二次函数顶点对称轴,解析式
二次函数对称轴公式推导二次函数顶点坐标公式推导过程配方法的4个步骤
二次函数的定义
•定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全
体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c 若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如
果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
•二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数
可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。
•二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
二次函数的对称轴与顶点
二次函数的对称轴与顶点二次函数是数学中一个重要的概念，它的图像呈现出一种特殊的形状，被称为抛物线。
在学习和应用二次函数时，了解它的对称轴与顶点是必不可少的。
本文将详细介绍二次函数的对称轴与顶点及其相关概念。
一、二次函数简介二次函数是一种以二次项为最高次幂的多项式函数。
一般形式可表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出一条平滑的弧线，通常称为抛物线。
二、对称轴的概念在研究二次函数的图像时，对称轴是一个重要的参考线。
对称轴可以理解为抛物线的中心线，它将抛物线分为两个对称的部分。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程可以通过下面的公式得到：x = -b / (2a)这个公式暗示了对称轴是一个垂直于x轴的直线，它的x坐标值等于- b / (2a)。
对称轴上的点与抛物线上的点具有关于对称轴的镜像关系。
三、顶点的概念顶点是抛物线的最高点或最低点，它也是二次函数的一个重要特征。
顶点坐标可以通过对称轴的x坐标值直接得到。
将对称轴的x坐标代入二次函数的表达式中即可得到顶点的坐标。
x = -b / (2a)y = f(x)将x值代入f(x)即可得到y值，从而得到顶点的坐标 (x, y)。
四、对称轴与顶点的性质对于二次函数，对称轴和顶点具有以下重要性质：1. 对称轴将抛物线分成两个对称的部分，即对称轴上的点与抛物线上的点具有关于对称轴的镜像关系。
2. 顶点是抛物线的最高点或最低点，它是二次函数的极值点。
3. 若a>0，抛物线向上开口，顶点为最低点；若a<0，抛物线向下开口，顶点为最高点。
五、例题解析例题一：给定二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求对称轴和顶点的坐标。
解析：根据对称轴的公式x = -b / (2a)，将a和b的值代入公式得到：x = -(-4) / (2 * 2) = 1对称轴的坐标为x = 1。
二次函数的对称轴顶点坐标公式
二次函数的对称轴顶点坐标公式
二次函数是一种常见的函数类型，它的图像通常为一个开口向上或向下的抛物线。
在二次函数的图像中，有两个重要的特征点，即对称轴和顶点。
其中，对称轴是抛物线的轴对称线，顶点则是抛物线的最高点或最低点。
对称轴和顶点的坐标是二次函数的重要参数，它们可以用以下公式计算：
对称轴：x = -b / (2a)
其中，a和b是二次函数的系数，x就是对称轴的坐标。
顶点：(-b/2a, -Δ/4a)
其中，Δ是二次函数的判别式，计算公式为Δ=b-4ac，顶点的坐标则是(x,y)的形式。
这两个公式可以帮助我们快速计算二次函数的对称轴和顶点的坐标，进而更好地理解和分析二次函数的性质和特点。
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二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标
新美加教育：刘德凤 .
二次函数源于生活
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打开你的记忆
函数
一次函数 反比例函数 二次函数
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
D.(0，3)
5. 抛物线
A. x=-2 C. x=-4
的对称轴方程是( B)
B.x=2 D. x=4
6. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y= (x-1)2+2
.
·二次函数顶点式的对称轴和顶点坐 标。
·用配方法（九年级上册一元二次方 程时已经学过配方）推导出一般 式的对称轴及顶点的坐标。
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让 我
有只 质有
们 的量
热 爱 数
进的 步变
学 吧
化
！
才
会
有只 新有 的不 发断 现的
思 考
数 学 因 思 维 而 耐 人
数 学 因 规 律 而 不 再
才寻枯
会 燥 .
味
17
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
.
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（坐标最关键，
二次函数三种解析式
对称轴在y轴的左侧 对称轴在y轴的右侧 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 C=0 经过原点
a , b同号
oC x y C o o
a , b异号
y
C＞0 C＜0
x
x
C
y
y
b 顶点在y轴上 0 2a
4 ac b 顶点在x轴上 0 4a
2
o
x
o
x
y
顶点在原点b=c=0
与x轴交点的求法： 令y=0,得到ax2+bx+c=0
A o 1 2 C 3 x y
B -3
（3）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5） 解：∵图象顶点是（-2，3） ∴设其解析式为y=a（x+2）2+3 ∵经过点（-1，5） ∴5=a（-1+2）2+3 ∴a=2 ∴y=2（x+2）2+3
（4）图象和x轴交于（-2，0）、（4，0）两点且顶 点为（1，-9/2） 解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐标，又告诉 了顶点坐标，所以既可以用双根式又可以用顶点式 来设其解析式 设双根式为：y=a(x+2)(x-4) ∵顶点为（1，-9/2） ∴-9/2=a(1+2)(1-4) ∴a= -1/2 ∴y= -1/2(x+2)(x-4)
|a|
C x1 o x2 x
双根式y=a(x-x1)(x-x2)
y
二次函数图象与x轴的交点为
A(x1,0), B(x2,0); 对称轴
x x2 x 1 2
A x1
x1 x2 2
o P
B x2
x
AB=|x1-x2|
顶点横坐标=
x
1
二次函数顶点对称轴,解析式
《二次函数的图象》教案一、教学目标( 一) 知识目标1 ．使学生会用描点法画出二次函数 y ax2bx c的图象；2 ．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴( 对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴) ；3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念；4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．( 二 ) 能力目标1．培养学生分析问题、解决问题的能力；2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握；( 三 ) 情感目标1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美．二、教学方法教师采用比较法、观察法、归纳总结法本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系．三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数y ax2bx c的图像的基础．2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度．3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化四、教学媒体三角板小黑板五、教学设计思路1．出示一组练习，导入新课．y 1 x26x 212 ．“如何画2的图像 ? ”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成y a( x h)2k的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式．3．学生练习，为了强化巩固．六、教学步骤提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：(1)y1( x5)2 2 ;(2)y0.7( x 1.2)22.1;333y15(x10)220;y1(x 1 )2 3 ;(3)(4)424(5)y a( x h) 2k.( 出示幻灯 )通过这些练习题， 使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用． 这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同 学给予评价．我们已画过二次函数 ya(x h)2k的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表 ) 列表时我们是怎样取值的呢 ?( 先确定中心值 ) 若我们要画二次函数y ax 2 bxc的图象应怎么办呢 ?学生讨论得到：把二次函数 y ax 2bx c 转化成 ya( x h)2k的形式再加以研究．提问：怎样能把二次函数 yax 2 bx c 转化成 y a(x h)2k的形式呢 ?我们先来看几个练习题： ( 出示幻灯 )填空： (1) x 2bx( x) 2 ；25(2) x 2 x( x)2 ；(3)x 2 4x 9 ( x )2 ； (4)x 2 5x8 ( x)2；先由学生自己填， 若在填的时候有问题， 可以互相讨论之后再填． 然后由学生回答答案，对一下，关键是由学生来总结：这几个空是怎样填上的 ?总结规律：当二次项的系数为 1 时，常数项须配一次项系数一半的平方． 提问：当二次项的系数不为1 时，应怎么办呢 ?答：利用提公因式 法，首先把二次项的系数化成 1，再用上述方法．下面，我们就一起来看一个具体的问题：( 出示幻灯 )y1 x2 6x 21画函数2 的图像，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．分析：首先要用配 方法将函数写成 ya( x h) 2k的形式；然后，确定函数图像的 开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线． 这里的关键步骤是用配方法把函数改写成y a( xh) 2k的形式，应按怎样的方式来做呢 ?( 教师边提问、边讲解、边板书 )1首先，把等号右边的 2y1( x 2 12 x 42)2；(即二次项的系数)提出来，使二次项的系数为 1，得然后，把括号内的部分配成一个完全平方 ( 即先加， 再减一次项系数的一半的平方 ) ，得y1 (x2 12 x 36 36 42)1 [( x 6)2 6]22；y1( x 6) 2 3最后去掉中括号，得2．这就与 y a( x h)2k的形式一样，就可以由学生独立完成余下的部分了．注意： 描点画图时， 要参照已知抛物线的特点，一般先找出顶点， 并且用虚线画出对称 轴，然后再对称描点，最后，用平滑曲线顺次连结各点．画完图之后，可让学生观察图像，思考：提问： 1．这条抛物线与哪条形如y ax 2的抛 物线形状相同 ?为什么 ?y1 x 2答：与抛物线2 的形状相同，因为若两条抛物线形状相同，则。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴在代数学中，二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是实数，a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或者开口向下的抛物线。
而二次函数的对称轴则是抛物线上的一条特殊线，具有一些特定的性质和重要的应用。
一、对称轴的定义对称轴是指二次函数抛物线的一条垂直于x轴的线，通过抛物线的顶点。
在标准形式下，即y = ax^2 + bx + c的二次函数中，对称轴的方程可以通过以下公式来确定：x = -b / (2a)这个公式说明了对称轴的坐标点横坐标x为负b除以2a，而纵坐标y不发生变化。
二、对称轴的性质1. 对称性质：二次函数关于其对称轴是对称的。
这意味着，对称轴上的任何一点(x, y)对应的点(-x, y)在抛物线上。
同时，抛物线以对称轴为中心的两侧图像也是完全对称的。
2. 最值性质：对称轴上的点对应的y值（纵坐标）是二次函数的最值。
对于开口向上的二次函数，对称轴上的点对应的y值是函数的最小值；而对于开口向下的二次函数，对称轴上的点对应的y值是函数的最大值。
3. 重要点性质：抛物线的顶点恰好位于对称轴上，即在对称轴方程所确定的坐标点上。
由于对称轴经过顶点，所以对称轴也被称为抛物线的轴线。
三、对称轴的应用1. 求最值：对称轴的性质使得我们可以快速计算二次函数的最值。
只需求出对称轴上的点的坐标，代入函数表达式即可得到最值。
2. 确定方程：已知二次函数的对称轴方程为x = -b / (2a)，我们可以通过对称轴上的点，如顶点等，反推出二次函数的标准形式。
3. 图像绘制：对称轴的存在使得我们能够更好地了解和描绘二次函数的图像。
首先，确定对称轴方程，然后找到对称轴上若干点，再根据对称性质绘制整个抛物线。
总结：二次函数的对称轴是决定函数图像特征的重要元素之一。
理解对称轴的定义、性质和应用可以帮助我们更好地分析和解决与二次函数相关的问题。
无论是求最值，确定方程还是绘制图像，对称轴都起到了关键的作用。
二次函数关于坐标轴对称图形的解析式
二次函数关于坐标轴对称图形的解析式江苏丁小平学习了平面直角坐标系后，我们经常会解决一些点关于坐标轴的对称点的问题。
学习了二次函数后，我们也可运用类似的方法求抛物线关于坐标轴对称的抛物线的函数解析式。
现举例如下：例1、求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。
解：方法一、利用顶点式：y=2x2-4x-5=2（x-1）2-7抛物线y=2x2-4x-5的顶点为（1，-7）。
抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，但开口的方向改为向下，顶点关于x轴对称。
所以所求抛物线的二次项系数是-2，顶点为（1，7）。
所以，抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线为y=-2(x-1)2+7.方法二、利用点对称：设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于x轴对称的对称点为P′（x，-y）必在抛物线y=2x2-4x-5上。
点P′（x，-y）符合解析式。
所以在y=2x2-4x-5中，用x代换x， y代换y得-y=2x2-4x-5即y=-2x2+4x+5为所求的抛物线。
说明：抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y)y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.例2. 求抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称的抛物线。
解：方法一、利用顶点式：y=4x2+8x-4=4（x+1）2-8抛物线y=4x2+8x-4的顶点为（-1，-8）。
抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，开口的方向保持不变，顶点关于y轴对称。
所以所求抛物线的二次项系数是4，顶点为（1，-8）。
所以，抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称的抛物线为y=4(x-1)2-8.方法二、利用点对称：设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于y轴对称的对称点为P′（-x，y）必在抛物线y=4x2+8x-4上。
点P′（-x，y）符合解析式。
所以在y=4x2+8x-4中，用-x代换x，y代换y得y=4(-x)2+8(-x)-4即y=4x2-8x-4为所求的抛物线。
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《二次函数的图象》教案
一、教学目标
(一)知识目标
1．使学生会用描点法画出二次函数的图象；
2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)；
3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念；
4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．
(二)能力目标
1．培养学生分析问题、解决问题的能力；
2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握；
(三)情感目标
1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美．
二、教学方法
教师采用比较法、观察法、归纳总结法
本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系．
三、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数的图像的基础．
2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度．
3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化
四、教学媒体
三角板小黑板
五、教学设计思路
1．出示一组练习，导入新课．
2．“如何画的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式．
3．学生练习，为了强化巩固．
六、教学步骤
提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：
(1) (2)
(3) (4)
(5)(出示幻灯)
通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价．
我们已画过二次函数的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数的图象应怎么办呢?
学生讨论得到：把二次函数转化成的形式再加以研究．
提问：怎样能把二次函数转化成的形式呢?我们先来看几个练习题：(出示幻灯)
填空：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
先由学生自己填，若在填的时候有问题，可以互相讨论之后再填．然后由学生回答答案，对一下，关键是由学生来总结：这几个空是怎样填上的?
总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方．
提问：当二次项的系数不为1时，应怎么办呢?
答：利用提公因式法，首先把二次项的系数化成1，再用上述方法．
下面，我们就一起来看一个具体的问题：(出示幻灯)
画函数的图像，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
分析：首先要用配方法将函数写成的形式；然后，确定函数图像的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线．
这里的关键步骤是用配方法把函数改写成的形式，应按怎样的方式来做呢?(教师边提问、边讲解、边板书)
首先，把等号右边的(即二次项的系数)提出来，使二次项的系数为1，得；
然后，把括号内的部分配成一个完全平方(即先加，再减一次项系数的一半的平方)，得；
最后去掉中括号，得．
这就与的形式一样，就可以由学生独立完成余下的部分了．
注意：描点画图时，要参照已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并且用虚线画出对称轴，然后再对称描点，最后，用平滑曲线顺次连结各点．
画完图之后，可让学生观察图像，思考：
提问：1．这条抛物线与哪条形如的抛物线形状相同?为什么?
答：与抛物线的形状相同，因为若两条抛物线形状相同，则。
的值就相同．
2．它是抛物线经过怎样的移动得到的?
这个问题可根据学生的层次决定问还是不问，关于这个问题的回答可以像书上一样，即：将抛物线平行移动，顶点从原点移动到（6，3）而成的，也可以按照沿轴移动的方式来回答．上面，我们研究了如何把一个具体的二次函数通过配方的方法来加以研究，对于一般的二次函数应怎样解决呢?(出示幻灯)
例1 通过配方求抛物线的对称轴和顶点坐标．
可先让学生仿照前面解决的方式来做，找一名同学板书，然后视情况加以讲解，补充和纠正．
最后，加以总结，形成规律：(板书)
抛物线的对称轴：，顶点坐标是，让有能力的学生掌握推导过程，层次较差的只要记住公式就可以了。
我们已经学过用待定系数法确定正比例函数与一次函数的解析式，需要知道图像上的几点才能利用待定系数法来确定函数的解析式呢?
试想，关于一般的二次函数，已知函数图像上的几点，可以用待定系数法来求出这个函数的解析式呢?
下面，我们就来看今天的第二个例题：(出示幻灯)
例2 已知一个二次函数的图像经过三点．求这个函数的解析式．
根据此题的程度可由学生自主完成，注意提醒学生先要将函数的一般形式设出来，之后再用待定系数法求解．
练习二教材
找四名同学上黑板板演，其他同学在练习本上完成，统一答案即可．
(四)总结、扩展
提问：1．本节课我们共学习了几种教学方法?各是什么?
2．用配方法将二次函数变形成的形式的一般步骤是什么?
3．经过配方得到：二次函数的图像的对称轴和顶点坐标各是什么?
4．用待定系数法确定函数的解析式，选用图像上的几点，通常是由什么来决定的?
七、布置作业
1．课后习题(一)
2、优化练习。