2634二次函数一般式时的对称轴和顶点坐标
二次函数的对称轴与顶点
二次函数的对称轴与顶点二次函数是数学中一个重要的概念，它的图像呈现出一种特殊的形状，被称为抛物线。
在学习和应用二次函数时，了解它的对称轴与顶点是必不可少的。
本文将详细介绍二次函数的对称轴与顶点及其相关概念。
一、二次函数简介二次函数是一种以二次项为最高次幂的多项式函数。
一般形式可表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出一条平滑的弧线，通常称为抛物线。
二、对称轴的概念在研究二次函数的图像时，对称轴是一个重要的参考线。
对称轴可以理解为抛物线的中心线，它将抛物线分为两个对称的部分。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程可以通过下面的公式得到：x = -b / (2a)这个公式暗示了对称轴是一个垂直于x轴的直线，它的x坐标值等于- b / (2a)。
对称轴上的点与抛物线上的点具有关于对称轴的镜像关系。
三、顶点的概念顶点是抛物线的最高点或最低点，它也是二次函数的一个重要特征。
顶点坐标可以通过对称轴的x坐标值直接得到。
将对称轴的x坐标代入二次函数的表达式中即可得到顶点的坐标。
x = -b / (2a)y = f(x)将x值代入f(x)即可得到y值，从而得到顶点的坐标 (x, y)。
四、对称轴与顶点的性质对于二次函数，对称轴和顶点具有以下重要性质：1. 对称轴将抛物线分成两个对称的部分，即对称轴上的点与抛物线上的点具有关于对称轴的镜像关系。
2. 顶点是抛物线的最高点或最低点，它是二次函数的极值点。
3. 若a>0，抛物线向上开口，顶点为最低点；若a<0，抛物线向下开口，顶点为最高点。
五、例题解析例题一：给定二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求对称轴和顶点的坐标。
解析：根据对称轴的公式x = -b / (2a)，将a和b的值代入公式得到：x = -(-4) / (2 * 2) = 1对称轴的坐标为x = 1。
二次函数一般式与顶点坐标公式
二次函数一般式与顶点坐标公式一、二次函数一般式二次函数是指函数的最高次项是二次的多项式函数。
具体形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的一般式包含了二次函数的三个重要参数，分别是a、b和c。
其中a决定了二次函数的开口方向和开口程度，a的正负决定了开口向上还是向下；b决定了二次函数的对称轴位置；c决定了二次函数的纵坐标偏移。
具体来说，若a>0，则二次函数开口向上，a的绝对值越大，开口程度越大；若a<0，则二次函数开口向下，a的绝对值越大，开口程度越大。
b决定了二次函数关于y轴的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a。
c决定了二次函数的纵坐标偏移，即二次函数图像在y轴上的位置。
顶点是二次函数图像的最高点或最低点，即二次函数图像的最值点。
顶点坐标可以直接读出二次函数的一般式，也可以通过顶点坐标公式计算得到。
顶点坐标公式为：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
其中，-b/2a对应了二次函数关于x的对称轴的横坐标，即对称轴的x坐标；f(-b/2a)对应了二次函数关于x的对称轴的纵坐标，即对称轴上的函数值。
通过顶点坐标，可以很直观地描述二次函数的形态。
若a > 0，顶点坐标为(xv, yv)，则函数图像在顶点上有一个最小值点，该点是图像上的最低点；若a < 0，顶点坐标为(xv, yv)，则函数图像在顶点上有一个最大值点，该点是图像上的最高点。
顶点坐标公式的推导过程如下：设y = ax^2 + bx + c为二次函数的一般式，对x进行平移，即将对称轴的横坐标平移到原点，令z = x + b/2a，则原方程化简为：y=a(z-b/2a)^2+c= az^2 - abz + ab^2/4a^2 + c= az^2 - abz + b^2/4a + c其中，z=x+b/2a为新的横坐标，代表了对称轴，将z带入原方程可得。
由于这是一个关于z的二次函数，而关于二次函数的顶点坐标公式已知，即顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，所以原方程的顶点坐标为(-(b/2a+b/2a),f(-(b/2a+b/2a)))=(-b/2a,f(-b/2a))。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴二次函数是代数学中的一个基础概念，它的图像形状为抛物线。
在研究二次函数时，我们常常关注其对称轴，它对于确定抛物线的形状和性质至关重要。
本文将详细介绍二次函数的对称轴及其相关内容。
一、什么是二次函数的对称轴？二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
对于这样的二次函数，其对称轴是垂直于x轴的一条直线，将抛物线分为左右对称的两部分。
对称轴上有一个特殊的点，称为顶点，它在对称轴上的纵坐标为抛物线的最高点或最低点。
二、如何确定二次函数的对称轴？要确定二次函数的对称轴，需要找到它的顶点坐标。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，对称轴的横坐标可以通过下面的公式计算得到：x = -b/(2a)这个公式可以通过将二次函数的一阶导数与零相等得出。
一阶导数等于零时，表示抛物线的斜率为0，即为对称轴的斜率。
三、二次函数对称轴的性质与应用1. 关于对称轴的性质（1）对称轴将抛物线分为两部分，左右对称。
（2）对称轴上的点为抛物线的顶点，具有最值。
（3）对称轴上任意一点到抛物线上的点的距离相等。
（4）抛物线在对称轴上的对称点关于对称轴对称。
2. 利用对称轴求顶点坐标对称轴的横坐标即为顶点的横坐标，将横坐标代入二次函数，即可求得对应的纵坐标。
顶点的坐标表示抛物线的最高点或最低点。
3. 利用对称轴绘制抛物线图形在已知对称轴和顶点坐标的情况下，可以很方便地绘制出二次函数的图像。
首先确定对称轴的位置，然后绘制对称轴，再将对称轴上的点与对称点对称绘制，最后连接所有的点，即可得到抛物线。
4. 利用对称轴解决二次函数相关问题对称轴的概念在解决二次函数相关问题时非常有用。
例如，可以利用对称轴和顶点坐标来确定二次函数的开口方向、最值等。
同时，对称轴还可以作为解题的思路，通过确定对称轴的坐标并代入二次函数，来求解满足一定条件的未知量。
四、实例演示为了加深对二次函数的对称轴的理解，我们举个例子来演示。
二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标
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函数
一次函数 反比例函数 二次函数
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
D.(0，3)
5. 抛物线
A. x=-2 C. x=-4
的对称轴方程是( B)
B.x=2 D. x=4
6. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y= (x-1)2+2
.
·二次函数顶点式的对称轴和顶点坐 标。
·用配方法（九年级上册一元二次方 程时已经学过配方）推导出一般 式的对称轴及顶点的坐标。
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思 考
数 学 因 思 维 而 耐 人
数 学 因 规 律 而 不 再
才寻枯
会 燥 .
味
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c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
.
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（坐标最关键，
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整理
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一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
那么二次函数的解析整理 式是怎样的呢？ 10
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
y
o
x
·（h,k）
2、a ﹤ 0时， a(x-h)2 ≤ 0,即 － ∞ ～0 故当X=h时，a(x-h)2有最大值0，
y
· （h,k）
即当X=h时,y=a(x-h)2+k (a≠0)有最大值K
即顶点坐标（h,k）
o
x
对称轴：x=h
顶点坐标:（h,k）整理
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练一练
1.抛物线y=2(x-4)2 +8的顶点在第(一)象限
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2b x c a a
一般式配方它就 现！横标即为对
配 方
ax2bax2ba22ba2ac
二次函数顶点坐标公式和对称轴
二次函数顶点坐标公式和对称轴二次函数是指数学中的一个类型，它的一般形式可以写为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或开口朝下的曲线，这个曲线在坐标系中称为二次曲线。
二次函数的顶点是二次曲线的最高点或者最低点，也就是曲线的最极值点。
而对称轴是指二次曲线上下两部分关于一条直线对称。
接下来，我将详细介绍二次函数顶点坐标公式和对称轴的相关知识。
1.顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标可通过公式(-b/2a,f(-b/2a))来求得，其中b和a分别是二次函数方程中x的系数和二次项系数。
f(-b/2a)表示在x=-b/2a处的函数值。
举个例子来说，假设有一个二次函数y=2x^2-4x+3，我们可以通过公式计算其顶点坐标：x=-(-4)/(2*2)=2/4=0.5f(0.5)=2*(0.5)^2-4*0.5+3=2*0.25-2+3=0.5因此，这个二次函数的顶点坐标是(0.5,0.5)。
2.对称轴：对称轴是二次曲线上下两部分关于一条直线对称的直线。
对称轴的方程可以通过公式x=-b/2a来表示。
这个式子中，b和a分别是二次函数方程中x的系数和二次项系数。
继续以上面的例子，二次函数y=2x^2-4x+3的对称轴方程为x=-(-4)/(2*2)=0.5通过理解顶点坐标公式和对称轴的知识1.求二次函数的顶点坐标：只需将二次函数的方程中的系数代入顶点坐标公式即可求得。
2.确定二次函数的开口方向：如果二次函数的二次项系数a大于0，则二次曲线是开口朝上的；如果a小于0，则是开口朝下的。
3.确定二次函数的对称轴：只需将二次函数的方程中x的系数和二次项系数代入对称轴的公式即可求得。
4.分析二次函数的图像：通过求得顶点坐标和对称轴，可以描绘出二次函数在坐标系中的图像，对其进行形状、开口方向等方面的分析。
另外，还需要注意二次函数的图像关于顶点对称。
也就是说，如果把顶点坐标(left)的反函数拿来组成一个新的二次函数，图像与原来的二次函数关于顶点对称。
二次函数的顶点与轴对称性质解析
二次函数的顶点与轴对称性质解析二次函数是一种常见的函数形式，由一次项和二次项组成。
在解析二次函数的性质时，我们需要重点关注它的顶点和轴对称性质。
本文将详细解析二次函数的顶点和轴对称性质，并探讨其应用。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，a不等于0。
我们可以通过这个一般形式来分析二次函数的顶点和轴对称性质。
1. 顶点的求解二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，这取决于二次项的系数 a 的正负性。
要求解顶点，我们可以使用以下公式：x = -b / (2a)y = f(x) = ax^2 + bx + c举例来说，对于函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，首先我们可以通过比较系数的方法得到 a = 1，b = 2 和 c = 1。
然后，根据公式计算顶点的 x 坐标：x = -2 / (2 * 1) = -1将 x = -1 代入函数中计算顶点的 y 坐标：y = f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 0因此，函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 的顶点坐标为 (-1, 0)。
2. 轴对称性质二次函数与其轴对称相关联。
对于一般形式的二次函数 y = ax^2 +bx + c，它的轴对称线方程可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)在顶点的求解过程中，我们已经得到了顶点的 x 坐标，那么这个 x坐标也是函数图像的对称轴。
将二次函数的一般形式代入轴对称线方程中，即可得到对称轴的方程。
3. 图像的性质通过函数的顶点和轴对称性质，我们可以进一步分析二次函数的图像特点。
具体来说，当 a 大于 0 时，二次函数的图像开口朝上，最低点为顶点；当a 小于0 时，二次函数的图像开口朝下，最高点为顶点。
此外，当二次函数的 a 的绝对值大于 1 时，图像会变得更加陡峭；当 a 的绝对值小于 1 时，图像会变得更加平缓。
4. 应用二次函数的顶点与轴对称性质在数学和物理等多个领域有着广泛的应用。
二次函数一般式对称轴
二次函数一般式对称轴
函数，即关系式，是数学中最重要的概念之一。
它描述了输入变量与输出变量之间的关系，是运筹学与应用数学中经常使用的一种概念。
函数在不同的运用场景中有不同的表示形式，本文主要讨论的是一种常见的二次函数的一般式的对称轴的概念。
二次函数的一般式可以表示为 y=ax2+bx+c,其中a、b、c是常量，其中a≠0。
如果此函数存在对称性，则意味着它的图像具有特定的对称轴。
这条对称轴的计算方法如下：在函数的一般式中，将x=b/2a，当a≠0时，此式有实数解。
求出x后，就可以求出此时 y取值，所求出的 (x,y) 是此函数的对称轴所对应的点。
二次函数的对称轴具有以下特点：
（1）若a>0，则图象关于y轴对称，且此时的对称轴位于y轴的左右两侧；
（2）若a<0，则图象关于x轴对称，且此时的对称轴位于x轴的上下两侧。
二次函数的一般式对称轴的求法要求a≠0，而当a=0时，对称轴就不存在了，而此时此函数也就是一条直线，也就不存在对称轴了。
二次函数的一般式对称轴可以用来帮助我们判断函数的图像状况，只要有此对称轴，就可以很容易地得出函数的图像形状，根据对称轴的位置判断函数图像是上凸的、下凸的或水平的，以及若a<0时的函数被对称轴对象的特点。
此外，二次函数的一般式对称轴也是判断函数的最大值或最小值的关键，只要找到了此函数的对称轴，就可以很容易地知道函数的最大值或最小值是多少。
综上所述，二次函数的一般式对称轴是一个重要的概念，它有助于我们判断函数图像有哪些特征，以及函数的最大值或最小值是多少，是运筹学与应用数学中经常使用的一种重要概念。
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拓展： 已知抛物线
yx2(a2)x9
a 的顶点在坐标轴上，求
的值．
画出函数图像，说出函数图 像的特征
练习
指出抛物线 y2x25x7
的开口方向、对称轴、顶点坐标并 画出这条抛物线，试说明这条抛物线的 变化情况。
二次函数的交点式 形如 y = a (x + p) (x + q)形式的二次函
数表达式叫做二次函数的交点式。其抛物 线与x轴的交点坐标是 (- p，0)、(- q、0)
26.3(4)
二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标
复习练习 求下列二次函数的 开口方向、对称轴、顶点坐标
(1)yx26x3
(2)y5x223x 2
练习与思考
已知二次函数y = ax 2 + bx + c (a≠0)，能把这个函数图像的对称轴、 顶点坐标用 2 + bx + c
知道交点式，可直接写出抛物 线与x轴的交点坐标，但要写出 它的对称轴和顶点坐标，还需
将交点式化为一般式
小结：二次函数 y = ax 2 + bx + c
图像 开口方向
对称轴
一条抛物线
当a > 0时，抛物线开口向上 当a < 0时，抛物线开口向下
直线 x = b
2a
顶点
坐标为
(
b
,
4acb2 )
2a 4a
图像 开口方向
对称轴
一条抛物线
当a > 0时，抛物线开口向上 当a < 0时，抛物线开口向下
直线 x = b
2a
顶点
坐标为
(
b
,
4acb2 )
2a 4a
开口向上，顶点是最低点 开口向下，顶点是最高点
例题精讲 求下列二次函数的 开口方向、顶点坐标、对称轴，并 画出函数的图像
1、y = - x 2 - 4x - 5 2、y = - 2x 2 - 6x + 4
当a>0时，抛物线在对称轴（即直
线 x b ）左侧的部分是下降的， 2a
在对称轴右侧的部分是上升的
当a<0时，抛物线在对称轴（即直
线 x b ）左侧的部分是上升的， 2a
在对称轴右侧的部分是下降的
练习
求下列二次函数的 开口方向、对称轴方程、顶点坐标
(1)yx26x3 (2)y2x25x2 (3)y5x23x2 (4)y3x22x
开口向上，顶点是最低点 开口向下，顶点是最高点
当a>0时，抛物线在对称轴（即直
线 x b ）左侧的部分是下降的， 2a
在对称轴右侧的部分是上升的
当a<0时，抛物线在对称轴（即直
线 x b ）左侧的部分是上升的， 2a
在对称轴右侧的部分是下降的