第六章_定积分98334教学讲义

b
则f(x)dx0.(ab) a
推论1 若 f(x ) g (x )x , [a ,b ],
则bf(x)dx
b
g(x)dx.
a
a
进 一 步 ， 若 f ( x ) g ( x ) ， 且 f ( x ) 和 g ( x ) 不 恒 等 ， 则 有
b
b
af(x)dxag(x)dx.
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4. 规定:
b
（ 1） 当 ab时 ，f(x)dx0； a
b
a
（ 2） 当 ba时 ，f(x)d xf(x)d x.
a
b
5. 由定义不难得到:
b
a1dx ba.
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三、定积分的几何意义
f(x)0,
b
f (x)dx S
曲边梯形的面积
a
f(x)0,
b
f(x)dxS
b
b
b
f ( x)dx f (t)dt f (u)du
a
a
a
2. 有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；
3. 可积的充分条件：
闭 区 间 [ a ,b ] 上 连 续 的 函 数 必 在 [ a ,b ]是 可 积 的 ； [ a , b ] 上 有 有 限 个 间 断 点 的 有 界 函 数 在 [ a , b ] 也 可 积 .
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x )d x ag (x )d x
（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）
性质2
b
b
k(fx)dxk f(x)dx
(k为常数)
a
a
性质1,2合称线性性.
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性质3
b
c
b
f(x)d x f(x)d x f(x)d x
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b
b
推论2 | f(x)dx| |f(x)|dx (ab)
a
a
证 |f ( x ) | f ( x ) |f ( x ) | ,
b
b
b
a |f(x )|d x af(x )d x a|f(x )|d x ,
b
b
即 |af(x)dx|a|f(x)|dx.
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性质5（估值定理）
设 M 及 m 分 别 是 f(x )在 区 间 [ a ,b ]上 的 最 大 值 及
最 小 值 ， 则
b
m (ba)af(x)d xM (ba).
y
M
oa
m
bx
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性质6（定积分中值定理）
设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 , 则 存 在 [ a , b ] , 使
记为
积分上限
积分和
abf(x)dxl i0m i n1 f(i)xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
积
分
表 达 式
变 量
[a, b]：积分区间
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说明：
b
1. f(x)dx是 一 个 数 值 ,它 只 与 被 积 函 数f(x)与 积 a 分 区 间 [a,b]有 关 ,而 与 积 分 变 量 用 什 么 字 母 无 关 ,如
在每个小[区 xi1,间 xi]
上任取一 i，点 o a x 1
b x i1 i x i xn1
x
以 [xi1,xi]为底 f(i， )为高的小矩形面
A if(i) xi 近似
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曲边梯形面积的近似值为
n
Af(i )xi
i1
求和
当分割无限加,即细小区间的最大长度
max{x1,x2,xn}
趋近于零 ( 0)时，
（1）分割
曲边梯形面积为
（2）近似
n
Alim 0i1
f(i)xi
取极限
（3）求和 （4）极限
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二、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入 若干个分点a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ，
bf(x)dxf()b (a). a
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积分中值公式的几何解释：
y
f ( )
o a
在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
个 点 ， 使 得 以 区 间 [ a ,b ] 为
证略.
a
a
c
说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.
例如, abc,
c
b
c
af(x)d xaf(x)d xbf(x)d x
则
b
c
c
f(x)d x f(x)d x f(x)d x
a
a
b
c
b
af(x)dxcf(x)dx.
这个性质称为定积分的区间可加性.
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性质4 如 果 在 区 间 [a ,b ]上 f(x ) 0 ，
曲边梯形面积的相反数
a
y
y f(x)
y
a
o
b
x
ao
bx
y f(x)
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A1 A2
A3 A4
a bf(x)dxA 1 A 2A 3 A 4
若要求阴影部分的面积, 则为
b
a | f (x)|dx.
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第二节 定积分的性质
在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑 积分上下限的大小．
如 果 不 论 对 [a,b]怎样的分法， 也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上 n
点 i怎 样 的 取 法 ， 若 l i0m i1f( i)xi 存 在 ，
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我 们 称 这 个 极 限 为 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ，
把 区 间 [ a ,b ] 分 成 n 个 小 区 间 ， 各 小 区 间 的 长 度 依 次 为 x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ,在 各 小 区 间 上 任 取 一 点
n
i (i[xi1,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi])， 作 和 Sf(i) xi，
记 maxx1{,x2, ,xn}i ， 1
第六章
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第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例：求曲边梯形的面积
由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (a<b)及x轴所围成的平面图形的面积
y
y f(x)
A?
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ao
bx
2
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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曲边梯形如图所示，在区间 [a,b]内插入若干
个 a 分 x 0 x 1 x 2 点 x n 1 x ， n b ,
把 区 间[a,b] 分 成n
分割
y
个小区间[xi1, xi ]， 长度为xi xi xi1;