求二次函数解析式之对称式
二次函数关于坐标轴对称的抛物线解析式
二次函数关于坐标轴对称的抛物线的解析式例1：（2014•普陀区一模）抛物线y=x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式是___________。
解析：方法一：利用点的对称。
设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于x轴对称的对称点为P′（x，－y）必在抛物线y=x2－1上。
点P′（x，－y）符合解析式。
所以在y=x2－1中，用x代换x， y代换y。
解：根据题意，－y=x2-1，化简得：y=－x2+1，故抛物线y=x2－1关于x轴对称的抛物线的解析式为：y=－x2+1．故答案为：y=－x2+1．总结：抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.方法二：利用顶点式。
抛物线y=x2-1的顶点为（0，－1）。
抛物线y=x2-1关于x轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，但开口的方向改为向下，顶点关于x轴对称。
所以所求抛物线的二次项系数是－1，顶点为（0，1）。
所以，抛物线y=x2-1关于x轴对称的抛物线为y=－x2+1例2：求抛物线y=4x2+8x－4关于y轴对称的抛物线。
解析：方法一、利用顶点式：y=4x2+8x－4=4（x+1）2－8抛物线y=4x2+8x－4的顶点为（－1，－8）。
抛物线y=4x2+8x－4关于y轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，开口的方向保持不变，顶点关于y轴对称。
所以所求抛物线的二次项系数是4，顶点为（1，－8）。
所以，抛物线y=4x2+8x－4关于y轴对称的抛物线为y=4(x－1)2－8.方法二、利用点对称：设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于y轴对称的对称点为P′（－x，y）必在抛物线y=4x2+8x－4上。
点P′（－x，y）符合解析式。
所以在y=4x2+8x－4中，用－x代换x，y代换y得y=4(－x)2+8(－x)－4即y=4x2－8x－4为所求的抛物线。
总结：关于y轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x，y)，y＝ax2＋bx＋c变为y＝ax2－bx＋c.。
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
关于x轴对称的二次函数解析式的特点
关于x轴对称的二次函数解析式的特点X轴对称的二次函数是指函数的图像关于x轴对称。
解析式的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
以下是关于x轴对称的二次函数解析式的特点：1.对称轴：X轴对称的二次函数的对称轴是x轴，即图像中任意两点关于对称轴的距离相等。
对称轴的方程式可以通过求对称轴的x值来得到。
在一般形式的解析式中，对称轴的x值为-b/(2a)。
这个x值也是图像的顶点的横坐标。
2.顶点：X轴对称的二次函数的图像在对称轴上有一个最高点或最低点，称为顶点。
顶点的纵坐标可以通过将对称轴的x值带入函数来计算。
在一般形式的解析式中，顶点的纵坐标为c-b^2/(4a)。
3.开口方向：开口方向指函数图像的凹凸性质。
对于X轴对称的二次函数，当a>0时，函数图像开口朝上；当a<0时，函数图像开口朝下。
4.对称性质：X轴对称的二次函数具有轴对称性质，即对称轴上的任意一点关于对称轴上的另一点的函数值相等。
对于函数图像上非对称轴的点(x1,y1)，对称轴上的点为(-x1,y1)，则有f(-x1)=f(x1)。
5.零点：对于X轴对称的二次函数，即当y=0时，解析式求得的方程也就是函数的零点。
零点可以通过将函数的解析式设置为0来求解。
6.根的性质：由于X轴对称的二次函数的对称轴是x轴，所以函数的零点在x轴上。
因此，当函数的解析式具有实根时，函数的图像与x轴交于两点。
当解析式具有实数根时，函数图像与x轴相切于一个点。
当解析式没有实数根时，函数图像和x轴不相交。
7. 变换特点：X轴对称的二次函数可以通过平移和缩放来进行变换。
对于解析式f(x) = ax^2 + bx + c，增加c的值将使函数图像上移，减小c的值将使函数图像下移；增加或减小b的值将使函数图像水平平移；增加或减小a的值将使函数图像纵向缩放，a的绝对值越大则函数图像越瘦长。
总之，X轴对称的二次函数解析式的特点包括对称轴、顶点、开口方向、对称性质、零点、根的性质和变换特点。
二次函数关于坐标轴对称式规律
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二次函数关于坐标轴对称式规律
原式y=ax²+bx+c
关于x轴对称y=-ax²-bx-c
关于y轴对称y=ax²-bx+c
关于原点对称y=-ax²+bx-c
总结：全反x,一反y.原点对称一不换
规律是，若求原二次函数解析式的关于x轴的对称的解式，原解析式的a,b,c 都变成原来系数的相反数，就可以了。
若求它的关于y轴为对称轴的解析式，只把一次项的系数变成它的相反数就行了。
若求它关于原点为对称中心的解析式，一次项的系数不变，二次的系数和常数项的符号都变成原数的相反数即可。
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求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
一、二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
09 专题 运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式
专题 运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式
【方法归纳】运用对称轴，结合顶点式求解析式
一、已知对称轴或顶点坐标
1．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x ＝2
1 ,求抛物线的解析式．
2．已知抛物线y ＝a (x ＋2)2－1交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点的左边)且AB ＝2 ，求抛物线的解析式．
3．在平面直角坐标系中，顶点为(3，4)的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，已知A 点坐标为(0，－5)，求此抛物线的解析式．
4．经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0)．
(1)对于这样的抛物线，当顶点坐标为(1，1)时，a ＝________;
(2)当顶点坐标为(m ,n ),m ≠0时，a 与m 之间的关系式是________．
二、隐藏对称轴或顶点坐标
5．已知二次函数的图像与x 轴交于A (－2，0)，B (3，0)两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式
6．二次函数y ＝ax 2＋4ax ＋c 的最大值为4，且图像过点(－3，0)，求二次函数的解析式．。
二次函数关于坐标轴对称图形的解析式
二次函数关于坐标轴对称图形的解析式江苏丁小平学习了平面直角坐标系后，我们经常会解决一些点关于坐标轴的对称点的问题。
学习了二次函数后，我们也可运用类似的方法求抛物线关于坐标轴对称的抛物线的函数解析式。
现举例如下：例1、求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。
解：方法一、利用顶点式：y=2x2-4x-5=2（x-1）2-7抛物线y=2x2-4x-5的顶点为（1，-7）。
抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，但开口的方向改为向下，顶点关于x轴对称。
所以所求抛物线的二次项系数是-2，顶点为（1，7）。
所以，抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线为y=-2(x-1)2+7.方法二、利用点对称：设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于x轴对称的对称点为P′（x，-y）必在抛物线y=2x2-4x-5上。
点P′（x，-y）符合解析式。
所以在y=2x2-4x-5中，用x代换x， y代换y得-y=2x2-4x-5即y=-2x2+4x+5为所求的抛物线。
说明：抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y)y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.例2. 求抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称的抛物线。
解：方法一、利用顶点式：y=4x2+8x-4=4（x+1）2-8抛物线y=4x2+8x-4的顶点为（-1，-8）。
抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，开口的方向保持不变，顶点关于y轴对称。
所以所求抛物线的二次项系数是4，顶点为（1，-8）。
所以，抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称的抛物线为y=4(x-1)2-8.方法二、利用点对称：设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于y轴对称的对称点为P′（-x，y）必在抛物线y=4x2+8x-4上。
点P′（-x，y）符合解析式。
所以在y=4x2+8x-4中，用-x代换x，y代换y得y=4(-x)2+8(-x)-4即y=4x2-8x-4为所求的抛物线。
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求二次函数解析式之对称式
用“对称式”求抛物线解析式分为下面几种情况：
1.抛物线关于x 轴对称.抓住关于抛物线关于x 轴对称其对应点横坐标相同，而纵坐标互为
相反数.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于x 轴对称的图象为
()'2y y ax bx c a 0=-=++≠
整理为()'2y ax bx c a 0=---≠.
结论：抛物线关于x 轴对称各项系数及常数项均互为相反数.
2.抛物线关于y 轴对称.抓住关于抛物线关于y 轴对称其对应点横坐标互为相反数，而纵坐
标相同.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为
()()()'2
y a x b x c a 0=-+-+≠
整理为()'2y ax bx c a 0=-+≠.
结论：抛物线关于y 轴对称二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数.
3.抛物线关于原点对称.抓住关于抛物线关于原点对称其对应点横纵坐标均互为相反数，.
也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为()()()'2
y y a x b x c a 0=-=-+-+≠
整理为()'2y ax bx c a 0=-+-≠.
结论：抛物线关于原点对称二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.
例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线2y x 2x 3=--自动生成的对称抛物线（红
色）：
4.关于直线x k =（k 是常数）和关于直线y h =（h 是常数）对称.
①.关于直线x k =（k 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的横坐标和的一半等于k ，即，对称点的横坐标之和 =2k .若原抛物线配方成()()2
y a x m n a 0=++≠，则其关于直线x k =（k 是常数）对称的抛物线应表示为()()'2
y a 2k x m n a 0=-++≠，即()()'2
y a x 2k m n a 0=--+≠
（注意k 和m 都要变号,n 不变号）
②. 关于直线y h =（h 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的纵坐标和的一半等于h ，
即，对称点的纵坐标之和 =2h .若原抛物线配方成()()2
y a x m n a 0=++≠，则其关于直线x k =（k 是常数）对称的抛物线应为()()'2
y 2h y a x m n a 0=-=++≠，即()()'2y a x m n 2h a 0=-+-+≠
（注意a 和n 都要变号, h 不变号）
例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线()2y x 14=--自动生成的对称抛物线（红色）：
点评：利用“对称式”求二次函数的解析式关键是掌握对称的规律，是否变号如何加减.在
一些综合解答题的非关键步骤中，若要用关于某某对称的抛物线解析式，可以直接给出.
追踪练习：
1、分别写出．．．．
抛物线2y x 4x 1=-+-在坐标系中关于下列条件对称的抛物线解析式： ⑴.x 轴；⑵.y 轴；⑶.原点；⑷.直线x 3=；⑸.直线y 2=-.
2、若抛物线()2y a 3x 4x b 2=-+-+与抛物线2y 2bx 4x a =+-关于x 轴对称，求a b 、的值.
3、若抛物线()2y m 1x 4x n 2=++++与抛物线()2y n 2x 4x m 5=-+-+关于原点轴对称，求m n 、的值.
郑宗平 2015/8/27。