非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算
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29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
I = 1 T
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数： 可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为： 代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 对于同一非正弦周期电流， 量时，会得到不同的结果。例如： 量时，会得到不同的结果。例如： 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 用磁电系仪表（直流仪表）测量， 的恒定分量； 的恒定分量； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 因此，在测量非正弦周期电流和电压时， 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数： 可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为： 代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 对于同一非正弦周期电流， 量时，会得到不同的结果。例如： 量时，会得到不同的结果。例如： 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 用磁电系仪表（直流仪表）测量， 的恒定分量； 的恒定分量； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 因此，在测量非正弦周期电流和电压时， 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W
29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算(课堂PPT)
uL _ c LuC_ C
d
40.03cos(71t) 31.12cos(91t) V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。
解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
电流相量一般表达式为：
•
•
•
I m(k)
U sm(k )
Z k1
U sm( k )
R jk1L j
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波 重点：
１、有效值、平均值和平均功率 ；
２、非正弦周期电流电路的计算 。
1
一、知识回顾
１、非正弦周期信号 ２、傅里叶级数
2
１、非正弦周期信号
（１）、非正弦周期信号
1
k1C
14
Z k1 3
j 0.429k
21 k
31
j 0.143k
7 k
(k )
arctan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(
k
)
•
U
sm
(
k
)
(k)
P(k )
1 2
I2 m(k )
•R
1.5
I
2 m
(
k
)
k 1
(1) 81.70 o (容性)
•
I m(1) 13.47 81.70 o A P(1) 272 .33W
（２）、谐波分析法
a、傅里叶级数的分解 b、应用叠加定理分别计算各项 c、叠加得到响应
非正弦周期电流电路的分析与计算
因此
P I2 R (
0.866 2 ) 100 37.5W 2
8.2 非正弦周期电流电路的有效值和平均功率(5)
（2）us1 和us2频率不同，可用叠加定理计算平均功率。 100 2 i R=100Ω ( ) 2 us1单独作用时： P1 U s1 2 50W R 100 +
uo2 1.6 2 sin(2t 116.6o )V
8.3 非正弦周期电流电路的分析与计算(4)
三次谐波分量sin3t单独作用时，等效电路为： 1Ω + U3 j3Ω
j 0.33 1 j 0.33 j 0.33 1 j 0.33
求得
U 3 0.08 139.4o V
2 us2单独作用时： P U s 2 50 25W 2 R 100 2
+ us2
-
us1
-
所以平均功率为：P=P1+P2=75W
100 2 ) 2 U s1 2 50W P1 R 100 50 2 ( ) 2 U s2 P2 2 12.5W R 100 (
（3）us1 和us2频率不同，可用叠加定理计算平均功率。 us1单独作用时： us2单独作用时：
1Ω
uo(t)
-
求得： uoo=5V
8.3 非正弦周期电流电路的分析与计算(3)
基波分量100sint单独作用时，等效电路为： j1Ω j1 1Ω
+
U1 –
+
求得
U o1
1 j1 j1 1 j1
1 j1
U 1 31.6 63.4o V
-j1Ω 1Ω uo1(t) -
10 2 2 2 ( ) ( ) 7.21 A 2 2
电路原理10.3.1非正弦周期电流电路的功率 - 非正弦周期电流电路的功率,非正弦周期电流电路的计算
+
i(3)
U R
uab uab(0) + uab(1) + uab(3)
[(U + 110 2)sin(t - 90o ) + 110 2 sin(3t - 180o )]V
由功率表读数，可得
P I 2R (U )2 R U 2
R
R
U PR 220 2 V
uab [330 2 sin(t - 90o ) + 110 2 sin(3t -180o )]V
k 1
k 1
U0 I0 + U0 Ikmcos(k1t + ik ) + I0 Ukmcos(k1t + uk )
k 1
k 1
i
+ Ukmcos(k1t + uk ) Ikmcos(k1t + ik )
+
k 1
k 1
u
N
该一端口吸收的平均功率定义为 P 1
T
p(t )dt
T0
-
P
I
0(0)
2A
I&1(1) I&2(1)
18.55 - 21.8o 5.5556.31o A
A
I&0(1)
20.43
-
6.38o
A
I&1(3) I&2(3)
6.4 - 20.19o A 4.4756.57o A
I&0(3)
8.6110.17o
A
把以上求得的基波分量、三次谐波分量化为瞬时值，属于同一
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非正弦周期电流电路
u(3) 70.7cos(31t + 30o )V，XL(1) 2Ω，XC(1) 15Ω，R1 5，R2 10
电路与电工基础项目6.3 非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率
i(t) I0 Inm sin(nt in ) n 1
当电压、电流取关联参考方向时，则此二端口 吸收的瞬时功率为
8
pt utit U0
1
Unm sinnt nu I0
1
Inm sinnt ni
模块六 非正弦周期电流电路
•项目6.1 非正弦周期量 •项目6.2 非正弦周期量的谐波分析 •项目6.3 非正弦周期量的有效值、平均 值 和平均功率 •项目6.4 非正弦周期电流电路的计算
1
模块六 非正弦周期电流电路
【知识目标】 了解非正弦周期量分解为傅立叶级数的方法，了解 频普的概念。掌握应用谐波分析法计算非正弦周期电流 电路。掌握非正弦周期电流电路中的有效值、平均值以 及有功功率的计算。了解波形因数和不同测量仪表读数 的含义。 【技能目标】 1．学会非正弦周期量的有效值、平均值、平均功率的 计算。 2．学会对非正弦周期电流电路的分析和计算方法。 【课时安排】6课时。
注意，非正弦周期量的有效值和最大值之间不 存在 1 的关系。
2
6
6.3.2 平均值、整流平均值
• 在工程实践中经常用到平均值的概念，以电
流 i 为例，其定义由下式表示：
T
Iav
1 T
T 0
Im
sint dt
4 T
4 0
s in tdt
0.637Im
0.898I
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值
• 电压和电流的有效值分别用相应的大写字 母U 、I 表示。 根据周期量有效值的定义，有效值
4
I 1 T i2d t
T0
将 i(t) 按照傅里叶级数形式展开，则有
当电压、电流取关联参考方向时，则此二端口 吸收的瞬时功率为
8
pt utit U0
1
Unm sinnt nu I0
1
Inm sinnt ni
模块六 非正弦周期电流电路
•项目6.1 非正弦周期量 •项目6.2 非正弦周期量的谐波分析 •项目6.3 非正弦周期量的有效值、平均 值 和平均功率 •项目6.4 非正弦周期电流电路的计算
1
模块六 非正弦周期电流电路
【知识目标】 了解非正弦周期量分解为傅立叶级数的方法，了解 频普的概念。掌握应用谐波分析法计算非正弦周期电流 电路。掌握非正弦周期电流电路中的有效值、平均值以 及有功功率的计算。了解波形因数和不同测量仪表读数 的含义。 【技能目标】 1．学会非正弦周期量的有效值、平均值、平均功率的 计算。 2．学会对非正弦周期电流电路的分析和计算方法。 【课时安排】6课时。
注意，非正弦周期量的有效值和最大值之间不 存在 1 的关系。
2
6
6.3.2 平均值、整流平均值
• 在工程实践中经常用到平均值的概念，以电
流 i 为例，其定义由下式表示：
T
Iav
1 T
T 0
Im
sint dt
4 T
4 0
s in tdt
0.637Im
0.898I
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值
• 电压和电流的有效值分别用相应的大写字 母U 、I 表示。 根据周期量有效值的定义，有效值
4
I 1 T i2d t
T0
将 i(t) 按照傅里叶级数形式展开，则有
第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算 PPT课件
布置作业
１、Ｐ３４１ １３－６ 思考题： １、Ｐ３４２ １３－７
１３－８ 预习：§１４－１ §１４－２
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
U1m(0) 100V (直流分量) U1m(2) 3.55 175.21o V U1m(4) 0.171 177.69o V
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
１、三类对称组：正序、负序和零序组。 ２、线电压中不含零序对称组谐波分量。 ３、星形负载中的情况（有无中线）。 ４、三角形负载中的情况
１、有效值 ２、平均值 ３、平均功率
１、有效值
任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0 [I0
Ikm cos(k1t k )]2 dt
1
k1C
Z k1 3
j 0.429k
21 k
31
j 0.143k
7 k
(k )
arctan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(
k
)
•
电流平均值和有效值计算公式
电流平均值和有效值计算公式
电流平均值和有效值是电流的基本参数，也是电路设计和计算中常用的参数。
电流平均值是指一段时间内电流大小的平均值，通常用于直流电路分析；有效值是指交流电流大小的平均值，通常用于交流电路分析。
下面是电流平均值和有效值的计算公式：
1. 直流电流平均值的计算公式：
I平均 = (I1 + I2 + … + In) / n
其中，I1、I2、…、In为电流的各个采样值，n为采样值的个数。
2. 交流电流有效值的计算公式：
Irms = √[(I1 + I2 + … + In) / n]
其中，I1、I2、…、In为电流的各个采样值，n为采样值的个数。
根据以上公式，可以计算出电流的平均值和有效值，从而为电路设计和计算提供基础数据。
需要注意的是，在实际应用中，电流的波形和频率也会对平均值和有效值的计算产生影响，因此需要对具体情况进行分析和计算。
- 1 -。
非正弦周期信号的分解及有效值、平均功率
k 1
k 1
式中： k uk ik
可见：非正弦周期电流电路的平均功率为直流分量的功率
与各次谐波单独作用时的平均功率之和。
同时可知：不同次的谐波电流与电压之间，只能构成瞬时 功率，不能构成平均功率。只有同次谐波的电流与电压之间， 才能既构成瞬时功率，又构成平均功率。
P181 [例6 －1] 求电动系电压表v、电 流表A和功率表W的读数。
解：电压表读数是u的有效值
U 102 (141.4)2 ( 28.28)2 102.5V
加，波形比较接近方波， 次谐波的叠加，更接近
但起伏较大
原方波，还有些小的起伏
方波电流信号的傅里叶级数为:
f
(t)
4Im
sin t
1 sin 3t
3
1 sin 5t
5
1 sin kt
k
其中k取奇数，取多少项为好依计算要求的精确度而定。
分解出来的各次谐波，随着 频率的增加振幅衰减。这种规律 体现在频谱图中。方波信号的频 谱图见右图。
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
3
1 sin(5t)+...+ 1 sin(kt)+...]
5
k
名称
全波整 流波
波形图
傅立叶级数
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直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …
返回 上页 下页
各相的初相分别为
A相
k
B相 k (2n 1)2π
C相 k (2n 1)2π
③令 k =6n+5，即：k =5,11,17, …
F
直流作用： i1 iS 5A
返回 上页 下页
iS
i1
100 L
i2 i3
C1
C2
C3 200
iiSS ii12 i3
C3
100 200
一次谐波作用： i2 (t) iS 20cos(1000t ) A
三次谐波作用：I3(3)
100 10 100 200 j103
A 2.23 3
48 A
k 1
P
1 T
T
0
u
idt
利用三角函数的正交性，得
P U0I0 Uk Ik cosk k 1 P0 P1 P2
(k uk ik )
返回 上页 下页
P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
返回 上页 下页
13-4 非正弦周期电流电路的计算
C2 200
解 C1中只有基波电流，说明L和C2对三次谐波发
生并联谐振。即
C2
1
2L
1 9 105
F
返回 上页 下页
iS
i1
100 L
i2 i3
C1
C2
C3 200
C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一 次谐波发生串联谐振。即
1 L C2 0
jC1 j(L 1 C2 )
C1
9
8 105
解 2π /T 2π 103rad/s
u(t) 12 12cos( t)
8
+ u
–C
i1 2 : 1 i2
+
*
* L
u 2
–
当u=12V作用时，电容 24 u/V 开路、电感短路，有
i1 12 /8A 1.5A 12
u2 0
O
0.5
1
t/ms
返回 上页 下页
当 u 12cos( t)作用时
则有效值:
I
1 T
T
0
i2
t
dt
1 T
T
0
I
0
k 1
I km
coskt
k
2
dt
返回 上页 下页
I
1 T
T
0
I
0
k 1
I km
coskt
k
2
dtLeabharlann 1TT 0
I02dt
I
2 0
1
T
T 0
I2 km
cos2 (k1t
k
)dt
I
2 k
1 T
T
0
2I0
cos(kt
k
)dt
0
1 T
T
0
2 I km
cos(kt
U0 RIS0 20 78.5106 V 1.57mV
返回 上页 下页
（b)基波作用 iS1 100sin(106t) μA
1
1
Ω 1kΩ
1C 106 1000 1012
iS
1L 106 103Ω 1kΩ
XL>>R
+ R
Cu
L
-
Z (1)
(R R
jX L ) ( jX C ) j( X L X C )
I1(3)
IS
I3(3)
(10
30 )A 9 j10
8.67
11 A
i1(t) [5 8.67cos(3 000t 11 )]A
i3(t) 2.23cos(3 000t 48 )A
返回 上页 下页
*13-5 对称三相电路中的高次谐波
1. 对称三相电路中的高次谐波
设
uA
u(tu)B
0
返回 上页 下页
③三角函数的正交性。
2π
cos(kt) sin( 0
pt)d(t)
0
2π
0cos(kt) cos( pt)d(t) 0
2π
sin( 0
kt)
sin(
pt)d(t)
0
k p
返回 上页 下页
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t) I0 Ikm cos(kt k ) k 1
返回 上页 下页
例4-2 求电路中各表读数(有效值)，
已知 : u [30 120 cos(103t) 60cos(2 103t π) ]V。 4
A1 + a
L1 40mH
C1 A2
25F
c
30 d
L2 V2 10mH
A3
C2 25F
VV11
u
_
b
返回 上页 下页
解
L1 4L01 mH
L2 L120mH
返回 上页 下页
(3)各谐波分量计算结果瞬时值叠加
U0
U1
1.57 mV
5000 0 mV 2
U 3
12.47 2
89.2 mV
U 5
4.166 2
89.53mV
u U0 u1 u3 u5
[1.57 5000 sin(t)
12.47 sin(3t 89.2 )
4.166 sin(5t 89.53 )] mV
XC
1
C
π 2π 103 125 106
4Ω
X I1
L L
U j4
2π
12 j4
103 1 2π
j3A
103
+
U1 U 12 0 V 12 012
U 2
1 n
U1
6
0
V
–
1
8 + 0 -j4 –
振幅相量
8I1 2 I:11 I2
* -j4
j4*j+UU+12
––
U2
6 V 4.243V 2
6
rad/s
返回 上页 下页
电流源各频率的谐波分量为
IS0 78.5μA iS1 100sin106t μA
iS3
100 3
sin
3 106 t
μA
iS5
100 5
sin
5
106 t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0
IS0 78.5μA
+
Ru
-
电容断路，电感短路
iCI1C10
3300 iLI2L20 cc dd
i I0 C1 C251 F
C2 2C52F
aa ++
Uu0
__ bb
(1)U0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。
I0= IL20 = U0/R =30/30A=1A,
IC10=0, Uad0= Ucb0 =U0 =30V
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P 220 6.96cos18.4W 1452.92W 返回 上页 下页
例4-5 已知 :iS [5 20cos(103t) 10cos(3103t) ]A
L=0.1H，C3＝1F，C1中只有基波电流，C3中 只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。
iS
i1
i2 i3
C1
C3
100 L
U1
j40 _ b
Uad1 U1 120 0 V
IC11
jC1U1
120 0 j40
A
3
90
A
并联谐振
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(3) u2=60cos(2 000t+ /4)V作用
2L1 2000 40 103Ω 80Ω, 2L2 2000 10 103Ω 20Ω