平面与平面平行的判定和性质专项测试题B
备战2021高考文数热点题型和提分秘籍 专题42 直线、平面平行的判定及其性质(解析版)
专题四十二直线、平面平行的判定及其性质【高频考点解读】1.以立体几何的有关定义、公理和定理为动身点，生疏和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简洁命题．【热点题型】题型一平行关系基本问题例1、(1)(2021年高考广东卷)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下面命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l∥β(2)已知m、n、l1、l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2【提分秘籍】解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要留意(1)留意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出推断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．【举一反三】设l表示直线，α、β表示平面．给出四个结论：①假如l∥α，则α内有很多条直线与l平行；②假如l∥α，则α内任意的直线与l平行；③假如α∥β，则α内任意的直线与β平行；④假如α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．以上四个结论中，正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【热点题型】题型二直线与平面平行的判定与性质例2、(2021年高考福建卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC ＝5，DC＝3，AD＝4，∠P AD＝60°.(1)当正视方向与向量AD→的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为P A的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．【提分秘籍】证明直线与平面平行，一般有以下几种方法(1)若用定义直接判定，一般用反证法；(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时留意用符号语言叙述证明过程；(3)应用两平面平行的一共性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．【举一反三】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为棱AB的中点，BC＝1，AA1＝ 3.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求三棱锥D－A1B1C1的体积．【热点题型】题型三平面与平面平行的判定与性质例3、(2021年高考陕西卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．【提分秘籍】1.平面与平面平行的几个有用性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)假如两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面相互平行．(6)假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 2.判定平面与平面平行的方法 (1)利用定义；(2)利用面面平行的判定定理； (3)利用面面平行的判定定理的推论； (4)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)； (5)利用线面垂直的性质(l ⊥α，l ⊥β⇒α∥β). 【举一反三】已知平面α∥β，直线a ⊂α，有下列说法： ①a 与β内的全部直线平行；②a 与β内很多条直线平行； ③a 与β内的任意一条直线都不垂直． 其中真命题的序号是________．【热点题型】题型四 立体几何中的探究性问题例4、如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan ∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明．【提分秘籍】解决探究性问题一般要接受执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果动身，查找使这个结论成立的充分条件，假如找到了符合题目结果要求的条件，则存在；假如找不到符合题目结果要求的条件(消灭冲突)，则不存在．常见的类型有：(1)条件探究型 (2)结论探究性．【举一反三】在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又∠CAD ＝30°，P A ＝AB ＝4，点N 在线段PB 上，且PN NB ＝13.(1)求证：BD ⊥PC ； (2)求证：MN ∥平面PDC ；(3)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由．【高考风向标】1．（2022·浙江卷）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α2．（2022·安徽卷）如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．3．（2022·北京卷）如图1-5，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1-5(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E -ABC的体积．4．（2022·湖北卷）如图1-5，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN .图1-55．（2022·江苏卷）如图1-4所示，在三棱锥P -ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC .图1-46．（2022·新课标全国卷Ⅱ）如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD 的体积V ＝34，求A到平面PBC的距离．图1-37．（2022·山东卷）如图1-4所示，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F分别为线段AD ，PC 的中点．图1-4(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .8．（2022·四川卷）在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形． (1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．图1-4【随堂巩固】1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3．已知两条直线a、b与两个平面α、β，b⊥α，则下列命题中正确的是()①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③ B．②④C．①④D．②③4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④5．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α6．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①④D ．①③④7．设互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ，给出下列三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为________．8.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.9．在四周体ABCD 中，M ，N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四周体的四个面中与MN 平行的是________．10．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．11.如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA . 12．如图，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD .(1)求证：AB⊥ED；(2)线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．。
《直线、平面平行的判定及其性质》经典测试题
课题：《直线、平面平行的判定及其性质》经典测试题审核人：陈鹏 出题人：周胜海 主备人： 1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：通过直观感知、操作确认，归纳出判断定理和性质 。
难点：性质定理的证明。
3.内容归纳总结（1）四个定理（2）定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。
这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。
基础题 一、选择题1A 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12MN AC BC ≥+ B ．()12MN AC BC ≤+C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B为正方体的两个顶点，M ，N，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是 。
(完整版)平行线及其判定与性质练习题
平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。
(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。
（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。
（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。
(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。
（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。
2.2_直线、平面平行的判定及其性质 单元测试1_新人教A版必修2
高一数学必修二第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》单元测试一、选择题(每题5分，总25分)1、若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ）A 、过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行B 、 过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行C 、 过A 在平面α内可作两条直线与l 平行D 、 与A 的位置有关2、b a //，P a =⋂α，则b 与α的关系为（ ）A 、 必相交B 、 必平行C 、 必在内D 、 以上均有可能3、下列结论中，正确的有( )①若a α,则a ∥α ②平面α∥平面β,a α,b β,则a ∥b③a ∥平面α,b α则a ∥b ④平面α∥β,点P ∈α,a ∥β,且P ∈a ，则aα A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α;②若直线a 在平面α外，则a ∥α; ③若直线a ∥b,直线bα,则a ∥α; ④若直线a ∥b,b 平面α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.45、若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ）A 、一定平行B 、不平行C 、平行或相交D 、平行或在平面内三、解答题6、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. (10分)7、如图,已知点M 、N 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两棱A 1A 与A 1B 1的中点，P 是正方形ABCD 的中心， 求证：MN ∥平面PB 1C.(10分)8、如图，□EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH．(10分)9、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AP＝B1Q，N是PQ的中点，M是正方形ABB1A1的中心．求证：(1)MN∥平面B1D1；(2)MN∥A1C1．(15分)10、已知平行四边形ABCD与平行四边形ABEF共边AB，M、N分别在对角线AC、BF上，且AM∶AC＝FN∶FB．求证：MN∥平面ADF．(15分)11、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.(15分)。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
高中数学必修二2.2-直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
2022版高考数学一轮复习第8章第3讲直线平面平行的判定与性质训练含解析
第八章第3讲[A级基础达标]1．有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a ∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④【答案】C3．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能【答案】B4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【答案】B5．(2019年枣庄诊断)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为()A．2B．2πC．23D．4【答案】D【解析】连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4.6．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【答案】平面ABD与平面ABC【解析】如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，且EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB．因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC．7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【答案】2 【解析】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，所以F 为DC 中点，所以EF ＝12AC ＝ 2.8．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π3，AC ＝4，M 为AA 1的中点，点P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q ＝3QC ，则PQ 的长度为________．【答案】13 【解析】由题意知，AB ＝8，过点P 作PD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DQ ，则D 为AM 中点，PD ＝12AB ＝4.又因为A 1Q QC ＝A 1D AD＝3，所以DQ ∥AC ，∠PDQ ＝π3，DQ ＝34AC ＝3.在△PDQ 中，PQ ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.9．(2019年南昌模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1．设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥P A．因为MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，所以MN∥平面P AB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°. 又∠BAC＝60°，所以CN∥AB．因为CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CN∥平面P AB．又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面P AB．(2)由(1)知，平面CMN∥平面P AB，所以点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝ 3.所以三棱锥P－ABM的体积V＝V M－P AB＝V C－P AB＝V P－ABC＝13×12×1×3×2＝33.10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1．又因为MC 1∥BF ， 所以BF ∥HD 1．(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 綉12DC ．又D 1G 綉12DC ，所以OE 綉D 1G ，所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D ．(3)由(1)知BF ∥HD 1，又BF ⊄平面B 1D 1H ，HD 1⊂平面B 1D 1H ，所以BF ∥平面B 1D 1H . 又BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面B 1D 1H ，B 1D 1⊂平面B 1D 1H ，所以BD ∥平面B 1D 1H .又DB ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .[B 级 能力提升]11．已知E ，F 分别为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1上的点，且AE ＝12AB ，AF ＝13AA 1，M ，N 分别为线段D 1E 和线段C 1F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线MN 有( )A ．1条B ．3条C ．6条D ．无数条【答案】D 【解析】在线段A 1F 上任取一点H ，过点H 可以作与平面ABCD 平行的平面α，显然D 1E ，C 1F 都与这个平面α相交，连接两个交点的直线必与平面ABCD 平行，故满足条件的直线MN 有无数条12．(多选)(2020年青岛月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有()A．直线A1B B．直线BB1C．平面A1DC1D．平面A1BC1【答案】AD【解析】对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B不平行平面ACD1；对于C，由于A1D∩AD1，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行；对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1，可得平面A1BC1∥平面ACD1．13．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D是A1C1上的点，且A1B ∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．【答案】1【解析】设BC1∩B1C＝O，连接OD．因为A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD．因为四边形BCC1B1是菱形，所以O为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1．14．(2020年北京期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝π2，AA 1＝AB ＝AC＝1，CC 1的中点为H ，点N 在棱A 1B 1上，HN ∥平面A 1BC ，则A 1NA 1B 1的值为______．【答案】12 【解析】取A 1C 1 的中点M ，A 1B 1的中点N ，连接HM ，MN ，由H ，M ，N分别为CC 1，A 1C 1，A 1B 1的中点，得MH ∥A 1C ，MN ∥B 1C 1∥BC ．因为A 1C ⊂平面A 1BC ，MH ⊄平面A 1BC ，所以MH ∥平面 A 1BC ．因为BC ⊂平面A 1BC ，MN ⊄平面A 1BC ，所以MN ∥平面A 1BC ．又MH ∩MN ＝M ，所以平面MNH ∥平面A 1BC ，则NH ∥平面A 1BC ．由N 为A 1B 1的中点，可知A 1N A 1B 1的值为12.15．(2019年河南八市联考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，P A 的中点，点Q 是BC 上的一个动点．(1)当Q 是BC 的中点时，求证：平面BEF ∥平面PDQ ； (2)当BD ⊥FQ 时，求BQQC的值． 解：(1)证明：因为E ，Q 分别是AD ，BC 的中点， 所以ED ＝BQ ，ED ∥BQ ，所以四边形BEDQ 是平行四边形．所以BE ∥DQ . 又BE ⊄平面PDQ ，DQ ⊂平面PDQ .所以BE ∥平面PDQ .又F 是P A 的中点，所以EF ∥PD ． 因为EF ⊄平面PDQ ，PD ⊂平面PDQ ， 所以EF ∥平面PDQ .因为BE ∩EF ＝E ，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ∥平面PDQ .(2)如图，连接AQ ，因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ．因为BD ⊥FQ ，P A ∩FQ ＝F ，P A ⊂平面P AQ ，FQ ⊂平面P AQ ，所以BD ⊥平面P AQ . 因为AQ ⊂平面P AQ ，所以AQ ⊥BD ．在矩形ABCD 中，由AQ ⊥BD 得△AQB 与△DBA 相似，所以AB 2＝AD ×BQ . 又AB ＝1，AD ＝2，所以BQ ＝12，QC ＝32.所以BQ QC ＝13.16．(2020年北京期末)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为平行四边形，点E 为棱PD 的中点．(1)求证：BC ∥平面P AD ；(2)设平面EBC ∩平面P AD ＝EF ，点F 在P A 上，求证：F 为P A 的中点． 证明：(1)因为底面ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ． 因为AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD ．(2)因为平面EBC ∩平面P AD ＝EF ，点F 在P A 上，BC ∥平面P AD ，BC ⊂平面EBC ，所以EF ∥BC ．因为点E 为棱PD 的中点，所以点F 为P A 的中点．[C 级 创新突破]17．(2020年绍兴期中)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，点F 在CC 1上，且CF ＝2FC 1，点P 是侧面AA 1D 1D (包括边界)上一动点，且PB 1∥平面DEF ，则tan ∠ABP 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎦⎤13，133 【解析】如图所示，作出平面MNQB 1∥平面DEF ，则A 1Q ＝2AQ ，DN ＝2D 1N .因为PB 1∥平面DEF ，所以P 的轨迹是线段QN .当点P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值，tan ∠ABP ＝13；当P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值，tan ∠ABP ＝133.所以tan ∠ABP 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，133.18．(2020年衡水一模)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为CD ，PB 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得A ，E ，Q ，F 四点共面？若存在，求出PQQC的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，取P A 的中点M ，连接MD ，MF ，因为F ，M 分别为PB ，P A 的中点，所以FM ∥AB ，FM ＝12AB ．又四边形ABCD 是平行四边形，故AB ∥CD ，AB ＝CD ． 因为E 为CD 的中点，所以DE ∥AB ，DE ＝12AB ．所以DE ∥FM ，DE ＝FM ，则四边形DEFM 为平行四边形，所以EF ∥DM . 因为EF ⊄平面P AD ，DM ⊂平面P AD ． 所以EF ∥平面P AD ．(2)存在点Q 符合题意，且此时PQQC＝2，理由如下：取AB 的中点H ，连接PH 交AF 于点G ，在PC 上取点Q ，使PQ ∶QC ＝2∶1，连接GQ ，HC ．在平行四边形ABCD 中，因为E ，H 分别为CD ，AB 的中点，所以CH ∥AE . 又F 是PB 的中点，所以G 是△P AB 的重心，且PG ∶GH ＝2∶1． 又PQ ∶QC ＝2∶1，所以GQ ∥HC ． 因为CH ∥AE ，所以GQ ∥AE .所以GQ 与AE 确定一个平面α，而F ∈直线AG ， 所以F ∈α，则A ，E ，Q ，F 四点共面．故在线段PC 上存在一点Q ，使得A ，E ，Q ，F 四点共面，此时PQQC＝2.。
平行线的判定练习题(有答案)
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平行线的判定练习题(有答案)篇一：(913)平行线的判定专项练习60题(有答案)ok平行线的判定专项练习60题（有答案)1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．平行线的判定---第1页共1页7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．平行线的判定---第2页共2页13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB 与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行？为什么？平行线的判定---第3页共3页19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF 吗？请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．平行线的判定---第4页共4页26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗？试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．平行线的判定---第5页共5页篇二：七年级平行线的判定与性质练习题带答案平行线测试题姓名：一、选择题1．下列命题中，不正确的是____[]A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______[]（2题）（5题）（3题）(7题)（8题）A．∠ACB=∠BACB．∠ABC+∠BAE=180°C．∠ACB+∠BAD=180°D．∠ACB=∠BAD3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:(1)∠1=∠2(2)∠3=∠6(3)∠4+∠7=180°(4)∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是_________[]A．(1)(3)B．(2)(4)C．(1)(3)(4)D．(1)(2)(3)(4) 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[]A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[] A．AD∥BCB．AB∥CDC．∠3=∠4D．∠A=∠C6．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．无法确定7．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°8．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°二、填空题9．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∠1=∠2，．(2)∠A=∠3，．(3)∠ABC+∠C=180°．10．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．11．同垂直于一条直线的两条直线_______．同一平面内，不重合的两直线的位置关系是。
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平面与平面平行的判定和性质专项测试题B
山东省 胡彬
1．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m ⊂α、n ∥β,则m ∥n ； ②若m ∥α、n ∥β,则α∥β； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β． 其中真命题的个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2. 已知平面βα//,P 是平面βα,外一点,过点P 的直线m 与平面βα,分别交于A,C 两点,过点P 的直线n 与平面βα,分别交于B,D,且,8,9,6===PD AC PA 则BD 的长为
( )
A.16
B.24或
524 C.14 D.20
3.已知直线m 、n 和平面α、β满足: α∥β, m ⊥α, m ⊥n, 则n 与β之间的位置关系 是 ( )
A. n ∥β
B.n ⊂β或 n ∥β
C. n ⊂β
D. n ⊥β
4. 已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：
①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；
③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；
⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.
其中真命题的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5
．
A ．① ②
B ．③④
C ．③
D ．④
6．设α∥β，P ∈α，Q ∈β当P 、Q 分别在平面α、β内运动时，线段PQ 的中点X 也随着运动，则所有的动点X （ D ）
A ．不共面
B ．当且仅当P 、Q 分别在两条平行直线上移动时才共面
C ．当且仅当P 、Q 分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面
D ．无论P 、Q 如何运动都共面
二、填空题
7．过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为__________．
8．已知平面α内存在着n 个点，它们任何三点不共线，若“这n 个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n 的最小值为_________．
9. 已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题：①若
//,m αβα⊂，n β⊂则//m n ；②若,,//,m n m αβ⊂//,n β则//αβ③若
,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ④,m n 是两条异面直线，若//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ．
上面的命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）．
三．解答与证明题
10. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且
B 1E ＝BF,求证：EF ∥平面.BB 1
C 1C.
11．如图，已知：平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，AC 与ＢD 为异面直线，AC ＝6，ＢD ＝8，A Ｂ＝CD ＝10，A Ｂ与CD 成60°的角，求AC 与ＢD 所成的角．
参考答案：
一、选择题：
1．B 提示：只有命题④是真命题。
2. B 提示:分点P 在两个平面的一侧和在两个平面之间,由两个平面平行得交线CD AB //,由相似比得B 选项.
3.B 提示:已知直线m 、n 和平面α、β满足: ∵α∥β, m ⊥α, ∴m ⊥β, 又m ⊥n,故n ⊂β或 n ∥β.
4. A 提示：①③④⑤是假命题,②是真命题,选(A)
5．D 提示：命题④是平面与平面平行的定义.
6．D 提示: 因为任意两个动点X 的连线都与平面α、β平行.由公理3的推论知平行线确定一个平面.
二、填空题
7．12
8．5提示:若是三个点或者是四个点，则这些点有可能存在于平面β的两侧，它们到平面β的距离均相等，但平面α与β不平行。
9. ③④ 解析:
①不正确如图：②不正确如图
③④
答案：③④
三．解答与证明题
10. 证明：作FH ∥AD 交AB 于H ，连结HE
∵AD ∥BC ∴FH ∥BC ，BC ⊂BB 1C 1C
∴FH ∥平面BB 1C 1C 由FH ∥AD 可得BA
BH BD BF = 又BF ＝B 1E ，BD ＝AB 1 ∴BA
BH AB E B =11 ∴EH ∥B 1B ，B 1B ⊂平面BB 1C 1C ∴EH ∥平面BB 1C 1C ，EH ∩FH ＝H
∴平面FHE ∥平面BB 1C 1C EF ⊂平面FHE
∴EF ∥平面BB 1C 1C
11. 解：由α∥β作BE ∥＝
AC ，连结CE ，则ABEC 是平行四边形．∠DBE 是AC 与BD
所成的角．∠DCE是AB、CD所成的角，故∠DCE＝60°．
由AB＝CD＝10，知CE＝10，于是△CDE为等边三角形，∴DE＝10．
又∵BE＝AC＝6，BD＝8，∴∠DBE＝90°．∴AC与BD所成的角为90°．。