我们先说明梯形法语法trapz(x,y)，其 中x,y分别代表数目相同 的阵列或矩阵，而y 与x的关系可以由是一函数型态（如y=sin(x)） 或是不以函数描述的离散型态。 我们看一简单积分式 以下为 MATLAB 的程式
Matlab数值积分
>> x=0:pi/100:pi;
>> y=sin(x);
>> k=trapz(x,y)
k=
1.9998
clear x=sort(rand(1,101)*pi); y=sin(x); trapz(x,y) ans = 1.9981
rand(1,101)产生 101个均匀随机数, 每个数都介于0-1 之间
Matlab数值微分
若有一函数 f(x) 在x=a 的微分可表示为
上述微分项在几何上的意义为在 x=a 点的切 线斜率. 下面介绍的差分表示式，数值差分 即是用来求数值微分的方法。
差分表示法
我们知道一微分项的计算，可以在二相邻点 x+h 和 x 间函数取下列极限求得
若将原连续的空间以多个离散点取代。则上述 的极限以离散点的方式计算， 即是以下的差分 式 (difference equation)
%函数计算的次数n
q= -0.4605 n= 53
再来看一个积分式
L
2
0
cos(t ) 4 sin(2t ) 1dt
2 2
Function f=len(t) f=sqrt(cos(t),^2+4*sin(2t),^2+1);
存为Len.m
>>Lenth=quad(‘Len’,0,2*pi)
差分表示法
上式被称为前向差分
而高阶微分项可以利用低阶微分项来计算，举例 来说一个二阶微分式可以表示为
上述提及的后向差分式
，在
MATLAB 有对应的diff 函数来计算二相邻点
的差值， 它的语法为 diff(x)，其中 x代表一组
离散点 。假设有x, y(x)的数
据为 x=[1 3 5 7 9], y=[1 4 9 16 25] 则 diff(x)=[2 2 2 2], diff(y)=[3 5 7 9]，
>> deno=x(3:length(f))-x(1:length(f)-2); % 注意中
央差分是 x(k+1)-x(k-1)
>> df_c=num./deno;
>> xd=x(2:length(x)-1); % xd的点数只有98个
>> plot(xd,df_c)
>> title('Derivative of fifth-deg. polynomial')
MATLAB 另外提供二种积分函数，它们分别
是辛普森法 quad 和牛顿-康兹法 quad8。三种
方法的精确度由低 而高，分别为 trapz, quad,
quad8。
由于这二种方法依据的积分法不同于梯形法， 因此它们的语法就和 trapz 不同；其语法为 quad('function',a,b) （quad8语法相同），其 中function是一已定义函数的名称（如sin, cos, sqrt, log 等），而 a, b是积分的下限和 上限。
注意二者皆以后向差分计算且数据点只剩 4 个 而不是5个。而 dy/dx 的 数值微分则为 dy/dx=diff(y)./diff(x)。 因此要计算下列多项式在 [-4, 5] 区间的微分
>> x=linspace(-4,5); % 产生100个x的离散点
>> p=[1 -3 -11 27 10 -24]; %被积函数各项的系数
二重积分dblquad()与三重积分
0
2
[ y sin(x ) x cos(y )]dxdy
fun=inline('y*sin(x)+x*cos(y)')
Q=dblquad(fun,pi,2*pi,0,pi) Q = -9.8698 [x,y]=meshgrid(pi:.1:2*pi,0:.1:pi); z=fun(x,y); mesh(x,y,z)
以下的例子是针对数据组为离散型态，要注意 的是原数据所代表的函数分布并无明显的折角，
但是它的 一阶微分经数值微分计算后的微分函
数分布却有极大的曲折变化。 >> x=0:0.1:1;
>> y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56
9.48 9.30 11.2];
应x2,x3,...,x100的点
>> plot(xd,dfb ) % 将多项式的微分项绘图 >> title('Derivative of fifth-deg. equation')
>> num=f(3:length(f))-f(1:length(f)-2); % 注意中
央差分是 f(k+1)-f(k-1)
>> plot(x,y,'o',x,y)
>> title('y(x) data plot') >> ylabel('y(x)'), xlabel('x') >> dy=diff(y)./diff(x); >> xd=x(1:length(x)-1); >> plot(xd,dy) >> title('Approximate derivative using diff') >> ylabel('dy/dx'), xlabel('x')
而高阶微分项可以利用低阶微分项来计算，举 例来说一个二阶微分式可以表示为
对应的差分式有
第六次实习
1. 练习Matlab数值积分和数值微分: 2. 分别利用Matlab命令行trapz(x,y),
quad ('function',a,b), quad8 ('function', a, b) 和M文件形式计算以下数值积分:
>> kq8=quad8('sqrt',a,b)
kq8 =
0.2357
clear fun=inline('1./(x.^3-2*x-5)')
2
0
1 dx 3 x 2x 5
ezplot(fun,[0,2])
[q,n]=quad(fun,0,2) % [q,n] = quad(fun,a,b,⋯) %同时返回